數理方程第二版課后習題答案

第一章曲線論

§1向量函數

1.證明本節(jié)命題3、命題5中未加證明的結論。

略

2.求證常向量的微商等于零向量。

證：設F=展，twI為常向量，因為

r(t+dt)-r(t)_

lim------=0

ZtGE。At

所以聲=0。證畢

3.證明

d件)、=叫Mt)-F(t)d(t)

證：

色㈣

小年⑹at

講(t)/(t)一五。，(t)

PW

證畢

4.利用向量函數的泰勒公式證明：如果向量在某一區(qū)間內所有的點其微商為零,

則此向量在該區(qū)間上是常向量。

證：設F=f(t)={x(。y(t)式。},tw/為定義在區(qū)間［上的向量函數，因為

汽t)在區(qū)間I上可導當且僅當數量函數Mt),和工?在區(qū)間I上可導。所以，

vtoGI,根據數量函數的Lagrange中值定理，有

%⑴=x(tQ)+/⑸(t-t0)

鞏0=式、)+G-%)

式t)=式3+/⑻a-%)

其中無，&2,%介于電與弋之間。從而

?=={x(t)y(t)式切

=+善炳)jKt(j)+火&-3式％)+￡(班W-3:

=任(城式城式3}十日伊。/W4%)壽-%)

=石+武t-10)

上式為向量函數的0階Taylor公式，其中仔=0'(%)4%)，(式。如果在

區(qū)間I上處處有機(t)={x'(t)yl(t)z(t)}=0,則在區(qū)間I上處處有

k'(t)=y'(t)=。，從而5={*'(%)才(")}=0,于是齊=%。

證畢

5.證明笊=六t)具有固定方向的充要條件是手X9=0。

證：必要性：設m=六。具有固定方向，則亍=汽?？杀硎緸?==p(t)羨

其中p(t)為某個數量函數，[為單位常向量，于是MxG=p(t)d(t)\x2=。。

充分性：如果FxF=o,可設7wo,令F=F(t)=其中Q(t)為某個數

量函數，代。為單位向量，因為F=p'G)3(t)+p(t)M；。，于是

rxr*=oxk'COKt)+pGW(t)]=。tp2(t)[s(t)Xa1(t)]=0

因為干W。，故p2(t)W0,從而Kt)X矛(t)=0T[式t)X3<t)]2=0T

心潞黑臥。T；心』”鏟…小)=0"(好

為常向量，于是，r==即工=汽?具有固定方向。證畢

6.證明后=之。平行于固定平面的充要條件是⑦汽聲')=0。

證：必要性：設亍=穴土)平行于固定平面，則存在一個常向量落使得丙=。，對

此式連續(xù)求導，依次可得而'=。和pr"=0,從而F,rf,和產共面，因此

(r,r*,r")=0。

充分性：設任,鵑聲)=。，即&X聲""=0,其中，如果亍X聲=0,根據第5題

的結論知，彳=具有固定方向，則彳=F任)可表示為不=F(t)=p(t)3,其中

p(t)為某個數量函數，Z為單位常向量，任取一個與Z垂直的單位常向量E,于是

作以書=3x寺為法向量過原點的平面！r,則F平行于殂。如果京xFw。，則F與產不

共線，又由苗己聲)=0可知，?,聲，和”共面，于是和=口?"十年(。聲，

其中p(t),中(t)為數量函數，令7=rXrf,那么i?=FXr"=<p(t)n,這說明品與

濟共線，從而濟X轉=。，根據第5題的結論知，屬具有固定方向，則咒=云(?？?/p>

表示為轉=武。=？?￡其中雙t)為某個數量函數，芯為單位常向量，作以營為

法向量，過原點的平面在，則信平行于需。證畢

§2曲線的概念

1.求圓柱螺線彳={cost,Sint,*在點(1,0,0)的切線與法平面的方程。

解:*={-8111t,CO8t,l},點(1篇,0)對應于參數*=0,于是當t=。時,+=[1,0,0),

=[0,14},于是切線的方程為：

X-1y

l

法平面的方程為

y+r=0

2.求三次曲線不=匕，"2,大2)?在點”處的切線和法平面的方程。

解：*=口2蛇3d2},當&="時,F=也電/端c蠟},產={%2峋,3c舟,

于是切線的方程為：

x-a_y-bt^CZQ

a2bta3。蛤

法平面的方程為

a(x-ct)+2bta(y-b詔)+3c咯(w-c培)=0

3.證明圓柱螺線F={acost,ashit,bt)的切線和z軸成固定角。

證：F={—a-sintfaccst,b}

令&為切線與w軸之間的夾角，因為切線的方向向量為F={-asintcostrb},s

軸的方向向量為1={0,0，},則

八Fb

cosv=—―3-=,

|河IMVa2+b2

cb

&=arccog-：=

Va2+b2

證畢

4.求懸鏈線i5={a&acosht}(-8vtV+?>)從￡=0起計算的弧長。

解：聲={arasinht}

Va2+(asinht)2dt=a|jcoshtdt=a|sinht|

Q

5.求拋物線了=b/對應于一a$#$a.的一段的弧長。

解：y'=2bx

s=J?+y,2dx

=IV1+4b2x2dx=2jV1+4b2x2dx=-J+(2bx)sd(2bx)

=g1bxj1+4rb52+^ln^2bx+4T+4b2%2IE

=a-Vl+4a2產+或屈^2ab+y1+4a2b2

6.求星形線霹=a(5>8t)s,F=a(slnt)a的全弧長。

解：

s=41"J4"+j/2dt=12aI-sintcostdt=6a

JQ/Q

1.求旋輪線*=c(t-skit),y=a(l-co")對應于0St￡2IE一段的弧長。

解：

2n「新「

|以―+嚴dt=v2aVl-aos￡dt=2aIsin-dt=8a

Q

8.求圓柱螺線下={3acost,3asmt,4at}(-sVt<+s)從它與0*y平面的交

點到任意點M(t)的弧長。

解：圓柱螺線孑={3&00$030811104￡14與0”￥平面工=0的交點為（3￡1,0,0）,交

點對應的參數為&=點而4={-3a-sint,3a-GOSt,4a),

s=|J|rf|dt|=|J,32a24da2dt=5afdt=5a|t|

Q

9.求曲線—=38）,2%工=a2在平面》=g與平面y=之間的弧長。

解：取工為曲線參數，曲線的向量參數方程為:

a?

E獲

xia2

xia2

1網1=—砂十+—公2

平面￥=申對應于參數*=a,平面尸=9a對應于參數x=3a,

『閡=r（,+梟）曲=以

10.將圓柱螺線于={acosslnt,bt}化為自然參數表示。

解：rl=(-aslnt,acost,b},因為自然參數

2222

=式。=1|F|dt=ya+b［由=V'?-+b1其中f泥t<0均可

所以4K,于黑

bs

r=(acosta={acos____==ra-------r，-------y1

rVa2+b2Va4+

11.求極坐標方程？=p(d)給定的曲線的弧長表達式。

解：極坐標方程9=口(0)給定的曲線的方程可化為向量參數形式:

r=(p(0)cos&p(&)sin處

r1={，(&)cos&-p(&)sin8。'(3)sin8+P(8)cos8}

s=]|河由=/￥[/?伊)產+產面rB>a

*a*n

§3空間曲線

1.求圓柱螺線木={acost,a.ski，bt}在任意點的密切平面的方程。

解：密切平面的方程為

-acostY-asintZ-bt

—asintaco8tb=。

—acost—aslot0

即ab81nt(X-acost)-abcos￡(K-astnt)+a2(Z-bt)=0

2.求曲線R={tsinGtcostfteq在原點的密切平面、法平面、從切平面、切線、

主法線、副法線的方程。

解：r={tslnt,tcost,t

r1={sin14tcost,cost-tsint,(1+t)

r"={2cost—tslut,-2slat—tcost,(2+t)ec}

原點(o,ao)對應于參數t=o,于是在t=o處，

r=(0A0}

r*={0X1}

r"=2{1A1}

r*Xr,r1

[14,-1}

\rlXr"|—歲

6=/Xa=

密切平面的方程為

J+r-z=o

副法線的方程為

-=-=---

11-1

法平面的方程為:

r+z=o

切線的方程為

C11

從切平面的方程為

2X-r+z=o

主法線的方程為

￡_r_z

Q一五一父

3.證明圓柱螺線F={acost,aslnt,bf）的主法線和w軸垂直相交。

證：r={acostrQslntrbt}

l

r={-aslntracostrb}

rn={-acos，—asin,。}

"丙"1帝加一。Slntrtt8s,㈤

FX和1

F=F7^=砂83?

p=yXa={—cost,—sint,0)

一方面，主法線的方程為

X-acost_Y-bsint_2-it

costsint0

另一方面，過圓柱螺線#={aco8t,a8hit,bt)上任意一點M(aco8￡:,aslnjbt)

作平面7r與三軸垂直，無的方程為Z-bt=O,無與w軸的交點為N(0,0*￡),過時與N

的直線顯然與w軸垂直相交，而其方程為

X-acost_Y-bsint_Z-bt

costsint0

這正是主法線的方程，故主法線和囂軸垂直相交。證畢

4.在曲線孑={cosacost,ccsaslnt,tslna}的副法線的正向取單位長，求其端點

組成的新曲線的密切平面。

解：令a=cosa,b-sina,則曲線的方程可表示為：

22

Ctir={acost,asint,bt}ra+b=1

設G的副法線向量為宜則有

￥=75：—,={bslnt,"bgztro)=1bsln±-bcosta}

『'Xr"lVaa+i>2r

根據題意，新曲線的方程可表示為

C2：p=r+r={acost+bslnt,a-81nt-bcost,a+bt}

將a=cosa,b=slna代入上式，整理后，得

C2ifi={cos(t-ar),81n(t-a),(slna)t+coscr)

p1={-sln(t—a),cos(t—cr),sina)

n

p={-cos(t-a)r—sln(t—a)r0}

p'Xp"={sinasln(t-a),—sinacos(t—a),l}

于是新曲線Cz的密切平面為：

sina81Mt-a)[X—cos(t—a)]—slnacos(t—a)[V—sina]

4Z—(slna)t-cosa=0

即：

sinasln(t—a)X—sincecos(t—a^Y4-Z=(sincr)t+cosa

5.證明球面曲線的法平面通過球的中心。

證：設曲線(C):孑=之￡)為球心在原點，半徑為a的球面上的曲線，其中S為自然

參數。曲線(。上任意一點。(。點的向徑為？)處的基本向量為充J,yo則有

(1)產=a2

上式兩邊關于s求導，得

(2)ra=0

設3為法平面上的點的向徑，則曲線(。上任意一點夕處的法平面的向量方程為

(3)a1(p-的=0

根據(2)式p=0滿足方程(3),故法平面過原點。證畢

6.證明過原點平行于圓柱螺線F的副法線的直線的軌跡是

2a2a

錐面a(X&+y)=bjo

證：r={acost,asint,fet}

(

r={-aslntracostrb}

,r

r={—acostr—asint,0}

l西西一廣八…，叼

設過原點(0。0)且與S平行的直線上的點為(無匕力，則直線的方程為

XYZ

bsint-boosta

化為參數方程，得

(Jr=(hslnt)?

jf=-(bslnt)u

1z=au

則有M(12+〃2)=b2Z2

這說明直線上的點(x,y,z)都在錐面於(爐+/)=//上。證畢

7.求下列曲線的曲率和撓率。

(1)r=(a.cosht,asinh%at),(3)r=(a(3t-ta),3ata,a(3t+ta))

解：對于曲線⑴

r*=(asinht,acosht,a}

r*f={acosht,asinht,0}

/”={asinht,aco-sht,0}

_|r*Xr,e|_1

氏一|刊&—2a(cosht)2

|r(Xr11!1Z*(msht)2

對于曲線⑵

r*=3a(l-13,2t1+12)

r*1=6a(-t,I,6

=6a{-l,0,1)

評Xr*f|_1

|?|3=3a(t2+1-

(聲,〃#“)_1

廿x利|2=3a(t2+I)2

8.給定曲線7=Kco808，Glnt）a,cos2t},求（1）基本單位向量瓦f；（2）

曲率和撓率；（3）驗證伏雷內公式。

解：對于給定曲線，有

34.

r=——sin2t[cestr-sint,—

⑵dr=--sln2t(cost,-sintf

?-------5

⑶ds=y(dr)2="|sia2t|dt

.dr34

⑷=s--(wst,-sint,j}

其中，s=±1

-4而d*dt6,e~

(5)a=-=----=slnt,-cost,0)

ds出而25|sdin3t|1'

(6)§=-3-=a{-sint,.-cost,0)

㈤

，、..-43

(7)Y=aX￡=-{cos匕-sint

(8)%=|由=?[

Z5|sin3q

,.Adycfydt8、

(9)y=—=―—―=———~~—{—sint,-cost0)

、八曲dt而25|sin2￡llff

.43

(10)T=-2=-兩而而

根據⑸(6)(8)式可得者=席,根據⑹(9)(10)式，可得；=一才，又根據(6)式,得

*Md^dt2.、

p="T-=rr=TV~,~Z-T{-COSt,sint,0}

dsdtcfs15|sln2tll>

另一方面，根據(4)(7)(8)(10)式，可得

一2

—ka+T?=—————{—cost,sin01

f5|siu2t[l)

從而，6=-ka+rfo

9.證明：如果曲線的所有切線都經過一個定點，則此曲線是直線。

證1：設曲線(。的向量參數方程為：r=r(s),其中s為自然參數。(。上任意一

點。(。點的向徑為3)處的基本向量為品，f,丸因為(。在尸點處的切線都經

過一定點Q(Q點的向徑設為格)，所以另一布與日共線，進而有

(1)(彳一3)X星=0

上式兩端關于S求導并利用Frenct公式，得:

(2)k(r-rQ)X=0

⑵式中的方為（。在。點處的曲率。又（2）式中。，這是因為如果

行一石）X#=0,則齊一年同時與信和戶共線，但這是不可能的，因為金和戶是相互

正交的單位向量。從而根據⑵式有4=0,即（。是直線。證畢

證2：設曲線的方程為；=；?）,因為曲線上任一點】的切線經過一定點則

r-ro與r共線，但r=（r-ro）,于是r一ro與（r一ro）共線，從而

（r-ro）x（r-ro）'=0,由此可知r-「0具有固定的方向，即廠-與一個常向量p平

行，于是r-ro=/l萬，或r=ro+Xp,這說明曲線上的點r都在以p為方向向量，

過點［的直線上，所以曲線為直線。證畢

10.證明：如果曲線的所有密切平面都經過一個定點，則此曲線是平面曲線。

證：設曲線（Q的向量參數方程為：r=T（S）,其中￡為自然參數。曲線（。上任意

一點0（。點的向徑為鈣處的基本向量為落S,我因為我們只研究不含逗留點

的曲線（參見教科書P.31的腳注），即才X?W0,

而

4u?|rXr|

r.XrWO…='-aW0

即（。上任何點的曲率土W。。

設(。在。點處的密切平面都經過一個定點Q(Q點的向徑設為將)，則于一而為

(。在。點處的密切平面上的一個向量，從而有

(1)=0

(1)式兩端關于s求導并利用Frenet公式，得：

⑵手行一希)情=。

⑵式中的T為(0在。點處的撓率。

由⑵式可知，簾=0或者一%)情=0

但件一%)4學0,因為如果行一石)情=0結合(1)式，可知寧一市與糖共線，于是

(3)(r-ib)Xa=0

(3)式兩端關于5求導并利用Frenet公式，得：

(4)機不一石)X，=0

(4)式中的R為(。在。點處的曲率。因為之=0,所以&一%)xB=。,結合(3)

知不一而同時與厘和。共線，但這是不可能的，因為關和自是相互正交的單位向量。

這個矛盾說明一而)W0,于是由(2)式可知，只能雷=。，曲線(。是平面曲

線。證畢

11.證明：如果曲線的所有法平面都包含常向量￡則此曲線是平面曲線。

證1:設曲線(。的向量參數方程為：r=r(s),其中s為自然參數。(。上任意一

點。(夕點的向徑為了)處的基本向量為武瓦Fo因為(。在。點處的法平面都

包含常向量"則有

(1)ea=0

注意到，⑴式兩端關于s從辦到s求積分，得：

(2)s[r(s)-抬>>1=0

(2)式說明曲線(。在以常向量芯為法向量且過點為s。的平面上。證畢

證2:設曲線(。的向量參數方程為：r=r(s),其中5為自然參數。(。上任意一

點。(。點的向徑為的處的基本向量為電，，；o因為我們只研究不含逗留點的

曲線(參見教科書P.31的腳注)，即rXr^O,

而

『。一無=喀1金。

即(Q上任何點的曲率無W。。

因為(。在0點處的法平面都包含常向量/則

(1)表=0

上式兩端關于s求導并利用Frenct公式，得：

⑵族口=0

因為“不0,所以

⑶9^=0,

結合⑴式可知[與3共線,從而

⑷3X予=0

(4)式兩端關于S求導并利用Frenet公式，得：

(5)raXP=0

(5)式中3X^00,否則，根據(3)式，=0和3,=0將同時成立，即0既與

3平行，又與？垂直，這是矛盾。于是只能是工=0,所以曲線(。是平面曲線。

證畢

12.證明曲率為常數的空間曲線的曲率中心的軌跡仍是曲率等于常數的曲線。

證：設曲率為常數笈的空間曲線(。的向量參數方程為：：？=改5)，其中S為自然參

數。(。上任意一點。處的基本向量為嬴J，r,曲率半徑為又設(Q

的曲率中心的軌跡為r,『的曲率記為町根據題意，r的方程為

(1)$=中十或

⑴式兩邊關于S求導，得

⑵歹=所『

(3)pn=R(—72g+卡的

⑷式說明『的曲率［也是常數且E=后。證畢

13.證明曲線(。：■?=Q+3t+2t2,Z-2t+5t2,1-為平面曲線，并求出它

所在平面的方程。

解:

r,=(3+4t,-2+lOt,-2t)

r*f={%10,-2)

F"=fO,0,0}

G護劑f)

=0

~(PXr")2

由上式可知，(。為平面曲線。

令t=0,則有

r={1,2,1)

r*=岸，-2,0}

r"={4,10,-2}

產=他0r。}

聲X聲=2(2,3,19)

(。所在平面的方程為2(x—1)+3(y-2)+19(r-1)=0o

14.設在兩條曲線G和Cz的點之間建立了一一對應關系，使它們在對應點的切線

平行，證明它們在對應點的主法線以及副法線也分別平行。

證：設曲線，的方程為五=%5),SW4,其中S為q的自然參數，曲線的方程

為力=年⑶，歹2為，其中京為曲線小的自然參數。因為所討論的曲線都是正則

曲線，于是曲線q上的點廣和區(qū)間4內的參數s一—對應，曲線G上的點Q和區(qū)間與

內的參數§一一對應，如果兩條曲線的點尸與。之間建立了一一對應關系，則對應

的參數$與5之間也建立了一一對應關系，從而

⑴§=虱￡)

設詼，瓦，和式為曲線C1在點尸處的基本向量，a2,fiz,和克為曲線Cz在點。處

的基本向量，曲線q在點P處的曲率和撓率分別記為方和r,曲線/在點。處的曲

率和撓率分別記人為和獲如果兩條曲線總保持在對應點P與。處的切線平行，則

有

⑵a2=晶，其中3=±1

⑵式兩邊關于手求導，得

(3)礫后=8也

從而，

⑷在=碓)償招

(4)式說明C］和0在對應點P與Q處的主法線平行。又因為為=團通，由⑵式和

(4)式，得

⑸?"苞通=(3瓢

(5)式說明G和Cz在對應點P與6處的副法線平行。證畢

15.設在兩條曲線q和q的點之間建立了一一對應關系，使它們在對應點的主法

線總是相互平行，證明它們在對應點的切線成固定角。

證：設曲線S的方程為匕=之。)，sw其中s為q的自然參數，曲線&的方程

為年=為⑸，Jez2,其中§為曲線C2的自然參數。因為所討論的曲線都是正則

曲線，于是曲線q上的點P和區(qū)間4內的參數s一—對應，曲線q上的點Q和區(qū)間4

內的參數于一一對應，如果兩條曲線的點尸與Q之間建立了一一對應關系，則對應

的參數s與考之間也建立了一一對應關系，從而

(1)⑶

設扁，瓦，和西為曲線G在點尸處的基本向量，感，風，和張為曲線G在點。處

的基本向量，曲線q在點P處的曲率和撓率分別記為由和5，曲線，在點。處的曲

率和撓率分別記而為和其如果兩條曲線總保持在對應點產與。處的主法線平行，

則有

(2)質=或.，其中3=±1

根據(2)式，可得

(3),(?!,否2)=(兩2+詼,(確第=/隔),心?%?(而遇3=°

設最與局之間的夾角為G,則根據(3)式,

(4)cos0=?]_?ct2=const

(4)式說明q和q在對應點f與Q處的切線成固定角。證畢

16.如果曲線q的主法線是曲線q的副法線，J的曲率和撓率分別為后和客，求證

南=。(區(qū)2+二)其中。是常數。

證：設曲線C1的方程為甚=之8),SW6其中F為q的自然參數，曲線c2的方程

為君=云(可，手64,其中手為曲線G的自然參數。因為所討論的曲線都是正則

曲線，于是曲線q上的點F和區(qū)間與內的參數s一—對應，曲線上的點Q和區(qū)間i2

內的參數$一一對應，如果兩條曲線的點尸與Q之間建立了一一對應關系，則對應

的參數§與亨之間也建立了一一對應關系，從而

(1)9⑸

設電,禹.，和直為曲線G在點P處的基本向量，a2,#2，和％為曲線q在點＜?處

的基本向量，曲線q在點P處的曲率和撓率分別記為土和j曲線/在點Q處的曲

率和撓率分別記E為和口如果曲線q的主法線是曲線G的副法線，依題意，有下

面兩式成立：

⑵%=8丸其中3=±lo

⑶&=京⑸+?$)氏0)

(3)式兩邊關于F求導，得

⑷Q償)=金工+琉+t(-呵+而

整理(4)式，可得

⑸詼由-的副司噫膽叱嫡R

利用(2)式，在⑸式兩邊與瓦作內積，得

⑹f(新。

⑹式中由于

ds

故￡=0,從而t=o?為常數，(5)式化為

⑺Q=[a-譴)信)+上償)R=總+凡

⑺式兩邊關于S求導，得

(8)通(^?)=4A+(JfA-陽)無+成I

因為為=8瓦，上式兩邊同時與房作內積，得

(9)函一詔=。

根據⑺式，(9)式等價于

上"陽匐-了卜催)]=0

即

-ak)-a^2=0

從而，4=Ct(&2+3曰。證畢

17.曲線

r={a(t—sin-cost)f4aco-s-)

在哪些點的曲率半徑最大?

解：解：對于給定曲線，有

(1)/—cost),sint,-2fin=a[2卜—分,2slu^cosy,

⑵2as^tn-{sin—cos——l}dt

2：

(3)dsV(dr)=2^2a\sin|dt

T

(4)a=cos—1)

其中，s=±1

4dadadtstt

⑸a=7T=3777=----------r-{cos-,-sln-,0)

dsdtdsga|sin￡.|22

(6)k=\a\=----------z-

'>8als嗚|

==

RBa|sln^|

⑺Tft/

根據⑺式，當t=(2Af±1>,?=0,±L±2,…時，A=8a最大。

18.已知曲線（Q:孑=丞⑶W上一點的鄰近一點五s+As）,求點?（s+As）

到點火S）的密切平面、法平面的距離（設⑹在點穴5）的曲率和撓率分別為無和零。）

解：設曲線（。在點六s）的基本向量分別為法，，和彳，則點F（s+As）到點演工）的

密切平面和法平面的距離分別為

(1)內=|y[r(f+AP)-r(s1)]I=|y(亂+#⑶&s?"!?最的￡)+可&N)|

⑵d2=|a[r(p+As)—r(p)]|=\a[r(s)Ls+](￡)△—+,[r(y)+句Asa)|

其中,

因為

F(s)=a,氏s)=?(￡，)=kg,

]=kg+k{—ka+T『)=—k2a十2，十AT?

將它們代入⑴式和⑵式中，得

111

⑶=|—kr&s3+—raA^a|—fchll^la

》J?)！

aa

(3)d2=|Ay-^-fcA?芮&?3|學|&ff—尚4%3|

19.如果曲線Qr=F(s)為一般螺線，其中s為r的自然參數。a,人?為C1上

任意一點。處的基本向量，R為G在。處曲率半徑，證明：曲線&:

0=版一JB而

也是一般螺線。

證：曲線心的方程兩邊關于S求導，得

(1)p1=Aa

⑵p"=Ra-kA

(3)p1xpn=-kft2r

根據⑴式和(3)式，得

(g習與-=商=萌

其中a=±1

g-，'x，"-

⑹釬薩k-了

(7)&=向X?2-7?

因為曲線Cl：r=r{s)為一般螺線，故存在一個常向量市使得eP=Q從而,

(e)遍=-前B=。

(8)式說明曲線，也是一般螺線。證畢

20.證明：一條曲線(Q:7=軌$)為一般螺線的充要條件是?點V)=九

證：充分性：如果=。，則曲線(D)：#=齊(5)的撓率為零，(G為平面

曲線，于是存在一個常向量力，使得成=0,但不=&=々無故々前=。，因為我

們只研究不含逗留點的曲線(參見教科書P.31的腳注)，從而★裝0,于是方3=0,

即(。為一般螺線。

必