集中和差異量數(shù)

集中和差異量數(shù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)概念

對(duì)于一組數(shù)據(jù)來講，最常用的統(tǒng)計(jì)量有兩類:一類是表現(xiàn)數(shù)據(jù)集中性質(zhì)或集中程度的叫集中量數(shù)；另一類是表現(xiàn)數(shù)據(jù)分散性質(zhì)或分散程度的叫差異量數(shù)。集中量數(shù)只描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和典型情況，還不能說明一組數(shù)據(jù)的全貌。要說明數(shù)據(jù)的變異性,要用差異量數(shù)。

第2頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天

集中量數(shù)包括算術(shù)平均數(shù)M、中數(shù)Md、眾數(shù)Mo、幾何平均數(shù)Mg、調(diào)和平均數(shù)Mh、加權(quán)平均數(shù)Mw等。差異量數(shù)包括標(biāo)準(zhǔn)差或方差S&S2、全距R、平均差A(yù)D、四分差Q及各種百分差等。牢記各種符號(hào)的英文單詞，不易混淆。第3頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)

平均數(shù)屬于最為普遍的一種集中量數(shù)，是真值的最好估計(jì)值。通常用M表示，或者X、Y表示，計(jì)算公式為：

1.未分組時(shí)：

∑XiX=N

式中：Xi表示原始數(shù)據(jù)若干

第4頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天

2.分組時(shí)∑fXcX=N

式中：Xc為各組組中值

f為各組次數(shù)

N為數(shù)據(jù)總次數(shù)第5頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天平均數(shù)的運(yùn)算離均差的總和等于0；常數(shù)加法特點(diǎn)；常數(shù)乘法特點(diǎn)。第6頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天平均數(shù)的優(yōu)點(diǎn)反應(yīng)靈敏計(jì)算嚴(yán)密計(jì)算簡(jiǎn)單簡(jiǎn)明易解適合進(jìn)一步數(shù)學(xué)運(yùn)算受抽樣影響較少第7頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天平均數(shù)的缺點(diǎn)易受極端數(shù)據(jù)影響缺失數(shù)據(jù)存在時(shí)無(wú)法計(jì)算平均數(shù)第8頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天應(yīng)用平均數(shù)的原則同質(zhì)性原則：三同（測(cè)量手段、觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)、觀測(cè)對(duì)象特質(zhì)）非萬(wàn)能原則：與個(gè)體數(shù)據(jù)結(jié)合非絕對(duì)確定性原則：與標(biāo)準(zhǔn)差或方差相結(jié)合的原則第9頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二節(jié)中數(shù)中數(shù)求法排序找出中間位置的數(shù)中數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)簡(jiǎn)單明了信息不能反映全部數(shù)據(jù)信息不靈敏不能作進(jìn)一步的運(yùn)算中數(shù)應(yīng)用的情況極端數(shù)據(jù)出現(xiàn)時(shí)缺失數(shù)據(jù)出現(xiàn)時(shí)需要快速估計(jì)集中趨勢(shì)時(shí)第10頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天求中數(shù)的情況未分組求中數(shù)無(wú)重復(fù)數(shù)據(jù)有重復(fù)數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)重復(fù)數(shù)不在中間重復(fù)數(shù)在中間奇數(shù)偶數(shù)第11頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)使用情況極端數(shù)據(jù)缺失數(shù)據(jù)快速描述是否偏態(tài)的描述第12頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天平均數(shù)中數(shù)眾數(shù)關(guān)系正態(tài)正偏態(tài)負(fù)偏態(tài)第13頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天其他集中量數(shù)加權(quán)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)第14頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天第四章

差異量數(shù)漳州師范學(xué)院趙廣平第15頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天問題1百分位數(shù)、百分位差與百分等級(jí)的概念辨析？解釋P84：百分等級(jí)示一種相對(duì)差異量數(shù)，它是百分等級(jí)的逆運(yùn)算。我思故我在第16頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天問題2回答P86:為什么要安排這么一節(jié)純記憶的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)容，作者想告訴您什么？為什么有了離均差，還要提出方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念，來表示數(shù)據(jù)的整體離散程度？P89－90：用語(yǔ)言闡述公式4-9，用這個(gè)公式計(jì)算方差有什么好處？P88：用公式和形象的語(yǔ)言描述，說明方差的可加性，以及標(biāo)準(zhǔn)差的不可加性？第17頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天問題3方差的哪一部分可加，哪一部分不可加？P94：關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)差的有效運(yùn)算說明了什么？結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差的概念和下面的示意圖回答。第18頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天問題4P95：猜測(cè)“同團(tuán)體異特質(zhì)是什么意思？”“異團(tuán)體同特質(zhì)是什么意思？”P96：解釋公式4-16P98：解釋標(biāo)準(zhǔn)差的明確性。P98：解釋標(biāo)準(zhǔn)差的穩(wěn)定性。什么叫線性，線性轉(zhuǎn)換，并舉例說明。P104：SADQ三個(gè)離散量數(shù)中，誰(shuí)最大？為什么？第19頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天離散性的圖示第20頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天第21頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天四種差異量數(shù)1——全距全距Range全距屬于最基本的差異（變異）量數(shù)，指的是在同一團(tuán)體中最高分?jǐn)?shù)和最低分?jǐn)?shù)之差的距離。主要用來表示一組分?jǐn)?shù)的上限和下限。計(jì)算公式為：

R=XMAX－XMIN

第22頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天球形圖第23頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天四種差異量數(shù)2——百分位差百分位數(shù)：也叫百分位數(shù)點(diǎn)，表示順序量尺上的一點(diǎn)，（排序、次數(shù)分布）它的值位——該點(diǎn)以下的數(shù)占全部數(shù)據(jù)的百分比。百分位差：取消數(shù)據(jù)分布兩端各10％的數(shù)據(jù)，求“全距”。百分位差＝90％的百分位的數(shù)據(jù)點(diǎn)－10％的百分位的數(shù)據(jù)點(diǎn)第24頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天坐標(biāo)圖示第25頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天四種差異量數(shù)2——四分位差四分差(quartiledeviation)是指一群分?jǐn)?shù)中，中間50%分?jǐn)?shù)全距的一半。也叫Q分?jǐn)?shù)。計(jì)算方法將團(tuán)體中的分?jǐn)?shù)由低到高依序排列，再把總?cè)藬?shù)分為相等的四段，每段各占25%；第一段終了處的分?jǐn)?shù)為第一四分位數(shù)，以Q1表示；其余第二及第三段終了處的分?jǐn)?shù)分別為第二及第三分位數(shù)，以Q2和Q3表示。第26頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天然后由下列公式求得四分差距（Q分?jǐn)?shù)）：

Q=(Q3－

Q1）/2四分差在實(shí)際中應(yīng)用不多。第27頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天第28頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差：也叫變異數(shù)。表示符號(hào)為S2（

2)，它是每個(gè)數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)平均數(shù)之差（離均差）乘方后的均值。第29頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天用原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換運(yùn)算第30頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)差：方差的平方根。表示符號(hào)通常用S(SD)或表示。方差轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)差，作了非線性的轉(zhuǎn)換，因而，標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。標(biāo)準(zhǔn)差是對(duì)數(shù)據(jù)離散程度的最可能的近似嗎？總標(biāo)準(zhǔn)差的合成，要先合成方差？方差具有可加性嗎？第31頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)差的特殊運(yùn)算加C乘C先乘C后加C第32頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用差異系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)異常值的取舍第33頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天差異系數(shù)第34頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天第35頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

1.Z分?jǐn)?shù)

Z分?jǐn)?shù)是最典型的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，它是以原始分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為零點(diǎn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位，表示一個(gè)分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中所處位置的相對(duì)位置量數(shù)。即以標(biāo)準(zhǔn)差為單位來衡量一個(gè)原始分?jǐn)?shù)與平均數(shù)間的差距的數(shù)。

第36頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第37頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：

所有的正態(tài)分布的原始分?jǐn)?shù)都可通過Z=(X－X)/N轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖。所謂正態(tài)分布（常態(tài)分布）是指測(cè)驗(yàn)上分?jǐn)?shù)的次數(shù)分配呈中間集中而逐漸向左右兩端作勻稱分散的鐘形曲線分布（即兩頭小中間大）。如圖所示：第38頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天第39頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。以平均數(shù)為基準(zhǔn)，可將常態(tài)分配曲線分隔成對(duì)等的左右兩半，可看出以平均數(shù)到＋1SD之間所占的比例為34.13%，依次的三段各占13.59%、2.15%和0.12%。平均數(shù)以下所占比例亦是如此。第40頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天

2.T分?jǐn)?shù)

T分?jǐn)?shù)也是一種標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，它是以50為平均數(shù)，以10為標(biāo)準(zhǔn)差來表示的。即T=50＋10Z

3.標(biāo)準(zhǔn)九標(biāo)準(zhǔn)九也是一種標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，它是以5為平均數(shù)，以2為標(biāo)準(zhǔn)差的一種標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。第41頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天各種分?jǐn)?shù)的關(guān)系用圖表示

第42頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天第43頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天往年試題第44頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、集中量數(shù)和差異量數(shù)華東師大19971、眾數(shù)（3分）19981、幾何平均數(shù)（3分）20001．差異系數(shù)是一種相對(duì)差異量。2002