高斯白噪聲平穩(wěn)過程過線性系統(tǒng)

高斯白噪聲平穩(wěn)過程過線性系統(tǒng)高斯白噪聲的性質(zhì):設(shè)n（t）為高斯白噪聲1、自相關(guān)函數(shù)：可見，n(t)只在時才相關(guān)，它在任意兩個時刻上的隨機變量都是互不相關(guān)的2、數(shù)學(xué)期望：E[n（t）]=03、對高斯隨機過程，不相關(guān)和獨立等價高斯白噪聲第2頁,共28頁，2024年2月25日，星期天理想白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)高斯白噪聲第3頁,共28頁，2024年2月25日，星期天4、重要的結(jié)論：白噪聲的平均功率等于噪聲的方差（噪聲均值為零）噪聲的方差是個非常有用的結(jié)果，在通信理論分析中，常常通過求其自相關(guān)函數(shù)或方差來計算噪聲的功率。

高斯白噪聲第4頁,共28頁，2024年2月25日，星期天5、若φ（t）為確定信號，令則X為高斯隨機變量，且數(shù)學(xué)期望=0，方差6、若為確定信號，則X1和X2均為期望為0的高斯隨機過程若則X1和X2不相關(guān)且獨立。

高斯白噪聲第5頁,共28頁，2024年2月25日，星期天平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)設(shè):X(t)為平穩(wěn)隨機過程,線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，X(t)通過線性系統(tǒng)后的輸出為Y（t）。下面,我們研究一下Y（t）的特性：X（t）Y（t）=X（t）*h（t）h（t）第6頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

Y(t)的均值(統(tǒng)計平均)

Y(t)的自相關(guān)函數(shù)

Y(t)的功率譜密度

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度

Y(t)的概率密度平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)第7頁,共28頁，2024年2月25日，星期天平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)第8頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

Y(t)的均值(統(tǒng)計平均)

Y(t)的自相關(guān)函數(shù)

Y(t)的功率譜密度

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度

Y(t)的概率密度平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)第9頁,共28頁，2024年2月25日，星期天平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)第10頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

Y(t)的均值(統(tǒng)計平均)

Y(t)的自相關(guān)函數(shù)

Y(t)的功率譜密度

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度

Y(t)的概率密度平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)第11頁,共28頁，2024年2月25日，星期天平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)第12頁,共28頁，2024年2月25日，星期天由維納-辛欣定理，對上式左右兩端作付氏變換：經(jīng)過系統(tǒng)(傳輸函數(shù)是H(ω))后,X(t)的幅度和相位發(fā)生變化,這里我們只考慮功率,所以不必關(guān)心相位,只看幅度即可.若一個信號經(jīng)過系統(tǒng)后幅度被放大兩倍,則其輸出功率就是輸入功率的四倍.平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)第13頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

Y(t)的均值(統(tǒng)計平均)

Y(t)的自相關(guān)函數(shù)

Y(t)的功率譜密度

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度

Y(t)的概率密度平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)第14頁,共28頁，2024年2月25日，星期天平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)所以，X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)為：X(t)和Y(t)的互功率譜密度為：第15頁,共28頁，2024年2月25日，星期天例：測量一個線性網(wǎng)絡(luò)的單位沖激響應(yīng)h（）將白噪聲記為X（t），其功率譜密度為則平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)h（t）×Ｘ（ｔ）Ｙ（ｔ）第16頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

Y(t)的均值(統(tǒng)計平均)

Y(t)的自相關(guān)函數(shù)

Y(t)的功率譜密度

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度

Y(t)的概率密度平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)第17頁,共28頁，2024年2月25日，星期天幾個結(jié)論：１、若Ｘ（ｔ）是正態(tài)隨機過程，則Ｙ（ｔ）也是正態(tài)隨機過程。２、若Ｘ（ｔ）的帶寬遠大于系統(tǒng)帶寬，則Ｙ（ｔ）的概率密度趨于正態(tài)分布。例如：白噪聲通過一個帶寬有限的帶通系統(tǒng)，輸出為正態(tài)分布的隨機過程求誤碼率的問題：輸入是有用信號（+-1V）疊加高斯白噪聲，功率譜密度為N0/2，經(jīng)過一個帶寬為B的濾波器，求錯判概率平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)第18頁,共28頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)：

Y(t)的均值(統(tǒng)計平均)

Y(t)的自相關(guān)函數(shù)

Y(t)的功率譜密度

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度

Y(t)的概率密度平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)第19頁,共28頁，2024年2月25日，星期天例題1雙邊功率譜密度為N0/2的白噪聲經(jīng)過傳遞函數(shù)為H（f）的濾波器后成為X（t）。若求X（t）的功率譜密度及功率平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)第20頁,共28頁，2024年2月25日，星期天解：X（t）的功率譜密度為X(t)的功率為：平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)第21頁,共28頁，2024年2月25日，星期天例題2已知平穩(wěn)白高斯噪聲的功率譜密度為N0/2,此噪聲經(jīng)過一個沖激響應(yīng)為h(t)的線性系統(tǒng)成為x(t),若已知h(t)的能量為Eh,求x(t)的功率。解：設(shè)h(t)的付氏變換為H（f）則第22頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

隨機過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度Δf<<fc，且fc遠離零頻率的系統(tǒng)。實際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲又是隨機的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機過程。如用示波器觀察一個實現(xiàn)的波形，它是一個頻率近似為fc，包絡(luò)和相位隨機緩變的正弦波。窄帶平穩(wěn)隨機過程第23頁,共28頁，2024年2月25日，星期天窄帶過程的頻譜和波形示意窄帶平穩(wěn)隨機過程第24頁,共28頁，2024年2月25日，星期天1、窄帶隨機過程X(t)的功率譜密度:2、窄帶隨機過程X(t)的表示式：

窄帶平穩(wěn)隨機過程第25頁,共28頁，2024年2月25日，星期天窄帶平穩(wěn)隨機過程第26頁,共28頁，2024年2月25日，星期天窄帶平穩(wěn)隨機過程第27頁,共28頁，2024年2月25日