八年級數(shù)學(xué)下冊16.3二次根式的加減（解析版）

16.3二次根式的加減同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式.注意：(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；

(2)幾個二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號外的因式無關(guān).題型1：同類二次根式1.（2022八下·哈爾濱開學(xué)考）將下列二次根式化為最簡二次根式后，被開方數(shù)與2的被開方數(shù)不同的是（）A．12 B．18 C．50 D．【答案】D【解析】【解答】解：A：12=22與B：18=32，與2C：50=52，與2D：12=23，與2故答案為：D

【分析】利用實數(shù)的運算法則逐個化為最簡二次根式，找出被開方數(shù)與2的被開方數(shù)不同的二次根式。【變式1-1】（2022八上·杏花嶺期中）下列二次根式中，不能與3合并的是（）A．12 B．18 C．27 D．48【答案】B【解析】【解答】解：A、12=23，能與3合并，故此選項不符合題意；B、18=32，不能與C、27=33，能與3合并，故此選項不符合題意；D、48=43，能與3合并，故此選項不符合題意；故答案為：B．【分析】根據(jù)同類二次根式的定義逐項判斷即可。【變式1-2】（2022八上·奉賢期中）下列二次根式中，同類二次根式是（）A．81ab3和3a316bC．a(chǎn)3bc和和bc D．【答案】A【解析】【解答】解：A.81ab3=9bab，3a316b=3×aab4b=3aab4b是同類二次根式；

B.4a2b=2二次根式的加減二次根式的加減實質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進行合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.注意：（1）在進行二次根式的加減運算時，整式加減運算中的交換律、結(jié)合律及去括號、添括號法則仍然適用.（2）二次根式加減運算的步驟：

1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；

2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；

3)合并同類二次根式.題型2：二次根式的加減2一個三角形的三邊長分別為，，，則它的周長為．【分析】運用二次根式加減運算法則，化簡為最簡二次根式即可求解．【解答】解：三角形的周長為：＝2+4+5＝2+9，故答案為：2+9．【變式2-1】計算4﹣+．解：原式=4×﹣3+2=2﹣3+2=．（2）．解：原式=2+3﹣2=．（3）27x-3【答案】解：原式=3【變式2-2】計算：2【答案】解：21=2×=43=63.計算：320【答案】解：3=6=計算18【答案】解：原式=3故答案為2【解析】【分析】利用二次根式的加減運算的計算方法求解即可。計算：23【答案】解：2=2=-計算：12-【答案】解：原式＝2=(＝5-二次根式的混合運算

二次根式的混合運算是對二次根式的乘除及加減運算法則的綜合運用.注意：

(1)二次根式的混合運算順序與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的；

(2)在實數(shù)運算和整式運算中的運算律和乘法公式在二次根式的運算中仍然適用；

(3)二次根式混合運算的結(jié)果要寫成最簡形式.二次根式的混合運算3.（2022八下·安寧期末）計算：（1）6（2）(【答案】（1）解：原式==3=（2）解：原式=3-2-(5-2=1-5+2=2【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合運算的計算方法求解即可；

（2）利用平方差公式和完全平方公式展開，再計算即可?！咀兪?-1】（2022八下·盤龍期末）（1）(248（2）(5【答案】（1）解：(2=(8=6=6（2）解：(==5-3+3+4=9+4（3）計算：（2022八下·沂南期末）計算：23【答案】解：原式==33【解析】【分析】利用二次根式的混合運算的計算方法求解即可?！咀兪?-2】（2022八下·五常期末）計算：（1）12（2）(2【答案】（1）解：原式=23（2）解：原式=248【解析】【分析】（1）利用二次根式的加減乘除法則計算求解即可；

（2）利用二次根式的加減乘除法則計算求解即可。（2022八下·建昌期末）（3）計算：(6【答案】解：原式=6-3-4=3-3=0【解析】【分析】利用二次根式的混合運算的計算方法求解即可。【變式3-3】（2022八下·鞍山期末）計算（1）(45（2）(248【答案】（1）解：(45+18)-2(8（2）解：(248-327)÷6=（83-93）÷6=【解析】【分析】（1）利用二次根式的加減法計算即可；

（2）利用二次根式的混合運算的計算方法求解即可。（2022八下·單縣期末）（3）計算：(27【答案】解：(==2=4=-9．題型4：確定同類二次根式中字母的值4若最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，則a的值是（）A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)＝﹣1 C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)＝﹣2【分析】根據(jù)同類二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由題意可知：a+1＝2a解得：a＝1故選：A．【變式4-1】若最簡二次根式和能合并，則a、b的值分別是（）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【分析】根據(jù)題意得到兩個二次根式是同類二次根式，列出方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值．【解答】解：∵最簡二次根式和能合并，∴，即，①×2+②得：7a＝7，解得：a＝1，把a＝1代入②得：1+2b＝3，解得：b＝1．故選：D【變式4-2】當x＝時，最簡二次根式﹣4與3能夠合并．【分析】根據(jù)同類二次根式能夠合并得出x2﹣1＝x+1，求出方程的解，即可得出答案．【解答】解：∵最簡二次根式﹣4與3能夠合并，∴x2﹣1＝x+1，解得：x1＝2，x2＝﹣1，當x＝2或﹣1時，最簡二次根式﹣4與3能夠合并．故答案為：2或﹣1．題型5：二次根式的化簡與求值5.已知a＋b＝－6，ab＝5，求bba＋aab【答案】解：∵a＋b＝－6，ab＝5，∴a＜0，b＜0.∴原式=a=-26【解析】【分析】首先對每一項根式進行分母有理化進行化簡，然后通分，進行分式的加法運算，再用對分母提取公因式后，運用配方法對提取公因式后的分母進行整理，最后再入求值即可.【變式5-1】已知求的值?！敬鸢概c解析】所以原式=【變式5-2】已知a=12-3，b=12+【答案】解：a=2+3，b=2﹣3ab-ba=（2+3）（2+3）﹣（2﹣3）（2﹣3）=[（2+3）+（2﹣3）][（2+3）﹣（2﹣3）]=4×23=83【解析】【分析】首先對a，b的值進行分母有理化，然后根據(jù)ab-ba=a?題型6：代數(shù)式的大小比較6.（2021八下·龍灣期中）比較大?。?5+613【答案】＜【解析】【解答】解：由題意得15+62=21+180≈34.4，

13+72=20+364≈39.1，

∴15+62<13【變式6-1】已知x=2011-2012，y=2012-【答案】x＜y【解析】【解答】解：∵x=2011-2012，y=∴x=﹣（2012-2011）=﹣12012+2011∴﹣x=12012+2011∵12012+2011＞122012∴﹣y<1∴﹣y＜﹣x，∴x＜y．故答案為：x＜y．題型7：二次根式的規(guī)律探究題7.（2022八下·上林期末）觀察下列各式：11+2=2-1，……，A．2022-1 B．2022+1 C．2021-1【答案】A【解析】【解答】解：∵11+12……1n∴原式=2-1+3-故答案為：A.【分析】將各個加數(shù)分母有理化，則待求式可變形為2-1+【變式7-1】（2021八下·西城期末）在學(xué)習(xí)二次根式的過程中，小騰發(fā)現(xiàn)有一些特殊無理數(shù)之間具有互為倒數(shù)的關(guān)系例如：由（2＋1）（2﹣1）＝1，可得2＋1與2﹣1互為倒數(shù)，即12+1＝2﹣1，12-1＝2＋1，類似地，13+2＝3﹣2，13-2＝3＋根據(jù)小騰發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問題：（1）16+5＝，1（2）若122+m＝22（3）計算：12+1+【答案】（1）6-5（2）±（3）9【解析】【解答】解：（1）因為(6+5)(6因為(n+1+n（2）∵122+m∴(2∴(2∴(2∴m2∴m=±7（3）1==-1+==9．故答案為：（1）6-5；n+1-

【分析】（1）利用題中等式變形的規(guī)律求解即可；

（2）先變形為(22+m【變式7-2】（2021八下·濱城期中）觀察下列各式：12+1=2-1，13【答案】2020【解析】【解答】解：第1個等式為：12第2個等式為：13第3個等式為：14歸納類推得：第n個等式為：1n+1∴(1=(2=(2021=2021-1，=2020，故答案為：2020．題型8：二次根式與實際應(yīng)用8.．站在水平高度為h米的地方看到可見的水平距離為d米，它們符合公式為d=8h5【答案】解：登山者看到的原水平線的距離為d1=8hd【解析】【分析】由題中的d、h之間的關(guān)系，由h變?yōu)?h，代入式子，可求出水平線的距離倍數(shù).【變式8-1】二次根式的乘法在生活和高科技領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用．如圖，在“神州八號”中要將某一部件的一個長方形變化成等面積的一個圓形，已知長方形的長是140πcm，寬是35πcm，那么圓的半徑應(yīng)是多少？【答案】解：S長方形=140π?35π=70π，S圓=πR2=70π，∴R=70，即圓的半徑為70cm．【解析】【分析】先求出長方形的面積，然后根據(jù)圓形和長方形的面積相等，利用圓的面積公式求出圓的半徑．【變式8-2】如圖，在長方形ABCD中無重疊放人面積分別為16cm2和A．(-12+83)cmC．(8-43)cm【答案】A【解析】【解答】解：∵兩張正方形紙片的面積分別為16cm2和12cm2，

∴它們的邊長分別為16=4cm，12=23cm，

∴AB=4cm，BC=23+4cm，

解法一：∴空白部分的面積

=23+4×4-12-16=83【變式8-3】如圖，面積為48cm2的正方形四個角是面積為3cm2的小正方形，現(xiàn)將四個角剪掉，制作一個無蓋的長方體盒子，求這個長方體的底面邊長和高分別是多少？（精確到0.1cm，3≈【答案】解：設(shè)大正方形的邊長為xcm，小正方形的邊長為ycm，則：x2=48，y2=3∴x=43，y=3∴這個長方體的底面邊長為：x-2y=43【解析】【分析】已知大正方形的面積和小正方形的面積，可用二次根式表示兩個正方形的邊長，從而可求這個長方體的底邊長和高．一、單選題1．（2022八下·東川期末）下列運算正確的是（）A．5-2=3 B．35+2【答案】D【解析】【解答】解：A、5-B、35C、5?D、62故答案為：D．【分析】利用二次根式的加減法和二次根式的乘除法逐項判斷即可。2．（2020八上·福田期末）設(shè)n為正整數(shù)，且n<65<n+1，則A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)題意可知，64＜65＜81

∴8＜65＜9

∵n為正整數(shù)

∴n=8故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意，由二次根式的值，估算得到n的值即可。3．（2022八上·閔行期中）下列各組二次根式中，屬于同類二次根式的是（）A．33與6 B．8與2 C．-13與23 【答案】B【解析】【解答】解：A.33和6B.8=22和C.-13=-D.4a=2a和故答案為：B．【分析】將二次根式化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式，據(jù)此判斷即可.4．（2023九上·萬州期末）估算(25A．6至7 B．5至6 C．4至5 D．3至4【答案】B【解析】【解答】解：∵(25+52∴5＜2+10＜6，即故答案為：B.【分析】根據(jù)二次根式的混合運算法則可得原式=2+10，根據(jù)估算無理數(shù)大小的方法可得3＜10＜4，據(jù)此解答.5．（2022八下·龍游月考）定義運算“★”：對于任意實數(shù)a，b，都有a★b=a2+b2．若x+2+A．0 B．22 C．25【答案】B【解析】【解答】解：∵x+2+y2-4y+4=0，

∴x+2+（y-2）2=0，

∴x=-2，y=2，

∴x★y=（-2）2+22=226．（2022八下·香河月考）如圖，在長方形ABCD中無重疊放入面積分別為8和16的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（）A．82-8 B．83-12 C．【答案】A【解析】【解答】解：由已知可得：長方形ABCD的長為16+∴長方形ABCD的面積為4(4+2∴空白部分的面積為：16+8故答案為：A．

【分析】先求出長方形的長和寬，再利用割補法求出空白部分的面積即可。二、填空題7．（2021·南京一模）計算3×（12－3）的結(jié)果是.【答案】3【解析】【解答】3===6-3=3.故答案為：3.

【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則化簡即可求解.8．（2020·香坊模擬）計算18-8的結(jié)果為【答案】2【解析】【解答】解：原式=32-22=2．

故答案為2．【分析】先把18和8化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式．9．（2020八上·金山期中）若最簡二次根式a-13與2b+1是同類二次根式，則b【答案】8【解析】【解答】解：∵最簡二次根式a-13與2∴a-1=2，b+1=3，∴a=3，b=2，∴ba=2故答案為：8．

【分析】根據(jù)同類二次根式的定義可得：a-1=2，b+1=3，求出a和b再代入計算即可。10．（2020九上·嵩縣期末）已知實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(a+c)2-|b+c|=【答案】﹣a+b【解析】【解答】解：由圖可知：a＜b＜0＜c，而且|a|>|b|>|c|，∴a+c＜0，b+c<0，∴(a+c)2故答案為：-a+b.【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c的正負情況以及絕對值的大小，然后根據(jù)絕對值和二次根式的性質(zhì)去掉根號和絕對值號，再進行計算即可得解.11．（2020七下·防城港期中）計算：3（3+13）=【答案】4【解析】【解答】解：原式=3×3+×1=3+1=4.故答案為：4.【分析】根據(jù)單項式乘以多項式的法則去括號，進而根據(jù)二次根式的乘法法則及除法法則計算，最后根據(jù)有理數(shù)的加減法算出結(jié)果.三、計算題12．（2022八下·余杭期中）計算：（1）24-（2）51【答案】（1）解：原式＝26﹣2×3＝26﹣6＝6（2）解：原式＝5﹣25+35＝25【解析】【分析】（1）第一項利用二次根式的性質(zhì)化簡，第二項利用二次根式的乘法法則計算，進而再合并同類二次根式即可；

（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，將各個二次根式化為最簡二次根式，再合并即可.13．（2021八上·北鎮(zhèn)期中）計算：（1）38﹣（π﹣3.14）0+|2（2）18﹣418﹣2（2（3）（25-7）（25+7【答案】（1）解：原式=2-1+2-2（2）解：原式=32（3）解：原式=20-7-5+65【解析】【分析】（1）先利用立方根、0指數(shù)冪和絕對值的性質(zhì)化簡，再計算即可；

（2）