上海新南中學高三數(shù)學理月考試題含解析

上海新南中學高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)＞

B．－12＜a≤0

C．－12＜a＜0

D．a(chǎn)≤參考答案：B略2.已知關于x的函數(shù)f（x）=x2﹣2，若點（a，b）是區(qū)域內(nèi)的隨機點，則函數(shù)f（x）在R上有零點的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】幾何概型．【分析】根據(jù)條件求出函數(shù)有零點的取值范圍，利用幾何概型的概率公式，求出相應的面積即可得到結論．【解答】解：若函數(shù)f（x）在R上有零點，則滿足判別式△=4b﹣4a2≥0，即b＞a2區(qū)域的面積S==18，由，解得x=2，y=4，即（2，4），則函數(shù)f（x）在R上有零點，區(qū)域的面積S===，∴根據(jù)幾何概型的概率公式可知函數(shù)f（x）在R上有零點的概率為，故選：B．3.已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（）A．2

B．

C.

D．參考答案：C4.已知F1、F2分別是橢圓：的左、右焦點，若橢圓C上存在點A，滿足，則橢圓的離心率取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D5.在區(qū)間內(nèi)隨機取出一個數(shù)a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率為（）A．B．C．D．參考答案：D【考點】幾何概型．【分析】由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出關于參數(shù)a的不等式，解之求得a的范圍，再由幾何的概率模型的知識求出其概率．【解答】解：由題意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2，由幾何概率模型的知識知，總的測度，區(qū)間的長度為6，隨機地取出一個數(shù)a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}這個事件的測度為3，故區(qū)間內(nèi)隨機地取出一個數(shù)a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率為，故選：D．6.已知是兩個向量集合，則A．｛〔1，1〕｝

B.｛〔-1，1〕｝

C.｛〔1，0〕｝

D.｛〔0，1〕｝參考答案：A7.已知2sin2α＝1＋cos2α，則tan2α＝（）A. B. C.或0 D.或0參考答案：D試題分析：把的兩邊平方得，整理可得，即，所以，解得或，當時，；當時，，所以或，故選D.考點：三角函數(shù)的基本關系式及三角函數(shù)的化簡求值.8.執(zhí)行右面的框圖，若輸出結果為3，則可輸入的實數(shù)值的個數(shù)為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C本程序為分段函數(shù)，當時，由得，，所以。當時，由，得。所以滿足條件的有3個，選C.9.已知集合，，若，則下列說法中錯誤的是………………（

）A．都不大于1

B．至多一個大于1C．至少一個小于1

D．不都小于1參考答案：答案：D10.已知數(shù)列{an}的通項公式,則=(

)A.2012

B.2013

C.2014

D.2015參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有種

．參考答案：每個城市投資個項目有種，有一個城市投資個有種，投資方案共種．12.若復數(shù)，(i為虛數(shù)單位)，則＝

。參考答案：513.已知，則的值為 參考答案：略14.在（1+x）?（1+2x）5的展開式中，x4的系數(shù)為（用數(shù)字作答）參考答案：160【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)（1+x）?（1+2x）5的展開式中，含x4的項是第一個因式取1和x時，后一個因式應取x4和x3項，求出它們的系數(shù)和即可．【解答】解：在（1+x）?（1+2x）5的展開式中：當?shù)谝粋€因式取1時，則后一個因式取含x4的項為24?x4=80x4；當?shù)谝粋€因式取x時，則后一個因式取含x3的項為23?x3=80x3；所以展開式中x4的系數(shù)為：80+80=160．故答案為：160．【點評】本題考查了二項式定理的應用問題，是基礎題目．15.口袋中有個白球，3個紅球，依次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么繼續(xù)取球且取出的紅球不放回；如果取到白球，就停止取球．則取球次數(shù)的數(shù)學期望為

．參考答案：16.方程的曲線即為函數(shù)的圖像，對于函數(shù)，有如下結論：①在R上單調(diào)遞減；②函數(shù)不存在零點；③函數(shù)的值域是R；④若函數(shù)和的圖像關于原點對稱，則函數(shù)的圖像就是方程確定的曲線.其中所有正確的命題序號是

.

【知識點】函數(shù)的圖像與性質(zhì)參考答案：①②③解析：根據(jù)題意畫出方程的曲線即為函數(shù)的圖象，如圖所示．軌跡是兩段雙曲線的一部分加上一段的橢圓圓弧組成的圖形

從圖形中可以看出，關于函數(shù)的有下列說法：

①在R上單調(diào)遞減；正確．

②由于即，從而圖形上看，函數(shù)的圖象與直線沒有交點，故函數(shù)不存在零點；正確．③函數(shù)的值域是R；正確．③函數(shù)的值域是R；正確.

④根據(jù)曲線關于原點對稱的曲線方程的公式，可得若函數(shù)和的圖象關于原點對稱，則用分別代替，可得就是表達式，可得，則的圖象對應的方程是，說明④錯誤

其中正確的個數(shù)是3．【思路點撥】根據(jù)題意畫出方程的曲線即為函數(shù)的圖象，如圖所示．軌跡是兩段雙曲線的一部分加上一段的橢圓圓弧組成的圖形．從圖形中可以看出，關于函數(shù)的結論的正確性．17.如右圖，在△ABC中，AB=AC=2，BC=，點D在BC

邊上，∠ADC=，則AD的長為

參考答案：在△ABC中，因為AB=AC=2，BC=，所以，又∠ADC=，所以∠DAC=，所以CD=AC=2，所以由余弦定理得：，所以AD=。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設角A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且m⊥n.(1)求角C的大?。?2)若向量s＝(0，－1)，t＝，試求|s＋t|的取值范圍．參考答案：(1)由題意得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB，由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，再由余弦定理得cosC＝＝．因為0<C<π，所以C＝．(2)因為s＋t＝＝(cosA，cosB)，所以|s＋t|2＝cos2A＋cos2B＝cos2A＋cos2＝＋＝cos2A－sin2A＋1＝－sin＋1.因為0<A<，所以－<2A－<，則－<sin≤1，所以≤|s＋t|2<，故≤|s＋t|<．19.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：萬元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）滿足函數(shù)關系式C=3+x，每日的銷售額S（單位：萬元）與日產(chǎn)量x的函數(shù)關系式S=，已知每日的利潤L=S﹣C，且當x=2時，L=3．（1）求k的值；（2）當日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值．參考答案：【考點】基本不等式在最值問題中的應用；函數(shù)模型的選擇與應用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用；不等式的解法及應用．【分析】（1）利用每日的利潤L=S﹣C，且當x=2時，L=3，可求k的值；（2）利用分段函數(shù)，分別求出相應的最值，即可得出函數(shù)的最大值．【解答】解：由題意，每日利潤L與日產(chǎn)量x的函數(shù)關系式為y=…（1）當x=2時，L=3，即：…∴k=18…（2）當x≥6時，L=11﹣x為單調(diào)遞減函數(shù)，故當x=6時，Lmax=5…當0＜x＜6時，…當且僅當，即x=5時，Lmax=6…（13分）綜合上述情況，當日產(chǎn)量為5噸時，日利潤達到最大6萬元．…（14分）【點評】本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)的解析式是關鍵．20.（12分）（2014?黑龍江）設F1，F(xiàn)2分別是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N．（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．參考答案：【考點】橢圓的應用．

【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（1）根據(jù)條件求出M的坐標，利用直線MN的斜率為，建立關于a，c的方程即可求C的離心率；（2）根據(jù)直線MN在y軸上的截距為2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程組關系，求出N的坐標，代入橢圓方程即可得到結論．【解答】解：（1）∵M是C上一點且MF2與x軸垂直，∴M的橫坐標為c，當x=c時，y=，即M（c，），若直線MN的斜率為，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，則，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由題意，原點O是F1F2的中點，則直線MF1與y軸的交點D（0，2）是線段MF1的中點，設M（c，y），（y＞0），則，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位線，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，則|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即設N（x1，y1），由題意知y1＜0，則（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入橢圓方程得，將b2=4a代入得，解得a=7，b=．【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，利用條件建立方程組，利用待定系數(shù)法是解決本題的關鍵，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．21.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣x，g（x）=ax2﹣a（x+1）（其中a∈R），令h（x）=f（x）﹣g（x）．（1）當a＞0時，求函數(shù)y=h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當a＜0時，若f（x）＜g（x）在x∈（0，﹣a）上恒成立，求a的最小整數(shù)值．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計算題；分類討論；分類法；導數(shù)的概念及應用．【分析】（1）求導，分別判斷導函數(shù)在定義域上各區(qū)間的符號，可得函數(shù)y=h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）①當﹣=1，即a=﹣1時，f（x）＜g（x）恒成立；②當﹣＞1，即﹣1＜a＜0時，f（x）＜g（x）恒成立；當﹣1＜＜0，即a＜﹣1時，考慮h（﹣a）＜0時，a的取值，進而可得答案．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x﹣ax2+a（x+1），h′（x）=﹣1﹣ax+a=（1﹣x）（+a），∵a＞0，∴+a＞0，∴當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0；故函數(shù)y=h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；（2）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x﹣ax2+a（x+1），h′（x）=﹣1﹣ax+a=，令h′（x）=0，則x=1，x=﹣，①當﹣=1，即a=﹣1時，h′（x）＞0在x∈（0，1）上恒成立，則h（x）在x∈（0，1）上為增函數(shù)，h（x）＜h（1）=﹣＜0，∴f（x）＜g（x）恒成立；②當﹣＞1，即﹣1＜a＜0時，h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，此時0＜﹣a＜1，故h（x）在（0，﹣a）上是增函數(shù)，h（x）＜h（﹣a）＜h（1）=﹣1＜0，解得：a＜∴﹣1＜a＜0時，f（x）＜g（x）恒成立；③當﹣1＜＜0，即a＜﹣1時，故h（x）在（0，﹣）上是增函數(shù)，在（﹣，1）上是減函數(shù)，在（1，﹣a）是增函數(shù)；由===＜0，故只需考慮h（﹣a）＜0，∵h（﹣a）==＜0，下面用特殊整數(shù)檢驗，若a=﹣2，則h（2）=ln2+4﹣8=ln2﹣4＜0若a=﹣3，則h（3）=ln3+﹣15=ln3﹣＜0若a=﹣4，則h（4）=ln4+32﹣24=ln4+8＞0令u（x）=，則u′（x）=，當x≤﹣4時，u′（x）＜0恒成立，此時u（x）為減函數(shù)，故u（x）≥u（4）＞0再由a≤﹣4時，ln（﹣a）＞0，故a≤﹣4時，h（﹣a）＞0恒成立，綜上所述，使f（x）＜g（x）在x∈（0，﹣a）上恒成立的a的最小整數(shù)值為﹣3．【點評】本題考查的知識點是導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒成立問題，存在性討論，分類討論思想，難度較大，屬于難題．22.已知函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝x＋lnx，其中a＞0.(1)若x＝1是函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)的極值點，求實數(shù)a的值；(2)若對任意的x1，x2∈1，e(e為自然對數(shù)的底數(shù))都有f(x1)≥g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)∵h(x)＝2x＋＋lnx，其定義域為(0，＋∞)，∴h′(x)＝2－＋，∵x＝1是函數(shù)h(x)的極值點，∴h′(1)＝0，即3－a2＝0.∵a＞0，∴a＝．經(jīng)檢驗當a＝時，x＝1是函數(shù)h(x)的極值點，∴a＝．(2)對任意的x1，x2∈1，e都有f(x1)≥g(x2)成立等價于對任意的x1，x2∈1，e，都有f(x)min≥g(x)max.當x∈1，e時，g′(x)＝1＋＞0.∴函數(shù)g(x)＝x＋lnx在1，e上是增函數(shù)，∴g(x)max＝g(e)＝e＋1.∵f′(x)＝1－＝，且x∈1，e，a＞0.①當0＜a＜1且x∈1，e時