2015年中考試題分類匯編相似三角形

2015年相似三角形中考匯編

1、（2013?昆明）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,B重合），對角線AC,

BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)P分別作AC,BD的垂線，分別交AC,BD于點(diǎn)E,F,交AD,BC于點(diǎn)

M,N.下列結(jié)論：

①4APE名△AME；②PM+PN=AC；（3）PE2+PF2=PO2；（4）APOF-△BNF；⑤當(dāng)△PMN-△AMP

時(shí),，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn).

其中正確的結(jié)論有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)

分析：依據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷△APM和^BPN以及

△APE、ABPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷.

解答：解：四邊形ABCD是正方形，

ZBAC=ZDAC=45°.

在^APE^IlAAME中，

，ZBAC=ZDAC

<AE=AE>

ZAEP=ZAEM

△APE空△AME,故①正確；

PE=EM具PM,

2

同理，F(xiàn)P=FN=3NP.

2

???正方形ABCD中AC±BD,

又PE_LAC,PF_LBD,

ZPEO=ZEOF=NPFO=90°,且仆APE中AE=PE

四邊形PEOF是矩形.

PF=OE,

PE+PF=OA,

又；PE=EM=3PM,FP=FN=1NP,OA=1AC,

222

PM+PN=AC,故②正確；

四邊形PEOF是矩形，

r.PE=OF,

在直角AOPF中，OF2+PF2=PCJ2,

PE2+PF2=PO2,故③正確.

???ABNF是等腰直角三角形，而^POF不一定是，故④錯(cuò)誤；

△AMP是等腰直角三角形，當(dāng)△PMN-△AMP0寸，△PMN是等腰直角三角形.

PM=PN,

又?；△AMP和小BPN都是等腰直角三角形，

..AP=BP,即P時(shí)AB的中點(diǎn).故⑤正確.

故選B.

點(diǎn)評：本題是正方形的性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理得綜合應(yīng)用，認(rèn)識AAPM和ABPN以

及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形是關(guān)鍵.

2、(2013?新疆)如圖，RJABC中，ZACB=90",ZABC=60°,BC=2cm,D為BC的中點(diǎn)，若

動(dòng)點(diǎn)E以lcm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AfBfA的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(03

<6),連接DE,當(dāng)ABDE是直角三角形時(shí)，t的值為()

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)：含30度角的直角三角形.

專題：動(dòng)點(diǎn)型.

分析：由RtAABC中，ZACB=90",NABC=60。，BC=2cm,可求得AB的長，山D為BC

的中點(diǎn)，可求得BD的長，然后分別從若NDBE=90。與若NEDB=90。時(shí)，去分析求解

即可求得答案.

解答：解：丫Rt4ABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,BC=2cm,

AB=2BC=4(cm),

vBC=2cm,D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E以lcm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，

BD=BC=I(cm),BE=AB-AE=4-t(cm),

若NDBE=90°,

當(dāng)AfB時(shí)，.?NABC=60°,

ZBDE=30°,

BE=BD=(cm),

t=3.5,

當(dāng)B今A時(shí)，t=4+0.5=4.5.

若NEDB=90°時(shí)，

當(dāng)A->B時(shí)，?/ZABC=60°,

??.ZBED=30°,

BE=2BD=2(cm),

t=4-2=2,

當(dāng)BfA時(shí)，t=4+2=6(舍去).

綜上可得：t的值為2或3.5或4.5.

故選D.

點(diǎn)評：此題考查了含30。角的宜角三角形的性質(zhì).此題屬于動(dòng)點(diǎn)問題，難度適中，注意掌握

分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3、（2013?新疆）如圖，△ABC中，DEHBC,DE=1,AD=2,DB=3,則BC的長是（）

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：根據(jù)DEHBC,證明△ADE”△ABC,然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例求得BC的長度.

解答：解：丫DEIIBC,

AADE-AABC,

則幽&,

DEBC

?；DE=1,AD=2,DB=3,

AB=AD+DB=5,

BC=2二.

22

故選C.

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),難度一般，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行證明

△ADE~△ABC.

4、（2013?內(nèi)江）如圖，在nABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD,且AE、BD交于點(diǎn)F,SADEF：

C.3：5D.3：2

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

分析：先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEF-△BAF,再根據(jù)

DEFAABF

SA：S=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質(zhì)即可求出DE：

EC的值，由AB=CD即可得出結(jié)論.

解答：解：四邊形ABCD是平行四邊形，

ABHCD,

ZEAB=ZDEF,ZAFB=ZDFE,

△DEF~△BAF,

,?*SADEF：SAAB尸4：25,

DE：AB=2：5,

???AB=CD,

DE：EC=2：3.

故選B.

點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形邊長的

比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵.

5、（2013?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6,AD=9,NBAD的平分線交BC于E,

交DC的延長線于F,BG_LAE于G,BG=4&,則△EFC的周長為（）

A.11B.10C.9D.8

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì).

分析：判斷出AADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的長度，繼而得到EC的長

度，在RSBGE中求出GE,繼而得到AE,求出△ABE的周長，根據(jù)相似三角形的

周長之比等于相似比，可得出△EFC的周長.

解答：解：?.?在。ABCD中，AB=CD=6,AD=BC=9,NBAD的平分線交BC于點(diǎn)E,

ZBAF=ZDAF,

,/ABHDF,ADIIBC,

ZBAF=ZF=ZDAF,ZBAE=ZAEB,

/.AB=BE=6,AD=DF=9,

△ADF是等腰三角形，AABE是等腰三角形，

???ADIIBC,

△EFC是等腰三角形，且FC=CE,

EC=FC=9-6=3,

在AABG中，BG±AE,AB=6,BG=4^,

AG=VAB2-BG^2,

AE=2AG=4,

△ABE的周長等于16,

又?：△CEF-&BEA,相似比為1：2,

ACEF的周長為8.

點(diǎn)評：本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握相似三角形的

周長之比等于相似比，此題難度較大.

6、（2013?雅安）如圖，在。ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F,若AE：BE=4：3,且BF=2,

則DF=M..

—3-

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，可得ABHCD,AB=CD,繼而可判定△BEF-△DCF,

根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得BF：DF=BE：CD問題得解.

解答：解：.??四邊形ABCD是平行四邊形，

ABHCD,AB=CD,

-1?AE：BE=4：3,

BE：AB=3：7,

BE：CD=3：7.

ABHCD,

△BEF-△DCF,

/.BF：DF=BE：CD=3：7,

即2：DF=3：7,

DF=H

3

故答案為：14

3

點(diǎn)評：此題考查「相似三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì).此題比較簡單，解題的關(guān)

鍵是根據(jù)題意判定△BEF-"DCF,再利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求解.

7、（2013?雅安）如圖，DE是△ABC的中位線，延長DE至F使EF=DE,連接CF,則SACEF：S

C.1：4D.2：5

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.

分析：先利用SAS證明△ADES△CFE（SAS）,得出SAADE=SACFE，再由DE為中位線，

判斷AADEs△ABC,且相似比為1：2,利用相似三角形的面積比等于相似比，得

至IISAADE：SAABC=1：4,貝|JSAADE：S四邊形BCED=1：3,進(jìn)而得出SACEF：S四邊形BCED=1：

3.

解答：解：丁DE為AABC的中位線，

AE=CE.

在4ADE^ACFE中，

'AE=CE

，ZAED=ZCEF，

DE=FE

，△ADE合ACFE（SAS）,

SAADE=SACFE.

DE為△ABC的中位線，

△ADE-AABC,且相似比為1：2,

SAADE：S&ABC=1：4,

SAADE+S四邊脛BCED=SAABC>

■'-SAADE：S四邊形BCED=1：3，

SACEF：S四邊形BCED=1：3.

故選A.

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理.關(guān)鍵是利用

中位線判斷相似三角形及相似比.

8、（2013聊城）如圖，D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，已知AB=4,AD=2.ZDAC=ZB,若△ABD

的面積為a,則AACD的面積為（）

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：首先證明^ACD”ABCA,由相似三角形的性質(zhì)可得：AACD的面積：△ABC的面積為1：

4,因?yàn)锳ABD的面積為a,進(jìn)而求出△ACD的面積.

解答：解：：NDAC=NB,ZC=ZC,

△ACD-△BCA,

???AB=4,AD=2,

△ACD的面積：△ABC的面積為1：4,

二AACD的面積：△ABD的面積=1：3,

???△ABD的面積為a,

...△ACD的面積為a,

故選C.

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方，是中考常

見題型.

9、（2013荷澤）如圖，邊長為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為Si，

S2,則S1+S2的值為（）

A.16B.17C.18D.19

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

專題：計(jì)算題.___

分析：由圖可得，Si的邊長為3,由AC=?BC,BC=CE=?CD,可得AC=2CD,CD=2,EC=2后;

然后，分別算出Si、S2的面積，即可解答.

解答：解：如圖，設(shè)正方形S2的邊長為x,_

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，AC=&x,x=?CD,

AC=2CD,CD==2,

EC2=22+22,即EC=2V2;

2

S2的面積為EC=2A/2X2亞=8；

?「Si的邊長為3Si的面積為3x3=9,

SI+S2=8+9=17.

故選B.

52

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了學(xué)生的讀圖能力.

10、（2013?孝感）如圖，在4ABC中，AB=AC=a,BC=b(a>b).在小ABC內(nèi)

依次作NCBD=ZA,ZDCE=ZCBD,ZEDF=ZDCE.則EF等于()

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).

分析：依次判定△ABC”△BDd△CDE-△DFE,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例的知

識，可得出EF的長度.

解答：解：丫AB=AC,

，ZABC=ZACB,

又丫ZCBD=NA,

△ABC-ABDC,

同理可得：△ABC-aBDC-△CDE-ADFE,

AB=BC,CD=DE,EF=DE,

BCCD'BDCD'DECE,

,2,3,4

解得：CD=^,DE=旦，EF=-5—

A23

“aa

故選C.

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，本題中相似三角形比較容易找到，難點(diǎn)在于根

據(jù)對應(yīng)邊成比例求解線段的長度，注意仔細(xì)對應(yīng)，不要出錯(cuò).

11、（2013?宜昌）如圖，點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)分別是（1,7）,（1,1）,（4,1）,（6,1）,以C,

D,E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是（）

考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

分析：根據(jù)相似三角形的判定：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似即可判斷.

解答：解：△ABC中，ZABC=90",AB=6,BC=3,AB：BC=2.

A、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6,0）時(shí)，ZCDE=90°,CD=2,DE=1,則AB：BC=CD：DE,

△CDE-△ABC,故本選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6,3）時(shí)，ZCDE=90",CD=2,DE=2,則AB：BOCD：DE,

△CDE與△ABC不相似，故本選項(xiàng)符合題意；

C、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6,5）時(shí)，ZCDE=90°,CD=2,DE=4,則AB：BC=DE：CD,

AEDC-△ABC,故本選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4,2）時(shí)，ZECD=90",CD=2,CE=1,則AB：BC=CD：CE,

△DCE-&ABC,故本選項(xiàng)不符合題意;

故選B.

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定，難度中等.牢記判定定理是解題的關(guān)鍵.

⑵（2013?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB,GHMN都是正方形

的花鬧.已知自由飛翔的小鳥，將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（）

A.17B.C.17D.17

3223638

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)；幾何概率.

分析：求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥在花圃上的概率：

解答：解：設(shè)正方形的ABCD的邊長為a,

則BF=BC=,AN=NM=MC=a,

???陰影部分的面積為()2+(a)2=lZa2,

36

172

小鳥在花圃上的概率為竺一=與

a236

故選C.

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)及幾何概率，關(guān)鍵是表示出大正方形的邊長，從而表示出兩

個(gè)陰影正方形的邊長，最后表示出面積.

13、(2013?恩施州)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O,E為OD的中點(diǎn),

連接AE并延長交DC于點(diǎn)F,則DF：FC=()

C.2：3D.1：2

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

分析：首先證明△DFE-ABAE,然后利用對應(yīng)變成比例，E為OD的中點(diǎn)，求出DF：AB

的值，又知AB=DC,即可得出DF：FC的值.

解答：解：在平行四邊形ABCD中，ABIIDC,

則△DFE-△BAE,

.DE_DE

ABKB,

???o為對角線的交點(diǎn)，

DO=BO,

又???￡為OD的中點(diǎn)，

DE」DB,

4

貝ijDE：EB=1：3,

DF：AB=1：3,

???DC=AB,

DF：DC=1：3,

DF：FC=1：2.

故選D.

D

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，難度適中，解答本題的

關(guān)鍵是根據(jù)平行證明△DFE，△BAE,然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例求值.

14、（9-2圖形的相似?2013東營中考）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是6和8,另一個(gè)

與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及x,那么x的值（）

A.只有1個(gè)B.可以有2個(gè)C.可以有3個(gè)D.有無數(shù)個(gè)

10.B.解析：當(dāng)直角邊為6,8時(shí)，且另一個(gè)與它相似的直角三角形3,4也為直角邊時(shí)，x的值為5,

當(dāng)8,4為對應(yīng)邊且為直角三角形的斜邊時(shí)，x的值為、），故x的值可以為5或J7.兩種情況。

15、（2013?鄂州）如圖，RtAABC中，ZA=90°,ADJLBC于點(diǎn)D,若BD：CD=3：2,則tanB=

C.5/5D.5/5

~2~3

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.

分析：首先證明△ABD-△ACD,然后根據(jù)BD：CD=3：2,設(shè)BD=3x,CD=2x,利用對應(yīng)

邊成比例表示出AD的值，繼而可得出tanB的值.

解答：解：在RtAABC中，

???AD_LBC于點(diǎn)D,

ZADB=ZCDA,

???ZB+ZBAD=90°,ZBAD+DAC=90",

ZB=ZDAC,

J.AABD-△ACD,

.AB=AD

"ADDC'

「BD：CD—3：2,

設(shè)BD=3x,CD=2x,

AD=43X?2X=V^X,

貝ijtanB=M=返^返

BD3x3

故選D.

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，難度一般，解答本題的

關(guān)鍵是根據(jù)垂直證明三角形的相似，根據(jù)對應(yīng)變成比例求邊長.

16、（2013?綏化）如圖，點(diǎn)A,B,C,D為上的四個(gè)點(diǎn)，AC平分NBAD,AC交BD于點(diǎn)E,

CE=4,CD=6,則AE的長為（）

A.4B.5

考點(diǎn)：圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系：相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：根據(jù)圓周角定理NCAD=NCDB,繼而證明△ACD”△DCE,設(shè)AE=x,則AC=x+4,

利用對應(yīng)邊成比例，可求出x的值.

解答：解：設(shè)AE=x,則AC=x+4,

???AC平分NBAD,

ZBAC=NCAD,

ZCDB=ZBAC（圓周角定理），

ZCAD=ZCDB,

，△ACD-△DCE,

.CD_ACBIJ6_x+4

CEDC46

解得：x=5.

故選B.

點(diǎn)評：本題考杏了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得出

ZCAD=ZCDB,證明△ACD-△DCE.

17、（2013?牡丹江）如圖，在△ABC中NA=60。，BM_LAC于點(diǎn)M,CN_LAB于點(diǎn)N,P為BC

邊的中點(diǎn)，連接PM,PN,則下列結(jié)論：①PM=PN；②純金：③APMN為等邊三角形；④

_ABAC

當(dāng)NABC=45。時(shí)，BN=&PC.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線.

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確：

先證明△ABM?！鰽CN,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可判斷②正確；

先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出/ABM=NACN=30。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角

和定理求出NBCN+NCBM=60。，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)

內(nèi)角的和求出NBPN+ZCPM=120。，從而得到NMPN=60。，又由①得PM=PN,根據(jù)

有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確；__

當(dāng)NABC=45。時(shí)，NBCN=45。，由P為BC邊的中點(diǎn)，得出BN=、用PB=J，PC,判斷

④正確.

解答：解：①BM_LAC于點(diǎn)M,CN_LAB于點(diǎn)N,P為BC邊的中點(diǎn)，

PMJBC,PNJBC,

22

PM=PN,正確；

②在△ABM與△ACN中，

ZA=NA,ZAMB=NANC=90。，

△ABM-△ACN,

理要，正確；

AB-AC

③,「NA=60。，BM_LAC于點(diǎn)M,CNJLAB于點(diǎn)N,

ZABM=ZACN=30°,

在AABC中，ZBCN+ZCBM=180°-60°-30ox2=60",

?.,點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，BM_LAC,CN±AB,

PM=PN=PB=PC,

ZBPN=2ZBCN,ZCPM=2ZCBM,

ZBPN+ZCPM=2(ZBCN+ZCBM)=2x60°=120°,

ZMPN=60°,

△PMN是等邊三角形，正確；

④當(dāng)NABC=45°時(shí)，；CN_LAB于點(diǎn)N,

ZBNC=90。，ZBCN=45。，

BN=CN,

P為BC邊的中點(diǎn)，

PNJLBC,△BPN為等腰直角三角形

BN=A/2PB=V2PC,正確.

故選D.

點(diǎn)評：本題主?？疾榱酥苯侨切?0。角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，相似三角形、

等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，仔細(xì)分析

圖形并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18、(2013哈爾濱)如圖，在AABC中，M、N分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，則△AMN的面積與四邊形

MBCN的面積比為().

(A)1I(B)1A(C)1-(D)?-

2343

考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)。，三角形的中位線（第9題圖）

分析：利用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

解答：由MN是三角形的中位線，2MN=BC,MN〃BC

...△ABCSAAMN.?.三角形的相似比是2：1,.'.△ABC與aAMN的面積之比為4：1.,則△AMN

的面積與四邊形MBCN的面積比為4，

3

故選B

19、（2013年河北）如圖4,菱形ABCD中，點(diǎn)M,N在AC上，MELAD,

NFLAB.若NF=NM=2,ME=3,則AN=

A.3B.4

C.5D.6

答案：B

ANNF"rAN2

解析:由△AFNS/\AEM,得:----=----,即-------=-

AMMEAN+23圖4

解得：AN=4,選B。

20、（2013?白銀）如圖，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部（點(diǎn)O）20米

的A處，則小明的影子AM長為5米.

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用.

分析：易得：△ABM-AOCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影長.

解答：解：根據(jù)題意，易得△MBA-△MCO1

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知絲=3L,gpU=AM,

OCOA+AM820+AM

解得AM=5m.則小明的影長為5米.

4

點(diǎn)評：本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的

影長.

21、（2013?牡丹江）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，連接CD,請?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l

件NACD=NABC（答案不唯一），使△ABO△ACD.（只填一個(gè)即可）

考點(diǎn)：相似三角形的判定.

專題：開放型.

分析：相似三角形的判定有三種方法：

①三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；

②兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

③兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

由此可得出可添加的條件.

解答：解：由題意得，NA=/A（公共角），

則可添加：ZACD=ZABC,利用兩角法可判定△ABO&ACD.

故答案可為：ZACD=ZABC.

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的三種判定方

法，本題答案不唯一.

22、（2013?巴中）如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)4米的位置上，則

球拍擊球的高度h為1.5米.

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用.

分析：根據(jù)球網(wǎng)和擊球時(shí)球拍的垂直線段平行即DEIIBC可知，△ADE-△ACB,根據(jù)其相

似比即可求解.

解答：解：：DEIIBC,

△ADE-AACB,即J叫金1,

BCAB

則—紇=",

4+3.5h

h=l.5m.

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形在測量高度時(shí)的應(yīng)用，解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后

根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.

23、（2013?黔東南州）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則壁的值是—運(yùn).

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：由NBAC=/ACD=90。，可得AB〃CD,即可證得△ABES/\DCE,然后由相似三角

形的對應(yīng)邊成比例，可得：些一"，然后利用三角函數(shù)，用AC表示出AB與CD,

ECCD

即可求得答案.

解答：解：VZBAC=ZACD=90°,

，AB〃CD,

.?.△ABEsMCE,

；iBE_AB.

"EC^CD'

；在RtAACB中NB=45。，

，AB=AC,

?.?在RtACD中，ZD=30°,

，CD=—這—=V3AC,

tan300

?BE=AC=V3

"ECV3AC~3"

故答案為：近.

3

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握數(shù)

形結(jié)合思想的應(yīng)用.

24、（2013臺(tái)灣、33）如圖，將一張三角形紙片沿虛線剪成甲、乙、丙三塊，其中甲、丙為梯形,

乙為三角形.根據(jù)圖中標(biāo)示的邊長數(shù)據(jù)，比較甲、乙、丙的面積大小，下列判斷何者正確？（）

A.甲〉乙，乙〉丙B.甲〉乙，乙〈丙C.甲＜乙，乙＞丙D.甲＜乙，乙〈丙

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：首先過點(diǎn)B作BH±GF丁點(diǎn)H,則S乙=3AB?AC,易證得△ABC-△DBE.AGBH-△BCA,

2

可求得GF,DB,DE,DF的長，繼而求得答案.

解答：解：如圖：過點(diǎn)B作BH_LGF于點(diǎn)H,

則s乙=3AB?AC,

2

???ACIIDE,

△ABC-△DBE,

.AC_AB_BC：

'DE=DB=BE'

BC=7,CE=3,

DE=〃AC,DB=〃AB,

77

AD=BD-BAWLB,

7

S,4=1(AC+DE)?AD=^AB?AC,

298

???AllGF,BH±GF,AC±AB,

BHIIAC,

四邊形BDFH是矩形，

BH=DF,FH=BD=1PAB,

7

AGBHSABCA,

.GH_BH_GB

AB=AC=BC'

GB=2,BC=7,

二GH=2AB,BH2AC,

77

DF=2AC,GF=GH+FH=UAB,

77

S.fi=l(BD+GF)?DF=%AB?AC,

249

甲〈乙，乙〈丙.

故選D.

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).此題難度

適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

25、（13年北京4分5）如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A,在近岸取點(diǎn)

B,C,D,使得AB_LBC,CD_LBC,點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A,E,

D在同一條直線上。若測得BE=20m,EC=10m,CD=20m,則河的寬

度AB等于

A.60mB.40m

■B~~E\He

C.30mD.20m

（第5題ND

答案：B

CE和即*條解得:AB=4。

解析：由△EABS/XEDC,得:

~BE

26、（2013?牡丹江）勞技課上小敏拿出了一個(gè)腰長為8厘米，底邊為6厘米的等腰三角形，她想

用這個(gè)等腰三角形加工成一個(gè)邊長比是1：2的平行四邊形，平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角恰好是這個(gè)等

腰三角形的底角，平行四邊形的其它頂點(diǎn)均在三角形的邊上，則這個(gè)平行四邊形的較短的邊長為

-^cm.

11—

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

專題：分類討論.

分析：設(shè)平行四邊形的短邊為xcm,分兩種情況進(jìn)行討論，①若BE是平行四邊形的一個(gè)短

邊，②若BD是平行四邊形的一個(gè)短邊，利用三角形相似的性質(zhì)求出x的值.

解答：解：如圖AB=AC=8cm,BC=6cm,

設(shè)平行四邊形的短邊為xcm,

①若BE是平行四邊形的一個(gè)短邊，

貝ijEFIIBC,

6-x—2x

"V"8'

解得x=2.4厘米，

②若BD是平行四邊形的一個(gè)短邊，

則EFIIAB,

x_6-2x

86

解得x=2&m,

11

普m.

點(diǎn)評：本題主要.考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是正確的畫出圖

形，結(jié)合圖形很容易解答.

27、（2013?眉山）如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的兩點(diǎn)，且細(xì)義二，若△AEF

EB-FC~2

的面積為2,則四邊形EBCF的面積為16.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：根據(jù)題意可判定△AEF-△ABC,利用面積比等于相似比平方可得出△ABC的面積,

繼而根據(jù)S四邊形EBCF=SaABC-SAAEF，即可得出答案.

EFIIBC,

/.△AEF-△ABC,

.SAAEF-（AE）2_（1）2_1

SAABC前39

SAABC=I8,

則s四邊脛EBCF=SAABC-SAAEF=18-2=16.

故答案為：16.

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是證明△AEF-AABC,要求

同學(xué)們熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比平方.

28、（2013?六盤水）如圖，添加一個(gè)條件：NADE=NACB（答案不唯一），使AADE-△ACB,

（寫出一個(gè)即可）

A

Rl--------------------X

考點(diǎn)：相似三角形的判定.

專題：開放型.

分析：相似三角形的判定有三種方法：

①三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似：

②兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

③兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

由此可得出可添加的條件.

解答：解：由題意得，ZA=ZA（公共角），

則可添加：ZADE=ZACB,利用兩角法可判定△ADE-"ACB.

故答案可為：NADE=ZACB.

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的三種判定方

法，本題答案不唯一.

29、（2013?蘇州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點(diǎn)A、C

分別在x,y軸的正半軸上.點(diǎn)Q在對角線OB上，且QO=OC,連接CQ并延長CQ交邊AB于

點(diǎn)P.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,4-2后）.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

分析：根據(jù)正方形的對角線等于邊長的五倍求出OB,再求出BQ,然后求出^BPQ和△OCQ

相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BP的長，再求出AP,即可得到點(diǎn)P

的坐標(biāo).

解答：解：???四邊形OABC是邊長為2的正方形，

OA=OC=2,OB=2點(diǎn),

---QO=OC,

BQ=OB-OQ=2A/2-2.

?.?正方形OABC的邊ABIIOC,

ABPQsAOCQ,

.BP=BQ

"ocOQ'

gpBP=2^-2（

22

解得BP=2a-2,__

AP=AB-BP=2-（2V2-2）=4-2圾，

.,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,4-2、月）.

故答案為：（2,4-2圾）._

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的對角線等于邊長的五倍的性質(zhì)，以

及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，比較簡單，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出BP的長是解

題的關(guān)鍵.

30、（2013?眉山）如圖，ZBAC=ZDAF=90°,AB=AC,AD=AF,點(diǎn)D、E為BC邊上的兩點(diǎn),

且NDAE=45。，連接EF、BF,則下列結(jié)論：

①4AED空△AEF；（2）AABE-△ACD；③BE+DODE；（4）BE2+DC2=DE2,

其中正確的有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

分析：根據(jù)NDAF=90°,ZDAE=45°,得出NFAE=45°,利用SAS證明△AED合△AEF,判

定①正確；

如果△ABE-△ACD,那么NBAE=ZCAD,由NABE=ZC=45。，則NAED=ZADE,

AD=AE,而由已知不能得出此條件，判定②錯(cuò)誤；

先由NBAC=ZDAF=90。，得出NCAD=NBAF,再利用SAS證明△ACD合△ABF,

得出CD=BF,又①知DE=EF,那么在△BEF中根據(jù)三角形兩邊之和大丁第三邊可得

BE+BF>EF,等量代換后判定③正確；

先由△ACD合△ABF,得出NC=ZABF=45",進(jìn)而得出/EBF=90°,然后在RtABEF

中，運(yùn)用勾股定理得出BE2+BF2=EF2,等量代換后判定④正確.

解答:解：①：NDAF=90°,ZDAE=45°,

ZFAE=ZDAF-ZDAE=45".

在AAED與AAEF中，

'AD=AF

,NDAE=NFAE=45°.

AE=AE

：.△AEDt&AEF（SAS）,①正確；

②NBAC=90",AB=AC,

ZABE=ZC=45".

???點(diǎn)D、E為BC邊上的兩點(diǎn)，NDAE=45°,

，AD與AE不一定相等，NAED與NADE不一定相等，

ZAED=45°+NBAE,ZADE=45°+ZCAD,

ZBAE與NCAD不一定相等，

AABE與AACD不一定相似，②錯(cuò)誤：

③：ZBAC=NDAF=90。，

ZBAC-ZBAD=NDAF-ZBAD,即ZCAD=NBAF.

在^ACD-^AABF中，

'AC=AB

,ZCAD=ZBAF，

AD=AF

△AC醛△ABF(SAS),

CD=BF,

由①知△AED空△AEF,

DE=EF.

在ABEF中，BE+BF>EF,

BE+DODE,③正確；

④由③知△ACD合△ABF,

ZC=ZABF=45°,

ZABE=45°,

ZEBF=ZABE+ZABF=90°.

在RsBEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2,

BF=DC,EF=DE,

BE2+DC2=DE2,④正確.

所以正確的結(jié)論有①③④.

故選C.

點(diǎn)評：本題考杏了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角直角三角形的性質(zhì)，三角

形三邊關(guān)系定理，相似三角形的判定，此題涉及的知識面比較廣，解題時(shí)要注意仔細(xì)

分析，有一定難度.

31、（2013?天津）如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3,ZADE=60。，則AE的長為7.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

分析：先根據(jù)邊長為9,BD=3,求出CD的長度，然后根據(jù)NADE=60。和等邊三角形的性質(zhì)，

證明AABD-ADCE,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得CE的長度，即可

求出AE的長度.

解答：解：△ABC是等邊三角形，

ZB=ZC=60°,AB=BC；

CD=BC-BD=9-3=6；

ZBAD+ZADB=120"

???ZADE=60°,

ZADB+ZEDC=120°,

ZDAB=ZEDC,

又ZB=ZC=60",

r.△ABD-△DCE,

則里匹，

BDCE

即g=@,

3CE

解得：CE=2,

故AE=AC-CE=9-2=7.

故答案為：7.

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的

性質(zhì)證得^ABD-△DCE是解答此題的關(guān)鍵.

32、（2013安順）在平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2,貝UBF：BE=

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

分析：由題可知4ABF-△CEF,然后根據(jù)相似比求解.

解答：解：rDE：EC=1：2

EC：CD=2：3即EC：AB=2：3

ABIICD,

AABF-ACEF,

BF：EF=AB：EC=3：2.

BF：BE=3：5.

點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形、相似三角形的性質(zhì).

33、（2013?欽州）如圖，DE是AABC的中位線，則△ADE與△ABC的面積的比是1：4

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.

分析：由中位線可知DEHBC,且DE=』BC：可得AADE-AABC,相似比為1：2；根據(jù)

2

相似三角形的面枳比是相似比的平方，即得結(jié)果.

解答：解：：DE是4ABC的中位線，

DEIIBC,且DE=J：BC,

2

△ADE”△ABC,相似比為I：2,

???相似三角形的面積比是相似比的平方，

△ADE與△ABC的面積的比為1：4（或工）.

4

點(diǎn)評：本題要熟悉中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比是相

似比的平方.

34、（13年安徽省4分、13）如圖，P為平行四邊形ABCD邊AD上一

點(diǎn)，E、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，APEF、APDC、APAB的面積分別

為S、Si、S2o若S=2,則&+S2=

【答案】S.

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，三福形中位坡定理，相似三角形的判定和性度.

【分析】F分別為？3、？C，j中點(diǎn)，「二一二3c..??APEFSA?3c..飛心三生皿名.

又s^：=；S??;：=，Ai:".-S："Si?t：+S_j^3=g3

35、（2013?寧夏）△ABC中，D、E分別是邊AB與AC的中點(diǎn)，BC=4,下面四個(gè)結(jié)論：①DE=2；

②AADEs△ABC；③△ADE的面積與△ABC的面積之比為I：4；④△ADE的周長與△ABC

的周長之比為1：4；其中正確的有①②③.（只填序號）

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.

分析：根據(jù)題意做出圖形，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，可得DEIIBC,DE=1BC=2,