(完整版)工程非線性振動學習總結-文檔

東北大學《非線性振動》學習總結第一章非線性振動的定性分析方法1.1穩(wěn)定性理論的基本概念特定的運動成為系統(tǒng)的未受干擾的運動，簡稱為穩(wěn)態(tài)運動，而受擾運動則是偏離穩(wěn)態(tài)運動的系統(tǒng)的運動。李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義有：穩(wěn)定的、漸進穩(wěn)定、不穩(wěn)定李雅普諾夫直接方法的理論基礎由三個定理組成：（1）若能夠早可謂征訂函數(shù)V(x)，使得沿擾動方程解曲線計算的全導數(shù)V為半負定或等于零，則系統(tǒng)的未擾運動穩(wěn)定。（2）若能構造可微正定函數(shù)V(x)，使得沿擾動方程解曲線計算的全導數(shù)V為負定，則系統(tǒng)的未擾運動漸進穩(wěn)定。（3）若能構造可微正定、半正定函數(shù)V(x)，使得沿擾動方程解曲線計算的全導數(shù)V為正定，則系統(tǒng)的未擾運動不穩(wěn)定。定理：若保守系統(tǒng)的勢能在平衡狀態(tài)處有孤立極小值，則平衡狀態(tài)穩(wěn)定。對于復雜的非線性系統(tǒng)，可以以近似的線性系統(tǒng)代替可以根據(jù)一次近似方程的穩(wěn)定性，判斷原方程的穩(wěn)定性：（1）若一次方程的所有本征實部均為負，則原方程的零解漸進穩(wěn)定（2）若一次近似方程至少有一本征實部為正，則原方程的零解不穩(wěn)定（3）若一次近似方程存在零實部的本征值，其余根的實部為負，則不能判斷原方程的零解的穩(wěn)定性1.2相平面、相軌跡和奇點與系統(tǒng)的運動狀態(tài)一一對應的像平面上的點稱為系統(tǒng)的相點，相點的移動軌跡稱為相軌跡。像平面內能使方程右邊分子分母同時為零的特殊點稱為相軌跡的奇點。保守系統(tǒng)的相軌跡有以下特點：（1）相軌跡曲線相對橫坐標對稱；（2）勢能曲線z=V(x)與橫坐標軸的平行線z=E交點的橫坐標C1，C2，C3，處，相軌跡與橫坐標軸相交；（3）橫坐標軸上與勢能曲線的駐點相對應的點S1，S2，S3，為奇點，因為他們滿足幾點的定義；（4）在勢能取極小值處，設E>V（S1），則在x=S1的某個小領域內都有E大于等于V（x）。這種類型的奇點是穩(wěn)定的，稱為中心。（5）在勢能取極大值的點x=S2處，設E小于V(S2)則在區(qū)間（C1，C2），內沒有對應的相軌跡，這種類型的奇點是不穩(wěn)定的，稱為鞍點。通過鞍點的相軌跡稱為分割線。在勢能曲線的拐點x=S3，奇點為退化的鞍點，對應于不穩(wěn)定的平衡態(tài)保守系統(tǒng)的勢能在平衡狀態(tài)處有非孤立極小值，則平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。線性系統(tǒng)存在等時性。分段線性系統(tǒng)是一類特殊的非線性振動系統(tǒng)，其恢復力f（x）為x的分段線性函數(shù)。f（x）=Fsgnx這類最簡單的分段線性恢復力常見于自動控制系統(tǒng)，稱為邦邦控制。具有線性恢復力的保守系統(tǒng)的相軌跡為橢圓族。對于更復雜的分段線性系統(tǒng)，其相軌跡可由直線、拋物線和橢圓線拼接形成。定理：如果區(qū)域f（xs，μ）>0位于曲線f（xs，μ）=0的上方，則平衡位置穩(wěn)定，奇點為中心。如果f（xs，μ）=0的下方，則平衡位置不穩(wěn)定，起點為鞍點。曲線是那個dμ/dxs為零或取不定值所對應的點μ=μ1，μ2，μ3，都具有臨界性質，因為當μ經過這些點時，奇點的個數(shù)和類型都發(fā)生突變，因此μ1，μ2，μ3，就是相軌跡的分叉點。若f（x，μ）為線性函數(shù)，則不存在分叉點，所以分叉現(xiàn)象只發(fā)生于非線性系統(tǒng)。1.2.5相軌跡的作圖法等傾線法：另方程右邊等于常數(shù)C，得到（x，y）兩平面內以C為參數(shù)的曲線族，稱為相軌跡的等傾線族。列納法：只用于線性恢復力的特殊情形1.2.6耗散系統(tǒng)的自由振動1、粘性阻尼運動過程伴隨能量耗散的機械系統(tǒng)稱為耗散系統(tǒng)，如帶有粘性阻尼活干摩擦的系統(tǒng)。圖a相軌跡是朝原點趨緊的螺線，它圍繞奇點（遠點）轉動卻始終達不到奇點的位置，這類奇點稱為穩(wěn)定焦點。系統(tǒng)的運動為衰減振動。圖b相軌跡尚未完成繞奇點轉動一周既接近奇點，這類奇點稱為穩(wěn)定節(jié)點，系統(tǒng)的運動為衰減的非往復運動。耗散系統(tǒng)的c必須為正數(shù)，若c為負值，則意味著系統(tǒng)的總機械能不僅沒有耗散，相反，不斷從外界取得能量。這種特殊情況稱為負阻尼。負阻尼系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定，相軌跡為不斷向外擴展的螺線或射線。這類奇點稱為不穩(wěn)定焦點或不穩(wěn)定結點2、干摩擦相軌跡線為由半徑遞減的半圓組成的螺線，x軸上區(qū)間（-F，F(xiàn)）內的每個點都是奇點而構成干摩擦的死區(qū)。1.3奇點的分類1.3.1平面動力學系統(tǒng)設動力學系統(tǒng)的狀態(tài)方程的普遍形式為含兩個狀態(tài)變量的動力學系統(tǒng)成為平面動力學系統(tǒng)，或簡稱平面系統(tǒng)。右邊不含時間t而稱為平面自治系統(tǒng)。其中為狀態(tài)變量，選擇適當?shù)腡可是變換后的J稱為若當標準型，矩陣J與A有相同的本征值1.3.2線性系統(tǒng)的奇點類型分別對以下不同情形討論矩陣J的本征值與奇點的關系：1、J有不同的本征值λ1，λ2相軌跡為指數(shù)曲線族。α<0即λ1，λ2異號時，奇點為鞍點，α>0即λ1，λ2同號時，奇點為結點。結點的穩(wěn)定性可以利用式來判斷，λ1，λ2同為負號時為穩(wěn)定節(jié)點，λ1，λ2同為正號時為不穩(wěn)定節(jié)點。2、J有二重實本征值λ1=λ2若λ1=0，則相軌跡與u2軸重合，。若λ1≠0，當t→∞時u2/u1無限增大，du2/du1→∞，及所有的相軌跡都趨向于u2軸相切，奇點為結點。結點的穩(wěn)定性用式來判斷，λ1>0時不穩(wěn)定，λ1<0時穩(wěn)定。3、J有共軛負本征值λ1，2=α±iβ相軌跡為圍繞奇點的螺線，奇點為焦點。焦點的穩(wěn)定性用式判斷α<0時為穩(wěn)定焦點，α>0時為不穩(wěn)定焦點。對于α=0的特殊情形，相軌跡轉化為橢圓奇點為中心。1.3.3奇點的分類準則線性變換后的變量與變換前的變量x為線性同構，他們的奇點的類型完全相同。起點的不同類型由參數(shù)p和Δ完全確定：Δ>0：λ1，2為不等實根；若p>0,則λ1，λ2同號，奇點為節(jié)點，p<0穩(wěn)定，p>0不穩(wěn)定。若q<0，則λ1，λ2異號，奇點為鞍點。若q=0.，即A為奇異情形，則λ1，2出現(xiàn)零根，相軌跡為平行直線族。奇點為退化情形Δ=0：λ1，2為重根。奇點為結點。P<0穩(wěn)定,P>0不穩(wěn)定Δ<0：λ1，2為共軛復根。若p=0，奇點為中心，p≠0，奇點為焦點，p<0穩(wěn)定，P>0不穩(wěn)定。1.4極限環(huán)1.4.1瑞利方程和范德波爾方程極限環(huán)：其運動微分方程的解在相平面上所確定的相軌跡是一條孤立的封閉曲線自激振動是一種與極限環(huán)相對應的周期運動。瑞利方程：范德波爾方程：1.4.2閉軌跡的穩(wěn)定性定義：若給定任意小的正數(shù)ε，存在正數(shù)δ，使得在初始時刻t=t0，從閉軌跡Γ的任一側距離δ處出現(xiàn)的受擾相軌跡上的點在t>t0時從留在閉軌跡Γ的距離ε以內，則稱未擾閉軌跡為穩(wěn)定。反之不穩(wěn)定。若未擾閉軌跡穩(wěn)定，且受擾軌跡與未擾閉軌跡距離當t→∞時趨近于零，則稱無擾閉軌跡為漸進穩(wěn)定。極限環(huán)的穩(wěn)定性也可以利用點映射概念說明：在相平面內做線段L使在任何位置均不與相軌跡相切，稱為無切點線段。從L上任一點P出發(fā)的相軌跡若再一次與線段L相交，稱交點P’為P的后繼點。設P和P’相對于L上的參考點O的坐標為s和s’，則s’是s的函數(shù)，稱為后繼函數(shù)，此函數(shù)建立起線段L上得點P與后繼點P’之間的點映射關系。定義為P與P’的距離，若飛f（s0）=s0或d（s0）=0，則s0是點映射的不動點，即過該點的相軌跡為閉軌跡。若d（s0）=0，而d’（s0）≠0，則為Γ孤立閉軌跡，即極限環(huán)。d’（s0）<0，時為Γ穩(wěn)定極限環(huán)，d’（s0）>0，為不穩(wěn)定極限環(huán)。極限環(huán)也有可能出現(xiàn)一側穩(wěn)定但另一側不穩(wěn)定的情形，稱為半穩(wěn)定極限環(huán)。更普遍的意義下，若，且，則稱Γ為k的重極限環(huán)。k=1時稱為單重極限環(huán)，若k為奇數(shù)，且，則Γ穩(wěn)定；Γ不穩(wěn)定。若k為偶數(shù)，則為Γ半穩(wěn)定。穩(wěn)定或不穩(wěn)定的單重極限環(huán)也成為雙曲閉軌。1.4.3閉軌跡存在的必要條件（1）封閉相軌跡內部至少有一個奇點（2）若只有一個奇點，則此奇點必須是中心、焦點或結點（3）若有幾個奇點，則奇點指數(shù)的代數(shù)和為+1，即鞍點的數(shù)目必須比其他奇點的數(shù)目少11.4.4閉軌跡存在的充分條件若平面自治系統(tǒng)在環(huán)形域D的邊界上的相軌跡均由外向內進入D域，且D域內無奇點，則在D域內存在穩(wěn)定極限環(huán)。1.4.5閉軌跡不存在條件對于用式描述的平面自治系統(tǒng)，如果在單連通域D內P，Q有連續(xù)偏導數(shù)，且為常號函數(shù)，則在D域內必不存在閉軌跡。1.4.6閉軌跡穩(wěn)定性定理若平面自治系統(tǒng)的閉軌跡Γ的特征指數(shù)h<0，則閉軌跡Γ穩(wěn)定；若h>0，則Γ不穩(wěn)定。第二章非線性振動的近似解析方法近似解析方法的研究對象多為弱非線性系統(tǒng)，通常是尋求非線性系統(tǒng)可能存在的周期解。2.1諧波平衡法2.1.1諧波平衡法概述諧波平衡法的基本思想是將振動系統(tǒng)的激勵項和方程的解都展成傅里葉級數(shù)。從物理意義考慮，為保證系統(tǒng)的作用力與慣性力的各階諧波分量自相平衡，必須令動力學方程兩端的同階諧波的系數(shù)相等，從而得到包含未知系數(shù)的一系列代數(shù)方程，以確定待定的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。討論以下普遍形式的非線性系統(tǒng)的受迫振動：不是一般性，設F(t)為偶函數(shù)，且不含常值分量。另一種敘述方式稱為伽遼金法根據(jù)虛功原理，得到：伽遼金法只要求此等式在每個周期內的平均意義上成立。2.1.2弱非線性系統(tǒng)但自由度弱非線性系統(tǒng)的動力學方程可寫為：ε是足夠小的獨立參數(shù)，稱為小參數(shù)方程所表示的線性系統(tǒng)成為原非線性系統(tǒng)的派生系統(tǒng)，ω0為派生系統(tǒng)的固有頻率。派生系統(tǒng)的解稱為派生解。方程的解稱為基本解。2.1.3達芬系統(tǒng)的自由振動達芬系統(tǒng)就是打分方程描述的系統(tǒng)。對于弱非線性情形，以三項系數(shù)ε為小參數(shù)，動力學方程為：2.1.4達芬系統(tǒng)的受迫振動相位差與頻率的關系式為：線性系統(tǒng)的相頻特性是該式ε=0的特殊情形2.1.6跳躍現(xiàn)象當激勵頻率從零開始緩慢的增大時，受迫振動振幅從圖2.3的點A處沿幅頻特性曲線連續(xù)變化至點B處，在增大頻率，則振幅從點B突降至C點。這種振幅突然變化的線性稱為跳躍現(xiàn)象，是非線性系統(tǒng)特有的現(xiàn)象之一。系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨著參數(shù)變化而發(fā)生突然變化的現(xiàn)象稱為動態(tài)分岔。2.2正規(guī)攝動法2.2.1攝動法概述按小參數(shù)ε的冪次展開的近似計算方法，稱為攝動法或小參數(shù)法。討論由以下帶小參數(shù)的動力學方程描述的但自由度非自治系統(tǒng)：當ε=0時，方程退化為固有頻率為w0的線性方程：即原系統(tǒng)的派生系統(tǒng)。實際使用小參數(shù)法，由于計算工作量隨著冪次的增高而迅速增加，因此往往只取級數(shù)的前幾項。2.2.2遠離共振的受迫振動討論達芬系統(tǒng)受簡諧激勵的受迫振動，動力學方程為：其中激勵頻率ω遠離派生系統(tǒng)的固有頻率ω0?；鞠到y(tǒng)的受迫振動規(guī)律為：省略號為更高階的近似解。與線性系統(tǒng)的受迫振動比較，非線性系統(tǒng)在ω頻率的激勵作用下，所產生的響應中不僅包含ω頻率的受迫振動，而且有3ω，5ω，等頻率高次諧波同時發(fā)生，稱為倍頻響應，是非線性系統(tǒng)的有一特有現(xiàn)象。2.2.3多頻激勵的受迫振動設硬彈簧系統(tǒng)同時受到兩個頻率不同的間歇激勵，激勵頻率ω1和ω2都遠離派生系統(tǒng)的固有頻率，動力學方程為：解為：除了激勵頻率ω1和ω2及其倍數(shù)之外，還存在2ω1+ω2、ω1+2ω2、|2ω1-ω2|、|ω1-2ω2|，等組合頻率，這種從根本上不服從線性系統(tǒng)疊加原理的頻率耦合現(xiàn)象，是非線性系統(tǒng)的又一重要特征。2.2.4久期項問題以達芬系統(tǒng)為例，其自由振動方程為：整理后得：于是出現(xiàn)了激勵頻率和固有頻率相同的共振情況。隨時間不斷增長的項稱為久期項。久期項的出現(xiàn)反映了正規(guī)攝動法的缺陷，而各種改進方法稱為奇異攝動法。2.3林滋泰德-龐加萊法2.3.1達芬系統(tǒng)的自由振動基本思想是認為非線性系統(tǒng)的固有頻率ω并不等于派生系統(tǒng)的固有頻率ω0，而也應該是小參數(shù)ε的未知函數(shù)。應將頻率ω寫成ε的冪級數(shù)。冪級數(shù)的待定系數(shù)根據(jù)周期運動的要求依次確定。將原系統(tǒng)的解展成ε的冪級數(shù)：自由振動頻率也展成ε的冪級數(shù)，整理后得到，為避免次方程的解中出現(xiàn)久期項，以保證x1(t)的周期性，必須令方程右邊的cosψ項的系數(shù)等于零，同理可得，周期解中除基頻為ω的諧波以外，還有頻率為3ω，5ω的高次諧波存在，是非線性系統(tǒng)區(qū)別于線性系統(tǒng)的有一本質特點。在聲學中，這些高次諧波稱為泛音。2.3.2接近共振的受迫振動討論帶微阻尼的達芬系統(tǒng)接近共振的受迫振動。設激勵力的幅值與小參數(shù)ε同數(shù)量級，動力學方程為：整理后得到：避免次方程的解中出現(xiàn)久期項以保證響應的周期性，并得到幅頻關系式：2.3.3亞諧波共振當達芬系統(tǒng)的派生系統(tǒng)固有頻率w0接近于激勵頻率的三分之一時，也可能發(fā)生強烈的共振現(xiàn)象，稱為三分之一次亞諧波響應，或三分之一次亞諧波共振。2.4平均法2.4.1弱非線性系統(tǒng)的自由振動如果所要求的精度只限于ε的一次項，則可采用更為有效的方法直接求出一次近似解，這就是非線性振動解析方法的依次近似理論，其中最主要的方法是平均法。但如果當ε充分小時，實際觀察到原系統(tǒng)的運動與周期運動十分接近，只是振幅和初相角隨時間t緩慢變化。平均發(fā)的物理本質：在每一個運動周期中認為運動是簡諧振動，但第二個周期的振幅和初相角與第一個周期相比，已經發(fā)生了微小的改變。平均化方程就是描述振幅和初相角變化規(guī)律的微分方程。也可形象的認為，簡化方程是計算振動過程的包絡線方程。平均化方程：式中P和Q的定義為：2.4.2動相平面以x和為坐標建立相平面（x，y），可以認為（x1，y1）平面以角速度平面相對（x，y）平面以角速度ω0勻速旋轉。我們將（x1，y1）平面稱為動相平面。2.4.3諧波線性化方法忽略其他高次諧波時，可將函數(shù)寫為：整理后得到線性方程：方程成為線性常系數(shù)常微分方程，從而簡化為線性系統(tǒng)的自由振動問題，這種近似解析方法稱為諧波線性化法。2.4.4弱非線性系統(tǒng)的受迫振動弱非線性系統(tǒng)的受迫振動，寫為：化為自治形式的一階微分方程：系統(tǒng)的振幅特性：系統(tǒng)的相頻特性：此線性擾動方程的本征方程為：其中2.4.5達芬系統(tǒng)1、達芬系統(tǒng)的自由振動達芬系統(tǒng)的自由振動為簡諧運動，振動頻率為打分方程的諧波線性化方程：2、達芬系統(tǒng)的受迫振動其微分方程為：幅頻特性和相頻特性關系式為：圖2-2周期分叉的時間波形，相軌跡f=0.25圖2-3混沌狀態(tài)的時域波形和相平面圖f=0.36當大于0.826時，系統(tǒng)進入大尺度的周期運動如圖2-4所示，此時0.826為由混沌轉為周期運動的閥值。相軌跡將焦點、鞍點統(tǒng)統(tǒng)圍住，其對應的Poincaré映射亦為不動點。當f為0.826時，系統(tǒng)處于由混沌轉為周期運動的臨界狀態(tài),2-4穩(wěn)定周期狀態(tài)的時域波形，相平面圖f=0.8262.3.1Duffing方程的改進—-受迫Duffing方程在混沌運動基本特性研究中曾經指出：只有3個或3個以上變量的自治的非線性系統(tǒng)才有可能作混沌運動。而上一節(jié)介紹的Duffing系統(tǒng)是二維自治系統(tǒng)，因為二維自治系統(tǒng)在相平面上的軌線不相交，這就注定二維自治系統(tǒng)只可能趨于定點或無窮遠，或者作閉曲線的周期運動。從這一點看，二維的Duffing系統(tǒng)是不能出現(xiàn)混沌的。因此，有必要對Duffing系統(tǒng)作必要的改進，使之成為能夠產生混沌運動。常用的手段是給Duffing系統(tǒng)加上周期性策動力fcosωt，使系統(tǒng)維數(shù)增加到三維。改進后的Duffing方程稱為受迫Duffing方程，如下式所示：2.4.6分段線性系統(tǒng)1、分段線性系統(tǒng)的自由振動自由振動的微分方程為：導出：G(α)的定義為：2、分段線性系統(tǒng)的受迫振動其動力學方程為：積分得到：2.5多尺度法2.5.1多尺度法概述為了提高平均法的計算精度，將時間尺度劃分的更為精細，由此發(fā)展出多尺度法。與攝動法相比，多尺度法的明顯優(yōu)點是不僅能計算周期運動，而且能計算耗散系統(tǒng)的衰減運動；不僅能計算穩(wěn)態(tài)響應，而且能計算非穩(wěn)態(tài)過程；也可以分析穩(wěn)態(tài)響應的穩(wěn)定性，描繪非自治系統(tǒng)的全局運動性態(tài)。2.5.2達芬系統(tǒng)的自由振動達芬方程的二階近似解：其中2.5.3達芬系統(tǒng)的受迫振動其動力方程為：經整理后，得到幅頻關系式為2.5.4達芬系統(tǒng)的超諧波共振派生系統(tǒng)的固有頻率ω0接近激勵頻率ω時產生的共振現(xiàn)象稱為主共振。實踐中還可以觀察到ω0接近激勵頻率的整數(shù)倍或分數(shù)倍時出現(xiàn)的共振現(xiàn)象，分別稱為超諧波共振和亞諧波共振，或統(tǒng)稱為次共振。方程可寫為：經整理后，得到：在ω0≈ω或ω0≈ω/3時也可能出現(xiàn)次共振現(xiàn)象，分別稱為三次超諧波共振和三分之一次亞諧波共振。超諧波共振情況下，ω0頻率的自由振動振幅并不衰減為零。超諧波共振的峰值不僅與激勵力的幅值和阻尼系數(shù)有關，而且是非線性項系數(shù)α的函數(shù)。超諧波共振也存在與主共振類似的跳躍現(xiàn)象。2.6漸進法2.6.1漸進方程組將平均法與攝動法相結合形成一種新方法，稱為漸進法。討論自治的弱非線性系統(tǒng)，動力學方程為：我們所關心的只是當ε充分小時，取級數(shù)解前m項偉近似解，能否在足夠長的時間范圍內與精確解相近。整理后，得到漸進方程組：其中2.6.2漸近解在一次近似方程中，是ψ的周期為2π的函數(shù)，可展成傅里葉級數(shù)：整理后，可求出：平均化方法是漸進法的一次近似特例。同理，對于也可求出：2.6.3遠離共振的受迫振動討論受周期激勵的弱非線性系統(tǒng)：弱非線性系統(tǒng)可能在滿足時發(fā)生共振。弱非線性系統(tǒng)的共振通常有以下三種類型：k=l=1,ω0≈ω：固有頻率ω0接近激勵頻率ω，即主共振k=1,ω0≈ω/l，固有頻率ω0接近激勵頻率ω的分數(shù)倍，即亞諧波共振l=1,ω0≈kω，固有頻率ω0接近激勵頻率ω的整數(shù)倍，即超諧波共振討論遠離共振的受迫振動，可得到漸進方程組：其中2.6.4接近共振的受迫振動受激勵后發(fā)生共振的方程為：經整理后，得到漸進方程組：其中2.7多自由度系統(tǒng)的自由振動和受迫振動2.7.1非線性多自由度系統(tǒng)的研究方法對于弱非線性的多自由度系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)，諧波平衡法、平均法、多尺度法和漸進法等近似解析方法都可以使用。對強非線性系統(tǒng)，需要先求的與之相近而又精確可積的非線性系統(tǒng)的精確解，然后對精確的非線性解進行攝動。對于非線性連續(xù)系統(tǒng)，數(shù)值-解析方法的應用有兩種途徑，一是對空間變量作出家丁，然后利用模態(tài)的正交性或伽遼金方法得到含對時間導數(shù)的非線性二階常微分方程組。另一種是對時間關系做出假定，然后利用諧波平衡法導出描述空間性質的非線性微分方程的邊值問題，通常用含迭代過程的數(shù)值方法求解。第三章自激振動自激振動靠系統(tǒng)外的來源補充能量，但能量是恒定的而不同于受迫振動。振動頻率和振幅均由系統(tǒng)的物理參數(shù)確定，與初始條件無關。能產生自激振動的系統(tǒng)必為非線性系統(tǒng)。3.1.1自激振動的產生自振系統(tǒng)：接受外界的能量補充，但能源是恒定的，而不是周期變化的。系統(tǒng)已自己的運動狀態(tài)為調節(jié)器。這類系統(tǒng)能自主地從定長的能源汲取能量。當輸入的能量與耗散的能量達到平衡時，系統(tǒng)即可維持等振幅振動，稱為自激振動。自振系統(tǒng)由三部分組成：耗散的振動系統(tǒng)，恒定的能源，受系統(tǒng)運動狀態(tài)反饋的調機器3.1.2自激振動的特征（1）振動過程中，存在能量的輸入與耗散，因此自振系統(tǒng)為非保守系統(tǒng)。（2）能源恒定，能量的輸入僅受運動狀態(tài)，即振動系統(tǒng)的位移和速度的調節(jié)，因此自振系統(tǒng)不顯含時間變量，為自治系統(tǒng)。（3）振動的特征量，如頻率和振幅，由系統(tǒng)的物理參數(shù)確定，與初始條件無關。（4）自治的線性系統(tǒng)只能產生衰減自由振動，無耗散時也只能產生振幅由初始條件確定的等幅自由振動。因此自振系統(tǒng)必為非線性系統(tǒng)。（5）自激振動的穩(wěn)定性取決于能量的輸入與耗散的相互關系。若振幅偏離穩(wěn)態(tài)值時，能量的增減能促使振幅回至穩(wěn)態(tài)值，則自激振動穩(wěn)定。反之，自激振動不穩(wěn)定。3.2工程中的自激振動3.2.1時鐘原理振動系統(tǒng)是帶干摩擦的重力擺，恒定的能量來源是發(fā)條機構，調節(jié)器是特殊設計的擒縱機構。這種機構能保證擺在指定位受干摩擦作用的單擺微幅振動的相軌跡與§1.2中討論的受干摩擦作用的質量-彈簧系統(tǒng)（圖2.2）相同。當y>0時是以（-F,0）為圓心的圓，y<0時，是以（F,0）為圓心的圓。設相點從起始位置（ξ,0）開始向下運動，相軌跡方程為在x=α處，擺受沖擊前的速度為受沖擊后，擺有能量增量ΔE，即從而導出沖擊后擺的速度：沖擊后，相點從（α,-y2）沿半徑增大了的圓繼續(xù)運動，相軌跡方程為將式（3.2.2）和式（3.2.4）代入上式，整理為相點到達x軸時的坐標為（-η,0）。令式（3.2.6）中的x=-η，y=0,求出為在平面（ξ,η）上作曲線（3.2.7）及直線η=ξ（圖2.4），此二曲線的交點P的坐標為若相點從點（ξP,0）出發(fā)運動，則繞原點一周后必回至原處，形成孤立的封閉相軌跡，即極限環(huán)。從圖2.4可看出，無論相點的初始坐標ξ大于或小于ξP，以后都朝點P趨近。表明極限環(huán)內的相軌跡不斷向外貼近極限環(huán)，極限環(huán)外的相軌跡不斷向內貼近極限環(huán)，從而證明極限環(huán)是穩(wěn)定的。這種構造的鐘只要收到微小的沖擊使擺幅到達x=±α處接受擒縱機構的沖擊，就能自動產生并維持穩(wěn)定的周期運動。上述自激振動的成因還可以從能量的觀點解釋。設每次沖擊的輸入能量ΔE為常值。由于干摩擦為常值，每個往復耗散的能量必與擺動幅度成正比。作出輸入能量及耗散能量隨運動幅度的變化曲線，二曲線的交點即與穩(wěn)定的自激振動相對應。3.2.2干摩擦自振由干摩擦激發(fā)引起的自激振動是生活中的常見現(xiàn)象。提琴弓子摩擦琴弦產生的音樂或推門時軸承產生的噪音都是干摩擦自振現(xiàn)象。工程中的典型例子是車刀在切削時產生的振動。要解釋這種現(xiàn)象必須考慮滑動摩擦力隨相對速度v變化非線性關系φ(v)，如圖2.7所示。圖中表明當靜摩擦轉化為動摩擦時，摩擦力突然下降，然后隨相對速度的增加而緩慢地上升。當相點沿線段P1P2運動時，滑塊相對平臺的相對速度為零，這時平臺咬住滑塊以速度v0一同勻速運動。待彈簧恢復力隨彈簧變形增長得足以克服靜摩擦力時，滑塊開始相對平臺向后滑動，并在摩擦力作用下不斷減速，直到相對速度減至零，平臺再次咬住滑塊，則上述過程重復發(fā)生。在此系統(tǒng)中，等速移動的平臺將恒定的能源通過滑塊與平臺之間的干摩擦特性的調節(jié)作用輸入滑塊，使滑塊維持穩(wěn)定的自激振動。各種實際的干摩擦現(xiàn)象都可以從以上簡單模型的分析得到解釋。在工程中，滑塊與平臺之間時而粘住時而滑動的不連續(xù)爬行現(xiàn)象，可在機械傳動系統(tǒng)中發(fā)生。利用潤滑劑使干摩擦轉化為粘性摩擦，則干摩擦自振現(xiàn)象自然消失。3.2.3輸電線舞動被冰層覆蓋的輸電線在水平陣風作用下可產生強烈的上下抖動，振幅可達一二米而導致嚴重事故。這種自激振動現(xiàn)象稱為輸電線舞動。截取一小段電線為集中質量，以無振動時線段的質心平衡位置O為原點，建立坐標系（Oxy），質心C的垂直坐標為y（圖2.12）。當風速為v0的水平陣風吹來時，其相對輸電線的相對速度v為其中j為y軸的單位矢量。設α為攻角，及速度v與水平軸x的夾角。則有由于輸電線的圓形斷面被冰層覆蓋成為非圓形的不規(guī)則形狀，因此陣風對輸電線不僅產生沿v方向的阻力Fd，同時產生于v垂直的升力FL。根據(jù)空氣動力學的實驗結果，阻力與升力的變化規(guī)律為其中ρ為空氣密度、l為斷面的特征長度，cd，cL分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù)。小攻角時空氣動力沿y軸的垂直分量Fy近似為其中cy隨攻角α變化的非線性規(guī)律如圖2.13所示，代入式（3.2.20）后，F(xiàn)y隨α的變化可近似以三次多項式模擬：設m為線段的質量，線段兩端拉力合成的彈性恢復力的剛度系數(shù)為k，風力Fy以式（3.2.18）代入，導出輸電線段在風力作用下沿y軸運動的動力學方程為瑞利方程：其中因此輸電線舞動現(xiàn)象可用瑞利方程的極限環(huán)解釋。3.2.4管內流體喘振輸水管道系統(tǒng)內的流體在一定流速范圍內發(fā)生的強烈振動也是一種自激振動。擰開水龍頭時自來水管內的水流與水管的耦合振動常伴隨強烈的噪音。這種自激振動稱為流體喘振。利用動量定理列寫管內水流的動力學方程：管內水流的流量為q=S1v，水泵的輸出水流的壓強p1和阻力Fd均為流量q的函數(shù)。令函數(shù)的實驗曲線如圖2.15所示。導管與容器連接處的壓強p2取決于容器內的水面高度h，設q0為容器的出水流量，則流體的連續(xù)性要求：將方程（3.2.25）各項對t求導，并將式(3.2.26),（3.2.27）和（3.2.28）代入，化為導出q穩(wěn)態(tài)值為q=q0，此時進入容器與流出容器的流量完全相等，若圖2.15中q0對應的函數(shù)值f(q0)恰好位于特性曲線的斜率為正的拐點處，則在q=q0附近，函數(shù)f(q)可近似表示為令x=q-q0，方程（3.2.29）即化作范德波爾方程：其中因此喘振現(xiàn)象也可用范德波爾方程的極限環(huán)解釋。在輸水管道系統(tǒng)的設計中應避免正常流量q0與特性曲線f(q)的正斜率相對應，以防止管內流體喘振。3.3自激振動的定性分析瑞利方程或范德波爾方程可產生穩(wěn)定的極限環(huán)。極限環(huán)的幾何形狀取決于非線性參數(shù)ε的大小。當ε足夠小時，系統(tǒng)接近線性，零斜率等傾線與y軸接近重合，極限環(huán)的形狀接近于圓形，自激振動接近于簡諧振動，可稱為擬簡諧振動。討論ε→∞的極限情形。引入新的變量ξ=x/ε，將方程（1.4.3）化為當ε→∞時，（ξ,y）相平面內除了零斜率等傾線上各點的斜率為零外，向量場的每一點的斜率都接近于無窮大。因此，極限環(huán)只能由零斜率等傾線的一部分與兩條垂直線組成。相應的y波形為斷續(xù)的，x波形為鋸齒形。這種與簡諧振動完全不同的周期運動稱為張弛振動。3.2.2張弛振動的物理解釋從能量觀點出發(fā)，對擬簡諧振動和張弛振動進行比較。ε足夠小時，自振系統(tǒng)與保守系統(tǒng)十分接近。保守系統(tǒng)的總機械能由動能和勢能組成，在振動過程中能量在動能和勢能兩個儲能器之間周期性交換，表現(xiàn)為振動的簡諧性。接近保守系統(tǒng)的自振系統(tǒng)的波形自然也接近簡諧。當ε極大時，動力學方程的慣性項可近似地忽略，也可以認為系統(tǒng)總機械能中的動能部分可以忽略。系統(tǒng)只有一個勢能儲能器，因此自激振動只有兩個階段，即儲能和放能。整個過程是張與弛的交替，表現(xiàn)為斷續(xù)的張弛振動?？捎靡粋€直觀模型解釋張弛振動（圖3.3）。將虹吸管嵌在漏斗的塞子中，水自水龍頭注入漏斗，當水位達到一定高度時，虹吸管開始作用，水由漏斗流出，待水位將到一定高度時，虹吸管停止作用，漏斗又重新積水。水量作鋸齒形振蕩，總流量作斷續(xù)振蕩。這種張弛振動可從自然界中的間歇泉中觀察到。再以干摩擦自振為例。當滑塊與平臺粘著時，滑塊的動能固定不變，而彈簧勢能不斷增加，成為單儲能器系統(tǒng)，振動為張弛性。但當彈簧恢復力大于靜摩擦力時，滑塊跳脫平臺作相對滑動，系統(tǒng)又成為雙儲能器系統(tǒng)，振動接近簡諧性。因此，干摩擦自振為簡諧振動與張弛振動的綜合。v0較大時接近于簡諧振動，v0很小時接近于張弛振動。3.3.3動態(tài)分岔研究干摩擦自振現(xiàn)象時，可以發(fā)現(xiàn)，當平臺以很大速度v0運動時，不能激發(fā)起滑塊的自激振動，滑塊在彈簧和干摩擦作用下，在平衡位置附近只能做衰減振動。當v0減小到某個臨界值時，穩(wěn)定的平衡狀態(tài)突然變得不穩(wěn)定而轉化為自激振動。這種運動狀態(tài)隨參數(shù)變化而發(fā)生突變的現(xiàn)象稱為動態(tài)分岔。上述衰減振動向自激振動的轉化在相平面內對應于穩(wěn)定焦點向不穩(wěn)定焦點伴隨極限環(huán)的轉變。這種特殊的動態(tài)分岔稱為霍普夫（E.Hopf）分岔。3.4自激振動的定量計算3.4.1諧波平衡法自激振動的數(shù)學模型：令范德波爾方程（1.4.2）中的參數(shù)=1，寫為只取一次諧波，設自激振動解為代入方程（3.4.1），化為省略號表示超過一次的其他高次諧波。從上式導出自激振動的頻率和振幅的近似值：表明自激振動頻率的近似值等于ε=0時派生的線性系統(tǒng)的固有頻率0。3.4.2平均法令范德波爾方程（1.4.2）中=1，寫為即近似以派生系統(tǒng)的固有頻率0為自激振動的頻率，令x=acos(0t-θ)，代入式（2.4.9），積分得到代入方程組（2.4.8），得到積分得到其中a0和θ0為積分常數(shù)。3.4.3多尺度法為適當簡化計算，令范德波爾方程（1.4.2）中的0=1和=1，寫為討論二次近似解。將式（2.5.8），（2.5.4）和（2.5.5）代入方程（3.4.10），令ε的同次冪系數(shù)為零，得到以下線性偏微分方程組：方程（3.4.11a）的解為避免久期項出現(xiàn)，要求則從方程（3.4.13）解出將式（3.4.12）和（3.4.15）代入方程（3.4.11c）的右邊，得到為避免久期項出現(xiàn)，要求：則方程（3.4.16）的解為為確定復函數(shù)A，從條件（3.4.14）和（3.4.17）解出D1A和D2A代入式（2.5.18）表示的A對t的導數(shù)，得到A應滿足的常微分方程：將復函數(shù)A寫成與式（2.5.20）相同的指數(shù)形式：代入方程（3.4.20），將實虛部分開，得到將方程（3.4.22a）兩邊乘以a，可化為積分得到整理后得到方程（3.4.22b）可利用方程（3.4.22a）改寫為可積分得到將式（3.4.25）和（3.4.27）代入式（3.4.21），再代入式（3.4.12），（3.4.15）和（3.4.18）等式，最終由式（2.5.8）得到范德波爾方程的二次近似解為其中a和θ的變化規(guī)律分別由式（3.4.25）和（3.4.27）給出。其中振幅變化規(guī)律（3.4.25）與用諧波平衡法計算的式（3.4.8）完全一致。將式（3.4.29）對t求導，設振幅保持穩(wěn)態(tài)值a0，從式（3.4.22b）導出自激振動的頻率為上式為考慮二次近似精度時對自激振動的修正。用多尺度法不僅能算出振幅和頻率，而且能導出近似解（3.4.28）以定量地描述自激振動的運動過程。3.4.4KMB法仍令范德波爾方程（1.4.2）中的0=1和=1，寫為即將代入式（2.6.14a），整理后得到代入方程（2.6.13a），得到周期解條件要求解出整理后得到周期解條件要求解出繼續(xù)計算至滿足精度要求，得到以及a和ψ應滿足的微分方程：與式（3.4.22）完全一致。從方程（3.4.42）積分得到與式（3.4.25）相同的振幅變化規(guī)律：當振幅保持穩(wěn)態(tài)值a0時，從式（3.4.43）導出自激振動的頻率為與多尺度法算出的式（3.4.30）完全一致。3.5自激系統(tǒng)的受迫振動3.5.1遠離共振的受迫振動動力學方程為：利用多尺度法，只考慮一次近似，令將式（3.5.2）和式（2.5.4），（2.5.5）代入方程（3.5.1），導出以下線性方程組：方程（3.5.3a）的零次近似解為頻率0的自由振動解與頻率的受迫振動解疊加。其復數(shù)形式為：其中A為表示自由振動振幅的未知復函數(shù)，為復數(shù)形式的受迫振動振幅，和為A和的共軛復數(shù)，且有將零次近似解（3.5.4）代入一次近似方程（3.5.3b）的右邊，整理后得到從方程（3.5.6）可看出，系統(tǒng)在頻率的簡諧激勵下，除產生派生系統(tǒng)固有頻率0的自由振動和激勵頻率的受迫振動以外，還產生30，3等倍頻響應，以及20+，20-，2+0，2-0等組合頻率響應。表明系統(tǒng)除可產生≈0時的主共振外，還可能出現(xiàn)≈30時的亞諧波共振，以及≈0/3時的超諧波共振。對于非共振情形，為避免方程出現(xiàn)久期項，復函數(shù)A必須滿足以下條件：其中由于D0A=0，從式（2.5.18）和（3.5.7）導出一次近似意義下A的微分方程：將復函數(shù)A表示為式（2.5.20）的指數(shù)形式：代入方程（3.5.9），將實部和虛部分開，得到以下方程組將方程（3.5.11a）兩邊乘以a，化為積分后導出方程（3.5.11b）的積分為將式（3.5.13）和式（3.5.14）代入式（3.5.10），再代入方程（3.5.6）的右邊，可以看出，一次近似解的穩(wěn)態(tài)運動取決于參數(shù)η的符號。當η<0，即F0>21/2|02-2|時，隨著t→∞，a趨近于零，表明自由振動趨于衰減，范德波爾方程（3.5.1）受激勵后的穩(wěn)態(tài)運動為頻率的受迫振動。若η>0，即F0<21/2|02-2|，則隨著t→∞，a朝2η1/2趨近，表明穩(wěn)態(tài)運動中除受迫振動以外，還包含0頻率的穩(wěn)態(tài)自由振動。由于一般情況下與0不可通約，此穩(wěn)態(tài)自由振動為非周期的。上述大激勵力引起自由振動衰減，小激勵力產生穩(wěn)態(tài)自由振動的結論明顯不同于§2.1中關于達芬系統(tǒng)受迫振動的分析。達芬系統(tǒng)的自由振動與激勵無關，而范德波爾系統(tǒng)由于激勵引起的受迫振動會通過非線性項對運動進行反饋，從而增強了阻尼作用，使自由振動受到抑制。3.5.2接近共振的受迫振動動力學方程為由于與0接近，令2=1+εσ1。利用平均法，將方程（3.5.15）寫為其中令x=acos(t-θ)，代入式（2.4.24），積分得到代入式（2.4.28），得到幅頻特性關系式：在上一節(jié)中已算出自激振動的振幅為a0=2。將上式各項除以a022，化為其中方程（3.5.20）在參數(shù)（σ，ρ）平面內作出以α為參數(shù)的幅頻特性曲線（圖5.1）。其中穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)的分界線應滿足?W/?ρ=0。根據(jù)式（3.5.20）算出的分界線為圖5.1中的橢圓，橢圓方程為此橢圓所圍區(qū)域為不穩(wěn)定區(qū)域。此外，若本征方程（2.4.32）中的系數(shù)a1<0，則穩(wěn)態(tài)周期運動亦不穩(wěn)定。此條件可利用式（2.4.33）對a1的定義寫為即as<21/2或，ρ<1/2。因此圖（5.1）中ρ=1/2直線在激勵頻率與固有頻率0接近的過程中，當頻率差-0減小到某個臨界值時，盡管與0并不嚴格相等，仍可出現(xiàn)與激勵頻率相同且振幅足夠大的穩(wěn)態(tài)受迫振動。這種響應頻率向激勵頻率靠近的現(xiàn)象稱為同步現(xiàn)象?；莞棺钤绨l(fā)現(xiàn)兩只掛鐘相靠近時的同步現(xiàn)象。在電子技術中同步現(xiàn)象得到實際應用，例如利用一個頻率高度穩(wěn)定的石英振子使一個振動系統(tǒng)與它同步而構成石英鐘。從更普遍的意義上理解，月球的自轉頻率與繞地球的公轉頻率嚴格相同也可用同步現(xiàn)象加以解釋。月球約27天繞地球運行一周，即公轉周期；月球自轉周期27.32166日。我們看不見月球背面，這種現(xiàn)象我們稱“同步自轉”3.6多自由度系統(tǒng)的自激振動3.6.1電子管振蕩器范德波爾關于自激振動問題的研究來自對電子管振蕩器回路的分析。圖（6.1）所示的電子管振蕩器由相互耦合的兩個回路組成?；芈?為由電容C1、電感L1、電阻R1和電子管組成的柵極電路?；芈?由電容C2、電感L2和電阻R2組成。L1與L2之間的電感系數(shù)為N的互感作用使二回路之間產生耦合。此外，板極電路與柵極電路之間也存在電感系數(shù)為M的耦合作用。設二回路的電流分別為i1和i2，板極電流為ia，利用基爾霍夫定律分別列寫二回路的電路微分方程：設u1，u2為電容C1和C2兩端的電壓降，則有板極電流ia受到柵壓u1的控制，是u1的非線性函數(shù)：利用式（3.6.2），（3.6.3）將方程組（3.6.1）化為u1，u2的借互感系數(shù)N耦合的微分方程組：引入新的變量x1，x2此方程組可化為其中3.6.2自激振動的定量計算先討論ε=0時的派生系統(tǒng)。設x10，x20為派生系統(tǒng)的解，應滿足以下零次近似方程：此線性微分方程組存在以下特解：其中0為派生系統(tǒng)的固有頻率，是以下本征方程的解：此4次代數(shù)方程的4個根對應于派生系統(tǒng)的4個線性無關特解，可用于構成一般解。式（3.6.8）中的模態(tài)參數(shù)為對于包含非線性因素的原系統(tǒng)，采用林滋泰德-龐加萊方法作近似計算。為此將方程組（3.6.5）的解x1，x2展成ε的冪級數(shù)：其中零次近似解x10，x20可根據(jù)式（3.6.8）寫為其中ψ=t。將原系統(tǒng)的振動頻率也展成ε的冪級數(shù)：將式（3.6.11），（3.6.12），（3.6.13）代入方程（3.6.5），將原來對t的微分符號改定義為對ψ的微分，令ε的同次冪的系數(shù)為零，導出以下各階近似的線性方程組：將零次近似解（3.6.12）代入一次近似方程組（3.6.15）的右邊，整理后得到其中為避免此方程組的解中出現(xiàn)久期項以保證運動的周期性，P，Q，R，S必須滿足以下條件：將式（3.6.17）代入后，導出以下條件：從條件（3.6.19a）解出表明在一次近似意義下，自激振動的頻率等于其派生系統(tǒng)的固有頻率0。利用式（3.6.10）消去式（3.6.19b）中的后，解出自激振動的振幅第四章參數(shù)振動參數(shù)振動由外界的激勵產生，但激勵不是以外力形式施加于系統(tǒng)，而是通過參數(shù)內參數(shù)的周期性改變間接實現(xiàn)。由于參數(shù)的時變性，參數(shù)振動系統(tǒng)為非自治系統(tǒng)。描述參數(shù)振動的數(shù)學模型為周期變系數(shù)的常微分方程，因此對參數(shù)振動的研究歸結于對變系數(shù)常微分方程組零解穩(wěn)定性的研究。4.1參數(shù)振動概述4.1.1參數(shù)振動的產生以變長度擺的參數(shù)振動為例，輸入能量與耗散能量曲線的交點對應于周期運動，但此周期運動為不穩(wěn)定狀態(tài)。4.1.2參數(shù)振動的特征1、參數(shù)振動過程中存在能量的輸入與耗散，因此參變系統(tǒng)為非保守系統(tǒng)2、激勵對系統(tǒng)的作用通過系統(tǒng)內參數(shù)的周期改變實現(xiàn)，因此參數(shù)系統(tǒng)為非自治系統(tǒng)，其數(shù)學模型為周期變系數(shù)的線性常微分方程，一般形式為可將（4.1.1）化為典型形式3、參數(shù)振動的穩(wěn)定性取決于能量的輸入與耗散的相互關系。若同一周期內輸入能量超過耗散能量，則振幅不斷增大。若輸入能量低于耗散能量，則振幅趨于衰減。周期運動時不穩(wěn)定運動與漸進穩(wěn)定運動之間的臨界情況。4.2工程中的參數(shù)振動4.2.1受軸向周期力激勵的直桿橫向振動的動力學方程為簡化為單自由度系統(tǒng)的動力學方程，即馬蒂厄方程其中4.2.2非圓截面軸的橫向振動軸的橫向振動方程為亦可化為馬蒂厄方程，其中4.2.3電動車傳動軸的扭振傳動軸的扭轉振動的動力學方程為也可化為馬蒂厄方程，其中4.2.4人造衛(wèi)星姿態(tài)運動討論沿橢圓軌道運行的人造衛(wèi)星。衛(wèi)星O與地球Oe的質心距離r的變化規(guī)律為衛(wèi)星在重力梯度力矩作用下的平面運動動力學方程為：化為馬蒂厄方程4.3弗洛凱理論4.3.1基本解弗洛凱理論是分析周期變系數(shù)線性常微分方程的解的穩(wěn)定性理論。其一般形式為滿足設x1（t）和x2（t）為方程（4.3.1）的兩個線性獨立的特解，滿足朗斯基判別式不為零的條件，x1（t）和x2（t）構成方程（4.3.1）的基本解。方程（4.3.1）的任何解都可以用基本解的線性組合表示。若x1（t）和x2（t）為方程的基本解，由于x1（t+T）和x2（t+T）也是方程（4.3.1）的解，可以表示為x1（t）和x2（t）的線性組合：寫為矩陣形式導出4.3.2正規(guī)解在常系數(shù)常微分方程中，以指數(shù)函數(shù)作為基本解。它具有以下性質：其中為復常數(shù)。零解的穩(wěn)定性由λ的實部符號判斷：為漸進穩(wěn)定，為不穩(wěn)定，為臨界情況。在周期變系數(shù)微分方程中，雖然找不到指數(shù)函數(shù)特解，但仍有可能找出滿足與（4.3.11）相同條件的特解其中σ也是某個復常數(shù)。這種特殊性質的特解稱為正規(guī)解。找到正規(guī)解以后可利用條件（4.3.11）判斷經過任意周期以后解的變化趨勢。反復使用條件（4.3.11）m次，得到因此根據(jù)σ的?？梢耘袛嘟馐欠裼薪?，并依此判斷零解的穩(wěn)定性：若σ為實數(shù)，則臨界情況δ=±1對應于周期解。δ=+1時周期為T，δ=-1時，周期為2T。將正規(guī)解x（t）表示為基本解x1（t）和x2（t）的線性組合：將式（4.3.8）和（4.3.14）代入式（4.3.11）。整理后得到于x1和x2線性獨立，其系數(shù)必為零，得到：設為方程（4.3.16）的系數(shù)矩陣，從α1和α2的非零解條件導出σ的本征方程：將y1和y2代替x1和x2，重復以上運算可導出與（4.3.17）相同的本征方程。因此，當微分方程的參數(shù)確定以后，本征方程以及所對應的本正根都唯一被確定。因Q≠0，本征方程（4.3.17）無零根。根據(jù)條件（4.3.13），若全部本征值的模|δ|均小于1，則零解漸進穩(wěn)定；只要其中有一個本征值的模|δ|大于1，零解必不穩(wěn)定。4.3.3希爾方程的正規(guī)解設方程（4.3.1）中p（t）≡0，q（t）為周期為T的周期函數(shù)，即成為希爾方程根據(jù)初始條件（4.3.5）導出基本解x1和x2，代入式（4.3.10）得到矩陣A。由于p（t）≡0從式（4.3.7）導出，則Q=1，本征方程為其中?？山獬霰菊髦捣忠韵聨追N情形討論：（1）|a|>1：δ1和δ2中必有一個根的值大于1，對應的基本解無界，零解不穩(wěn)定（2）|a|<1：δ1和δ2為共軛復根，由于δ1δ2=1，此共軛復根的模比等于1，方程的基本解有界，零解穩(wěn)定（3）|a|=1：δ1=δ2=±1，其中一個正規(guī)解是以T或2T為周期的周期解，是穩(wěn)定與不穩(wěn)定之間的臨界情形。因此選擇方程的參數(shù)組合使系統(tǒng)實現(xiàn)周期為T或2T的周期運動，即可在參數(shù)平面內作出穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域的分界線。4.4穩(wěn)定圖4.4.1方波激勵的參數(shù)振動參數(shù)平面內穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域的分界線稱為參數(shù)振動的穩(wěn)定圖。設希爾方程中參數(shù)q（t）按以下周期為T的方波規(guī)律變化此參變系統(tǒng)在不同的半周期內可用不同的常系數(shù)線性微分方程表示，寫為方程（4.4.2a）和（4.4.2b）的通解分別為積分常數(shù)C1，D1，C2和D2由解的連續(xù)性及其正規(guī)解條件（4.3.11）確定將式（4.4.3）代入后，導出從C1，D1，C2和D2的非零解條件導出σ應滿足的本征方程：此本征方程與式（4.3.21）相同，其中從本征方程（4.4.7）解出形式與（4.3.22）相同的本征值：根據(jù)上節(jié)的分析，零解得穩(wěn)定性取決于|a|>1或|a|<1,|a|=1為穩(wěn)定與不穩(wěn)定之間的臨界情形。對于ε=的特殊情形，系統(tǒng)（4.4.2）派生為固有頻率為的線性保守系統(tǒng)，式（4.4.8）簡化為其中，為派生系統(tǒng)的自由振動周期。因此與臨界情形對應的|a|=1條件轉化為利用式（4.4.8），（4.4.4）可直接在(δ,ε)參數(shù)平面上畫出穩(wěn)定區(qū)域的邊界曲線族。令T=π，此穩(wěn)定圖如4.12所示。各曲線與橫坐標軸的一系列交點均對應于派生線性系統(tǒng)的自由振動。從式（4.4.11）導出，此交點為。由于δ<0,ε=0為支點固定的倒擺，其零解必不穩(wěn)定。只要ε稍稍偏離零值，就可能出現(xiàn)不穩(wěn)定而導致參數(shù)共振。也可以從式（4.4.11）推論：當參數(shù)激勵的周期T等于派生系統(tǒng)的自由振動周期T0的n/2(n=1,2,…）時，就可能產生參數(shù)共振。4.4.2簡諧激勵的參數(shù)振動討論用馬蒂厄方程表示的簡諧激勵的參數(shù)振動，其穩(wěn)定域的邊界曲線必須利用近似解析方法導出漸進表達式。設激勵周期T=π，即ω=2。馬蒂厄方程寫為ε＝0時，為保證線性保守系統(tǒng)有周期等于π或者2π的周期解，必須令δ＝n2(n=0,1,2,…），分別對應于線性無關的特解sinnt和cosnt。除n=0時的周期解為常值解以外，n為偶數(shù)時周期為π，n為奇數(shù)時周期為2π。利用林滋泰德—龐加萊攝動方法，將方程（4.4.12)的解x(t)和參數(shù)δ都要展成ε的冪級數(shù)代入方程（4.4.12