二重積分的幾種計(jì)算方法

二重積分的幾種計(jì)算方法二重積分是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，二重積分是定積分的推廣，是二元函數(shù)在一個(gè)平面的一個(gè)區(qū)域的積分。計(jì)算二重積分的一般原則是將二重積分化為二次積分（即累次積分）加以計(jì)算。求積的困難主要來(lái)自兩個(gè)方面：一是被積函數(shù)的復(fù)雜性，二是積分區(qū)域的多樣尋。不同順序二次積分計(jì)算的難易程度往往是不同的，又是錯(cuò)選積分順序?qū)е路e分無(wú)法計(jì)算，有的二重積分必須通過(guò)換元才能求出。計(jì)算二重積分的一般步驟如下：畫出積分區(qū)域D的草圖；求交點(diǎn)；選擇直角坐標(biāo)系下計(jì)算，或極坐標(biāo)系下計(jì)算；選擇積分次序；化二重積分為二次積分；計(jì)算。二重積分的直接計(jì)算方法所謂連續(xù)函數(shù)展步在有限封閉可求積二位域內(nèi)的二重積分乃是指數(shù)其中，而其和為對(duì)所有，使的那些值來(lái)求的。若域有下面的不等式所給出其中和為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)應(yīng)的二重積分可按下面的公式計(jì)算例1.計(jì)算，其中區(qū)域是由直線與拋物線所圍成的區(qū)域。解:積分區(qū)域如圖1所示，有定義是簡(jiǎn)單區(qū)域，邊界與得交點(diǎn)為和。若選擇先對(duì)積分，則過(guò)軸上內(nèi)的任一點(diǎn)作軸的平行線，該線的與下邊界交點(diǎn)在上，與上邊界交點(diǎn)在上，所求積分為若選擇先對(duì)積分，同理可得圖1若求二重積分時(shí)，遇到復(fù)雜區(qū)域，應(yīng)將復(fù)雜區(qū)域化成若干個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域，然后根據(jù)，來(lái)計(jì)算。例2.計(jì)算，其中是由，，及所圍成。解:積分區(qū)域如圖2所示，有定義可知為復(fù)雜區(qū)域，邊界線的交點(diǎn)分別為。若先對(duì)積分則連接，將分成兩個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域，。的方程為，所求積分為圖2圖3若先對(duì)積分，則連接,把區(qū)域分成兩個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域，。的方程為，如圖3所示，所求積分應(yīng)為在化二重積分為累次積分時(shí)還應(yīng)注意：若先對(duì)積分，則第一次積分是是積分變量，積分上下限應(yīng)含有的表達(dá)式或常數(shù)；若先對(duì)積分，則第一次積分時(shí)時(shí)積分變量，積分上下限應(yīng)該含有的表達(dá)式或常數(shù)。二重積分中的變量代換若可微分的連續(xù)函數(shù)把平面上的有限域單值惟一地映射為平面上的域雅哥比式則下之公式正確：特別是，根據(jù)公式，變換為極坐標(biāo)和得情形有例2，其積分區(qū)域是由橢圓所圍的區(qū)域。解：作變化，則域變?yōu)橛颍?。于是，?設(shè)是常數(shù)，計(jì)算積分。解：設(shè)則，變成小結(jié)計(jì)算二重積分必須注意：能否快算，用何坐標(biāo)，是否分區(qū)域，如何定限。計(jì)算二重積分的主要方法有：幾何意義化簡(jiǎn)，利用直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)化為二次積分，利用分域法，交換積分次序等。參考文獻(xiàn)：[1]吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選精解[M]山東：山東科技出版社，2007[2]錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹