北師大版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)

北師大版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)教案教學(xué)設(shè)計(jì)

目錄

第一章直角三角形的邊角關(guān)系

1銳角三角函數(shù)1

第1課時(shí)銳角的正切1

第2課時(shí)銳角的正弦、余弦2

230°,45°,60°角的三角函數(shù)值4

3三角函數(shù)的計(jì)算5

4解直角三角形7

5三角函數(shù)的應(yīng)用8

6利用三角函數(shù)測(cè)高10

第二章二次函數(shù)

1二次函數(shù)12

2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)13

第1課時(shí)拋物線的認(rèn)識(shí)13

第2課時(shí)形如yuor2和^二謂+以。#。）的圖象與性質(zhì)14

第3課時(shí)形如y=a（x—和y=a（x—/?）2+氏（。*0）的圖象與性質(zhì)16

第4課時(shí)形如、=/+法+以。#0）的圖象與性質(zhì)18

3確定二次函數(shù)的表達(dá)式20

第1課時(shí)已知圖象上的兩點(diǎn)求表達(dá)式20

第2課時(shí)已知圖象上的三點(diǎn)求表達(dá)式21

4二次函數(shù)的應(yīng)用22

第1課時(shí)二次函數(shù)與圖形面積問題22

第2課時(shí)二次函數(shù)與利潤(rùn)問題24

5二次函數(shù)與一元二次方程25

第I課時(shí)二次函數(shù)與一元二次方程根的關(guān)系25

第2課時(shí)求一元二次方程的近似根27

第三章圓

1圓29

2圓的對(duì)稱性30

*3垂徑定理32

4圓周角和圓心角的關(guān)系33

第1課時(shí)圓周角定理及其推論133

第2課時(shí)圓周角定理的推論2,335

5確定圓的條件36

6直線和圓的位置關(guān)系39

第1課時(shí)直線和圓的位置關(guān)系及切線的性質(zhì)39

第2課時(shí)切線的判定40

*7切線長(zhǎng)定理42

8圓內(nèi)接正多邊形43

9弧長(zhǎng)及扇形的面積45

第一章直角三角形的邊角關(guān)系

1銳角三角函數(shù)

第1課時(shí)銳角的正切

教學(xué)目標(biāo)!

I.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.

2.能夠用tanA表示直角三角形中兩直角邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等,

能夠用正切進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.

3.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，了解數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系.

掌握正切的定義及基本應(yīng)用.

利用正切的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際生活的問題.

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課（課件）

你知道圖中建筑物的名字嗎？是的，它就是意大利著名的建筑——比薩斜塔，是世界著

名建筑奇觀，位于意大利托斯卡納省比薩城北面的奇跡廣場(chǎng)上，是奇跡廣場(chǎng)四大建筑之一，

也是意大利著名的標(biāo)志之一.它從建成之日起便由于土層松軟而傾斜，應(yīng)該如何用數(shù)學(xué)方法

來描述它的傾斜程度呢？

活動(dòng)二：實(shí)踐探究交流新知

【探究1】

在圖中，梯子AB和E尸哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法?

梯子AB比梯子EF更陡.

方法一：從圖中很容易發(fā)現(xiàn)NABONEF。，所以梯子AB比梯子EF陡.

方法二:因?yàn)锳C=EZ），所以只要比較的長(zhǎng)度即可判斷哪個(gè)梯子陡.因?yàn)?/p>

所以梯子AB比梯子EF陡.（比較梯子的底部到墻角的距離來判斷）

結(jié)論：豎直高度相等時(shí)，水平寬度越短，梯子越陡.

【探究2】正切的定義

如圖，若小明因身高原因不能順利測(cè)量梯子頂端到墻腳的距離SG，進(jìn)而無法刻畫梯子

的傾斜程度，他該怎么辦？你有什么錦囊妙計(jì)？

小明想通過測(cè)量SG及AG,算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認(rèn)為,

通過測(cè)量82c2及AC2,算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎？

(l)RtA/lBiCi和RtZ\4B2c2有什么關(guān)系？

(2)與尹和喋2有什么關(guān)系？

(3)如果改變%在梯子上的位置呢？由此你能得出什么結(jié)論？

結(jié)論：由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，得能;=念，即蟹=瞿.

如果改變良在梯子上的位置，總可以得到仍能得到患=

紫，因此，無論B2在梯子的什么位置(除點(diǎn)A外)，第=擘總成立.

AQACiAC2

【歸納】如圖，在Rtz^ABC中，如果銳角A確定，那么N4的對(duì)邊與鄰邊的比便隨之確

定，這個(gè)比叫做NA的正切，記作tanA,即tanA=j：2錨.

注意：

1.tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示/A的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“.

2.tanA沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中的對(duì)邊與鄰邊的比.

3.tanA不表示“tan”乘“A”.

4.初中階段，正切是在直角三角形中定義的，/A是一個(gè)銳角.

【探究3】坡度的定義

如圖表示甲、乙兩個(gè)自動(dòng)扶梯，哪一個(gè)自動(dòng)扶梯比較陡？

(l)tan。和tan￡的值分別是多少？

⑵你能比較tana和tan￡的大小嗎？

⑶根據(jù)lanA的值越大，梯子越陡，你能判斷哪一個(gè)自動(dòng)扶梯比較陡嗎？

解：(1)甲梯中，tan.乙梯中，tan^=_i====磊；

2y/132—5212

(2)tana>tanB；

⑶；tana>tan...甲扶梯更陡.

【歸納】坡面與水平面的夾角稱為坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比(即坡角的正切)

稱為坡度（或坡比）.坡度越大，坡面就越陡.

活動(dòng)三：開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例

【例1】在△ABC中，ZC=90°,8c=6cm,AB=10cm,求tanA和tanB的值.

【方法指導(dǎo)】先求出AC,利用正切定義可求出.

34

解：由勾股定理，得4C=8,貝!|tanA=a,tan.

【例2】如圖，某人從山腳下的點(diǎn)A走了130m后到達(dá)山頂?shù)狞c(diǎn)B.已知點(diǎn)8到山腳的垂

直距離為50m,求山的坡度.

【方法指導(dǎo)】先求出AC,求出tanA即為山的坡度.

解：由勾股定理，得4C=120m,

貝!）tan4=卷.

答:山的坡度為卷.

活動(dòng)四：隨堂練習(xí)

課本P4隨堂練習(xí).

答案：

3

1.tanC=W.

2.山的坡度為0.286.

活動(dòng)五：課堂小結(jié)與作業(yè)

小,NA的對(duì)邊

【歸一內(nèi)】（l）tanA-2的鄰邊?

（2）tanA的值越大，梯子越陡.

（3）坡面與水平面的夾角稱為坡角；坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度（或坡比）.

【作業(yè)】課本習(xí)題中的、

P41.1T1T2>T3.

在解決實(shí)際問題中引發(fā)認(rèn)知沖突，發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)不能直接解決問題，需建立新的模型，

通過探究、歸納得出正切的定義，再運(yùn)用這一定義進(jìn)行計(jì)算加以鞏固，整個(gè)流程符合學(xué)生的

認(rèn)知規(guī)律，是一個(gè)從已有知識(shí)發(fā)展出新知識(shí)的過程.

第2課時(shí)銳角的正弦、余弦

教學(xué)目標(biāo)?

1.理解正弦、余弦的意義.

2.能夠用sinA,cosA表示直角三角形中直角邊與斜邊的比.

3.能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.

教學(xué)重點(diǎn)

根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.

教學(xué)難點(diǎn)!

了解互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系并用它來解決實(shí)際問題.

教學(xué)活動(dòng)

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)

上節(jié)課，我們研究了“陡”這個(gè)字，明確了梯子擺放的“陡”與“緩”是與梯頂、梯腳

到墻角的距離比有關(guān)的.如圖，研究梯子擺放的傾斜程度有兩種方法：一是用梯子的傾斜角

來刻畫，傾斜角越大，梯子越陡；二是用傾斜角的對(duì)邊與鄰邊之比(即傾斜角的正切)來刻畫，

正切值越大，梯子越陡.那么還有沒有其他方法來刻畫梯子的傾斜程度呢？下面請(qǐng)同學(xué)們模

擬試驗(yàn)，探究梯子擺放的傾斜程度是否還與梯頂或梯腳到墻角的距離與梯長(zhǎng)比有關(guān)呢？

活動(dòng)二：實(shí)踐探究交流新知

【探究1】

如圖，請(qǐng)思考：

(l)RtAABiCi和RtZvlB2c2的關(guān)系是什么？

(2)需和符的關(guān)系是什么？

/\D\AD2

(3)如果改變%在斜邊上的位置，則黑和野的關(guān)系是什么？

/\D\/\D2

思考：從上面的問題可以看出：當(dāng)直角三角形的一個(gè)銳角的大小已確定時(shí)，它的對(duì)邊與

斜邊的比值________，根據(jù)是.它的鄰邊與斜邊的比值呢？

解：⑴相似；

旦q=紇Q

⑵~ABi；

(3)相等.

思考：相等相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例鄰邊與斜邊的比值也相等.

【歸納】N4的對(duì)邊與斜邊的比叫做乙4的正弦，記作sinA,即sinA=』^粵辿.

/A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記作cosA,即cos4=/?！边?

注意：

1.sinA,cosA中常省去角的符號(hào)“N”；

2.sinA,cosA沒有單位，它們都表示一個(gè)比值；

3.sinA,cosA是一個(gè)完整的符號(hào)，不表示"sin"或"cos"乘"A"；

4.在初中階段，sinA,cosA中，/A是一個(gè)銳角；

5.0<sinA<1,0<cosA<l（NA是銳角）.

【探究2]梯子的傾斜程度與sin4和cosA的關(guān)系

問題：我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系：tanA的值越大，梯子越陡.由

此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA,cos4有關(guān)系呢？如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系？

解：如圖，AB=A}B}.

BC

在Rt/XABC中，sinA=Y5，

/\D

ff.r1

在RtzXAiBiC中，sin.

A心i

因?yàn)槠?lt;TV-即sinA<sinZBtAtC,而梯子48比梯子AB陡，所以梯子的傾斜程

/io

度與sin4有關(guān)系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度.

ACAiCACA\C

因?yàn)镃OSA=7^,cosZB\A]C=-7-B~，且AB=A181,所以彳石>~A~R~9

/\DA\D\ADAioi

即cosA>cosZB1A1C,

所以梯子的傾斜程度與cosA也有關(guān)系.cosA的值越小，梯子越陡.

【歸納】正弦越大，角越大，梯子越陡；余弦越小，角越大，梯子越陡.

活動(dòng)三：開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例

【例1】如圖，在Rt/XABC中，ZB=90°,AC=200,sinA=0.6,求8c的長(zhǎng).

【方法指導(dǎo)】利用sinA=77即可求出.

解：在RtZ\A8C中,

???sinA=1|,即/=0.6,

.?.BC=200X0.6=120.

【例2】在RtzXABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.

(1)求sinA和cosB的值;

(2)求sin8和cosA的值;

(3)由(1)(2)你有什么發(fā)現(xiàn)？你能證明自己的發(fā)現(xiàn)嗎？

44

解：(l)sinA=4,cos5=5；

33

(2)sin8=5,cosA=g；

(3)若NA+/B=90°,則sinA=cosB,sinB=cosA.證明略.

活動(dòng)四：隨堂練習(xí)

1.在Rt^ABC中，若各邊的長(zhǎng)度同時(shí)都縮小2倍，則銳角A的正弦值(C)

A.縮小2倍B.縮小1倍

C.保持不變D.不能確定

2.已知NA,N8為銳角.

(1)若NA=/8,則sinA=sin8：

(2)若sinA=sin8,則乙4=NB.

3.課本P6隨堂練習(xí).

活動(dòng)五：課堂小結(jié)與作業(yè)

【歸納】(l)sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡；

(2)方法規(guī)律：

角相等，則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值相等，則這兩個(gè)銳角相等.

【作業(yè)】課本P6習(xí)題1.2中的Ti、T2.

教學(xué)反思＞

通過類比正切的概念得出正弦、余弦的概念，同時(shí)導(dǎo)出三角函數(shù)的概念；結(jié)合勾股定理、

三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，讓學(xué)生理解三角函數(shù)的意義，找出正切、正弦和余弦之間的關(guān)系,

并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.少數(shù)學(xué)生對(duì)用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切還比較模糊.

230°,45°,60°角的三角函數(shù)值

教學(xué)目標(biāo)!

1.經(jīng)歷探索30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進(jìn)行有關(guān)的推理，進(jìn)一步

體會(huì)三角函數(shù)的意義.

2.能夠進(jìn)行30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.

3.能夠根據(jù)30°,45°,60°角的三角函數(shù)值說明相應(yīng)的銳角的大小.

教學(xué)重點(diǎn)!

能夠進(jìn)行含30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.

教學(xué)難點(diǎn)!

在具體情境中構(gòu)建直角三角形，運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值解決實(shí)際問題.

教學(xué)活動(dòng)

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課（課件）

在直角三角形中（利用一副三角尺進(jìn)行演示），如果有一個(gè)銳角是30°（如圖①），那么另

一個(gè)銳角是多少度？三條邊之間有什么關(guān)系？如果有一個(gè)銳角是45°呢（如圖②）？由此你能

發(fā)現(xiàn)這些特殊銳角的三角函數(shù)值嗎？

圖①圖②

活動(dòng)二：實(shí)踐探究交流新知

【探究】特殊角的三角函數(shù)值

1.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,NA=3O°,那么a,b,c三者之間有怎樣的關(guān)

系？

2.sin30°等于多少？你是怎樣得到的？與同伴交流.

3.cos30°等于多少？tan30°呢？

4.sin60°,cos60°,tan600呢？

5.45°角的三角函數(shù)值分別是多少呢？

6.填寫表格：

三角函數(shù)值sinacosatana

30°

45°

60°

【歸納】sin30°=3，sin45°=￥，sin60°=孚;

cos30°=坐>cos45°=當(dāng)>cos60°=：；

tan30°=2，tan45°=1,tan60°=小.

活動(dòng)三：開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例

【例1】計(jì)算：

（l）sin300+cos450；

（2）sin2600+cos260°—tan450.

【方法指導(dǎo)】熟記（特殊角）三角函數(shù)的值，計(jì)算時(shí)一般不取近似值.

1+蛆

解:(l)sin300+cos45°2丁2-2

(2)sin260°+cos260°—tan45°=(坐>+4)2—1+：—1=0.

【例2】一個(gè)小孩蕩秋千，秋千鏈子的長(zhǎng)度為2.5m,當(dāng)秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，擺角恰好為

60°,且兩邊的擺動(dòng)角度相同，求它擺至最高位置時(shí)與其擺至最低位置時(shí)的高度之差.(結(jié)果

精確到0.01m)

【方法指導(dǎo)】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形構(gòu)造直角三角形，找出圖中的特殊角，最后

根據(jù)特殊的三角函數(shù)值求出正確結(jié)論.

解：

如圖，根據(jù)題意可知，乙40。=]X6O0=30°,OD=2.5m,

/.OC=ODcos30°=2.5X坐^2.165(m).

/.AC=2.5-2.165?0.34(m).

所以，最高位置與最低位置的高度差約為0.34m.

活動(dòng)四：隨堂練習(xí)

I.課本P9隨堂練習(xí).

2.在△48C中，都是銳角，且sinA=],??8=當(dāng)，則△ABC的形狀是(B)

A.直角三角形B.鈍角三角形

C.銳角三角形D.不能確定

3.在△48C中，ZC=90°,/B=2/A,則tan4=坐.

活動(dòng)五：課堂小結(jié)與作業(yè)

【歸納】探索特殊角的三角函數(shù)值.

【作業(yè)】課本Pio習(xí)題1.3中的Ti、T2、T3、T4.

教學(xué)反思>

本節(jié)課通過小組合作交流形式，讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心，培養(yǎng)學(xué)

生獨(dú)立思考問題的習(xí)慣，并在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，對(duì)學(xué)生鍛煉克服困難的意志，建

立自信心很有幫助，以后教學(xué)中要繼續(xù)發(fā)揚(yáng).

3三角函數(shù)的計(jì)算

教學(xué)目標(biāo)?

1.經(jīng)歷用計(jì)算器求已知銳角的三角函數(shù)值的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義.

2.能夠運(yùn)用計(jì)算器輔助解決含三角函數(shù)值計(jì)算的實(shí)際問題，提高用現(xiàn)代工具解決實(shí)際問

題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)I

1.用計(jì)算器求已知銳角的三角函數(shù)值；

2.能夠用計(jì)算器輔助解決含三角函數(shù)值計(jì)算的實(shí)際問題.

教學(xué)難點(diǎn)!

能夠用計(jì)算器輔助解決含三角函數(shù)值計(jì)算的實(shí)際問題.

教學(xué)活動(dòng)!

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)

提出問題，引入新課：

如圖，當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，它走過了200m.已知纜車行駛的路線

與水平面的夾角為Na=16°,那么纜車垂直上升的距離是多少？(結(jié)果精確到0.01m)

問題：

(1)在RtZXABC中，sin。如何表示？

(2)你知道sin16°是多少嗎？

(3)我們可以借助科學(xué)計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值，怎樣用科學(xué)計(jì)算器求三角函數(shù)值呢？

活動(dòng)二：實(shí)踐探究交流新知

【探究1】用科學(xué)計(jì)算器求一般銳角的三角函數(shù)值

用科學(xué)計(jì)算器求三角函數(shù)值，要用到扇1國和國鍵.

例如,求sin16°,tan85°和sin72°38'25"的按鍵順序如下表所示.

按鍵順序顯示結(jié)果

sin16°=

sin16°

0.2756373558

tan850=

tan85°

11.4300523

sin72°38,25〃sin72°38'25"=0.954450312

同學(xué)們可用自己的計(jì)算器按上述按鍵順序計(jì)算sin16°,tan85°,sin72°38'25",

看顯示的結(jié)果是否和表中顯示的結(jié)果相同.

【探究2】

(1)如圖，為了方便行人推自行車過某天橋，市政府在10m高的天橋兩端修建了40m長(zhǎng)

的斜道.這條斜道的傾斜角是多少？

i

如圖，在RtZ\ABC中，sinA=7^=",那么/A是多少度呢？要解決這個(gè)問題，我們

可以借助科學(xué)計(jì)算器.請(qǐng)與同伴交流你是怎么做的.

（2）已知三角函數(shù)值求角度，要用到回國恒鍵的第二功能“sinIcosr,

tanr”和|SHIFT7］鍵.例如，已知sinA,cosB,tanC,求NA,NB,NC的度數(shù)的按鍵順

序如下表所示.

按鍵順序顯示結(jié)果

sinA=0.9816sirT9.9816=78.99184039

cos8=0.8607cos-10.8607=30.60473007

tanC=56.78tan-'56.78=88.99102049

活動(dòng)三：開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例

【例1】如圖，工件上有一V形槽,測(cè)得它的上口寬20mm,深19.2mm,求V形角（/ACB）

的大小.（結(jié)果精確到1°）

【方法指導(dǎo)】根據(jù)題意，可知AB=20mm,CD±AB,AC=BC,CD^19.2mm,要求NACB,

只需求出/AC￡＞（或/OC8）即可.

解：tanZACD=^5=卷%0.5208,

，/AC"27.5°,

AZACB=2ZACD^2X21.5°=55°.

【例2】如圖，在某海島上的觀察所A發(fā)現(xiàn)海上某船只B,并測(cè)得其俯角a=16°,已知

觀察所A的標(biāo)高（當(dāng)水位為0m時(shí)的高度）為43.74m,當(dāng)時(shí)水位為+2.63m,求觀察所4到船

只8的水平距離.（精確到1m）

【方法指導(dǎo)】根據(jù)題目條件可求及AC的長(zhǎng)，在RtZ\A8C中，利用的正切值即

可求出BC的長(zhǎng).

解：在Rt/VLBC中，根據(jù)題意,得NB=16°,AC=43.74—2.63=41.ll（m）.

?tanB=,??BC—~，?！?]43(m).

BCtanBtan16'

答：觀察所A到船只B的水平距離BC約為143m.

活動(dòng)四：隨堂練習(xí)

課本巳4隨堂練習(xí)

活動(dòng)五：課堂小結(jié)與作業(yè)

【作業(yè)】課本PLS習(xí)題1.4中的Ti、T4、T5.

教學(xué)反思＞

本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)很多貼近學(xué)生生活實(shí)際的問題情境，提出引發(fā)學(xué)生思考的問題，讓學(xué)生

經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出銳角三角函數(shù)模型的過程，發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)及分析問題、解

決問題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力及轉(zhuǎn)化思維能力.

4解直角三角形

教學(xué)目標(biāo)!

1.理解解直角三角形的概念，并能熟練地根據(jù)題目中的已知條件解直角三角形.

2.通過綜合運(yùn)用直角三角形的相關(guān)知識(shí)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問

題的能力.

3.掌握解直角三角形所用的邊角關(guān)系，能適當(dāng)?shù)剡x擇銳角三角函數(shù)解直角三角形.

教學(xué)重點(diǎn)!

根據(jù)條件解直角三角形.

教學(xué)難點(diǎn)!

三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用.

教學(xué)活動(dòng)!

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)

如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,NA,NB,NC所對(duì)的邊分別記作a,b,c.

問題1：直角三角形的三邊之間有什么關(guān)系？

問題2：直角三角形的銳角之間有什么關(guān)系？

問題3：直角三角形的邊和銳角之間有什么關(guān)系？

解：?jiǎn)栴}1：屏+加=/；

問題2：NA+NB=90°；

問題3：sinA=?,cos,tan,

.bab

sinB=~,cosB=_,tanB=~.

cca

活動(dòng)二：實(shí)踐探究交流新知

【探究1】

在Rt^ABC中，ZC=90°,NA,NB,NC所對(duì)的邊分別為“，b,c,且。=小，b

=小,求這個(gè)三角形的其他元素.

【方法指導(dǎo)】已知兩邊可求第三邊，再根據(jù)邊角之間的關(guān)系求出角的度數(shù)._____

解：在Rt△ABC中，a2+b2—<r,a—,b=小,c—yja2+b2—

7（VB）2+（?。?=2小.

.RbV51

在RtZiABC中,Sin=2小=2

.*.ZB=30o,AZA=60°.

【歸納】由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形.

【探究2】

（1）通過對(duì)上面例題的學(xué)習(xí)，如果讓你設(shè)計(jì)一個(gè)關(guān)于解直角三角形的題目，你會(huì)給題目?jī)?/p>

個(gè)條件？如果只給兩個(gè)角，可以嗎？

（2）直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（3條邊、2個(gè)銳角），知道其中的幾個(gè)元素就可以

求出其余的元素？

（3）通過上面例子的學(xué)習(xí)，你們知道解直角三角形有幾種情況嗎？

【歸納】解直角三角形有下面兩種情況（其中至少有一邊）：

（1）已知兩條邊（一直角邊和斜邊或兩直角邊）；

（2）已知一條邊和一個(gè)銳角（一直角邊一銳角或斜邊和一銳角）.

活動(dòng)三：開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例

【例1】如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA,NB,NC所對(duì)的邊分別為a,b,c,

且6=30,ZB=25°,求這個(gè)三角形的其他元素.（邊長(zhǎng)精確到1）

【方法指導(dǎo)】在直角三角形中，已知一邊和一銳角可求其他的邊或角.

解：在RtZiABC中，ZC=90°,N8=25°,

二/4=65°.

b

VsinB=-,b=30,

c

.J30

"."tan,〃=30,

.__!L_60?乙

tanBtan25

【例2】如圖，在AABC中，NA=30°,ZB=45°,AC=2小,求45的長(zhǎng).

【方法指導(dǎo)】AABC不是直角三角形，由NA=30°,ZB=45°,可作AB邊上的高構(gòu)

造直角三角形即可求解.

解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)。，

二/AOC=N8QC=90°.

VZB=45°,.,.ZBCD=ZB=45°,：.CD=BD.

在RtZiACZ）中，?；/A=30°,AC=25，

：.CD=AC-sin30°AC=y[3,AD=ACcos30°=牛AC=3,

：.BD=CD=yf3,：.AB=AD+BD=3+yf3.

活動(dòng)四：隨堂練習(xí)

課本P17隨堂練習(xí)

活動(dòng)五：課堂小結(jié)與作業(yè)

【作業(yè)】課本P17習(xí)題1.5中的T|、T2、T4.

教學(xué)反思

以“會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及用銳角三角函數(shù)解直角三角形''作

為本節(jié)課的核心目標(biāo)，滲透數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.給

學(xué)生自主探索的時(shí)間，力求在探索知識(shí)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生探索能力、創(chuàng)新精神、合作精神，

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、主動(dòng)性.

5三角函數(shù)的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)?

I.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用.

2.結(jié)合實(shí)際問題，弄清方位角的概念.

3.能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算.

教學(xué)重點(diǎn)!

體會(huì)三角函數(shù)在解決問題過程中的作用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問題的能力.

教學(xué)難點(diǎn)!

靈活將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用三角函數(shù)來解決.

教學(xué)活動(dòng)!

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課（課件）

2015年6月1日約21時(shí)30分，一艘從南京駛往重慶的客船“東方之星”號(hào)在長(zhǎng)江中游

沉沒.出事船舶載客454人，其中內(nèi)賓403人、旅行社隨行工作人員5人、船員46人，12

人生還.同學(xué)們，怎樣才能利用我們所學(xué)的知識(shí)來避免這樣的災(zāi)難呢？本節(jié)課我們一起來探

討這個(gè)問題.

活動(dòng)二：實(shí)踐探究交流新知

【探究1】

如圖，海中有一個(gè)小島A,該島四周10nmile內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始

在A島南偏西55°的B處，往東行駛20nmile后到達(dá)該島的南偏西25°的C處.之后，貨

輪繼續(xù)往東航行.

你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？你是怎樣想的？與同伴進(jìn)行交流.

【方法指導(dǎo)】將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，本題可構(gòu)造直角三角形，求出A點(diǎn)

到BC的距離即可.

解：過點(diǎn)A作BC的垂線，交8c于點(diǎn)。，

得至RtAABD和RtAACD,

從而B￡>=ADtan55°,CD=AD-tan25°,

由BD~CD=BC.

又BC=20nmile,

得4>tan55°AD-tan25°=20,

.MO心20.79nmile.

V20.79nmile>10nmile,

.??貨輪沒有觸礁的危險(xiǎn).

【探究2】

如圖，小明想測(cè)量塔CO的高度.他在4處仰望塔頂，測(cè)得仰角為30°,再往塔的方向

前進(jìn)50m至8處，測(cè)得仰角為60°,那么該塔有多高？（小明的身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到

1m）

【方法指導(dǎo)】由。C_LBC,NDBC=60°可知，BC.設(shè)BC=xm,則DC=V3x

m,AC=(50+x)m,由sinAn-jp;,即可求出8c=x,DC=y[3x.

AC

解：在RlZ\AOC中，tan30°="，即AC=—京7

ACtan30

CDCD

在RtZ\3Z)C中，tan60°=37;,B|JBC=~/八。.

DCtan60

又9：AB=AC-BC=50m,

得丁懸丁一廠端1=50，

解得8~43.

答：該塔大約43m.

活動(dòng)三：開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例

【例題】如圖，某商場(chǎng)準(zhǔn)備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40。減至35°,已知原

樓梯長(zhǎng)為4m,調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)多少？樓梯多占多長(zhǎng)一段地面？（結(jié)果精確到0.01m）

【方法指導(dǎo)】根據(jù)圖回答下列問題：（1）若AC代表原樓梯長(zhǎng)，則樓高、樓梯在地面上的

長(zhǎng)度分別是什么？40。的角是哪個(gè)角？（2）在樓梯改造過程中，樓高是否發(fā)生了變化？

解：由條件可知，在RtZ\ABC中，

AB

sin400=77，即A8=4sin40°m,原樓梯占地長(zhǎng)BC=4?cos40°m.

AC

調(diào)整后，在RtZ\AO8中，

sin35°=禁，即A￡>=.4sin40°

(m),

ADsm35sin35°

?AB4sin40°

樓梯占地&DB=tan35。=tan35°(m),

4sin40°

...調(diào)整后樓梯加長(zhǎng)4O-AC=w—4^0.48(m),

4sin40°

樓梯比原來多占亦=?！瑿=w—4?cos40°^0.61(m).

活動(dòng)四：隨堂練習(xí)

1.如圖，水庫大壩的截面是梯形ABC。，其中AO〃BC,壩頂A3=6m,坡長(zhǎng)CO=8m,

坡底8c=30m,/AZ）C=135°.求NA8C的度數(shù).

解：過A,。分別作AE_L8C,DFVBC,E,F為垂足.

在梯形4BCO中，ZADC=135°,A￡)=6m,

：.ZFDC=45°,EF=AD=6m.

在RtZ\FDC中，DC=8m,DF=FC=CDsin450=4-72(m),

；.BE=BC-CF—EF=3。-4巾一6=(24—4啦)m.

在RtZ\AEB中，AE=DF=4yf2m,

tanr-=^r-^0.308,

BE24—4426r2

AZABC^17°T1".

2.如圖，一燈柱48被一鋼纜CD固定，CO與地面成40°夾角，且。8=5m,在點(diǎn)C

上方2m處加固另一條鋼纜EC,那么鋼纜EC的長(zhǎng)度為多少？(結(jié)果精確到0.01m)

解：在RQCBD中,皿=40。,DB=5m,tan40。嚼,BC=O"tan40。=5tan

40°(m).

在RtZXEDB中，08=5m,BE=￡C+BC^(2+5-tan400)m.

根據(jù)勾股定理，得DE=yjDB2+BG=yl52+(2+5-tan40°)2^7.96(m).

答：鋼纜ED的長(zhǎng)度約為7.96m.

活動(dòng)五：課堂小結(jié)與作業(yè)

【作業(yè)】課本P21習(xí)題1.6中的T2、T3、T4.

教學(xué)反思＞

本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：結(jié)合實(shí)際情景抽象出幾何圖形，利用直角三角形的邊角關(guān)系解

決實(shí)際問題.通過“觸礁”問題的解決，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，初步掌握數(shù)學(xué)建模的方法，然

后再放手讓學(xué)生自主解決問題.

6利用三角函數(shù)測(cè)高

教學(xué)目標(biāo)!

1.能夠?qū)x器進(jìn)行調(diào)整并能熟練運(yùn)用儀器進(jìn)行實(shí)地測(cè)量.

2.能夠?qū)λ玫降臄?shù)據(jù)進(jìn)行分析，能夠?qū)x器進(jìn)行調(diào)整和對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行矯正，從而得

出符合實(shí)際的結(jié)果.

教學(xué)重點(diǎn)!

運(yùn)用儀器進(jìn)行實(shí)地測(cè)量以及撰寫活動(dòng)報(bào)告.

教學(xué)難點(diǎn)!

探究測(cè)量底部不可到達(dá)的物體的高度的方法，并用字母表示結(jié)果.

教學(xué)活動(dòng)!

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)

如圖，站在離旗桿BE底部10m處的。點(diǎn)，目測(cè)旗桿的頂部，視線AB與水平線的夾角

N8AC為34°,并已知目高AO為1.5m.現(xiàn)在若按1：500的比例將AABC畫在紙上，并記

為4ABC,用刻度直尺量出紙上夕C的長(zhǎng)度，便可以算出旗桿的實(shí)際高度，你知道計(jì)算的

方法嗎？

實(shí)際上，我們利用圖①中已知的數(shù)據(jù)就可以直接計(jì)算旗桿的高度，而這一問題的解決將

涉及直角三角形中的邊角關(guān)系.我們已經(jīng)知道直角三角形的三條邊所滿足的關(guān)系(即勾股定

理)，那么它的邊與角又有什么關(guān)系？這就是本節(jié)課要探究的內(nèi)容.

圖①圖②

活動(dòng)二：實(shí)踐探究交流新知

【探究1】測(cè)量?jī)A斜角(仰角或俯角)

測(cè)量?jī)A斜角可以用測(cè)傾器，簡(jiǎn)單的測(cè)傾器由度盤、鉛錘和支桿組成(如圖).

」--支桿

測(cè)量?jī)A斜角的步驟：

(1)把支架豎直插入地面，使支架的中心線、鉛錘線和度盤的0°刻度線重合，這時(shí)度盤

的頂線PQ在水平位置.

M

E

N

(2)轉(zhuǎn)動(dòng)度盤，使度盤的直徑對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)M,記下此時(shí)鉛垂線所指的讀數(shù).

測(cè)量?jī)A斜角的原理：

VZBCA+Z￡CB=90°,ZMCE+ZECB=90°,

.,./8。1=/加?！暌虼俗x出/8。4的度數(shù)，也就讀出了仰角/MCE的度數(shù).

【探究2】測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度

所謂“底部可以到達(dá)”，就是在地面上可以無障礙地直接測(cè)得測(cè)點(diǎn)與被測(cè)物體的底部之

間的距離.

如圖，要測(cè)量物體MN的高度，需測(cè)量哪些數(shù)據(jù)？

測(cè)量AN及AC的長(zhǎng)，測(cè)量仰角ZMCE.

你能說出測(cè)量物體MN的高度的一般步驟嗎？需要測(cè)得的數(shù)據(jù)用字母表示.

(學(xué)生之間討論后回答)

(1)在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得M的仰角ZMCE=a.

(2)量出測(cè)點(diǎn)A到物體底部N的水平距離AN=L

(3)量出測(cè)傾器的高度AC=a.

根據(jù)剛才測(cè)量的數(shù)據(jù)，你能求出物體何N的高度嗎？說說你的理由.和同伴交流一下你

的發(fā)現(xiàn).

在RtZ^MCE中，M￡=￡Ctana=AN-tana=I-tana,

.'.MN=ME+EN=ME+AC=ltana+a.

那么底部不可以直接到達(dá)的物體的高度如何測(cè)量呢？

【探究3】測(cè)量底部不可以直接到達(dá)的物體的高度

所謂“底部不可以到達(dá)”，就是在地面上不能直接測(cè)得測(cè)點(diǎn)與被測(cè)物體的底部之間的距

離.

如圖，要測(cè)量物體MN的高度，可以按下列步驟進(jìn)行:

(1)在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)M的仰角ZMCE=a.

(2)在測(cè)點(diǎn)A與物體之間的B處安置測(cè)傾器(點(diǎn)A,3與N在一條直線上，且A,8之間的

距離可以直接測(cè)得)，測(cè)得此時(shí)M的仰角ZMDE=p.

(3)量出測(cè)傾器的高度AC=8O=“，以及測(cè)點(diǎn)4,B之間的距離AB=b.

根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，物體的高度計(jì)算過程如下：

"_一_ME

在中，ED=-------，

tanP

ME

在RtZ\MCE中，EC=--------.

tana

.MEME

?：EC—ED=CD,

**tanatanB

btanatan￡

?『an"tana'

btanotanB

+a.

?"tan"tan。

活動(dòng)三：開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例

【例1】如圖，從地面C,。兩處望山頂A,仰角分別為30°,45。.若C,。兩處相距

200m,求山高4B.

【方法指導(dǎo)】由A2_L8C,ZADB=45°,則43=03.設(shè)AB=￡>B=xm,則C8=(200

+x)m,即可求出x.

解：在RtZ\AO8中，/AOB=45°,：.AB=DB.:&.AB=DB^xm,則CB=(200+x)m.

在RtZXABC中，ZC=30°,Atan300=前，

即x=tan30°X(200+x),解得彳=100+10所.

答：山高AB是(100+10麗)m.

活動(dòng)四：隨堂練習(xí)

1.直升飛機(jī)在離地面2000m的上空測(cè)得上海東方明珠底部的俯角為30°,此時(shí)直升

飛機(jī)與上海東方明珠底部之間的距離是(C)

A.2000mB.2000\/3m

C.4000mD.400Mm

2.九年級(jí)(1)班的同學(xué)為了了解教學(xué)樓前一棵樹生長(zhǎng)情況，去年在教學(xué)樓前點(diǎn)A處測(cè)得

樹頂點(diǎn)C的仰角為30°,樹高5m,今年他們?nèi)栽谠谹處測(cè)得大樹。的仰角為37°,問

這棵樹一年生長(zhǎng)了多少米？(精確到0.01,參考數(shù)據(jù)：sin370弋0.6,cos37°?0.8,tan37

~0.75,小=1.732)

解：1.5m.

活動(dòng)五：課堂小結(jié)與作業(yè)

【作業(yè)】課本P23習(xí)題1.7中的T1、

T2、T3.

教學(xué)反思?

通過對(duì)上節(jié)課所學(xué)知識(shí)的回顧以及問題的拋出，設(shè)計(jì)活動(dòng)方案初步填寫活動(dòng)報(bào)告表，使

所有學(xué)生對(duì)本節(jié)課的活動(dòng)從理性上有清醒的認(rèn)識(shí)，明確自己在活動(dòng)中的任務(wù),室內(nèi)活動(dòng)為室

外活動(dòng)做好了充分的準(zhǔn)備.

第二章二次函數(shù)

1二次函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)!

I.探索并歸納二次函數(shù)的定義，能夠表示簡(jiǎn)單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系.

2.經(jīng)歷探索、分析和建立兩個(gè)變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)如何用數(shù)學(xué)

的方法描述變量之間的數(shù)量關(guān)系.

教學(xué)重點(diǎn)!

對(duì)二次函數(shù)概念的理解.

教學(xué)難點(diǎn)!

根據(jù)題意，尋找變量之間的關(guān)系.

教學(xué)活動(dòng)!

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)

請(qǐng)同學(xué)們先欣賞幾幅圖片，如圖.(教師播放課件)

在客觀世界中存在很多這樣的圖形形狀，我們把它們叫做拋物線.我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)方法

研究它、描述它呢？從本節(jié)課開始，我們就一起來研究這一問題.

活動(dòng)二：實(shí)踐探究交流新知

【探究1】

某果園有100棵橙子樹，平均每棵樹結(jié)600個(gè)橙子.現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高果園

產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹能獲得的陽光就會(huì)減少.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估

計(jì)，每多種一棵樹，平均每棵樹就會(huì)少結(jié)5個(gè)橙子.

(1)問題中有哪些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？

(2)假設(shè)果園增種x棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹？這時(shí)平均每棵樹結(jié)多少個(gè)橙

子？

(3)如果果園橙子的總產(chǎn)量為y個(gè)，那么請(qǐng)你寫出y與x之間的關(guān)系式.

解：(1)學(xué)生回答的角度豐富多彩，但只要合理即可；

(2)(100+%)?,(600—5x)個(gè)；

(3)y=(600-5x)(100+x)=-5/+100x+60000.

特點(diǎn)：含x項(xiàng)的最高次數(shù)為2.

【探究2】

設(shè)人民幣一年定期儲(chǔ)蓄的年利率是X,一年到期后，銀行將本金和利息自動(dòng)按一年定期

儲(chǔ)蓄轉(zhuǎn)存.如果存款額是100元，那么請(qǐng)你寫出兩年后的本息和y(元)的表達(dá)式.

解：y=100(1+x)2=100^+200%+100.

特點(diǎn)：含x項(xiàng)的最高次數(shù)是2.

【歸納】一般地，若兩個(gè)變量x,y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示成y=or2+bx+c(a,b,c

是常數(shù)，“wO)的形式，則稱y是x的二次函數(shù).

活動(dòng)三：開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例

［例1］下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

x~\~1

(1)丫=2。-1y+1；(2)y==;(3)s=l-2巴

(4)y=-5X2.

解：(1)(3)(4)是二次函數(shù)，(2)不是.

【例2】已知函數(shù))，=(?1+2)小加2-2是關(guān)于x的二次函數(shù)，求機(jī)的值.

解：是x的二次函數(shù)，