函數(shù)的概念與圖象(函數(shù)基本概念)

1.2.1函數(shù)的概念與圖象(函數(shù)基本概念)

例1.判斷下列對應是否為函數(shù)：

2

(1)X——,%。0,%￡尺；

X

(2)xfy,這里y1=x,xeN,yGR.

補充：

(1)A=R,5={x￡RIA:>0},f：x-^y=\x\；

(2)A=B=N.f:x^y=\x-?\；

(3)A={xe7?Ix>0},

(4)A={x|OWxW6},5={%|0fy=3

例1:已知集合P={鄧)4％44}，Q={y[O<y<2^下列不表示從P到Q的映射是()

A.f:X—y」xB.f:xfy二1XC.f:x~^y=lxD.f:x—y=&

233

分析:判斷是否為函數(shù)應從定義入手，其關(guān)鍵是是否為單值對應，單值對應的關(guān)鍵是元素對

應的存在性和唯一性。

例2.下列各圖中表示函數(shù)的是()

例3在下列各組函數(shù)中，/(%)與g(%)表示同一函數(shù)的是()

A./(x)=1,^(x)=xOB.y=x與y=

C.y=x?與y=(x+l)2D./(x)=IXI,g(x);E

r3x-6(尤20)

例4已知函數(shù)/(%)=<求/(I)及/[/(I)]

l%+5(x<0),

：已知/(2尤+1)=尤2—2無，則/(3)=

：已知函數(shù)/'(x),g(x)分別由下表給出

X123X123

f(X)131g(x)321

則/[g(l)]的值為;滿足/[g(x)]>g[f(x)]的x的值是

【課內(nèi)練習】

1.下列圖象中表示函數(shù)y=f(x)關(guān)系的有()

A.(1)(2)(4)B.(1)(2)C.(2)(3)(4)D.⑴⑷

2.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.y=_]2X+9和y=B.丁=尤2和丁=彳區(qū)

C.y=X^y=D.》=%和丁=(丁

3.下列四個命題

(1)/(X)=JJC—2+"^有意義;

(2)/(x)表示的是含有x的代數(shù)式

(3)函數(shù)y=2x(xeN)的圖象是一直線；

x2,x>0

(4)函數(shù)尸\的圖象是拋物線，其中正確的命題個數(shù)是()

-x,x<0

A.1B.2C.3D.0

K"i),則f(烏二

4.已知千(x)=<

1-x2(x<1)3

5.已知有茜足Hab)二大(石)+3且尸(2)=p,/(3)=4那么/(72)=

【鞏固提高】

1.下列各圖中，可表示函數(shù)y=/(x)的圖象的只可能是()

2.下列各項中表示同一函數(shù)的是()

A.y=(九一I)。與,=]y

2x

C.y=x-l,xeR與y=x-l,xeND./(x)=2x—1與g?)=2/'-1

3.若/(乃=/+口(。為常數(shù))，/(V2)=3,貝l]a=()

A.-1B.10.2D.-2

4.設/(x)=X^+—],xw±l,貝lJ/(—x)等于()

x-1

]1

A.B.C.D./(x)

/U)

5.已知/(x)=Y+i,則/⑵=,/(%+1)=

6.已知/(x)=x—1,%e2且％6[—1,4],則/(x)的定義域是

值域是

7.已知/(x)=J,貝U/?(與)=

8.設/(幻=1+1,求/{/"(0)]}的值

19

9.已知函數(shù)/(x)=彳x+3,求使/(x)eQ,4)的光的取值范圍

28

10.若/(x)毒2—+1,g(x)=x—1,求〃g(x)],g"(x)]

1.2.1函數(shù)的概念與圖象(求函數(shù)的定義域)

例1.求下列函數(shù)的定義域：

(1)/(x)=yjl+X-X(2)/(%)=—(3)/(X)=―5—⑷/(X)=J5-XT——--

.X一國1+22-X

X

例2.周長為/的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架(如圖)，若矩形底邊長為2x,

求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域

例3.若函數(shù)y=/(x)的定義域為[―1,1]

(1)求函數(shù)/(x+1)的定義域；

(2)求函數(shù)y=/(x+L)+/(x—L)的定義域。

44

【課內(nèi)練習】

1.函數(shù)/■(x)=^^的定義域是()

x-\x\

A.(一8,0)B.(0,+oo)C.[0,+oo)D.R

2.函數(shù)f(x)的定義域是[工，1],則y=f(3-x)的定義域是()

2

A[0,1]B[2,1]C[0,1]D(—8,3)

3.函數(shù)=—x)°+J匚I的定義域是：

【鞏固提高】

1.函數(shù)y=Jl—%?+J%2—1的定義域是()

A.[-1,1]B.(―8,—l]U[l,+8)C.[0,1]D.{-1,1}

2.已知/(x)的定義域為【―2,2】，則/(I—2%)的定義域為()

133

A.[-2,2]B.C.[-1,3]D.[-y

3.函數(shù)的定義域是()

A.B.{x|x<0}C.1x|x<0,x^-l}D.{x[%wO,%w-l}

4.函數(shù)y=----的定義域是

X

5.函數(shù)/(%)=|x+l|的定義域是;值域是.

6.函數(shù)y=j的定義域是：______________________-

1Txi

1：若函數(shù)y=/(x)的定義域是[1,4],則y=/(2x—1)的定義域是

2：若函數(shù)y=/(3%-1)的定義域是[1,2],則y=/(2x—1)的定義域是.

3：已知/(x)的定義域為[-1,2),則/(|x|)的定義域為()

A.[-1,2)B.[-1,1]C.(-2,2)D.[-2,2)

4.如果函數(shù)f(x)=心+4數(shù)+3的定義域為R,則實數(shù)k的取值范圍是.

7.求下列函數(shù)的定義域

(1)、=J2無+3；(3)y=-------

(l-2x)(x+l)x+5

8.若函數(shù)/(x)的定義域為xe[-3,l],則/⑺=/⑺+4-0的定義域.

9.用長為30cm的鐵絲圍成矩形，試將矩形面積S(cm1)表示為矩形一邊長的函

數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象.

10.已知函數(shù)/(x)=a%2+bx+c,若/(O)=O,/(x+l)=/(尤)+無+1,求/(x)的表達

式.

不等式+根的分步問題(補充知識)

(1)含絕對值的不等式的解法

不等式解集

Ix|<a(a>0){x\-a<x<a]

|x|>a(a>0)x\x<-a-^x>a]

把ax+6看成一個整體，化成I%l<a,

|ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)

|x|>a(a>0)型不等式來求解

絕對值不等式的幾何意義：上―。|<匕表示數(shù)軸x上的點。的距離小于例如：,―1|<2

解析：x到1的距離等于2的點有7和3故答案T<%<3

幾何意義在不等式的運算中運用極廣，是解決不等值比較巧妙的方法之一

(2)一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

A=〃-4ac

\/

二次函數(shù)

\/

y=ax2+bx+c{a>0)招\(zhòng)

0北1-*2

的圖象

一元二次方程-b±飛b2—4ac

%=、

2ab

ax2+bx+c=0(cz>0)玉==一丁無實根

2a

的根(其中X</)

ax1+Z?x+c>0(a>0)b

{1[%<%1或%>%2}R

{x|2a

的解集

ax2+Z?x+c<0(a>0)

{x\xi<x<x2]00

的解集

1、求解下列不等式

Y—2

(1)X3X2-7XO⑵、—2/+Xe<0(3)-X2+4X^<0(4)-——<0

xx+5

2、求下列函數(shù)的定義域

(1)、y=J九2—4光+9(2)、=,-2尤2+12%-18

一元二次方程根的分布

例90：關(guān)于x的方程。l+1=0的兩根在(0,3)之間，求〃的取值范圍.

例91：已知二次函數(shù)y=(m+2)%2—(2m+4卜+(3m+3)與x軸有兩個交點，一個大于1,

一個小于1,求實數(shù)加的取值范圍

例92：求實數(shù)m的取值范圍，使關(guān)于x的方程x2+2（m-l）x+2777+6=0,

（1）有兩個實數(shù)根，且一個比2大，一個比2??；（2）有兩個實數(shù)根，且都比1大；（3）

有兩個實數(shù)根，且滿足兩根都在（0,3之間）；（4）至少有一個正根

1.2,1函數(shù)的概念與圖象（值域問題）

例1.求下列函數(shù)的值域:

(1)y=2x+1,xG{1,2,3,4,5}；(2)y=?+1;

x1-x2

(3)y(4)y-

x+11+x2

(5)y=-x2-2x+3變題：y=~%?—2x+3(—5W%W—2)；

(6)y=X+A/2X-1

例2.若函數(shù)y=f—3%-4的定義域為值域為[-彳,-4],求相的取值范圍

【課堂練習】

2

1.函數(shù)y=——(x>0)的值域為()

1+x

A.[0,2]B.(0,2]C.(0,2)D.[0,2)

2.函數(shù)y=2x?-4x-3,0WxW3的值域為()

A(-3,3)B(-5,-3)C(-5,3)D(-5,+8)

2

3.函數(shù)y=——,xe[—4,-1]的最大值是()

A.2B.—C.-1D.-4

2

4.函數(shù)y=%2（尤w-2）的值域為

5.求函數(shù)y=x+Jl—2%的定義域和值域

求函數(shù)值域八種方法（補充知識）

（1）.觀察法：由函數(shù)的定義域結(jié)合圖象，或直觀觀察，準確判斷函數(shù)值域的方法。

例1：求函數(shù)丁=?^?+而1,（》三1）的值域。

例2：求函數(shù)y=Vx2+6%+10的值域。

例3：求函數(shù)y=x—Jl—2x的值域。

例4：求函數(shù)y=2"無仁［—2,2］的值域。

例5：求函數(shù)y=—2f+5x+6的值域。

（3）.判別式法：通過二次方程的判別式求值域的方法。

?r+1

例6：求函數(shù)>--------的值域。

■X2-2X+2

（4）.反函數(shù)法：利用求已知函數(shù)的反函數(shù)的定義域，從而得到原函數(shù)的值域的方法。

例7：求函數(shù)>=-----的值域。

x—2

C47跖QX-\-b（d）M/士IT

例8：求函數(shù)y=------,cwO,%w——的值域。

cx+a\cJ

（5）.換元法：通過對函數(shù)恒等變形，將函數(shù)化為易求值域的函數(shù)形式來求值域的方法。

例9：求函數(shù)y=x—J1—2%的值域。

（6）.分離常數(shù)法：分離出常數(shù)，轉(zhuǎn)化為分母只帶未知數(shù)。

例10：求函數(shù)丁=」一［―1,—）和（一刀的值域。

3x-233

例11：求函數(shù)>=-2—x^（12x2—1）的值域。

2+x

（7）.圖象法：如果可能做出函數(shù)的圖象，可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域（求某些分段函

數(shù)的值域常用此方法）。

例12：求函數(shù)y=|x—3|—卜+1忡勺值域。

例13：求函數(shù)y=|x—3|+卜+1］的值域。

重點補充(對勾函數(shù))

b

(3)雙勾函數(shù)：形如：y=ax+—.a>O,b>0,

其圖像:

b

當以=2時，此時解出的光的值為函數(shù)的極值點，把

X

X代入原函數(shù)，可解出此時的最小值或最大值。

(4)可化為雙勾函數(shù)的函數(shù)：形如丫=二十

kx+m

例78：求下列函數(shù)的最值

⑴y=——,(x>1)；⑵y=%+3%+4,(0vxv

x-1x+1

例題一：

(1)函數(shù)〃%)=ax2+2x+l,若對任意xe[l,+8),/(x)>0恒成立，則實數(shù)。的

取值范圍是°

(2)函數(shù)y二上二(—3KxK—l,且1。2)的值域是

x+2

(3)對于滿足|a|?2的所有實數(shù)a,求使不等式x?+ax+l>2a+x恒成立的x的取值范圍。

(4)設/(x)=%2-2根x+2,當工￡[-1,+8)時，/(x)N加恒成立，求實數(shù)相的取值范

圍。

【鞏固提高】

1.函數(shù)y=L(X〉l)的值域是()

X

A.(-oo,0)U(0,+oo)B.RC.(0,1)D.(1,+oo)走

2.下列函數(shù)中，值域是(0,+8)的是()

A.y-A/X2-3x+1B.y=2x+l(x>0)C.y=x2+x+lD.—

■.x

3.已知函數(shù)/(x)的值域是[―2,2],則函數(shù)丁=/(1+1)的值域是()

A.[-1,3]B,[-3,1]c.[-2,2]D,[-1,1]

4./(x)=x2-|4%e{±l,±2,±3),則/(x)的值域是:.

5.函數(shù)y=x-2y]l-x+2的值域為：.

6.函數(shù)y=丁’——的值域為：

x2-2x+2

7.求下列函數(shù)的值域

(1)y=yjx-l(2)y=—2x2—%—1

x2-l

⑶y=x2(-2<x<3)(4)y=

x2+l

_l+2x

(5)y=2x-\Jx—l(6)y

l-3x

x2+22x?+4x+1

(4)y=,xe[l,+oo)

J=VXT2x

8.當xe[l,3]時，求函數(shù)/（九）=2/—6x+c的值域

1.2.1函數(shù)的概念與圖象（圖像）

補充知識：函數(shù)圖像的變換

①平移變換

V_5（x）力＞0,左移五個單位_f（+力）V_k＞。,上移左個單位＞_f（\+k

丁一J（町一＜o,右移i川個單位＞y-J^x+n）y-jw-＜o,下移?川個單位＞y-jxw+K

②伸縮變換

OvgvI,伸

y=/(x)

81,縮

縮

0<Avl,,y=4f(x)

y=A>1,伸

③對稱變換

y=f(X)^^y=-f(X)y=/(九)’軸>y=/(一%)

y=f(x)原點>y=-/(-X)y=/(x)直線…>y=廣(x)

去掉軸左邊圖象

y=/(x)y〉y=/(|x|)

保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱圖象

-f（\_____保留%軸上方圖象____＜-lf（\I

yv~Jx將X軸下方圖象翻折上去vT7WxI

例1.畫出下列函數(shù)的圖象，并求值域:

(1)y=3x-l,xe[1,2]；⑵y=(-1)>xe{0,1,2,3)；

⑶j=|x|；變題：y=|x-l|；(4)y=x2-2|x|-2

函數(shù)y=x“一3|x|+((xGT?)的單調(diào)區(qū)間有

例4.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖，則y=f(l-x)的圖象是()

flA"B"C"Dn

-1|01&X\jo1*X.*2-1|o--1|o-1*X-1|o1

變式：設函數(shù)y=f(x)的定義域為R,則函數(shù)y=f(x-l)與函數(shù)y=f(l-x)的圖象關(guān)于()。

(A)直線y=0對稱(B)直線x=0對稱

(C)直線y=1對稱(D)直線x=1對稱

例9已知函數(shù)f(x)=|/—4^+3

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；

(2)若關(guān)于x的方程f(x)—@=了至少有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.

變題②作出函數(shù)f(x)=Ix+1|+|x-2|的圖象

例2.直線*3與函數(shù)*|x?-6x|圖象的交點個數(shù)為()

(⑷4個(8)3個(C)2個(勿1個

例3.下圖中的A.B.C.D四個圖象中,用哪三個分別描述下列三件事最合適，并請你為剩

下的一個圖象寫出一件事。

(2)我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間;

(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間加快了速度。

【課堂練習】

1.下列四個圖像中，是函數(shù)圖像的是（）

A、（1）B、（1）、（3）、（4）C、（1）、（2）、（3）D、（3）、

（4）

2.直線x=a（aeR）和函數(shù)y=V+l的圖象的交點個數(shù)（）

A至多一個B至少有一個0有且僅有一個D有一個或兩個以上

3.函數(shù)y=|x+1|+1的圖象是（）

"4yA

2/J/一

0V0X°x/01X

ABCD

5.作出函數(shù)丁=%2一21—3（%〈—1或》〉2）的圖象；

【鞏固提高】

1.某學生離家去學校，由于怕遲到，所以一開始就跑步等跑累了再走作余下的路，在

下圖中縱軸表示離學校距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下圖中較符合學生走法的是

（）

dCAdx

kA一J二，

°l七1?

0t

1）

3.下列各圖象中，哪一個不可能是函數(shù)y=/(x)的圖象(）

4.函數(shù),=依+/幼#0）的圖象不通過第一象限，則左力滿足（）

A.k<0,b>0B.k<0,b<0C.k>0,b<0D.k>0,b>0

y

yyy

2.已知函數(shù)y=/(x)的圖象如下圖所示，則函數(shù)y=/(|x|)的圖象為()

,\x+\

則下列函數(shù)的圖象錯誤的是().

3已知/⑴X』xe[0,1]■,

V

7.函數(shù)y=3x-l(lWxW2)的圖象是

8.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,0)和(-2,1),則此函數(shù)的解析式為

9.若二次函數(shù)y=-%2+2mx-m2+3的圖象的對稱軸為x=-2,則m=

10.在同一個坐標系中作出函數(shù)/(x)=(x-1了與g(x)=|x-1的圖象

(1)問：y=g(x)的圖象關(guān)于什么直線對稱？

(2)已知不<X2<1,比較大?。篻(尤1)g(x2)

1.2.2函數(shù)的表示方法(解析式)

例1.購買某種飲料X聽，所需錢數(shù)為y元.若每聽2元，試分別用解析法、列表法、圖象

法將y表示乂(兀€{1,2,3,4})成的函數(shù)，并指出該函數(shù)的值域.

例2.(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))=4x7,求f(x)的表達式；

(2)已知f(2x-3)=X2+x+1,求f(x)的表達式；

已知/(6+l)=x+l,則函數(shù)/(x)=

：已知二次函數(shù)/(X)滿足條件/(0)=1及/(x+1)-/(x)=2x。則/(x)的解析式

變式：B^/(x)+2/Q^|=x2+L則f(x)=

4.湊配法

0

例12:若/(%——1)=%2+1則函數(shù)/(%—])=.

XX

變題③求函數(shù)f(x)=Ix+1|+|X-2|的值域

x+5,%V—1,

例4.已知函數(shù)/(%)=—1<%<1,

x>1.

⑴求千(-3)、f[f(-3)](2)若干(a)二一，求a的值.

2

【課堂練習】

1.用長為30cm的鐵絲圍成矩形，試將矩形面積S(c/712)表示為矩形一邊長x(cm)的函

數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象.

2.若f(f(x))=2x—1,其中f(x)為一次函數(shù),求f(x)的解析式.

3.已知f(x-3)=爐+2%+1,求f(x+3)的表達式.

4.如圖，根據(jù)y=f(x)(xeR)的圖象，寫出y=f(x)的解析式.

【歸納反思】

1.函數(shù)關(guān)系的表示方法主要有三種：解析法，列表法和圖象法.這三種表示方法各有優(yōu)缺

點,千萬不能誤認為只有解析式表示出來的對應關(guān)系才是函數(shù)；

2.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種常用的表示方法,要求兩個變量間的函數(shù)關(guān)系,一是要求出

它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域；

3.無論運用哪種方法表示函數(shù),都不能忽略函數(shù)的定義域;對于分段函數(shù),還必須注意在不

同的定義范圍內(nèi)，函數(shù)有不同的對應關(guān)系,必須先分段研究,再合并寫出函數(shù)的表達式.

【鞏固提高】

1.函數(shù)f（x）=Ix+3|的圖象是（）

2.已知〃2x)=2x+3,則〃%)等于()

Y

B.x+3C.—F3D,2x+3

22

3.已知一次函數(shù)的圖象過點（1,0）以及（0,1）,則此一次函數(shù)的解析式為（）

A.y=-x+lB.y=x+1C.y=x-1D.y=-x-l

x+2(x<-l)

4.已知函數(shù)y=/(x)={x2(_i<x<2),且f(a)=3,則實數(shù)a的值為()

2x(x>2)

A.1B.1.50.-y/3D.6

5.若函數(shù)/(x)=x2-wu+H,f(n)=m,/(l)=-1,則/(一5)=

6.某航空公司規(guī)定，乘機所攜帶行李的重量（kg）與其運費（元）

由如圖的一次函數(shù)圖象確定，那么乘客免費可攜帶行李的最大重

量為

X1->0

7.畫出函數(shù)f（x）=（9'的圖象,

xx<0,

并求f（G+2）+f（6—2）的值.

8.畫出下列函數(shù)的圖象

fx2+1,x<0

(1)y=x—I1—x|

[―2x,x>0

9.求函數(shù)y=1—I1-x|的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積.

10.如圖，在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點P,它沿著折線

BCDA由點B(起點)向A(終點)運動.設點P運動的路程為x,

AAPB的面積為y.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表示式，并指出定義域；

(2)畫出y=f(x)的圖象.

AB

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性(一)

1.畫出下列函數(shù)圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間：

,1

(1)y--x2+2(2)y=—(%wO)

x

2.證明/(%)=-6在定義域上是減函數(shù)

3.討論函數(shù)y=/的單調(diào)性

【課內(nèi)練習】

1.判斷/(無)=——1在(0,+oo)上是增函數(shù)還是減函數(shù)

2.判斷/■(無)=f2+2x在(一8,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)

3.下列函數(shù)中，在(0,2)上為增函數(shù)的是()

1,

(A)y=-(B)y=2x-1(C)y=1-x(D)y=(2x—1廠

X

4.函數(shù)y=L_〔的單調(diào)遞___區(qū)間為

X

1

5.證明函數(shù)f(x)=-x9-+x在(一，+00)上為減函數(shù)

2

【鞏固提高】

1.已知f(x)=(2k+1)x+1在(-00,+00)上是減函數(shù)，貝I]()

(A)k>-(B)k<-(C)k>--(Dk<--

2222

2.在區(qū)間(0,+8)上不是增函數(shù)的是()

2

(A)y=2x+1(B)y=3x2+1(C)y=-(D)y=3x2+x+1

x

3.若函數(shù)f(x)=X2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-oo,4)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的

取值范圍是()

(A)a<-3(B)a>-3(0)a<3(D)a>3

4.如果函數(shù)f(x)是實數(shù)集R上的增函數(shù)，a是實數(shù)，則()

(A)f(/)>f(a+1)(B)f(a)<f(3a)

(C)f(<?+a)>f(。2)⑴)f(6t)<f(/)

5.函數(shù)y=，的單調(diào)減區(qū)間為

x+1

6.函數(shù)y=|x+l|+|2-^的增區(qū)間為減區(qū)間為

7.證明：/(x)=二在(0,+8)上是減函數(shù)

X

8.證明函數(shù)/(x)=x+^在(0,1)上是減函數(shù)

x

9.定義域為R的函數(shù)f(x)在區(qū)間(一8,5)上單調(diào)遞減，對注意實數(shù)t都有

f(5+t)=f(5-t),那么f(-1),f(9),f(13)的大小關(guān)系是

10.若f(x)是定義在［—1,1］上的減函數(shù)，f(x-1)<f(%2-1),求x的取值范圍

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性

[

【預習自測】

1.求下列函數(shù)的最小值

(1)y=—,xe[1,3](2)y=ax+1,(a0),xe[1,3]

X

2.已知函數(shù)/(%)=/+加%—1,且f(-1)=-3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間［2,3］內(nèi)的最值。

3.已知函數(shù)y=f(x)的定義域是［a,b］,a<c<b,當xG［a,c］時,f(x)是單調(diào)增函數(shù);當

xG［c,b］時，f(x)是單調(diào)減函數(shù),試證明f(x)在x=c時取得最大值。

【課內(nèi)練習】

1.函數(shù)千(x)=-2x+1在［7,2］上的最大值和最小值分別是()

(A)3,0(B)3,-3(0)2,-3(D)2,-2

2.丁=!在區(qū)間(―2,-1］上有最大值嗎？有最小值嗎？

X

3.求函數(shù)y=*2—2龍+3,2,0］的最小值

4.已知f(x)在區(qū)間［a,c］上單調(diào)遞減,在區(qū)間［c,d］上單調(diào)遞增，則f(x)在［a,d］上

最小值為

5,填表已知函數(shù)f(x),的定義域是F,函數(shù)g(x)的定義域是G,且對于任意的xeG,

g(%)eF,試根據(jù)下表中所給的條件，用“增函數(shù)”、“減函數(shù)”、“不能確定”填空。

f(x)g(x)f(x)+g(x)千(x)-g(x)

增增

增減

減增

減減

【歸納反思】

1.函數(shù)的單調(diào)形是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，在應用函數(shù)的觀點解決問題中

起著十分重要的作用

1.利用函數(shù)的單調(diào)性來求最值是求最值的基本方法之一

【鞏固提高】

1.函數(shù)y=-x2+x在［-3,0］的最大值和最小值分別是()

(A)0,-6(B)-,0(0)-6(D)0,-12

44

2.已知二次函數(shù)f(x)=2x2-mx+3在(―8,—2］上是減函數(shù)，在［―2,+oo)上是增函數(shù)，

則實數(shù)m的取值是()

(A)-2(B)-8(0)2(D)8

3.已知函數(shù)f(x)=ax?-6ax+1(a>0),則下列關(guān)系中正確的是()

(A)f(V2)<f(V3)(B)f(V5)<f(3)⑹⑴(D)f⑵>f(3)

4.若f(x)是R上的增函數(shù)，對于實數(shù)a,b,若a+b>0,則有()

(A)f(a)+千(b)>f(-a)+千(-b)(B)f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)

(C)f(a)-f(b)>f(-a)-f(一b)(D)f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b)

2

5.函數(shù)y=-—+1在［1,3］上的最大值為最小值為

6.函數(shù)y=-x?+2x-1在區(qū)間［0,3］的最小值為

7.求函數(shù)y=-2x2+3x-1在［-2,1］上的最值

8.求/(%)=爐—2a尤—l,xe［0,2］上的最小值

9.已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，且f(x?+x)>f(a-x)對一切xGR都成立，

求實數(shù)a的取值范圍

10.已知二次函數(shù)/(x)=x2+bx+c(b、c為常數(shù))滿足條件：f(0)=10,且對任意實數(shù)x,

都有f(3+x)=f(3-x)o

(1)求f(x)的解析式；

(2)若當f(x)的定義域為［m,8］時,函數(shù)y=f(x)的值域恰為［2m,n］,求m、n的值。

L3.2函數(shù)的奇偶性

【自學目標】

1.掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義

2.會判斷和證明函數(shù)的奇偶性

【知識要點】

1.奇、偶函數(shù)的定義

2.奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)(等價性)

3.函數(shù)奇偶性的判斷方法和步驟

【預習自測】

例1.判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性

⑴/(九)=羽(2)/(x)=(x-l)2

2

⑶/?=0(4)/(%)=%-1,%e(0,1)

(5)/(x)=Vx-1+Jl-x(6)/(x)=尤'+2%3+3x

例2.已知函數(shù)/(x)=x—工

x

⑴判斷奇偶性⑵判斷單調(diào)性⑶求函數(shù)的值域

例3.若f(x)為奇函數(shù),且當x>0時，f(x)=x|x-2|,求x〈。時f(x)的表達式

【課內(nèi)練習】

1.奇函數(shù)y=f(x),xCR的圖象必經(jīng)過點()

A.(a,f(-a))B.(-a,f(a))C.(-a,-f(a))D.(a,f(—))

a

2.對于定義在R上的奇函數(shù)f(x)有()

A.f(x)+f(-x)<0B.f(x)-f(-x)<0C.f(x)千(一x)W0D.f(x)f(-x)>0

3.已知/(x)=丁+a%3+bx—8且千(-2)=0,那么f(2)等于

4.奇函數(shù)f(x)在14W4時解吸式為了(%)=%2—4%+5,則當-44WT時，f(x)

最大值為

5.f(x)=%3+機幺+〃%為奇函數(shù)，y=%2+〃l+3在(_8,3)上為減函數(shù)，

在(3,+8)上為增函數(shù)，則n=

【鞏固提高】

1.已知函數(shù)f(x)在1-5,5］上是奇函數(shù)，且f(3)則()

(A)f(-1)<f(-3)(B)f(0)>f(1)

(0)f(-1)<f(1)(D)f(-3)>f(-5)

2.下列函數(shù)中既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)的是()

/、1/、1

(A)y=—(B)y=-z——

Xx~+\

Y

(C)y=0,xG［-1,2］(D)y=——

X+1

3.設函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),則實數(shù)a的值為()

(A)-1(B)0(C)2(D)1

4.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間［3,7］上是增函數(shù)且最小值為5,那么千(x)在

區(qū)間-7,-3］上是()

(A)增函數(shù)且最小值為-5(B)增函數(shù)且最大值為-5

(O減函數(shù)且最大值為-5(D)減函數(shù)且最小值為-5

5.如果二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a芋0)是偶函數(shù)，則b=

6,若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，貝I］f(0)=

7.已知函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則f(-〃)，

f(3)之間的大小關(guān)系是

3,

8.f(x)為R上的偶函數(shù)，在(0,+8)上為減函數(shù)，則p=f(——)與4=f(a-a+1)

4

的大小關(guān)系為

9.已知函數(shù)f(x)=x2+mx+n(m,n是常數(shù))是偶函數(shù)，求f(x)的最小值

10.已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，在［0,+8)上為減函數(shù)，f(a)=0(a>0)

求xf(x)<0的解集

2.1.1指數(shù)函數(shù)分數(shù)指數(shù)幕⑴

例1.試根據(jù)n次方根的定義分別寫出下列各數(shù)的n次方根。

⑴25的平方根;⑵27的三次方根;

⑶一32的五次方根;(4)的三次方根.

例2.求下列各式的值：

(1)(V5)2；⑵y(-21；

(3)也-2尸；(4)7(a-b)2o

例3.化簡下列各式：

(1)我1；(2)^32；

(3)Va2b4；

例4.化簡下列各式：

(1)^5-246+77-473-76-472；

3+V3

⑵

72-^2-73

【課堂練習】

1.填空：

(1)0的七次方根;(2)x4的四次方根

2.化簡：

(1)V(3-TT)4；⑵正xF；

(3)7a2+2ab+b2；(4)Vx7?

3.計算：＜5-2-

4,若10*=3,10v=4,求10”的值

5.)5+2新+77-473-46-班

【鞏固提高】

1.的值為()

A.-y/—dB.-s/~UC.yj—ClD.y/~^

2.下列結(jié)論中，正確的命題的個數(shù)是()

3__

①當a<0時,(42戶=。]②萬=|0；

__

③函數(shù)y=(x—2)5-(3x-7)。的定義域為(0,+00);④若(布)"與行相同。

A.0B.10.2D.3

3.化簡一a/的結(jié)果是()

A.1B.2a-10.1或2a-1D.0

4.如果a,b都是實數(shù)，則下列實數(shù)一定成立的是()

212

A.y[a^+y[b^=a+bB.(y]\a\+y[b')=a+b+2\[ab

C.^](a2+b2)4=a2+b2D.y/a2+2ab+b2