浙江省2020屆高考數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編（二模）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題（浙江省2020屆高考模擬試題匯編（二模））一、解答題1．（浙江省浙北四校2020屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，其中.（1）若函數(shù)的圖象與直線在第一象限有交點，求的取值范圍.（2）當(dāng)時，若有兩個零點，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為方程，在有解，求導(dǎo)，分類討論①若，②若，③若時，分析單調(diào)性，進而得出結(jié)論.（2）運用分析法和構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，即可得證.【詳解】解：（1）設(shè)，則由題設(shè)知，方程，在有解，而.設(shè)，則.①若，由可知，且，從而，即在上單調(diào)遞減，從而恒成立，因而方程在上無解.②若，則，又時，，因此，在上必存在實根，設(shè)最小的正實根為，由函數(shù)的連續(xù)性可知，上恒有，即在上單調(diào)遞減，也即，在上單調(diào)遞減，從而在上恒有，因而在上單調(diào)遞減，故在上恒有，即，注意到，因此，令時，則有，由零點的存在性定理可知函數(shù)在，上有零點，符合題意.③若時，則由可知，恒成立，從而在上單調(diào)遞增，也即在上單調(diào)遞增，從而恒成立，故方程在上無解.綜上可知，的取值范圍是.（2）因為有兩個零點，所以（2），即，設(shè)，則要證，因為，，又因為在上單調(diào)遞增，所以只要證明，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，（2），所以，因為有兩個零點，，，所以，方程即構(gòu)造函數(shù)，則，，，記，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，且，設(shè)，，所以遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即，，，，所以，同理，所以，所以，所以，由得：，綜上：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，不等式的證明，關(guān)鍵是運用分類討論，構(gòu)造函數(shù)的思想去解決問題，屬于難題.

2．（浙江省2020屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，且關(guān)于的方程恰有三個實數(shù)根，，，求證：.【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)后按照、、分類討論，求出、的解集即可得解；（2）構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)后可得即可得；同理可得，即可得證.【詳解】（1）由題意得，令即，，①當(dāng)時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，的兩根為，，（i）當(dāng)即時，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)即時，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；則在上單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；（2）證明：由題意得，，，令，則，由（1）知，則又，可知對于均有，所以，所以，由可得，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得即，令，同理可得，由可得當(dāng)時，，所以，所以，由可得，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得即，所以即，得證.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了運算能力與推理能力，屬于難題.3．（浙江省紹興市嵊州市2020屆高三下學(xué)期第二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，記為的導(dǎo)函數(shù).（1）當(dāng)時，若存在正實數(shù)，（）使得，證明：；（2）若存在大于1的實數(shù)，使得當(dāng)時都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）或【分析】（1）首先利用導(dǎo)數(shù)得到在上是增函數(shù)，然后由可得，即，然后利用基本不等式將其轉(zhuǎn)化為，即，再結(jié)合的單調(diào)性即可得證；（2）由可得或，利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，然后分或兩種情況討論，每種情況下結(jié)合的單調(diào)性即可求出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，故在上是增函數(shù).又，所以.則有，整理得.因為且，所以，于是.整理得，即.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.（2）當(dāng)時，等價于，即，或.設(shè)，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.①考慮：存在大于1的實數(shù)，使得當(dāng)時，都有成立.取，則當(dāng)時，要使得恒成立，只需要滿足，解得.②考慮：存在大于1的實數(shù)，使得時，都有成立.若，即，則由在上單調(diào)遞減且知，必存在，使得當(dāng)時，恒成立，故符合條件.若，則，結(jié)合在上單調(diào)遞減知，當(dāng)時，故不存在大于1的實數(shù)，使得當(dāng)時，都有成立.綜上所述：或.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，考查了學(xué)生的分析能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.

4．（浙江省紹興市上虞區(qū)2020屆高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量調(diào)測數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)對任意的恒成立，求正整數(shù)的最大值．【答案】（Ⅰ）在上單調(diào)遞增，在、上單調(diào)遞減；（Ⅱ）3．【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（Ⅱ）變形為，令，求出導(dǎo)函數(shù)，然后分類說明時不等式恒成立，正整數(shù)時由說明不等式不恒成立，從而得出結(jié)論．【詳解】解：（Ⅰ）顯然，，則令，解得：或．當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是在上單調(diào)遞增，在、上單調(diào)遞減．（Ⅱ）由知，令，則，當(dāng)即時，，是增函數(shù)，于是．另一方面，當(dāng)，則令，，若，，不滿足題意．∴正整數(shù)．綜上所述，正整數(shù)的最大值為3．【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，解題時轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是不等式變形為，研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而易得結(jié)論．

5．（浙江省杭州市兩校2020屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點（i）求實數(shù)a的取值范圍（ii）求證：且為自然對數(shù)的底數(shù)).【答案】(1)當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)(i)(ii)證明見解析.【分析】(1),對分類討論：,利用導(dǎo)數(shù)的正負號研究函數(shù)的單調(diào)性;(2)(i)由(1)可知，當(dāng)時單調(diào),不存在兩個零點,當(dāng)時,可求得有唯一極大值,令其大于零,可得到的范圍,再判斷極大值點左右兩側(cè)附近的函數(shù)值小于零即可;(ii)構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】由題意知,所以.當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,令，解得；令，解得；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)(i)函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點等價于函數(shù)有兩個不同的零點,其中.由(1)知,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;不可能有兩個零點.當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,此時為函數(shù)的最大值.當(dāng)時,最多有一個零點,所以,解得此時,,且，.令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以即,所以的取值范圍是.(ii)因為在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,,所以,即,所以.構(gòu)造函數(shù),則,所以在上單調(diào)遞減,又因為,所以,因為所以,又所以由(1)知在上單調(diào)遞減得：即又因為,所以即,又因為，所以所以.【點睛】本題綜合考查了運用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性,證明不等式.屬于難題.討論函數(shù)的單調(diào)性一定要思路清晰，再結(jié)合函數(shù)的圖像解決函數(shù)的零點問題.本題的難點在于找到與及構(gòu)造函數(shù).6．（浙江省金麗衢十二校2020屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)有兩個不同的極值點.（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若對任意存在使得成立，證明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）求得，令，得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，列出不等式組，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得到，把對任意，存在，使得成立，轉(zhuǎn)化為，化簡，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由函數(shù)，則，令，可得，設(shè)，則，令，解得，列表如下：+0-單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以的極大值為，又因為，所以函數(shù)有兩個不同的極值點等價于，解得，因此實數(shù)的取值范圍為；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故，設(shè)的較大零點為，則，且，；，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而有最大值為，又當(dāng)時，，故可設(shè)函數(shù)的值域為，其中，由題意：對任意，存在，使得成立，等價于，而，且，所以，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，因此.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．

7．（2020屆浙江省寧波市高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試（二模）數(shù)學(xué)試題）已知實數(shù)，函數(shù).（Ⅰ）證明：對任意，恒成立；（Ⅱ）如果對任意均有，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)得到函數(shù)，故只需證，設(shè)，求導(dǎo)得到，得到證明.（Ⅱ）對任意有意義，，令可得，所以，再證明對任意，任意，不等式恒成立，考慮關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性得到，計算函數(shù)單調(diào)性得到證明.【詳解】（Ⅰ）易知的定義域為，若，則，，則在單調(diào)增，在單調(diào)減，所以.要證恒成立，只需證.令，.，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，由于，∴，即恒成立.（Ⅱ），即.（*）1°（*）對任意有意義，當(dāng)時，，∴；2°若（*）對任意恒成立，則.特別地，在（*）中令可得，故.注意到在單調(diào)增，且，所以當(dāng)且僅當(dāng).3°下面證明：對任意，任意，不等式（*）恒成立.首先，將正實數(shù)給定，考慮關(guān)于的函數(shù)，注意到在單調(diào)增，故.下面只需說明：對于恒成立即可.顯然，故只需說明在單調(diào)增，在單調(diào)減.當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故.因此在單調(diào)增，在單調(diào)減.綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，證明不等式，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力，先算后證是解題的關(guān)鍵.8．（2020屆浙江省臺州市高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，.（1）求證：存在唯一的實數(shù)，使得直線與曲線相切；（2）若，，求證：.（注：為自然對數(shù)的底數(shù).）【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）曲線在處的切線為，所以只需證明有唯一解即可.

(2)要證，即證,設(shè)，即，只要證明，然后構(gòu)造函數(shù)，討論單調(diào)性，分析函數(shù)的最值，即可證明.【詳解】證明：（1）由知，在處的切線為，當(dāng)該直線為時，可得所以，所以，令，則當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，而，，所以存在唯一的實數(shù)（），使得，相應(yīng)的也是唯一的，即存在唯一-的實數(shù)，使得直線與曲線相切.（2）要證，即證，令，對于確定的，是一次函數(shù)，只要證明，注意到對于同一，，所以只要證明先證明①：記，則，令，因為，所以，由此可知在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增.又因為，，，所以，在區(qū)間上存在唯一實數(shù)，使得.故在區(qū)間，遞減，在區(qū)間，遞增.于是.①得證.再證明②：記，當(dāng)時，利用不等式得，；當(dāng)時，利用不等式（）得，于是，其中二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，最小值為，所以.綜上，不等式①②均成立.所以，當(dāng)，對任意的，總有.【點睛】本題考查曲線的切線問題，根據(jù)單調(diào)性分析方程的解，考查不等式的證明問題，考查構(gòu)造函數(shù)解決問題，屬于難題.9．（2020屆浙江省嘉興市高三下學(xué)期5月教學(xué)測試數(shù)學(xué)試題）定義兩個函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)的定義域分別為，若對任意的，總存在，使得，我們就稱函數(shù)為的“子函數(shù)”．已知函數(shù)，，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若為的一個“子函數(shù)”，求的最小值．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）．【分析】（1）求導(dǎo)，令，可得的單調(diào)遞增區(qū)間；令，可得的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)的單調(diào)性求出的取值范圍，進而得到，即有實數(shù)解，從而得到，令，可得，令，則，，利用換元法和函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】（1），函數(shù)的定義域為，，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，即最小值，所以，當(dāng)時，，且為連續(xù)函數(shù)，只需，即有實數(shù)解，即，因為，則，令，即在區(qū)間上有實數(shù)解，將看成直線上的點，令，則，，令，則，所以的最小值為.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，不等式的解法，考查了換元法和等價轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力與計算能力，屬于難題.

10．（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三下學(xué)期4月模擬測試數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)，其圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且x1＜x2．（1）求的取值范圍；（2）證明：f′（）＜0（f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）；（3）設(shè)點C在函數(shù)y＝f（x）的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記t，求（﹣1）（t﹣1）的值．【答案】（1）見解析;（2）見解析（3）2【詳解】（1）∵f（x）＝ex﹣ax+a，∴f'（x）＝ex﹣a，若a≤0，則f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾．∴a＞0，令f'（x）＝0，則x＝lna，當(dāng)f'（x）＜0時，x＜lna，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)f'（x）＞0時，x＞lna，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，于是當(dāng)x＝lna時，f（x）取得極小值，∵函數(shù)f（x）＝ex﹣ax+a（a∈R）的圖象與x軸交于兩點A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），∴f（lna）＝a（2﹣lna）＜0，即a＞e2，此時，存在1＜lna，f（1）＝e＞0，存在3lna＞lna，f（3lna）＝a3﹣3alna+a＞a3﹣3a2+a＞0，又由f（x）在（﹣∞，lna）及（lna，+∞）上的單調(diào)性及曲線在R上不間斷，可知a＞e2為所求取值范圍．（2）∵，∴兩式相減得．記，則，設(shè)g（s）＝2s﹣（es﹣e﹣s），則g'（s）＝2﹣（es+e﹣s）＜0，∴g（s）是單調(diào)減函數(shù)，則有g(shù)（s）＜g（0）＝0，而，∴．又f'（x）＝ex﹣a是單調(diào)增函數(shù)，且∴．（3）依題意有，則?xi＞1（i＝1，2）．于是，在等腰三角形ABC中，顯然C＝90°，∴，即y0＝f（x0）＜0，由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知，∴，即，∴，即．∵x1﹣1≠0，則，又，∴，即，∴（a﹣1）（t﹣1）＝2．點睛：本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，旨在考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識在研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值）等方面的綜合運用．求解第一問時，充分借助題設(shè)條件運用分析推證的思想方法求解；解答第二問時，則借助題設(shè)中的坐標(biāo)進分析推證；第三問則依據(jù)等邊三角形的題設(shè)條件進行分析探求，綜合運用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及數(shù)形結(jié)合的思想和意識，從而使得問題簡捷、巧妙地獲解．11．（2020屆浙江省衢州、麗水、湖州三地市高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知，（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，記的兩個極值點為，若不等式恒成立，求實數(shù)的值.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)后，找到、的解集即可得解；（2）由題意結(jié)合韋達定理可知，原條件可化為，根據(jù)、、分類討論，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，令，得，所以，，00單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為，，所以有兩個不等實根，由題意，為方程即的兩相異根，則，所以，所以可以轉(zhuǎn)化為，所以上式可化為，則即，①當(dāng)時，由、、可得，所以，所以恒成立，因為此時所以；②當(dāng)時，，顯然恒成立，即；③當(dāng)時，由可得，，所以恒成立，因為此時，所以；綜上可知：.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運用，考查了推理能力和分類討論思想，屬于難題.12．（2020屆浙江省臺州市溫嶺中學(xué)高三下學(xué)期3月第二次高考模擬數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時，；（2）記，若有唯一零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可證明；（2）若函數(shù)有唯一的零點，等價于，有唯一的實根，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值求實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，設(shè)，①，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，代入①式，；（2），，若，故2不為零點，若，，令，解得，在單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，，，，漸近線為，.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)零點問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

13．（2020屆浙江省金華十校高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f（x）＝ax3﹣ax﹣xlnx．其中a∈R．（Ⅰ）若，證明：f（x）≥0；（Ⅱ）若xe1﹣x≥1﹣f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）[）．【分析】（Ⅰ）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函