歷年全國賽數(shù)學建模題目

目錄TOC\o"1-2"\h\z\u1996年全國大學生數(shù)學建模競賽題目 圖3B題電力市場的輸電阻塞管理我國電力系統(tǒng)的市場化改革正在積極、穩(wěn)步地進行。2003年3月國家電力監(jiān)管委員會成立，2003年6月該委員會發(fā)文列出了組建東北區(qū)域電力市場和進行華東區(qū)域電力市場試點的時間表，標志著電力市場化改革已經(jīng)進入實質性階段?？梢灶A計，隨著我國用電緊張的緩解，電力市場化將進入新一輪的發(fā)展，這給有關產(chǎn)業(yè)和研究部門帶來了可預期的機遇和挑戰(zhàn)。電力從生產(chǎn)到使用的四大環(huán)節(jié)——發(fā)電、輸電、配電和用電是瞬間完成的。我國電力市場初期是發(fā)電側電力市場，采取交易與調(diào)度一體化的模式。電網(wǎng)公司在組織交易、調(diào)度和配送時，必須遵循電網(wǎng)“安全第一”的原則，同時要制訂一個電力市場交易規(guī)則，按照購電費用最小的經(jīng)濟目標來運作。市場交易-調(diào)度中心根據(jù)負荷預報和交易規(guī)則制訂滿足電網(wǎng)安全運行的調(diào)度計劃――各發(fā)電機組的出力（發(fā)電功率）分配方案；在執(zhí)行調(diào)度計劃的過程中，還需實時調(diào)度承擔AGC（自動發(fā)電控制）輔助服務的機組出力，以跟蹤電網(wǎng)中實時變化的負荷。設某電網(wǎng)有若干臺發(fā)電機組和若干條主要線路，每條線路上的有功潮流（輸電功率和方向）取決于電網(wǎng)結構和各發(fā)電機組的出力。電網(wǎng)每條線路上的有功潮流的絕對值有一安全限值，限值還具有一定的相對安全裕度（即在應急情況下潮流絕對值可以超過限值的百分比的上限）。如果各機組出力分配方案使某條線路上的有功潮流的絕對值超出限值，稱為輸電阻塞。當發(fā)生輸電阻塞時，需要研究如何制訂既安全又經(jīng)濟的調(diào)度計劃。電力市場交易規(guī)則：1.以15分鐘為一個時段組織交易，每臺機組在當前時段開始時刻前給出下一個時段的報價。各機組將可用出力由低到高分成至多10段報價，每個段的長度稱為段容量，每個段容量報一個價（稱為段價），段價按段序數(shù)單調(diào)不減。在最低技術出力以下的報價一般為負值，表示愿意付費維持發(fā)電以避免停機帶來更大的損失。2.在當前時段內(nèi)，市場交易-調(diào)度中心根據(jù)下一個時段的負荷預報,每臺機組的報價、當前出力和出力改變速率，按段價從低到高選取各機組的段容量或其部分（見下面注釋），直到它們之和等于預報的負荷，這時每個機組被選入的段容量或其部分之和形成該時段該機組的出力分配預案（初始交易結果）。最后一個被選入的段價（最高段價）稱為該時段的清算價，該時段全部機組的所有出力均按清算價結算。注釋：(a)每個時段的負荷預報和機組出力分配計劃的參照時刻均為該時段結束時刻。(b)機組當前出力是對機組在當前時段結束時刻實際出力的預測值。(c)假設每臺機組單位時間內(nèi)能增加或減少的出力相同，該出力值稱為該機組的爬坡速率。由于機組爬坡速率的約束，可能導致選取它的某個段容量的部分。(d)為了使得各機組計劃出力之和等于預報的負荷需求，清算價對應的段容量可能只選取部分。市場交易-調(diào)度中心在當前時段內(nèi)要完成的具體操作過程如下：監(jiān)控當前時段各機組出力分配方案的執(zhí)行，調(diào)度AGC輔助服務，在此基礎上給出各機組的當前出力值。作出下一個時段的負荷需求預報。根據(jù)電力市場交易規(guī)則得到下一個時段各機組出力分配預案。計算當執(zhí)行各機組出力分配預案時電網(wǎng)各主要線路上的有功潮流，判斷是否會出現(xiàn)輸電阻塞。如果不出現(xiàn)，接受各機組出力分配預案；否則，按照如下原則實施阻塞管理：輸電阻塞管理原則：調(diào)整各機組出力分配方案使得輸電阻塞消除。如果（1）做不到，還可以使用線路的安全裕度輸電，以避免拉閘限電（強制減少負荷需求），但要使每條線路上潮流的絕對值超過限值的百分比盡量小。如果無論怎樣分配機組出力都無法使每條線路上的潮流絕對值超過限值的百分比小于相對安全裕度，則必須在用電側拉閘限電。當改變根據(jù)電力市場交易規(guī)則得到的各機組出力分配預案時，一些通過競價取得發(fā)電權的發(fā)電容量（稱序內(nèi)容量）不能出力；而一些在競價中未取得發(fā)電權的發(fā)電容量（稱序外容量）要在低于對應報價的清算價上出力。因此，發(fā)電商和網(wǎng)方將產(chǎn)生經(jīng)濟利益沖突。網(wǎng)方應該為因輸電阻塞而不能執(zhí)行初始交易結果付出代價，網(wǎng)方在結算時應該適當?shù)亟o發(fā)電商以經(jīng)濟補償，由此引起的費用稱之為阻塞費用。網(wǎng)方在電網(wǎng)安全運行的保證下應當同時考慮盡量減少阻塞費用。你需要做的工作如下：某電網(wǎng)有8臺發(fā)電機組，6條主要線路，表1和表2中的方案0給出了各機組的當前出力和各線路上對應的有功潮流值，方案1~32給出了圍繞方案0的一些實驗數(shù)據(jù)，試用這些數(shù)據(jù)確定各線路上有功潮流關于各發(fā)電機組出力的近似表達式。設計一種簡明、合理的阻塞費用計算規(guī)則，除考慮上述電力市場規(guī)則外，還需注意：在輸電阻塞發(fā)生時公平地對待序內(nèi)容量不能出力的部分和報價高于清算價的序外容量出力的部分。假設下一個時段預報的負荷需求是982.4MW，表3、表4和表5分別給出了各機組的段容量、段價和爬坡速率的數(shù)據(jù)，試按照電力市場規(guī)則給出下一個時段各機組的出力分配預案。按照表6給出的潮流限值，檢查得到的出力分配預案是否會引起輸電阻塞，并在發(fā)生輸電阻塞時，根據(jù)安全且經(jīng)濟的原則，調(diào)整各機組出力分配方案，并給出與該方案相應的阻塞費用。假設下一個時段預報的負荷需求是1052.8MW，重復3~4的工作。表1各機組出力方案（單位：兆瓦，記作MW）方案\機組123456780120731808012512581.1901133.02731808012512581.1902129.63731808012512581.1903158.77731808012512581.1904145.32731808012512581.190512078.5961808012512581.190612075.451808012512581.190712090.4871808012512581.190812083.8481808012512581.190912073231.398012512581.1901012073198.488012512581.1901112073212.648012512581.1901212073190.558012512581.190131207318075.85712512581.190141207318065.95812512581.190151207318087.25812512581.190161207318097.82412512581.190171207318080150.7112581.190181207318080141.5812581.190191207318080132.3712581.190201207318080156.9312581.190211207318080125138.8881.190221207318080125131.2181.190231207318080125141.7181.190241207318080125149.2981.19025120731808012512560.5829026120731808012512570.9629027120731808012512564.8549028120731808012512575.5299029120731808012512581.1104.8430120731808012512581.1111.2231120731808012512581.198.09232120731808012512581.1120.44表2各線路的潮流值（各方案與表1相對應，單位：MW）方案\線路1234560164.78140.87-144.25119.09135.44157.691165.81140.13-145.14118.63135.37160.762165.51140.25-144.92118.7135.33159.983167.93138.71-146.91117.72135.41166.814166.79139.45-145.92118.13135.41163.645164.94141.5-143.84118.43136.72157.226164.8141.13-144.07118.82136.02157.57165.59143.03-143.16117.24139.66156.598165.21142.28-143.49117.96137.98156.969167.43140.82-152.26129.58132.04153.610165.71140.82-147.08122.85134.21156.2311166.45140.82-149.33125.75133.28155.0912165.23140.85-145.82121.16134.75156.7713164.23140.73-144.18119.12135.57157.214163.04140.34-144.03119.31135.97156.3115165.54141.1-144.32118.84135.06158.2616166.88141.4-144.34118.67134.67159.2817164.07143.03-140.97118.75133.75158.8318164.27142.29-142.15118.85134.27158.3719164.57141.44-143.3119134.88158.0120163.89143.61-140.25118.64133.28159.1221166.35139.29-144.2119.1136.33157.5922165.54140.14-144.19119.09135.81157.6723166.75138.95-144.17119.15136.55157.5924167.69138.07-144.14119.19137.11157.6525162.21141.21-144.13116.03135.5154.2626163.54141-144.16117.56135.44155.9327162.7141.14-144.21116.74135.4154.8828164.06140.94-144.18118.24135.4156.6829164.66142.27-147.2120.21135.28157.6530164.7142.94-148.45120.68135.16157.6331164.67141.56-145.88119.68135.29157.6132164.69143.84-150.34121.34135.12157.64表3各機組的段容量（單位：MW）機組\段1234567891017005000300004023002081562008311004003002040040455510101010150015755150151501010106950102001510200107501551510105103287002002002010155表4各機組的段價（單位：元/兆瓦小時，記作元/MWh）機組\段123456789101-50501241682102523123303634892-56001822032453003203604104953-61001521892332583083564155004-5001501702002553023253804358005-59001161461882152503103965106-60701591732052523053804055207-5001201802512603063153353485488-800153183233253283303318400800表5各機組的爬坡速率（單位：MW/分鐘）機組12345678速率1.821.41.8表6各線路的潮流限值（單位：MW）和相對安全裕度線路123456限值165150160155132162安全裕度13%18%9%11%15%14%C題飲酒駕車據(jù)報載，2003年全國道路交通事故死亡人數(shù)為10.4372萬，其中因飲酒駕車造成的占有相當?shù)谋壤?。針對這種嚴重的道路交通情況，國家質量監(jiān)督檢驗檢疫局2004年5月31日發(fā)布了新的《車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗》國家標準，新標準規(guī)定，車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升為飲酒駕車（原標準是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升為醉酒駕車（原標準是大于或等于100毫克／百毫升）。大李在中午12點喝了一瓶啤酒，下午6點檢查時符合新的駕車標準，緊接著他在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨2點才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結果會不一樣呢？請你參考下面給出的數(shù)據(jù)（或自己收集資料）建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學模型，并討論以下問題：1.對大李碰到的情況做出解釋；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長時間內(nèi)駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答：酒是在很短時間內(nèi)喝的；酒是在較長一段時間（比如2小時）內(nèi)喝的。3.怎樣估計血液中的酒精含量在什么時間最高。4.根據(jù)你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開車？5.根據(jù)你做的模型并結合新的國家標準寫一篇短文，給想喝一點酒的司機如何駕車提出忠告。參考數(shù)據(jù)1.人的體液占人的體重的65%至70%，其中血液只占體重的7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。2.體重約70kg的某人在短時間內(nèi)喝下2瓶啤酒后，隔一定時間測量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到數(shù)據(jù)如下：時間(小時)511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041時間(小時)678910111213141516酒精含量3835282518151210774D題公務員招聘我國公務員制度已實施多年，1993年10月1日頒布施行的《國家公務員暫行條例》規(guī)定：“國家行政機關錄用擔任主任科員以下的非領導職務的國家公務員，采用公開考試、嚴格考核的辦法，按照德才兼?zhèn)涞臉藴蕮駜?yōu)錄用”。目前,我國招聘公務員的程序一般分三步進行：公開考試（筆試）、面試考核、擇優(yōu)錄取?，F(xiàn)有某市直屬單位因工作需要，擬向社會公開招聘8名公務員，具體的招聘辦法和程序如下：（一）公開考試：凡是年齡不超過30周歲，大學?？埔陨蠈W歷，身體健康者均可報名參加考試，考試科目有：綜合基礎知識、專業(yè)知識和“行政職業(yè)能力測驗”三個部分，每科滿分為100分。根據(jù)考試總分的高低排序按1:2的比例（共16人）選擇進入第二階段的面試考核。（二）面試考核：面試考核主要考核應聘人員的知識面、對問題的理解能力、應變能力、表達能力等綜合素質。按照一定的標準，面試專家組對每個應聘人員的各個方面都給出一個等級評分，從高到低分成A/B/C/D四個等級，具體結果見表１所示。（三）由招聘領導小組綜合專家組的意見、筆初試成績以及各用人部門需求確定錄用名單,并分配到各用人部門。該單位擬將錄用的8名公務員安排到所屬的7個部門，并且要求每個部門至少安排一名公務員。這7個部門按工作性質可分為四類：(1)行政管理、(2)技術管理、(3)行政執(zhí)法、(4)公共事業(yè)。見表2所示。招聘領導小組在確定錄用名單的過程中，本著公平、公開的原則，同時考慮錄用人員的合理分配和使用，有利于發(fā)揮個人的特長和能力。招聘領導小組將7個用人單位的基本情況（包括福利待遇、工作條件、勞動強度、晉升機會和學習深造機會等）和四類工作對聘用公務員的具體條件的希望達到的要求都向所有應聘人員公布（見表2）。每一位參加面試人員都可以申報兩個自己的工作類別志愿（見表1）。請研究下列問題：（1）如果不考慮應聘人員的意愿，擇優(yōu)按需錄用，試幫助招聘領導小組設計一種錄用分配方案；（2）在考慮應聘人員意愿和用人部門的希望要求的情況下，請你幫助招聘領導小組設計一種分配方案；（3）你的方法對于一般情況，即N個應聘人員M個用人單位時，是否可行？(4)你對上述招聘公務員過程認為還有哪些地方值得改進，給出你的建議。表１：招聘公務員筆試成績，專家面試評分及個人志愿應聘人員筆試成績申報類別志愿專家組對應聘者特長的等級評分知識面理解能力應變能力表達能力人員1290（2）（3）AABB人員2288（3）（1）ABAC人員3288（1）（2）BADC人員4285（4）（3）ABBB人員5283（3）（2）BABC人員6283（3）（4）BDAB人員7280（4）（1）ABCB人員8280（2）（4）BAAC人員9280（1）（3）BBAB人員10280（3）（1）DBAC人員11278（4）（1）DCBA人員12277（3）（4）ABCA人員13275（2）（1）BCDA人員14275（1）（3）DBAB人員15274（1）（4）ABCB人員16273（4）（1）BABC表2:用人部門的基本情況及對公務員的期望要求用人部門工作類別各用人部門的基本情況各部門對公務員特長的希望達到的要求福利待遇工作條件勞動強度晉升機會深造機會知識面理解能力應變能力表達能力部門1（1）優(yōu)優(yōu)中多少BACA部門2（2）中優(yōu)大多少ABBC部門3（2）中優(yōu)中少多部門4（3）優(yōu)差大多多CCAA部門5（3）優(yōu)中中中中部門6（4）中中中中多CBBA部門7（4）優(yōu)中大少多2005高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽題目A題:長江水質的評價和預測水是人類賴以生存的資源，保護水資源就是保護我們自己，對于我國大江大河水資源的保護和治理應是重中之重。專家們呼吁：“以人為本，建設文明和諧社會，改善人與自然的環(huán)境，減少污染?！遍L江是我國第一、世界第三大河流，長江水質的污染程度日趨嚴重，已引起了相關政府部門和專家們的高度重視。2004年10月，由全國政協(xié)與中國發(fā)展研究院聯(lián)合組成“保護長江萬里行”考察團，從長江上游宜賓到下游上海，對沿線21個重點城市做了實地考察，揭示了一幅長江污染的真實畫面，其污染程度讓人觸目驚心。為此，專家們提出“若不及時拯救，長江生態(tài)10年內(nèi)將瀕臨崩潰”（附件１），并發(fā)出了“拿什么拯救癌變長江”的呼喚（附件2）。附件3給出了長江沿線17個觀測站（地區(qū)）近兩年多主要水質指標的檢測數(shù)據(jù)，以及干流上７個觀測站近一年多的基本數(shù)據(jù)（站點距離、水流量和水流速）。通常認為一個觀測站（地區(qū)）的水質污染主要來自于本地區(qū)的排污和上游的污水。一般說來，江河自身對污染物都有一定的自然凈化能力，即污染物在水環(huán)境中通過物理降解、化學降解和生物降解等使水中污染物的濃度降低。反映江河自然凈化能力的指標稱為降解系數(shù)。事實上，長江干流的自然凈化能力可以認為是近似均勻的，根據(jù)檢測可知，主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的降解系數(shù)通常介于0.1~0.5之間，比如可以考慮取0.2(單位：1/天)。附件4是“1995~2004年長江流域水質報告”給出的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)。下面的附表是國標(GB3838-2002)給出的《地表水環(huán)境質量標準》中4個主要項目標準限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ類為可飲用水。請你們研究下列問題：（1）對長江近兩年多的水質情況做出定量的綜合評價，并分析各地區(qū)水質的污染狀況。（2）研究、分析長江干流近一年多主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的污染源主要在哪些地區(qū)?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照過去10年的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)，對長江未來水質污染的發(fā)展趨勢做出預測分析，比如研究未來10年的情況。（4）根據(jù)你的預測分析，如果未來10年內(nèi)每年都要求長江干流的Ⅳ類和Ⅴ類水的比例控制在20%以內(nèi)，且沒有劣Ⅴ類水,那么每年需要處理多少污水？（5）你對解決長江水質污染問題有什么切實可行的建議和意見。附表:《地表水環(huán)境質量標準》（GB3838—2002）中4個主要項目標準限值單位：mg/L序號

分類

標準值

項目Ⅰ類Ⅱ類Ⅲ類Ⅳ類Ⅴ類劣Ⅴ類1溶解氧(DO)

≥7.5或飽和率90%653202高錳酸鹽指數(shù)(CODMn)≤2461015∞3氨氮（NH3-N）

≤1.52.0∞4PH值（無量綱）69附件１~4位于壓縮文件A2005Data.rar中,可從/mcm05/problems2005c.asp下載）B題：DVD在線租賃隨著信息時代的到來，網(wǎng)絡成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。許多網(wǎng)站利用其強大的資源和知名度，面向其會員群提供日益專業(yè)化和便捷化的服務。例如，音像制品的在線租賃就是一種可行的服務。這項服務充分發(fā)揮了網(wǎng)絡的諸多優(yōu)勢，包括傳播范圍廣泛、直達核心消費群、強烈的互動性、感官性強、成本相對低廉等，為顧客提供更為周到的服務?？紤]如下的在線DVD租賃問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費成為會員，訂購DVD租賃服務。會員對哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。會員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會員的訂單進行分發(fā)。每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費由網(wǎng)站承擔），就可以繼續(xù)下次租賃。請考慮以下問題：網(wǎng)站正準備購買一些新的DVD，通過問卷調(diào)查1000個會員，得到了愿意觀看這些DVD的人數(shù)（表1給出了其中5種DVD的數(shù)據(jù)）。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個會員，對表1中的每種DVD來說，應該至少準備多少張，才能保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD？如果要求保證在三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該DVD呢？表2中列出了網(wǎng)站手上100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當前需要處理的1000位會員的在線訂單（表2的數(shù)據(jù)格式示例如下表2，具體數(shù)據(jù)請從/mcm05/problems2005c.asp下載），如何對這些DVD進行分配，才能使會員獲得最大的滿意度？請具體列出前30位會員（即C0001~C0030）分別獲得哪些DVD。繼續(xù)考慮表2，并假設表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你如何決定每種DVD的購買量，以及如何對這些DVD進行分配，才能使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD，并且滿意度最大？如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你覺得在DVD的需求預測、購買和分配中還有哪些重要問題值得研究？請明確提出你的問題，并嘗試建立相應的數(shù)學模型。表1對1000個會員調(diào)查的部分結果DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)200100502510表2現(xiàn)有DVD張數(shù)和當前需要處理的會員的在線訂單（表格格式示例）DVD編號D001D002D003D004…DVD現(xiàn)有數(shù)量10401520…會員在線訂單C00016000…C00020000…C00030003…C00040000…注：D001~D100表示100種DVD,C0001~C1000表示1000個會員,會員的在線訂單用數(shù)字1,2,…表示，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，數(shù)字0表示對應的DVD當前不在會員的在線訂單中。表2數(shù)據(jù)位于文件B2005Table2.xls中,可從/mcm05/problems2005c.asp下C題雨量預報方法的評價雨量預報對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和城市工作和生活有重要作用，但準確、及時地對雨量作出預報是一個十分困難的問題，廣受世界各國關注。我國某地氣象臺和氣象研究所正在研究6小時雨量預報方法，即每天晚上20點預報從21點開始的4個時段（21點至次日3點，次日3點至9點，9點至15點，15點至21點）在某些位置的雨量，這些位置位于東經(jīng)120度、北緯32度附近的53×47的等距網(wǎng)格點上。同時設立91個觀測站點實測這些時段的實際雨量，由于各種條件的限制，站點的設置是不均勻的。氣象部門希望建立一種科學評價預報方法好壞的數(shù)學模型與方法。氣象部門提供了41天的用兩種不同方法的預報數(shù)據(jù)和相應的實測數(shù)據(jù)。預報數(shù)據(jù)在文件夾FORECAST中，實測數(shù)據(jù)在文件夾MEASURING中，其中的文件都可以用Windows系統(tǒng)的“寫字板”程序打開閱讀。FORECAST中的文件lon.dat和lat.dat分別包含網(wǎng)格點的經(jīng)緯度，其余文件名為<f日期i>_dis1和<f日期i>_dis2，例如f6181_dis1中包含2002年6月18日晚上20點采用第一種方法預報的第一時段數(shù)據(jù)（其2491個數(shù)據(jù)為該時段各網(wǎng)格點的雨量），而f6183_dis2中包含2002年6月18日MEASURING中包含了41個名為<日期>.SIX的文件，如020618.SIX表示2002年6月18日晚上21點站號緯度經(jīng)度第1段第2段第3段第4段5813832.9833118.51670.00000.200010.10003.10005813933.3000118.85000.00000.00004.60007.40005814133.6667119.26670.00000.00001.10001.40005814333.8000119.80000.00000.00000.00001.80005814633.4833119.81670.00000.00001.50001.9000……雨量用毫米做單位，小于0.1毫米視為無雨。請建立數(shù)學模型來評價兩種6小時雨量預報方法的準確性；氣象部門將6小時降雨量分為6等：0.1—2.5毫米為小雨，2.6—6毫米為中雨，6.1—12毫米為大雨，12.1—25毫米為暴雨，25.1—60毫米為大暴雨，大于60.1毫米為特大暴雨。若按此分級向公眾預報，如何在評價方法中考慮公眾的感受？（注：本題數(shù)據(jù)位于壓縮文件C2005Data.rar中,可從/mcm05/problems2005c.asp下載）D題：DVD在線租賃隨著信息時代的到來，網(wǎng)絡成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。許多網(wǎng)站利用其強大的資源和知名度，面向其會員群提供日益專業(yè)化和便捷化的服務。例如，音像制品的在線租賃就是一種可行的服務。這項服務充分發(fā)揮了網(wǎng)絡的諸多優(yōu)勢，包括傳播范圍廣泛、直達核心消費群、強烈的互動性、感官性強、成本相對低廉等，為顧客提供更為周到的服務?？紤]如下的在線DVD租賃問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費成為會員，訂購DVD租賃服務。會員對哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。會員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會員的訂單進行分發(fā)。每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費由網(wǎng)站承擔），就可以繼續(xù)下次租賃。請考慮以下問題：網(wǎng)站正準備購買一些新的DVD，通過問卷調(diào)查1000個會員，得到了愿意觀看這些DVD的人數(shù)（表1給出了其中5種DVD的數(shù)據(jù)）。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個會員，對表1中的每種DVD來說，應該至少準備多少張，才能保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD？如果要求保證在三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該DVD呢？表2中列出了網(wǎng)站手上20種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當前需要處理的100位會員的在線訂單（表2表格格式示例如下表2，具體數(shù)據(jù)請從/mcm05/problems2005c.htm下載），如何對這些DVD進行分配，才能使會員獲得最大的滿意度？請具體列出前30位會員（即C0001~C0030）分別獲得哪些DVD。繼續(xù)考慮表2，并假設表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你如何決定每種DVD的購買量，以及如何對這些DVD進行分配，才能使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD，并且滿意度最大？表1對1000個會員調(diào)查的部分結果DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)200100502510表2現(xiàn)有DVD張數(shù)和當前需要處理的會員的在線訂單（表格格式示例）DVD編號D001D002D003D004…DVD現(xiàn)有數(shù)量812210…會員在線訂單C00010020…C00021090…C00030600…C00040000…注：D001~D020表示20種DVD,C0001~C0100表示100個會員，會員的在線訂單用數(shù)字1,2,…表示，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，數(shù)字0表示對應的DVD當前不在會員的在線訂單中。2006高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽題目A題:出版社的資源配置出版社的資源主要包括人力資源、生產(chǎn)資源、資金和管理資源等，它們都捆綁在書號上，經(jīng)過各個部門的運作，形成成本（策劃成本、編輯成本、生產(chǎn)成本、庫存成本、銷售成本、財務與管理成本等）和利潤。某個以教材類出版物為主的出版社，總社領導每年需要針對分社提交的生產(chǎn)計劃申請書、人力資源情況以及市場信息分析，將總量一定的書號數(shù)合理地分配給各個分社，使出版的教材產(chǎn)生最好的經(jīng)濟效益。事實上，由于各個分社提交的需求書號總量遠大于總社的書號總量，因此總社一般以增加強勢產(chǎn)品支持力度的原則優(yōu)化資源配置。資源配置完成后，各個分社（分社以學科劃分）根據(jù)分配到的書號數(shù)量，再重新對學科所屬每個課程作出出版計劃，付諸實施。資源配置是總社每年進行的重要決策，直接關系到出版社的當年經(jīng)濟效益和長遠發(fā)展戰(zhàn)略。由于市場信息（主要是需求與競爭力）通常是不完全的，企業(yè)自身的數(shù)據(jù)收集和積累也不足，這種情況下的決策問題在我國企業(yè)中是普遍存在的。本題附錄中給出了該出版社所掌握的一些數(shù)據(jù)資料，請你們根據(jù)這些數(shù)據(jù)資料，利用數(shù)學建模的方法，在信息不足的條件下，提出以量化分析為基礎的資源（書號）配置方法，給出一個明確的分配方案，向出版社提供有益的建議。[附錄]附件1：問卷調(diào)查表；附件2：問卷調(diào)查數(shù)據(jù)（五年）；附件3：各課程計劃及實際銷售數(shù)據(jù)表（5年）；附件4：各課程計劃申請或實際獲得的書號數(shù)列表（6年）；附件5：9個分社人力資源細目。B題:艾滋病療法的評價及療效的預測艾滋病是當前人類社會最嚴重的瘟疫之一，從1981年發(fā)現(xiàn)以來的20多年間，它已經(jīng)吞噬了近3000萬人的生命。艾滋病的醫(yī)學全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學全名為“人體免疫缺損病毒”,英文簡稱HIV）引起的。這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4細胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當CD4被HIV感染而裂解時，其數(shù)量會急劇減少，HIV將迅速增加，導致AIDS發(fā)作。 艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。迄今為止人類還沒有找到能根治AIDS的療法，目前的一些AIDS療法不僅對人體有副作用，而且成本也很高。許多國家和醫(yī)療組織都在積極試驗、尋找更好的AIDS療法?，F(xiàn)在得到了美國艾滋病醫(yī)療試驗機構ACTG公布的兩組數(shù)據(jù)。ACTG320（見附件1）是同時服用zidovudine（齊多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韋）3種藥物的300多名病人每隔幾周測試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量）。193A（見附件2）是將1300多名病人隨機地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8周測試的CD4濃度（這組數(shù)據(jù)缺HIV濃度，它的測試成本很高）。4種療法的日用藥分別為：600mgzidovudine或400mgdidanosine（去羥基苷），這兩種藥按月輪換使用；600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine（扎西他濱）；600mgzidovudine加400mgdidanosine；600mgzidovudine加400mgdidanosine，再加400mgnevirapine（奈韋拉平）。請你完成以下問題：（1）利用附件1的數(shù)據(jù)，預測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間（繼續(xù)治療指在測試終止后繼續(xù)服藥，如果認為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。（2）利用附件2的數(shù)據(jù)，評價4種療法的優(yōu)劣（僅以CD4為標準），并對較優(yōu)的療法預測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間。(3)艾滋病藥品的主要供給商對不發(fā)達國家提供的藥品價格如下：600mgzidovudine1.60美元，400mgdidanosine0.85美元，2.25mgzalcitabine1.85美元，400mgnevirapine1.20美元。如果病人需要考慮4種療法的費用，對（2）中的評價和預測（或者提前終止）有什么改變。C題:易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計我們只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料(例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等)的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥?，這并非偶然，這應該是某種意義下的最優(yōu)設計。當然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設計可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了?，F(xiàn)在就請你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設計問題。具體說，請你們完成以下的任務：取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量你們認為驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，那么你們必須注明出處。設易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。設易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計。用你們做本題以及以前學習和實踐數(shù)學建模的親身體驗，寫一篇短文(不超過1000字，你們的論文中必須包括這篇短文)，闡述什么是數(shù)學建模、它的關鍵步驟，以及難點。D題:煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制煤礦安全生產(chǎn)是我國目前亟待解決的問題之一，做好井下瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制是實現(xiàn)安全生產(chǎn)的關鍵環(huán)節(jié)（見附件1）。瓦斯是一種無毒、無色、無味的可燃氣體，其主要成分是甲烷，在礦井中它通常從煤巖裂縫中涌出。瓦斯爆炸需要三個條件：空氣中瓦斯達到一定的濃度；足夠的氧氣；一定溫度的引火源。煤塵是在煤炭開采過程中產(chǎn)生的可燃性粉塵。煤塵爆炸必須具備三個條件:煤塵本身具有爆炸性；煤塵懸浮于空氣中并達到一定的濃度；存在引爆的高溫熱源。試驗表明，一般情況下煤塵的爆炸濃度是30～2000g/m3，而當?shù)V井空氣中瓦斯?jié)舛仍黾訒r，會使煤塵爆炸下限降低，結果如附表1所示。國家《煤礦安全規(guī)程》給出了煤礦預防瓦斯爆炸的措施和操作規(guī)程，以及相應的專業(yè)標準(見附件2)。規(guī)程要求煤礦必須安裝完善的通風系統(tǒng)和瓦斯自動監(jiān)控系統(tǒng)，所有的采煤工作面、掘進面和回風巷都要安裝甲烷傳感器，每個傳感器都與地面控制中心相連，當井下瓦斯?jié)舛瘸瑯藭r，控制中心將自動切斷電源，停止采煤作業(yè)，人員撤離采煤現(xiàn)場。具體內(nèi)容見附件2的第二章和第三章。附圖1是有兩個采煤工作面和一個掘進工作面的礦井通風系統(tǒng)示意圖，請你結合附表2的監(jiān)測數(shù)據(jù)，按照煤礦開采的實際情況研究下列問題：（1）根據(jù)《煤礦安全規(guī)程》第一百三十三條的分類標準(見附件2)，鑒別該礦是屬于“低瓦斯礦井”還是“高瓦斯礦井”。（2）根據(jù)《煤礦安全規(guī)程》第一百六十八條的規(guī)定，并參照附表1，判斷該煤礦不安全的程度（即發(fā)生爆炸事故的可能性）有多大？（3）為了保障安全生產(chǎn)，利用兩個可控風門調(diào)節(jié)各采煤工作面的風量，通過一個局部通風機和風筒實現(xiàn)掘進巷的通風（見下面的注）。根據(jù)附圖1所示各井巷風量的分流情況、對各井巷中風速的要求（見《煤礦安全規(guī)程》第一百零一條），以及瓦斯和煤塵等因素的影響，確定該煤礦所需要的最佳（總）通風量，以及兩個采煤工作面所需要的風量和局部通風機的額定風量（實際中，井巷可能會出現(xiàn)漏風現(xiàn)象）。注掘進巷需要安裝局部通風機，其額定風量一般為150~400m3/min。局部通風機所在的巷道中至少需要有15%的余裕風量（新鮮風）才能保證風在巷道中的正常流動，否則可能會出現(xiàn)負壓導致乏風逆流，即局部通風機將乏風吸入并送至掘進工作面。名詞解釋（1）采煤工作面：礦井中進行開采的煤壁(采煤現(xiàn)場)。（2）掘進巷：用爆破或機械等方法開鑿出的地下巷道，用以準備新的采煤區(qū)和采煤工作面。（3）掘進工作面：掘進巷盡頭的開掘現(xiàn)場。（4）新鮮風：不含瓦斯和煤塵等有害物質的風流。（5）乏風：含有一定濃度的瓦斯和煤塵等有害物質的風流。附表1:瓦斯?jié)舛扰c煤塵爆炸下限濃度關系空氣中瓦斯?jié)舛?%)00.51.01.52.02.53.03.54煤塵爆炸下限濃度(g/m3)30~5022.5~37.515~2510.5~17.56.5~12.54.5~7.53~52.5~3.51.5~2.5附表2:各監(jiān)測點的風速,瓦斯和煤塵的監(jiān)測數(shù)據(jù)表監(jiān)測日期點與班次工作面Ⅰ工作面Ⅱ掘進工作面回風巷Ⅰ回風巷Ⅱ總回風巷日產(chǎn)量（t/d）風速瓦斯煤塵風速瓦斯煤塵風速瓦斯煤塵風速瓦斯煤塵風速瓦斯煤塵風速瓦斯煤塵1早班2.40.7182.070.947.672.220.267.442.130.767.522.090.977.05597中班2.560.628.42.080.857.512.290.267.452.270.667.932.10.897.275.360.67.28晚班2.240.667.612.090.827.512.40.297.622.090.77.075.310.636.82早班2.270.627.692.080.837.312.080.677.36602中班2.410.637.992.130.927.742.290.267.472.230.687.732.160.987.355.390.647.22晚班2.40.667.872.10.897.852.290.227.562.210.717.312.120.937.415.320.627.033早班2.270.787.752.10.897.672.290.277.422.040.837.362.110.957.325.190.687.03639中班2.220.717.712.090.927.562.310.267.482.110.777.265.260.656.93晚班2.290.667.682.090.947.582.020.717.155.050.636.944早班2.310.677.672.090.967.552.210.317.282.110.717.32.186.95616中班2.370.717.892.080.727.522.170.767.422.120.757.095.140.586.95晚班2.40.627.992.10.877.612.440.187.712.110.687.355.360.586.995早班2.340.617.832.110.847.772.270.287.462.080.697.315.210.617610中班2.430.67.672.360.247.552.170.697.722.160.827.285.370.587.1晚班2.270.697.642.080.997.641.960.737.15.030.656.966早班2.290.727.812.10.977.752.270.27.481.930.777.442.121.027.285.080.667.02588中班2.390.647.962.110.987.542.020.717.642.131.017.135.010.687.06晚班2.310.697.732.1217.4720.757.312.131.077.15.070.686.947早班2.360.77.812.130.777.652.090.747.472.160.827.47582中班2.40.697.952.090.847.632.290.237.542.020.747.472.120.827.12晚班2.520.658.232.070.917.552.270.717.952.070.997.395.290.647.438早班2.490.687.782.270.287.452.210.627.395.340.597.38605中班2.210.737.592.020.267.211.910.747.395.010.626.94晚班2.270.667.672.070.947.672.080.717.212.0917.455.130.637.019早班2.390.597.822.061.017.62.130.647.482.081.057.325.170.617.19585中班2.370.688.082.10.917.572.290.177.472.150.757.282.120.957.315.280.637.03晚班2.270.737.652.080.697.512.290.197.342.060.777.342.120.786.9410早班2.360.657.952.120.877.542.270.327.462.040.737.455.180.656.99620中班2.360.677.852.130.857.892.130.727.335.230.627.07晚班2.360.677.862.110.847.512.10.727.4611早班2.290.77.882.070.847.562.110.747.442.090.826.9616中班2.310.657.742.090.817.842.140.617晚班2.370.698.12.090.837.612.090.276.992.110.757.722.110.887.065.080.647.1112早班2.370.647.862.090.887.611.970.77.362.110.927.075.060.66.96608中班2.360.617.632.10.727.462.120.867.275.130.587.05晚班2.360.667.812.10.677.682.180.267.22.270.77.592.120.717.185.280.577.1813早班2.270.747.682.140.257.072.140.777.362.1417.465.160.687.19612中班2.370.717.772.090.897.692.440.197.742.140.757.282.110.957.255.360.627.05晚班2.210.767.592.120.827.722.210.277.331.970.837.352.160.877.265.10.667.0714早班2.430.67.962.070.787.432.180.647.642.090.877.1606中班2.360.6982.081.117.662.310.27.732.090.747.612.091.187.265.220.697.15晚班2.310.697.752.090.857.552.220.277.342.110.737.455.160.647.0715早班2.520.638.082.10.797.772.290.157.592.210.687.762.140.837.395.320.557.15592中班2.270.77.752.090.857.762.020.757.385.110.627.06晚班2.460.667.662.220.247.772.120.837.335.260.627.2216早班2.340.77.682.190.267.542.140.867.275.20.647609中班2.210.717.562.090.837.2820.757.365.060.656.99晚班2.270.77.642.10.787.6820.737.245.070.617.0117早班2.310.667.812.10.987.72.130.737.522.121.057.455.140.687.06605中班2.370.6882.071.077.082.040.737.782.071.077.0650.77.17晚班2.340.697.942.110.947.622.370.247.672.060.737.682.1217.15.270.656.9418早班2.430.6582.10.917.712.360.167.662.220.697.532.130.967.375.380.67.03581中班2.410.668.052.110.847.592.140.27.735.20.637.28晚班2.360.657.882.090.937.52.310.247.382.180.687.115.310.627.0119早班2.390.737.772.250.297.212.090.757.452.140.987.05616中班2.310.667.832.070.747.652.290.217.492.080.727.572.090.87.515.20.577.21晚班2.360.697.952.110.787.462.280.737.782.120.887.3420早班2.40.647.882.120.947.522.230.297.472.140.997.165.280.667.02612中班2.340.667.852.070.747.452.340.37.372.110.727.442.080.796.9晚班2.270.667.622.080.867.662.040.717.512.080.927.215.080.627.0221早班2.360.697.592.090.847.682.210.267.352.090.737.332.120.826.96601中班2.340.77.852.110.967.632.080.757.472.1117.165.080.667.08晚班2.310.667.672.10.917.572.310.27.532.080.77.372.120.967.055.210.626.9622早班2.240.687.522.110.927.722.370.257.6320.747.322.140.977.385.230.646.99616中班2.290.77.842.10.837.62.390.767.552.120.867.225.280.616.97晚班2.370.657.982.10.947.652.130.997.085.20.617.1623早班2.560.68.262.110.937.552.360.177.552.210.648.012.110.977.195.350.597.25588中班2.270.777.712.310.237.582.040.87.422.161.027.285.230.687.07晚班2.30.967.62.290.277.452.250.757.352.131.047.265.380.686.9224早班2.360.667.872.090.927.662.150.337.02.10.967.275.120.677.17625中班2.360.627.962.090.937.442.090.677.075.050.627.05晚班2.450.648.142.080.837.592.190.697.542.090.886.975.240.586.9625早班2.390.647.592.210.687.352.140.876.93598中班2.270.77.772.10.947.642.310.227.4420.727.372.120.926.91晚班2.520.697.62.270.697.762.151.037.185.350.657.2726早班2.340.6682.120.817.592.350.237.3420.77.432.160.87.1618中班2.360.687.712.10.877.62.350.187.682.250.747.295.40.616.91晚班2.340.667.742.340.237.482.090.756.955.270.66.8827早班2.310.77.952.040.757.452.120.857.315.120.617.06617中班2.360.687.542.150.747.472.151.037.215.260.647.04晚班2.310.757.592.140.287.222.040.777.555.060.667.1228早班2.410.77.982.120.897.752.040.737.512.140.947.465.110.637.18605中班22.090.917.722.340.147.6120.767.572.120.957.265.190.67晚班2.220.687.582.110.827.6320.777.375.110.616.9529早班2.40.688.172.0717.572.140.216.94586中班2.60.618.422.120.687.782.350.647.255.360.547.34晚班2.340.737.882.110.767.592.270.37.2620.727.065.140.636.9230早班2.310.627.912.10.987.612.170.687.492.131.056.97620中班2.370.638.052.110.827.532.130.687.542.130.868晚班2.40.757.542.110.267.262.150.787.652.130.867.29[注]瓦斯的濃度：%，即體積百分比；煤塵的單位：g/m3；風速的單位：m/s；日產(chǎn)量的單位：t/d。采煤工作面Ⅱ掘進工作面局部通風機風筒待采煤層總回風巷回風巷II主巷道進風巷II采煤工作面Ⅱ掘進工作面局部通風機風筒待采煤層總回風巷回風巷II主巷道進風巷II掘進巷道放大示意圖待采煤層待采煤層回風巷I圖例局部通風機風量調(diào)節(jié)風門新鮮風流（進風）乏風流（回風）掘進工作面采煤工作面Ⅰ出風口進風口總進風巷待掘進的巷道進風巷I掘進巷道放大示意圖待采煤層待采煤層回風巷I圖例局部通風機風量調(diào)節(jié)風門新鮮風流（進風）乏風流（回風）掘進工作面采煤工作面Ⅰ出風口進風口總進風巷待掘進的巷道進風巷I附圖1某煤礦的通風系統(tǒng)示意圖附圖:某煤礦通風系統(tǒng)示意圖圖注:主巷道斷面大約為5m2，其他各采煤區(qū)的進風巷、回風巷和掘進巷的斷面大約為4附圖:某煤礦通風系統(tǒng)示意圖2007高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽題目A題：中國人口增長預測中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運用數(shù)學建模的方法，對中國人口做出分析和預測是一個重要問題。近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》(附錄1)還做出了進一步的分析。關于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄2就是從《中國人口統(tǒng)計年鑒》上收集到的部分數(shù)據(jù)。試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考附錄2中的相關數(shù)據(jù)（也可以搜索相關文獻和補充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長的數(shù)學模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點與不足之處。附錄1《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》附錄2人口數(shù)據(jù)（《中國人口統(tǒng)計年鑒》中的部分數(shù)據(jù)）及其說明B題：乘公交，看奧運我國人民翹首企盼的第29屆奧運會明年8月將在北京舉行，屆時有大量觀眾到現(xiàn)場觀看奧運比賽，其中大部分人將會乘坐公共交通工具（簡稱公交，包括公汽、地鐵等）出行。這些年來，城市的公交系統(tǒng)有了很大發(fā)展，北京市的公交線路已達800條以上，使得公眾的出行更加通暢、便利，但同時也面臨多條線路的選擇問題。針對市場需求，某公司準備研制開發(fā)一個解決公交線路選擇問題的自主查詢計算機系統(tǒng)。為了設計這樣一個系統(tǒng)，其核心是線路選擇的模型與算法，應該從實際情況出發(fā)考慮，滿足查詢者的各種不同需求。請你們解決如下問題：1、僅考慮公汽線路，給出任意兩公汽站點之間線路選擇問題的一般數(shù)學模型與算法。并根據(jù)附錄數(shù)據(jù)，利用你們的模型與算法，求出以下6對起始站→終到站之間的最佳路線（要有清晰的評價說明）。(1)、S3359→S1828(2)、S1557→S0481(3)、S0971→S0485(4)、S0008→S0073(5)、S0148→S0485(6)、S0087→S36762、同時考慮公汽與地鐵線路，解決以上問題。3、假設又知道所有站點之間的步行時間，請你給出任意兩站點之間線路選擇問題的數(shù)學模型?！靖戒?】基本參數(shù)設定相鄰公汽站平均行駛時間(包括停站時間)：3分鐘相鄰地鐵站平均行駛時間(包括停站時間)：2.5分鐘公汽換乘公汽平均耗時：5分鐘(其中步行時間2分鐘)地鐵換乘地鐵平均耗時：4分鐘(其中步行時間2分鐘)地鐵換乘公汽平均耗時：7分鐘(其中步行時間4分鐘)公汽換乘地鐵平均耗時：6分鐘(其中步行時間4分鐘)公汽票價：分為單一票價與分段計價兩種，標記于線路后；其中分段計價的票價為：0～20站：1元；21～40站：2元；40站以上：3元地鐵票價：3元（無論地鐵線路間是否換乘）注：以上參數(shù)均為簡化問題而作的假設，未必與實際數(shù)據(jù)完全吻合?！靖戒?】公交線路及相關信息（見數(shù)據(jù)文件B2007data.rar）C題：手機“套餐”優(yōu)惠幾何手機現(xiàn)已成為人們?nèi)粘９ぷ鳌⑸缃?、?jīng)營等社會活動中必備的工具之一，近年來通信業(yè)務量飛速增長(見附件1)。手機資費問題一直是人們關心的熱點問題，多少年來資費方案始終沒有實質性變化。但是2007年1月以來上海、北京、廣東等地的移動和聯(lián)通兩大運營商都相繼推出了“手機單向收費方案”各種品牌的“套餐”，手機“套餐”的花樣琳瑯滿目，讓人眼花繚亂。人們不禁要問：手機“套餐”究竟優(yōu)惠幾何？請參照中國移動公司現(xiàn)行的資費標準和北京的全球通“暢聽99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案（見附件2），建立數(shù)學模型分析研究下列問題：(1)給出北京、上海各“套餐”方案的資費計算方法，并針對不同（通話量）需求的用戶，分析說明各種“套餐”方案適應于什么樣的用戶？(2)提出你們對各種資費方案的評價準則和方法,據(jù)此對北京、上海推出的“套餐”方案與現(xiàn)行的資費標準作分析、比較，并給出評價。(3)北京移動公司2007年5月23日又推出了所謂的全球通“被叫全免費計劃”方案，即月租50元，本地被叫免費，其他項目資費均同現(xiàn)行的資費標準，還要求用戶至少在網(wǎng)一年。你們又如何評價這個方案？并說明理由。(4)如果移動公司聘請你們幫助設計一個全球通手機的資費方案,你們會考慮哪些因素?根據(jù)你們的研究結果和北京、上海的實際情況，在較現(xiàn)有“套餐”方案運營商的收入降低不超過10%的條件下,用數(shù)學建模方法設計一個你們認為合理的“套餐”方案。附件12006年中國通信業(yè)的統(tǒng)計資料附件2中國移動手機的資費方案D題：體能測試時間安排某校按照教學計劃安排各班學生進行體能測試，以了解學生的身體狀況。測試包括身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力和臺階試驗共5個項目，均由電子儀器自動測量、記錄并保存信息。該校引進身高與體重測量儀器3臺，立定跳遠、肺活量測量儀器各1臺，握力和臺階試驗測量儀器各2臺。身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力4個項目每臺儀器每個學生的平均測試（包括學生的轉換）時間分別為10秒、20秒、20秒、15秒，臺階試驗每臺儀器一次測試5個學生，需要3分30秒。每個學生測試每個項目前要錄入個人信息，即學號，平均需時5秒。儀器在每個學生測量完畢后學號將自動后移一位，于是如果前后測試的學生學號相連，就可以省去錄入時間，而同一班學生的學號是相連的。學校安排每天的測試時間為8：00－12：10與13：30－16：45兩個時間段。5項測試都在最多容納150個學生的小型場所進行，測試項目沒有固定的先后順序。參加體能測試的各班人數(shù)見附表。學校要求同一班的所有學生在同一時間段內(nèi)完成所有項目的測試，并且在整個測試所需時間段數(shù)最少的條件下，盡量節(jié)省學生的等待時間。請你用數(shù)學符號和語言表述各班測試時間安排問題，給出該數(shù)學問題的算法，盡量用清晰、直觀的圖表形式為學校工作人員及各班學生表示出測試時間的安排計劃，并且說明該計劃怎樣滿足學校的上述要求和條件。最后，請對學校以后的體能測試就以下方面提出建議，并說明理由：如引進各項測量儀器的數(shù)量；測試場所的人員容量；一個班的學生是否需要分成幾個組進行測試等。附表參加體能測試的各班人數(shù)班號123456789101112131415人數(shù)414544442644422020383725454545班號161718192021222324252627282930人數(shù)442030393538382825303620243233班號313233343536373839404142434445人數(shù)413351392020443738394240375050班號4647484950515253545556人數(shù)42434142454219397517172008高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽題目A題數(shù)碼相機定位數(shù)碼相機定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應用。所謂數(shù)碼相機定位是指用數(shù)碼相機攝制物體的相片確定物體表面某些特征點的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機來定位。對物體上一個特征點，用兩部固定于不同位置的相機攝得物體的像，分別獲得該點在兩部相機像平面上的坐標。只要知道兩部相機精確的相對位置，就可用幾何的方法得到該特征點在固定一部相機的坐標系中的坐標，即確定了特征點的位置。于是對雙目定位，精確地確定兩部相機的相對位置就是關鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標定。標定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個點，同時用這兩部相機照相，分別得到這些點在它們像平面上的像點，利用這兩組像點的幾何關系就可以得到這兩部相機的相對位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點”。實際的做法是在物平面上畫若干個圓（稱為靶標），它們的圓心就是幾何的點了。而它們的像一般會變形，如圖1所示，所以必須從靶標上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標定就可實現(xiàn)。有人設計靶標如下，取1個邊長為100mm的正方形，分別以四個頂點（對應為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，如圖2所示。圖2靶標示意圖圖1靶標上圓的像用一位置固定的數(shù)碼相機攝得其像，如圖3所示。圖3靶標的像(1)建立數(shù)學模型和算法以確定靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標,這里坐標系原點取在該相機的焦點，x-y平面平行于像平面；(2)對由圖2、圖3分別給出的靶標及其像，計算靶標上圓的圓心在像平面上的像坐標,該相機的像距（即焦點到像平面的距離）是1577個像素單位(1毫米約為3.78個像素單位)，相機分辨率為1024×786；(3)設計一種方法檢驗你們的模型，并對方法的精度和穩(wěn)定性進行討論；(4)建立用此靶標給出兩部固定相機相對位置的數(shù)學模型和方法。B題高等教育學費標準探討高等教育事關高素質人才培養(yǎng)、國家創(chuàng)新能力增強、和諧社會建設的大局，因此受到黨和政府及社會各方面的高度重視和廣泛關注。培養(yǎng)質量是高等教育的一個核心指標，不同的學科、專業(yè)在設定不同的培養(yǎng)目標后，其質量需要有相應的經(jīng)費保障。高等教育屬于非義務教育，其經(jīng)費在世界各國都由政府財政撥款、學校自籌、社會捐贈和學費收入等幾部分組成。對適合接受高等教育的經(jīng)濟困難的學生，一般可通過貸款和學費減、免、補等方式獲得資助，品學兼優(yōu)者還能享受政府、學校、企業(yè)等給予的獎學金。學費問題涉及到每一個大學生及其家庭，是一個敏感而又復雜的問題：過高的學費會使很多學生無力支付，過低的學費又使學校財力不足而無法保證質量。學費問題近來在各種媒體上引起了熱烈的討論。請你們根據(jù)中國國情，收集諸如國家生均撥款、培養(yǎng)費用、家庭收入等相關數(shù)據(jù)，并據(jù)此通過數(shù)學建模的方法，就幾類學?；驅I(yè)的學費標準進行定量分析，得出明確、有說服力的結論。數(shù)據(jù)的收集和分析是你們建模分析的基礎和重要組成部分。你們的論文必須觀點鮮明、分析有據(jù)、結論明確。最后，根據(jù)你們建模分析的結果，給有部門寫一份報告，提出具體建議。5.12汶川大地震使震區(qū)地面交通和通訊系統(tǒng)嚴重癱瘓。救災指揮部緊急派出多支小分隊，到各個指定區(qū)域執(zhí)行搜索任務，以確定需要救助的人員的準確位置。在其它場合也常有類似的搜索任務。在這種緊急情況下需要解決的重要問題之一是：制定搜索隊伍的行進路線，對預定區(qū)域進行快速的全面搜索。通常，每個搜索人員都帶有GPS定位儀、步話機以及食物和生活用品等裝備。隊伍中還有一定數(shù)量的衛(wèi)星電話。GPS可以讓搜索人員知道自己的方位。步話機可以相互進行通訊。衛(wèi)星電話用來向指揮部報告搜索情況。下面是一個簡化的搜索問題。有一個平地矩形目標區(qū)域，大小為11200米×7200米，需要進行全境搜索。假設：出發(fā)點在區(qū)域中心；搜索完成后需要進行集結，集結點（結束點）在左側短邊中點；每個人搜索時的可探測半徑為20米，搜索時平均行進速度為0.6米/秒；不需搜索而只是行進時,平均速度為1.2米/秒。每個人帶有GPS定位儀、步話機，步話機通訊半徑為1000米。搜索隊伍若干人為一組,有一個組長，組長還擁有衛(wèi)星電話。每個人搜索到目標，需要用步話機及時向組長報告，組長用衛(wèi)星電話向指揮部報告搜索的最新結果?，F(xiàn)在有如下問題需要解決：1．假定有一支20人一組的搜索隊伍,擁有1臺衛(wèi)星電話。請設計一種你認為耗時最短的搜索方式。按照你的方式，搜索完整個區(qū)域的時間是多少?能否在48小時內(nèi)完成搜索任務?如果不能完成，需要增加到多少人才可以完成。2．為了加快速度，搜索隊伍有50人，擁有3臺衛(wèi)星電話，分成3組進行搜索。每組可獨立將搜索情況報告給指揮部門。請設計一種你認為耗時最短的搜索方式。按照你的搜索方式,搜索完整個區(qū)域的時間是多少?D題NBA賽程的分析與評價NBA是全世界籃球迷們最鐘愛的賽事之一，姚易加盟以后更是讓中國球迷寵愛有加。NBA共有30支球隊，西部聯(lián)盟、東部聯(lián)盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3個區(qū)，東部分東南、中部和大西洋3個區(qū)，每區(qū)5支球隊。對于2008~2009新賽季，常規(guī)賽階段從2008年10月29日（北京時間）直到2009年4月16日，在這5個多月中共有1230場賽事，每支球隊要進行82場比賽，附件1是30支球隊2008~2009賽季常規(guī)賽的賽程表，附件2是分部、分區(qū)和排名情況（排名是2007~2008賽季常規(guī)賽的結果），見對于NBA這樣龐大的賽事，編制一個完整的、對各球隊盡可能公平的賽程是一件非常復雜的事情，賽程的安排對球隊實力的發(fā)揮和戰(zhàn)績有一定的影響，從報刊上經(jīng)常看到球員、教練和媒體對賽程的抱怨或評論。這個題目主要是要求用數(shù)學建模方法對已有的賽程進行定量的分析與評價：1）為了分析賽程對某一支球隊的利弊，你認為有哪些要考慮的因素，根據(jù)這些因素將賽程轉換為便于進行數(shù)學處理的數(shù)字格式，并給出評價賽程利弊的數(shù)量指標。2）按照1）的結果計算、分析賽程對姚明加盟的火箭隊的利弊，并找出賽程對30支球隊最有利和最不利的球隊。3）分析賽程可以發(fā)現(xiàn)，每支球隊與同區(qū)的每一球隊賽4場（主客各2場），與不同部的每一球隊賽2場（主客各1場），與同部不同區(qū)的每一球隊有賽4場和賽3場（2主1客或2客1主）兩種情況，每支球隊的主客場數(shù)量相同且同部3個區(qū)的球隊間保持均衡。試根據(jù)賽程找出與同部不同區(qū)球隊比賽中，選取賽3場的球隊的方