連續(xù)系統(tǒng)的域分析

連續(xù)系統(tǒng)的域分析5.1拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e-σt(σ為實(shí)常數(shù)）乘信號(hào)f(t)，適當(dāng)選取σ的值，使乘積信號(hào)f(t)e-σt當(dāng)t→∞時(shí)信號(hào)幅度趨近于0，從而使f(t)e-σt的傅里葉變換存在。相應(yīng)的傅里葉逆變換為第2頁,共51頁，2024年2月25日，星期天Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s)的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。二、收斂域只有選擇適當(dāng)?shù)摩抑挡拍苁狗e分收斂，信號(hào)f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在。使f(t)拉氏變換存在的σ取值范圍稱為Fb(s)的收斂域。下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。第3頁,共51頁，2024年2月25日，星期天解：例1因果信號(hào)f1(t)=eαt

ε(t)，求其拉普拉斯變換?？梢?，對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=σ>α?xí)r，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。第4頁,共51頁，2024年2月25日，星期天解：例2反因果信號(hào)f2(t)=eβtε(-t)，求其拉普拉斯變換?？梢?，對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=σ<β時(shí)，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。第5頁,共51頁，2024年2月25日，星期天解其雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)例3雙邊信號(hào)求其拉普拉斯變換。求其拉普拉斯變換。僅當(dāng)β>α?xí)r，其收斂域?yàn)棣?lt;Re[s]<β的一個(gè)帶狀區(qū)域，如圖所示。第6頁,共51頁，2024年2月25日，星期天解例4求下列信號(hào)的雙邊拉氏變換。f1(t)=e-3t

ε(t)+e-2t

ε(t)f2(t)=–e-3t

ε(–t)–e-2t

ε(–t)f3(t)=e-3t

ε(t)–e-2t

ε(–t)可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。第7頁,共51頁，2024年2月25日，星期天結(jié)論：1、對(duì)于雙邊拉普拉斯變換而言，F(xiàn)(S)和收斂域一起，可以唯一地確定f(t)。即：2、不同的信號(hào)可以有相同的F(S)，但他們的收斂域不同；不同信號(hào)如果有相同的收斂域，則他們的F(S)必然不同！第8頁,共51頁，2024年2月25日，星期天三、單邊拉氏變換通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，t<0時(shí)，f(t)=0。從而拉氏變換式寫為稱為單邊拉氏變換。簡(jiǎn)稱拉氏變換。其收斂域一定是Re[s]>α，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。第9頁,共51頁，2024年2月25日，星期天四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換1、

’(t)←→s，Re(S)>-∞2、ε(t)或1←→1/s,Re(S)>03、

(t)←→1，Re(S)>-∞4、tε(t)←→1/s2

,Re(S)>0第10頁,共51頁，2024年2月25日，星期天解：例5.1－5求復(fù)指數(shù)函數(shù)（式中s0為復(fù)常數(shù)）f(t)=es0t(t)的象函數(shù)若s0為實(shí)數(shù)，令s0＝，則有若s0為實(shí)數(shù)，令s0＝

j，則有第11頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共51頁，2024年2月25日，星期天則ROC至少是§5.2拉氏變換的基本性質(zhì)

拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于ROC的討論。1.線性（Linearity）：若第13頁,共51頁，2024年2月25日，星期天而ROC為整個(gè)S平面

當(dāng)與無交集時(shí)，表明不存在。例.第14頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2.時(shí)移性質(zhì)（TimeShifting）:若ROC不變則3.S域平移（Shiftinginthes-Domain）:若則

表明的ROC是將的ROC平移了一個(gè)。第15頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例.顯然第16頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

4.時(shí)域尺度變換（TimeScaling）:若則當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)收斂例.求的拉氏變換及ROC第17頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

可見：若信號(hào)在時(shí)域尺度變換，其拉氏變換的ROC在S平面上作相反的尺度變換。特例第18頁,共51頁，2024年2月25日，星期天包括

5.卷積性質(zhì):若則顯然有:例.第19頁,共51頁，2024年2月25日，星期天ROC擴(kuò)大

原因是與相乘時(shí)，發(fā)生了零極點(diǎn)相抵消的現(xiàn)象。當(dāng)被抵消的極點(diǎn)恰好在ROC的邊界上時(shí)，就會(huì)使收斂域擴(kuò)大。6.時(shí)域微分:（DifferentiationintheTimeDomain）ROC包括,有可能擴(kuò)大。若則第20頁,共51頁，2024年2月25日，星期天7.S域微分:（Differentiationinthes-Domain）若則答案第21頁,共51頁，2024年2月25日，星期天8、時(shí)域積分特性（積分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,則已知后者，也可推出前者第22頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例2:已知因果信號(hào)f(t)如圖,求F(s)第23頁,共51頁，2024年2月25日，星期天9、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理設(shè)函數(shù)f(t)不含δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，終值定理若f(t)當(dāng)t→∞時(shí)存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,第24頁,共51頁，2024年2月25日，星期天？？05.3拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換---復(fù)變函數(shù)積分。比較困難第25頁,共51頁，2024年2月25日，星期天通常的方法:（1）查表法（2）利用性質(zhì)（3）部分分式展開-----結(jié)合若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為若m≥n

（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。第26頁,共51頁，2024年2月25日，星期天由于L-1[1]=δ(t)，L-1[sn]=δ(n)(t)，故多項(xiàng)式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。下面主要討論有理真分式的情形。部分分式展開法若F(s)是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（m<n)，則可寫為式中A(s)稱為F(s)的特征多項(xiàng)式，方程A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為系統(tǒng)的固有頻率（或自然頻率）。n個(gè)特征根pi稱為F(s)的極點(diǎn)。第27頁,共51頁，2024年2月25日，星期天特例：F(s)包含共軛復(fù)根時(shí)(p1,2=–α±jβ)（1）F(s)為單極點(diǎn)（單根）第28頁,共51頁，2024年2月25日，星期天取逆變換，若取第29頁,共51頁，2024年2月25日，星期天f1(t)=2e-αt[Acos(βt)–Bsin(βt)]ε(t)求其逆變換若取K1,2=A±jB,第30頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共51頁，2024年2月25日，星期天求其逆變換解：長(zhǎng)除法F(s)第32頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第34頁,共51頁，2024年2月25日，星期天f1(t)=2e-αt[Acos(βt)–Bsin(βt)]ε(t)第35頁,共51頁，2024年2月25日，星期天解：A(s)=0有6個(gè)單根，它們分別是s1=0，s2=–1，

s3,4=±j1，s5,6=–1±j1，故例4：求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)f(t)。第36頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第37頁,共51頁，2024年2月25日，星期天（2）F(s)有重極點(diǎn)（重根）若A(s)=0在s=p1處有r重根，第38頁,共51頁，2024年2月25日，星期天舉例:第39頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共51頁，2024年2月25日，星期天5.4復(fù)頻域分析復(fù)習(xí)：拉普拉斯變換的時(shí)域微分特性則第41頁,共51頁，2024年2月25日，星期天一、微分方程的變換解描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y’(0-),…，y(n-1)(0-)。取拉普拉斯變換第42頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例1描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y’(0-)=-1，激勵(lì)f(t)=5costε(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)解：取拉氏變換得第43頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第44頁,共51頁，2024年2月25日，星期天五、拉普拉斯變換與傅立葉變換的關(guān)系例

求下列信號(hào)的雙邊拉氏變換。f1(t)=e-3t

ε(t)+e-2t

ε(t)解第45頁,共51頁，2024年2月25日，星期天單邊拉普拉斯變換和傅立葉變換的定義Re[s]>

0分析因果信號(hào)兩種變換的關(guān)系設(shè)Re[s]>

0(1)0>0;收斂域在虛軸右邊，在s=j

處不收斂，傅立葉變換不存在第46頁,共51頁，2024年2月25日，星期天這時(shí)有：(1)0<0;收斂域包含虛軸，在s=j

處收斂，傅立葉變換存在。例如：其傅立葉變換為第47頁,共51頁，2024年2月25日，星期天分析：因?yàn)?/p>

0＝0，所以在虛軸上有極點(diǎn)，即F(s)的分母多項(xiàng)式A(s)=0必有虛根。設(shè)A(s)=0有N個(gè)虛根（單根）j1,j2,…jn,將F(s)展開成部分分式，并把它分成兩部分，極點(diǎn)在左半平面的部分令為Fa(s)。則有(1)0＝0;在虛軸上不收斂。