2023屆安徽省定遠(yuǎn)縣民族私立高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1,阿波羅尼斯（約公元前262790年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)%（%>（）,%。1）的點(diǎn)的軌

跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,3間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P與A,8的距離之比為之，當(dāng)P,A,

2

8不共線時(shí)，APA3的面積的最大值是（）

2^/2

A.2V2B.V2C.D.顯

33

1

2.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3,-4），則sina+----=

cosa

37

A.-B.—

515

3713

C.D.—

2015

3.已知雙曲線C：—-/=1,尼為其左、右焦點(diǎn)，直線/過右焦點(diǎn)入，與雙曲線。的右支交于A,B兩點(diǎn),

4.

且點(diǎn)A在x軸上方，若|A6|=3忸月則直線/的斜率為（）

A.1B.-2C.-1D.2

4.設(shè)集合U=R（R為實(shí)數(shù)集），A={x|x>0},B={x|x>l},則4口「方=（）

A.{x|0<x<l}B.{x|0<x<l}C.D.{%|x>0}

r2,.2

5.已知雙曲線C：r-Z=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，連接2月與y軸交于

ab~

點(diǎn)M,若忻O|=2|OM|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），PF.LPF29則雙曲線。的漸近線方程為（）

A.y=±3xB.y=±y/3xC.y=i2xD.y=±A/2X

1-/

6.已知復(fù)數(shù)z=P（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

<3c3n（31）（3n

A*B?「wjC（不"D.1一《$

7.已知函數(shù)〃力=坐，若關(guān)于x的方程"（x）F-可.（無）+：=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

x8

（）

A.媚B.嶗）C.（^,|）D.（冬1）

8.已知函數(shù)/（x）=lnx,g（x）=（2〃z+3）x+〃，若對任意的xe（O,+?）總有/（x）Wg（x）恒成立，記（2m+3）〃

的最小值為./1（，〃,〃），則/（根,〃）最大值為（）

111

A.1B.—C.—-D.―『

ee~\1e

9.已知雙曲線二-V=i的一條漸近線方程是y=走X，則雙曲線的離心率為（）

a3

A百R指「百n2百

A.15?L?-------LJ?---------

3323

10.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì)，平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)

巡診，其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士，則不同的分配方案有

A.72種B.36種C.24種D.18種

11.已知集合4={-2,-1,0,1},B={x\x2<a2,a^Nx],若A=則。的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

22

12.已知雙曲線。：\-與=1（?！?/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、工，拋物線丁=2內(nèi)（〃>0）與雙曲線c有相

a

同的焦點(diǎn).設(shè)P為拋物線與雙曲線C的一個(gè)交點(diǎn)，且COS/P耳鳥=]，則雙曲線C的離心率為（）

A.0或由B.0或3C.2或百D.2或3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.若雙曲線二-二=1（。>0力>0）的兩條漸近線斜率分別為K，h，若左色=-3,則該雙曲線的離心率為_____.

a'b~

14.已知{q,}是等比數(shù)列，且為>0,。2%+2%%+。4%=25,則%+%=，%的最大值為.

15.已知二面角a-l-口為60°,在其內(nèi)部取點(diǎn)A,在半平面a,p內(nèi)分別取點(diǎn)B,C.若點(diǎn)A到棱/的距離為1,則4ABC

的周長的最小值為.

X>1,

16.若變量X,y滿足約束條件yNx,貝1」2=2工+)，的最大值是.

3x+2y<15,

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知｛%｝,｛"｝均為正項(xiàng)數(shù)列，其前"項(xiàng)和分別為S“，T”，且《=；,4=1,么=2,當(dāng)〃22,〃eN*

時(shí),S“T=1—2a“，bn=-^~--2Tn_x.

&I+4T

(D求數(shù)列｛0“｝,｛a｝的通項(xiàng)公式；

(/??+2)?！?/p>

(2)設(shè)％=Q+J，求數(shù)列｛c,｝的前〃項(xiàng)和「"?

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=x-3|+|x—l].

(1)若不等式/(x)<x+m有解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)函數(shù)/(x)的最小值為"，若正實(shí)數(shù)a,b,c滿足。+匕+。=〃，證明：4ab+bc+ac>Sabc.

19.(12分)已知/(x)=xlnx與>有兩個(gè)不同的交點(diǎn)AB,其橫坐標(biāo)分別為不々(王<馬).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

小、4、~r13Q+2+C3

(2)求證：ae-^-\<x2-x]<-----------

20.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=k+a|+k-l|(aeH).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式/(x)N4的解集；

(2)若對任意xeR都有/(x)N2,求實(shí)數(shù)"的取值范圍.

21.(12分)已知數(shù)列｛a.｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，滿足4=2,且%，2S2,%成等差數(shù)列.

(1)求｛可｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列也｝滿足優(yōu)=地2。"，求"一必+公一行+公一年+…+心-編o的值.

221

22.(10分)已知橢圓。：「+與=1(。>方>0)的離心率為工，直線-6=0過橢圓C的右焦點(diǎn)尸,過尸的

a-b-2

直線加交橢圓C于M,N兩點(diǎn)(均異于左、右頂點(diǎn)).

(1)求橢圓C的方程;

（2）已知直線/:x=4,A為橢圓C的右頂點(diǎn).若直線AM交/于點(diǎn)P,直線AN交/于點(diǎn)Q,試判斷（喬+衛(wèi)）?麗

是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,3間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P與A,3的距離之比為在，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)

合求解.

【詳解】

如圖所示:

、/、/、/、J（x+］：+y272

設(shè)A（—1,0）,B（l,0）,P（x,y）,則i一，=下-，

J（x-1）”22

化簡得（x+3）?+y2=8,

當(dāng)點(diǎn)P到AB（x軸）距離最大時(shí)，的面積最大，

AR4B面積的最大值是，x2x2收=2五.

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

2.D

【解析】

因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3,-4）,所以尸="+（-4丫=5,則sine=—g,cosa=1,

113

即sincr+------——.故選D.

cosa15

3.D

【解析】

由|AF2|=3|BF2|,可得=36反設(shè)直線1的方程x=my+石，m>0,設(shè)A（3,yJ,3（4,%），即yi=-3y2①,

聯(lián)立直線1與曲線C,得yi+y2=-￥"②，y?2=-4—③，求出m的值即可求出直線的斜率.

〃廠-4機(jī)~-4

【詳解】

2

雙曲線C：---y2=1,Fl,F2為左、右焦點(diǎn)，則F2（石，0）,設(shè)直線1的方程x=my+百，m>0,?雙曲線的漸

4

近線方程為x=±2y，二m#2,

設(shè)A（xi,yD,B（X2,y2）,且yi>0,由|AF2|=3|BF2|,...福=3孽，.“1=-3y2①

由｛：—〃？+"，得（加2_44+26?），+]=0

227

x-4y-4=01

，△=（2石m）2-4（H12-4）>0,即m2+4>0恒成立，

.5+yk一普②'.2=二③'

聯(lián)立??得一聯(lián)立①③得_3￡=^^<0,

m>0,解得：m=-,直線/的斜率為2,

2

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，屬于中檔題.

4.A

【解析】

根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算，即可求得AnQ.fi.

【詳解】

集合U=R,A={x|x>O},B={x|d}

所以Q6={X|X<1}

所以AcQ8={x|x)0}c{x|x<1}={x[O<x<1}

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

利用三角形AOM片與△巴資相似得|。耳|=2歸耳，結(jié)合雙曲線的定義求得a*,c的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線

方程。

【詳解】

設(shè)甲-c,0),F2(C,0),

由I40=21OM|,AOMFt與APF]相似，

所以山。能I=|局P川=2,即,冏,=2|,,

又因?yàn)閨尸耳|-忸馬|=為，

所以|P周=4a,|P聞=2a,

所以4c2=16/+4/,即(？=5。2,/=4/，

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±2x.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。

6.A

【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求得Z的坐標(biāo)得出答案.

【詳解】

催”—=(1)(2+,)、，

2-z(2-z)(2+z)55

3」

Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是5，-5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

求導(dǎo)，先求出“X)在xe(0,五)單增，在xe(?,+8)單減，且/。人=/(如=g知設(shè)/⑶=，，則方程

,1

[/(%)]2一〃以乃+7=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程

8

)11

t2=0在(0,7)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.

【詳解】

依題意，、不廠一2送11e(12inx),

令/'(x)=。，解得lnx=；,x=&,故當(dāng)XG(O,&)時(shí)，/'(x)>0,

當(dāng)xe(8,+8),/,(x)<0,且于(&)=eln五=工,

e2

11

故方程t92-mt+三=0在(0,彳)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

82

A>0m2-->0

2

\m\

-----+—>0

824

0<fI+弓<

0<7?7<1

卬2>0

解得mG

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù).其方法：

(1)構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)g(x)(g'(x)易求，g'(x)=O可解)，轉(zhuǎn)化為確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)

的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；

(2)定理法：先用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端

點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

8.C

【解析】

對任意的xe(O,+。。)總有/(x)Wg(x)恒成立，因?yàn)閘nx?(2加+3)x+〃，對xe(0,+。。)恒成立，可得2m+3>0,

令y=lnx-(2m+3)x—〃，可得曠=」一(2機(jī)+3),結(jié)合已知，即可求得答案.

x

【詳解】

對任意的xe(0,+oo)總有/(x)Wg(x)恒成立

/.\nx<(2m+y)x+n,對xe(0,+oo)恒成立，

2m+3>0

令y=lnx-(2m+3)jr-n,

可得y'=--(2m+3)

X

令y'=0,得1=-1—

2/”+3

1

當(dāng)x>y'<0

2m+3

當(dāng)0<x<--------y'>0

2m+3

I

In-----------1-H<0,2m+3>e''"'

…罰’以2m+3

n

故(2m+3)〃>—=f(m,n)

,-,/(機(jī)，〃)=工

e

令^7^=0,得〃

，當(dāng)“>1時(shí)，/'(/〃,〃)<0

當(dāng)〃<1,f'(m,n)>0

二當(dāng)〃=1時(shí)，=4-

e'

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法，考

查了分析能力和計(jì)算能力，屬于難題.

9.D

【解析】

222

雙曲線的漸近線方程是y=±^x,所以！=且，即a=6/=l,c=a+b=4，即c=2,e=-=-y/3,

aa3a3

故選D.

10.B

【解析】

根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生，每個(gè)村一名，3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科

醫(yī)生和1名護(hù)士，根據(jù)排列組合進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

2名內(nèi)科醫(yī)生，每個(gè)村一名，有2種方法，

3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1

名護(hù)士，

若甲村有1外科,2名護(hù)士，則有=3x3=9,其余的分到乙村，

若甲村有2外科,1名護(hù)士，則有=3X3=9,其余的分到乙村，

則總共的分配方案為2x(9+9)=2xl8=36種，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配，屬于?？碱}型.

11.B

【解析】

解出x2<分別代入選項(xiàng)中a的值進(jìn)行驗(yàn)證.

【詳解】

解：?.?一〈/,當(dāng)。=1時(shí),3={—1,0,1},此時(shí)Au3不成立.

當(dāng)。=2時(shí),3={-2,-1,0,1,2},此時(shí)A=3成立，符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.

12.D

【解析】

設(shè)|尸耳|=機(jī)，|P周=〃，根據(jù)COSNPKE=T和拋物線性質(zhì)得出|P用=2根，再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出加=7。,

n=5a,最后根據(jù)余弦定理列方程得出。、c間的關(guān)系，從而可得出離心率.

【詳解】

過P分別向x軸和拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為"、N,不妨設(shè)舊制=加，|尸閭=〃，

則.周=|PN|=|尸用=|P耳|cosNP4瑪=M,

?.?P為雙曲線上的點(diǎn)，貝1||尸耳|一歸瑪|=2。，即，〃一早=2a,得〃z=7a,〃=5a.

,..rn，―?*3549n~+4c~-25cr

又屬周=2c,在AP尸再中,由余弦定理可得一=-----------------

72x7ax2c

整理得c?-5ac+6cJ=0,即e2-5e+6=0,Qe>l,解得e=2或e=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線離心率的求解，涉及雙曲線和拋物線的簡單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

【解析】

A2A2

由題得斗，=一二=—3,再根據(jù)勺=e2-1求解即可.

a'a~

【詳解】

雙曲線AY2-V當(dāng)2=1的兩條漸近線為y=±h-x,可令占二一h一,幺=h—，則％*2=-h~1=一3,所以h~勺=/一1=3,解得

abaaaaa

e—2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線漸近線求離心率的問題.屬于基礎(chǔ)題.

5

14.5-

2

【解析】

2

a2a&+2a3a§+=25n+2a3a5+aj=25=>(a3+a5)=25,-.-an>0a3+a5=5

.?.d=%%4(幺愛)2=?"[,即%的最大值為|

15.G

【解析】

作A關(guān)于平面a和/?的對稱點(diǎn)M,N,交。和/?與。，E,連接MN,AM,AN,DE,根據(jù)對稱性三角形AOC的周長

為AB+AC+BC=M5+5C+CN,當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)長度最短，結(jié)合對稱性和余弦定理求解.

【詳解】

作A關(guān)于平面a和夕的對稱點(diǎn)M,N,交a和/?與O,E,

連接MN,AM,AN,DE,

根據(jù)對稱性三角形A5C的周長為AB+AC+BC=MB+BC+CN,

當(dāng)M,B,C,N共線時(shí)，周長最小為MN設(shè)平面AOE交/于，0,連接0￡>,0E,

顯然0D_U,OEJJ,

ZDOE=60°,NMQ4+N4ON=240o,Q4=l,

ZMON=120°,且0M=0N=0A=l,根據(jù)余弦定理，

故MM=1+1-2xlxlxCosl20°=3,

故MN=6.

【點(diǎn)睛】

此題考查求空間三角形邊長的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何性質(zhì)找出對稱關(guān)系，結(jié)合解三角形知識(shí)求解.

16.9

【解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形，即可求出z=2x+y的最大值.

【詳解】

做出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，

目標(biāo)函數(shù)z=2x+y過點(diǎn)A時(shí)取得最大值,

y=xx=3

聯(lián)立解得，即A(3,3),

[3x+2y=15卜=3

所以z=2x+y最大值為9.

故答案為9

【點(diǎn)睛】

本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)7,b?=n⑵勺=1一

【解析】

(1)S?_,=l-2a?(n..2),所S,,=1-2《用，兩式相減，即可得到數(shù)列遞推關(guān)系求解通項(xiàng)公式，由

,2((一心)戴理俎2(7；-&])(?；+&])2〃(7；+&|)為坦

bn=-T--------2工1=4_T_(n..2),整理得------7-7-------------h—_<+T"-'(〃??2)，得

b“_i+b,in｝d+i+d-id+i+d-i

到%一d=b,「%(?■.2),即可求解通項(xiàng)公式；

(〃+2)12(n+l)-n111,、

(2)由(1)可知，%=^^--,=一'7上/一次=~^F-7一-即可求得數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和

n+n2"(〃+l)2n-2(n+1)-2

【詳解】

(1)因?yàn)镾“T=l-2a“(〃..2),所S.=l-2a“+1,兩式相減，整理得q-=ga“(〃..2),當(dāng)〃=2時(shí),

S?—q=~--1—2a),解得~~4,

所以數(shù)列(??)是首項(xiàng)和公比均為；的等比數(shù)列,即4=最，

2優(yōu)-七)

因?yàn)?一27；—(〃一2),

整理得2(\—。"(7；+7；1)=2b“(T“+T『J

=北+%(〃-⑵，

%+%b“+i+b“_i

2h

又因?yàn)槲?gt;0,所以為>0,所以人二二1(〃?⑵,即%一2="一％(〃?.2),因?yàn)榉?1也=2,所以數(shù)列

{2}是以首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，所以2=〃;

(〃+2)12(〃+1)—〃111

(2)由t(1)可知，c='—=—?—=——zp-,,

nn+n2〃(〃+1)2n-2(?+!)-2

(1<11、(11、1

Pn=1一"^_^|+丁丁？+...+―T77-,?即匕=?

I2x2/<2x23x27(n+1)-2)(n+1)-2

【點(diǎn)睛】

此題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和，關(guān)鍵在于對題中所給關(guān)系合理變形，發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系，裂項(xiàng)求和作為一

類常用的求和方法，需要在平常的學(xué)習(xí)中多做積累常見的裂項(xiàng)方式.

18.(1)[-1,+<?)(2)見解析

【解析】

⑴分離〃?得到g(x)=/(x)—%=,一3|+打一1卜》，求g(x)的最小值即可求得加的取值范圍；(2)先求出“，得到

a+b+c=2,利用乘”"變化即可證明不等式.

【詳解】

-3x+4,x<1

解：(1)設(shè)8(?=/(1)_工=卜_3?_1卜x=,_%+2,1<x<3,

x-4,x>3

???g(x)在(-8,引上單調(diào)遞減，在(3,位)上單調(diào)遞增.

lS^(X)min=<?(3)=-1-

Vg(x)〈機(jī)有解，；.m>-\.

即〃2的取值范圍為~1,+8).

(2)/(x)Hx-3|+|x-l|>|(x-3)-(x-l)|=2,當(dāng)且僅當(dāng)1KX<3時(shí)等號(hào)成立.

:?n=2,即a+/?+c=2.

(11a4ab4bcc

\abc)bcacab

/ab4。c4b

=6+—+—+—+—+—+—>16.

bacacb

當(dāng)且僅當(dāng)。=l，b=-,c=l時(shí)等號(hào)成立.

22

114

:.—H—F—>8,即4々〃+〃。+。。28"。成立.

abc

【點(diǎn)睛】

此題考查不等式的證明，注意定值乘"”變化的靈活應(yīng)用，屬于較易題目.

19.(1)(―JQ)；(2)見解析

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究/(x)=Hnr的單調(diào)性，分析函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即得解；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-%-xln%,〃(%)=一一(九一1)一xlnx可證得：-x>xlnr,-^―(x-1)>xlmlXG-,1|I,

e-le-1I\e)J

分析直線y=_x,y=」一(x—l)與y=a

e-1

從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，/(X)在x=e-3,x=l處的切線即得解.

【詳解】

(1)設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx,

/'(x)=l+lnx,

-0-,/'(%)>0,x>—,令尸(x)<O,O<x<-

故/(》)在(0,f單調(diào)遞減，在(：”)單調(diào)遞增，

???xf0+時(shí)/(x)->0；/(1)=0；時(shí)f+00

now(-Lo］.

(2)①過點(diǎn)((),())，［g—g］的直線為丁=一工，

則令g(x)=_X_jdnx,,

g'(x)=—2—Inx

=>g(X)max=8卜-2)，^Wmin>mill<0,|=0

②過點(diǎn)(LO),的直線為^==(無一1),

貝!]/z(x)=^—(x-l)-xlnx

XG

c—1

J,“上單調(diào)遞增

hXx)=-.....lor-l>0=>"(x)在

e-1

/z(x)>/?(—=0=>(x-l)>xlnxXG

③設(shè)直線y=-x,與y=a

e—1

從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為&=-。，x4=a(e-l)+l,

由圖知W一%>龍4一％3=ae+L

④/(%)在》=0-3,工=1處的切線分別為.丫=一2%一"3,y=x-l,同理可以證得

記直線.y=a與兩切線和/i(x)從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為毛，%，了2,4，

[、—a—e-33a+2—e

x-玉<x-X=(zQ+1)--------

2652

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.

20.(1)(-oo,-2]u[2,+oo)(2)(f,3]U[l，W)

【解析】

(1)卜+1|+|k124利用零點(diǎn)分區(qū)間法，去掉絕對值符號(hào)分組討論求并集，

(2)/(x)N2對xeR恒成立，貝！J/(%)??.?>2,

由三角不等式|x+a|+|x-l閆x+a-x+11=|。+1],得|。+1住2求解

【詳解】

解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，不等式/(x)N4即為|x+l|+|方1|24,

x<-lf-1<X<1[x>\

可得4或《或<,

-x-l+l-x>4[x+l+l-x>4[x+l+x-l>4

解得xW-2或或xN2,

則原不等式的解集為(-8,—2]32,不》)

(2)若對任意xeR、都有/(x)22,

即為-2,

由|x+a|+|方1以x+a~x+11=|tz+l|,當(dāng)(x+a)(x-l)<0取得等號(hào)，

則/(x)“而=k+1|,由|a+l|N2,可得或z<-3,

則”的取值范圍是(F,3]UU，+8)

【點(diǎn)睛