行列式的展開定理

例如一、余子式與代數(shù)余子式

簡化高階行列式計算的一個重要方法就是降低行列式的階數(shù)。第2頁,共42頁，2024年2月25日，星期天【定義】在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，余下的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如第3頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第4頁,共42頁，2024年2月25日，星期天【定理】

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即：二、基于行列式某一行（列）的展開定理顯然這些項(xiàng)都是D的個展開項(xiàng)中的某一項(xiàng)，第5頁,共42頁，2024年2月25日，星期天

因此只需證明在兩端的展開式中，這些項(xiàng)前面的符號也相同即可。右端中的項(xiàng)：其中：是的一個排列。在右端的展開式中，該項(xiàng)前面所帶的符號是：第6頁,共42頁，2024年2月25日，星期天該符號正好是在D的完全展開式中前面所帶的符號。證畢第7頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例1按第三行展開第8頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例2

計算解：第10頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例3計算范德蒙(Vandermonde)行列式第11頁,共42頁，2024年2月25日，星期天按第1列展開，提取公因式得：

第12頁,共42頁，2024年2月25日，星期天依次下去：第13頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例4計算解：第14頁,共42頁，2024年2月25日，星期天上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，故有：第15頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例5

計算第16頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例7

證明證：第19頁,共42頁，2024年2月25日，星期天由以上遞推公式可得：逐個代入可得：第20頁,共42頁，2024年2月25日，星期天解：按第1行展開：第21頁,共42頁，2024年2月25日，星期天整理：由此：（請關(guān)注本題解決問題的思想?。┑?2頁,共42頁，2024年2月25日，星期天按第n列展開第23頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共42頁，2024年2月25日，星期天

解：利用加邊法，有：第25頁,共42頁，2024年2月25日，星期天（請關(guān)注本題解決問題的思想?。┑?6頁,共42頁，2024年2月25日，星期天

【定理】行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證第27頁,共42頁，2024年2月25日，星期天同理相同第28頁,共42頁，2024年2月25日，星期天關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：第29頁,共42頁，2024年2月25日，星期天2.行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具.

三、小結(jié)1、余子式，代數(shù)余子式的概念重要結(jié)論：按第i行展開按第j列展開第30頁,共42頁，2024年2月25日，星期天習(xí)題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和第31頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第32頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共42頁，2024年2月25日，星期天信息系劉康澤

1-3拉普拉斯展開定理(2)第34頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第35頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第37頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第38頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第39頁,共42頁，2024年2月