新湘教版八年級上期知識點

第一章分式分式的概念：一般的，用表示兩個整式，就可以表示成的形式．如果中含有字母，式子就叫做分式．其中，叫做分式的分子，叫做分式的分母.分式和整式通稱為有理式．注意：(1)分母中含有字母是分式的一個重要標志，它是分式與分數(shù)、整式的根本區(qū)別；(2)分式的分母的值也不能等于零．假設(shè)分母的值為零，那么分式無意義；(3)當分子等于零而分母不等于零時，分式的值才是零．分式的相關(guān)概念：把一個分式的分子與分母的公因式約去，把分式化成最簡分式，叫做分式的約分．一個分式約分的方法是：當分子、分母是單項式時，直接約分；當分子、分母是多項式時，把分式的分子和分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式．一個分式的分子和分母沒有公因式時，叫做最簡分式，也叫既約分式．把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．分式的根本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變．用式子表示是：(其中是不等于零的整式)．分式的變號法那么：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變．如：．分式的系數(shù)化整問題，是利用分式的根本性質(zhì)，將分子、分母都乘以一個適當?shù)牟坏扔诹愕臄?shù)，使分子、分母中的系數(shù)全都化成整數(shù)．當分子、分母中的系數(shù)都是分數(shù)時，這個“適當?shù)臄?shù)”應(yīng)該是分子和分母中各項系數(shù)的所有分母的最小公倍數(shù)；當分子、分母中各項系數(shù)是小數(shù)時，這個“適當?shù)臄?shù)”一般是，其中等于分子、分母中各項系數(shù)的小數(shù)點后最多的位數(shù)．例、不改變分式的值，把以下各分式分子與分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù)，且使各項系數(shù)絕對值最?。?1)；(2)．分式的運算法那么分式的乘除法那么：分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．用式子表示是：；．分式的乘方法那么：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：(為整數(shù))．3、分式的加減法那么：=1\*GB3①同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．用式子表示是：；=2\*GB3②異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減．用式子表示是：．分式的混合運算關(guān)鍵是弄清運算順序，分式的加、減、乘、除混合運算也是先進行乘、除運算，再進行加、減運算，遇到括號，先算括號內(nèi)的．例、計算．分析：對于這道題，一般采用直接通分后相加、減的方法，顯然較繁，注意觀察到此題的每個分式的分子都是一個二項式，并且每個分子都是分母與1的和，所以可以采取“裂項法”．同底數(shù)冪的除法法那么：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．如：(為正整數(shù)，)．注意：()；為正整數(shù))．科學(xué)計數(shù)法：把一個數(shù)記成的形式，其中：是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．第二章三角形命題、定理、證明命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題．注意：命題的定義包括兩層涵義：=1\*GB3①命題必須是一個完整的句子；②這個句子必須對某件事情做出判斷．例如：“直角都相等”，“相等的角是對頂角”等都是命題．“連結(jié)P、Q兩點”、“過點p作直線l”等都不是命題．命題的一般形態(tài)：任一個命題都可以寫成形式：“如果……，那么……．”如果對應(yīng)命題的題設(shè)(條件)局部，那么對應(yīng)命題的結(jié)論局部。命題的分類：所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題．所謂錯誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能保證結(jié)論總是成立的命題．注意：對于假命題并不要求：在題設(shè)成立時，結(jié)論一定錯誤，事實上，只要你不能保證結(jié)論一定成立，這個命題就是假命題了，因此，要說明一個命題是假命題，只要舉出一個“反例”就可以了公理：人們在長期實踐中總結(jié)出來的得到人們公認的真命題，叫做公理，如“同位角相等，兩直線平行”、“兩直線平行，同位角相等”等．注意：①公理是通過長期實踐反復(fù)驗證過的，不需要再進行推理而都成認的真命題．②公理可以作為判定其它命題真假的根據(jù)．定理：用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理，如“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”、“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”等等．注意：定理都是真命題，但真命題不一定都是定理，一般選擇一些最根本最常用的真命題作為定理，可以用它們?yōu)楦鶕?jù)推證其它命題，這些被選作定理的真命題，在教科書中是用黑體字排印的．證明：判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明．注意：在幾何問題的研究上，必須經(jīng)過證明，才能作出真實可靠的判斷．如“對頂角相等”這個命題，如果只采用測量的方法，只能測量有限個對頂角是相等的，但采用推理方法證明了對頂角相等，那么就可以確信一切對頂角相等．證明的一般步驟：根據(jù)題意，畫出圖形；根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出求證；(3)經(jīng)過分析，找出由推出求證的途徑，寫出證明過程．注意：①在一般情況下，分析的過程不要求寫出來，有些題目中，已經(jīng)畫出了圖形，寫好了、求證，這時，只要寫出“證明”一項就可以了．②證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當然”，這些根據(jù)，可以是條件，也可以是定義、公理，已經(jīng)學(xué)過的定理，在初學(xué)證明時，要求把根據(jù)寫在第一步推理后面的括號內(nèi)，其中像等量代換，利用等式性質(zhì)加減乘除等代數(shù)運算可不注理由．三角形的根本概念三角形的概念如圖，由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．三角形的主要線段：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線．這里我們要注意兩點：一是一個三角形有三條角平分線，并且相交于三角形內(nèi)部一點；二是三角形的角平分線是一條線段，而角的平分線是一條射線．在三角形中，連結(jié)一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線．這里我們要注意兩點：一是一個三角形有三條中線，并且相交于三角形內(nèi)部一點；二是三角形的中線是一條線段．〔平分三角形的面積〕從三角形一個頂點向它對邊畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線(簡稱三角形的高)．這里我們要注意三角形的高是線段，而垂線是直線．三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．三角形的這個性質(zhì)在生產(chǎn)和生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西都制成三角形的形狀．三角形有下面三個特性：=1\*GB3①三角形有三條線段；=2\*GB3②三條線段不在同一條直線上；=3\*GB3③首尾順次連接．以上三點說明三角形是封閉圖形，如圖就不是三角形．“三角形”用符號“”表示，頂點是的三角形記作“”，讀作“三角形”．三角形的分類三角形按邊的關(guān)系可以如下分類：三角形按角的關(guān)系可以如下分類：把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形．它是兩條直角邊相等的直角三角形．注意：一個三角形中，最多有三個銳角，最少有兩個銳角；最多有一個鈍角；最多有一個直角．三角形的三邊關(guān)系定理及推論三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形兩邊之差小于第三邊．三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：=1\*GB3①判斷三條線段能否組成三角形．=2\*GB3②當兩邊時，可確定第三邊的范圍．=3\*GB3③證明線段不等關(guān)系．三角形的內(nèi)角和定理及推論：三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于．推論：=1\*GB3①直角三角形的兩個銳角互余．=2\*GB3②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．=3\*GB3③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．注意：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角．三角形的面積三角形的面積＝×底×高．全等三角形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角．夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊．夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角．全等三角形的表示和性質(zhì)以下圖中的兩個三角形能夠完全重合，就是全等三角形，“全等”用符號“≌”來表示，讀作“全等于”．以下圖中的和全等，記作“≌”．注意:記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上．因為能夠重合的兩條線段是相等的線段，能夠重合的兩個角是相等的角，所以全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．這是全等三角形的性質(zhì)．三角形全等的判定三角形全等的判定公理：三角形全等的判定公理有下面幾個：(1)邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”)．(2)角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”)．這個公理還有下面的推論：有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”)．(3)邊邊邊公理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．(可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”)．三角形全等判定公理的選擇：如何選擇哪種判定公理必須根據(jù)條件而定，詳細內(nèi)容見下表：條件可選擇的判定公理一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA兩角對應(yīng)相等ASAAAS兩邊對應(yīng)相等SASSSS等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個底角相等(簡稱：等邊對等角)．即：在中，假設(shè)，那么．推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊．即等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合．推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于．等腰三角形的其它性質(zhì)：等腰三角形的三線合一性：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合．即只要知道其中一個量，就可以知道其它兩個量．等腰直角三角形的兩個底角相等且等于．等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角(或直角)，但頂角可以為鈍角(或直角)．等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為，底邊長為，那么．等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為，底角為，那么有：，．等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．(簡寫成：等角對等邊).這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等．推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．推論2：有一個角是的等腰三角形是等邊三角形．注意：推論1，推論2常用于證明一個三角形是等邊三角形。證明一個三角形是等腰三角形的方法：1、利用定義證明，有兩邊相等的三角形是等腰三角形．2、等腰三角形的判定定理：等角對等邊．證明一個三角形是等邊三角形的方法：1、利用定義證明：證明三條邊相等．2、證明三角形三個角相等．3、證明它是等腰三角形并且已有一個角是．等腰三角形的性質(zhì)與判定：等腰三角形性質(zhì)等腰三角形判定中線1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點與底邊兩端點距離相等1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形2、如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊(平分這個邊的對角)，那么這個三角形是等腰三角形角平分線1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點到底邊兩端點距離相等1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對邊(平分對邊)那么這個三角形是等腰三角形2、三角形中兩個角的平分線相等，那么這個三角形是等腰三角形高線1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們的交點和底邊兩端點距離相等1、如果一個三角形一邊上的高平分這條邊(平分這條邊的對角)那么這個三角形是等腰三角形2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形角等邊對等角等角對等邊邊底的一半<腰長<周長的一半兩邊相等的三角形是等腰三角形第三章實數(shù)實數(shù)的分類正整數(shù)整數(shù)零有理數(shù)負整數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)正分數(shù)實數(shù)分數(shù)負分數(shù)正無理數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負無理數(shù)注意：(1)實數(shù)還可按正數(shù)，零，負數(shù)分類．(2)整數(shù)可分為奇數(shù)，偶數(shù)，零是偶數(shù)，偶數(shù)一般用2(為整數(shù))表示；奇數(shù)一般用2-1或2+1(為整數(shù))表示．數(shù)的開方：平方根、算術(shù)平方根：如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)就叫做的平方根(或二次方根)，即如果那么就叫做的平方根．一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根．正數(shù)的平方根，記作：．正數(shù)的正的平方根叫做的算術(shù)平方根．記作：．正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個．零的算術(shù)平方根是零．注意：的“雙重非負性”：立方根：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)就叫做的立方根(或叫做的三次方根)，即如果，那么就叫做的立方根．一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零．注意：，這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面．實數(shù)加、減法法那么(1)同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．(2)絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0．(3)一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．(4)減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．實數(shù)乘法法那么(1)兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．(2)幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定．當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．(3)幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．實數(shù)除法法那么(1)除以一個數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)．(2)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．(3)除數(shù)不能等于0．實數(shù)的乘方法那么(1)實數(shù)的乘方運算是利用實數(shù)的乘法運算進行的．(2)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)實數(shù)的混合運算實數(shù)的運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的．例、計算．解：=1實數(shù)的運算性質(zhì)加法的交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變．即：．加法的結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或先把后兩個數(shù)相加，和不變．即：．乘法的交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變．即：．乘法的結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變．即：．乘法對加法的分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加．即：．第四章不等式和不等式組不等式的概念：用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式．如：，3－44－3，，等都是不等式．五種不等號的讀法及意義：(1)“”讀作“不等于”，它說明兩個量之間的關(guān)系是不相等的，但不能明確哪個大哪個??；(2)“>”讀作“大于”，表示其左邊的量比右邊的量大；(3)“<”讀作“小于”，表示其左邊的量比右邊的量??；(4)“”讀作“大于或等于”，即“不小于”，表示左邊“不小于”右邊；(5)“”讀作“小于或等于”，即“不大于”，表示左邊“不大于”右邊；我們可以看出不等號開口所對的數(shù)較大，不等號尖口所對的數(shù)較?。坏仁降慕饧瘜τ谝粋€含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解．對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集．求不等式的解集的過程，叫做解不等式．用數(shù)軸表示不等式的方法一元一次不等式的解集用數(shù)軸表示有以下四種情況，如以下圖所示：(1)如圖中所示：(2)如圖中所示：(3)如圖中所示：(4)如圖中所示：用數(shù)軸表示不等式的解集，應(yīng)記住下面的規(guī)律：大于向右畫，小于向左畫，有等號(，)畫實心點，無等號(>，<)畫空心圈．不等式的根本性質(zhì)不等式根本性質(zhì)1：不等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變．不等式根本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．不等式根本性質(zhì)3：不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．一元一次不等式的概念：一般的，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的一般步驟：=1\*GB3①去分母；=2\*GB3②去括號；=3\*GB3③移項；=4\*GB3④合并同類項；=5\*GB3⑤將項的系數(shù)化為1．注意：解不等式時，上面的五個步驟不一定都能用到，并且不一定按照順序解，要根據(jù)不等式的形式靈活安排求解步驟．例、解不等式．解：去分母得：．去括號得：．移項得：．合并同類項得：．系數(shù)化為1，得：．一元一次不等式組的概念：幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組．幾個一元一次不等式的解集的公共局部，叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集．求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組．當任何數(shù)都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集．一元一次不等式組的解法：=1\*GB3①分別求出不等式組中各個不等式的解集；=2\*GB3②利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共局部，即這個不等式組的解集．例、求不等式組：的整數(shù)解．解：由(1)得：，由(2)得：，由(3)得：．在數(shù)軸上表示出不等式(1)，(2)，(3)的解集如以下圖所示：那么不等式組的解集是：．不等式組的整數(shù)解是：．注意：從上面的例題我們可以概括出求不等式組公共解的一般規(guī)律：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了．第五章二次根式二次根式的概念：式子叫做二次根式，二次根式必須滿足：=1\*GB3①含有二次根號“”；=2\*GB3②被開方數(shù)必須是非負數(shù)．如，，都是二次根式．最簡二次根式：假設(shè)二次根式滿足:=1\*GB3①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；=2\*GB3②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)