理論力學(xué)-哈密頓理論在物理學(xué)中的應(yīng)用省公開課一等獎(jiǎng)全國示范課微課金獎(jiǎng)

第八章哈密頓理論在物理學(xué)中應(yīng)用§8.1連續(xù)體系拉格朗日方程kkkmmkmmmun+1unun-1un-2a第1頁第2頁第3頁第4頁第5頁第6頁§8.2電磁場拉格朗日方程第7頁第8頁第9頁第10頁§8.3薛定諤波動(dòng)力學(xué)方程建立采取經(jīng)典力學(xué)哈密頓理論，加上電子含有波粒二象性假設(shè)，以氫原子為例，建立定態(tài)波動(dòng)力學(xué)方程。氫原子哈密頓函數(shù)為第11頁第12頁第13頁第14頁第15頁第16頁第17頁§8.4劉維爾定理相空間中統(tǒng)計(jì)系綜分布密度在運(yùn)動(dòng)過程中不變。證實(shí)：統(tǒng)計(jì)系綜一個(gè)“樣本”：力學(xué)體系有N個(gè)相同粒子，每個(gè)粒子坐標(biāo)和動(dòng)量為q

、p。統(tǒng)計(jì)系綜是由與這個(gè)力學(xué)體系組成完全相同，但初始條件不一樣許多個(gè)“樣本”組成。單個(gè)粒子相空間(6維空間)：3個(gè)坐標(biāo)分量q，3個(gè)動(dòng)量分量p。N個(gè)粒子組成

空間(6維空間).t時(shí)刻，每個(gè)“樣本”q、p確定，所以

空間中每一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)“樣本”在某一時(shí)刻狀態(tài)，這么點(diǎn)稱為“代表點(diǎn)”。所以統(tǒng)計(jì)系綜就是

空間中一群代表點(diǎn)。第18頁這群代表點(diǎn)在

空間中分布普通是不均勻，所以可引入代表點(diǎn)密度概念。這是因?yàn)榇睃c(diǎn)相軌跡是不會(huì)相交。若相交，則表明相同力學(xué)體系在相同初始條件下有不一樣運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這和經(jīng)典力學(xué)基本假設(shè)相矛盾。設(shè)在d

1內(nèi)，代表點(diǎn)數(shù)目為dN1，則=dN1/d

1就代表點(diǎn)在d

1區(qū)域中密度。經(jīng)過時(shí)間t后，原來在d

1中代表點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

空間d

2位置，如圖所表示，這兩個(gè)體積元代表點(diǎn)數(shù)目是相同，即dN1=dN2。pqd

1d

2第19頁劉維爾定理：相空間中統(tǒng)計(jì)系綜分布密度在運(yùn)動(dòng)過程中不變，即=dN1/d

1=dN2/d

2=常數(shù)。因?yàn)閐N1=dN2，所以要證實(shí)上式，只要證實(shí)d

1=

d

2。分兩步證實(shí)：1、證實(shí)一個(gè)粒子一對正則變量q、p從t到t+dt改變可看成是一個(gè)正則變換。證：只要找到一個(gè)適當(dāng)母函數(shù)，使變換后新正則變量Q、P為Q

=q

+dq

，P

=p

+dp，=1,2,…,N(1)若取第二類正則變換母函數(shù)F2(q,P)=q

P

(2)則:這是全同正則變換。第20頁Q

=q

+dq

，P

=p

+dp，=1,2,…,N(1)

F2(q,P)=q

P

(2)比較(1)和(2)式,二者只相差無窮小量 dq

和dp

,所以認(rèn)為要得(1)式，可在(2)式母函數(shù)中再加上一個(gè)無窮小量，即可取F2(q,P)=q

P

+G(q,P,t)

(4)為無窮小量，G為任意函數(shù)。忽略二階小量，(4)式近似為：F2(q,P)q

P

+G(q,p,t)

(5)(5)式正則變換稱為無窮小正則變換。第21頁F2(q,P)q

P

+G(q,p,t)

(5)令=dt，G(q,p,t)

=H(q,p,t)，代入(5)式，得F2(q,P)q

P

+H(q,p,t)dt(6)利用此母函數(shù)即得：上式即為(1)式，即證實(shí)了相空間體積從d

1變換為d

2是一個(gè)正則變換.第22頁2、證實(shí)相空間體積在正則變換下保持不變，即

P=…dq1…dq3Ndp1…dp3N=…dQ1…dQ3NdP1…dP3N當(dāng)積分自變量從q、p變到Q、P時(shí)，體積元變換為：…dQ1…dQsdP1…dPs=

…Ddq1…dqsdp1…dps(7)式中D為雅可比行列式：只要證實(shí):D=1第23頁第24頁

在證得了s=1時(shí)，D=1，再利用雅可比行列式一些性質(zhì)，就可證實(shí)當(dāng)s=3N時(shí)也成立。因?yàn)檫\(yùn)算比較繁瑣，這里從略。

綜合以上所得，劉維定理成立。代表點(diǎn)密度為=(q、p、t)，其運(yùn)動(dòng)方程為第25頁§8.5經(jīng)典微擾理論1、微擾論基本思想：非線性方程中線性