高數(shù)同濟(jì)§33-泰勒(taylor)公式省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)

§3.3泰勒(Taylor)公式

問(wèn)題提出泰勒中值定理簡(jiǎn)單應(yīng)用P139第1頁(yè)一、問(wèn)題提出（以下列圖）在微分中我們講過(guò)，當(dāng)很小時(shí)，即令：則誤差為上式表明函數(shù)

f(x)在x0附近可用一個(gè)線性函數(shù)來(lái)近似。且當(dāng) 很小時(shí)，誤差也很小。第2頁(yè)第3頁(yè)不足:問(wèn)題:1、準(zhǔn)確度不高；2、誤差不能預(yù)計(jì).第4頁(yè)分析:2.若有相同切線3.若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好1.若在點(diǎn)相交第5頁(yè)第6頁(yè)三、泰勒(Taylor)中值定理第7頁(yè)證實(shí):第8頁(yè)第9頁(yè)第10頁(yè)拉格朗日形式余項(xiàng)皮亞諾形式余項(xiàng)第11頁(yè)1.說(shuō)明:第12頁(yè)2.麥克勞林(Maclaurin)公式—Talyor公式特例或第13頁(yè)四、Talyor公式簡(jiǎn)單應(yīng)用解代入公式,得由公式可知第14頁(yè)預(yù)計(jì)誤差其誤差思索：e–x=?第15頁(yè)

慣用函數(shù)麥克勞林公式第16頁(yè)

位于x與1之間。例2直接展開(kāi)法解：第17頁(yè)解第18頁(yè)播放小結(jié)第19頁(yè)播放第20頁(yè)思索題1.利用泰勒公式求極限第21頁(yè)思索題解答第22頁(yè)思索題第23頁(yè)證實(shí):∵f(a)=A>0,f(x)二階可導(dǎo)∴∴X>a,使f(X)<0,∵f(x)在[a,+)上連續(xù),∴最少

(a,X)[a,+)使f()=0.唯一性證實(shí):方法一方法二(反證法)若f(x)=0有兩個(gè)根:x1<x2,由羅爾定理知第24頁(yè)作業(yè)：P145：2、4、5、9-（1）、10-（2）第25頁(yè)第26頁(yè)

１８世紀(jì)早期英國(guó)牛頓學(xué)派最優(yōu)異代表人物之一英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（BrookTaylor），于１６８５年８月１８日在米德?tīng)柸怂拱５旅深D出生。１７０９年后移居倫敦，獲法學(xué)碩士學(xué)位。他在１７１２年當(dāng)選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，并于兩年后獲法學(xué)博士學(xué)位。同年（即１７１４年）出任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)秘書(shū)，四年后因健康理由解聘職務(wù)。１７１７年，他以泰勒定理求解了數(shù)值方程。最終在１７３１年１２月２９日于倫敦逝世。泰勒主要著作是１７１５年出版《正和反增量方法》，書(shū)內(nèi)以以下形式陳說(shuō)出他已于１７１２年７月給其老師梅欽（數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家）信中首先提出著名定理──泰勒定理：式內(nèi)ｖ為獨(dú)立變量增量，及為流數(shù)。他假定ｚ隨時(shí)間均勻改變，則為常數(shù)。上述公式以當(dāng)代形式表示則為：這公式是從格雷戈里－牛頓插值公式發(fā)展而成，當(dāng)ｘ＝０時(shí)便稱作馬克勞林定理。１７７２年，拉格朗日強(qiáng)調(diào)了此公式之主要性，而且稱之為微分學(xué)基本定理，但泰勒于證實(shí)當(dāng)中并沒(méi)有考慮級(jí)數(shù)收斂性，因而使證實(shí)不嚴(yán)謹(jǐn)，這工作直至十九世紀(jì)二十年代才由柯西完成。泰勒定理開(kāi)創(chuàng)了有限差分理論，使任何單變量函數(shù)都可展成冪級(jí)數(shù)；同時(shí)亦使泰勒成了有限差分理論奠基者。泰勒于書(shū)中還討論了微積分對(duì)一系列物理問(wèn)題之應(yīng)用，其中以相關(guān)弦橫向振動(dòng)之結(jié)果尤為主要。他透過(guò)求解方程導(dǎo)出了基本頻率公式，開(kāi)創(chuàng)了研究弦振問(wèn)題之先河。另外，此書(shū)還包含了他于數(shù)學(xué)上之其它創(chuàng)造性工作，如敘述常微分方程奇異解，曲率問(wèn)題之研究等。１７１５年，他出版了另一名著《線性透視論》，更發(fā)表了再版《線性透視原理》（１７１９）。他以極嚴(yán)密之形式展開(kāi)其線性透視學(xué)體系，其中最突出之貢獻(xiàn)是提出和使用「沒(méi)影點(diǎn)」概念，這對(duì)攝影測(cè)量制圖學(xué)之發(fā)展有一定影響。另外，還撰有哲學(xué)遺作，發(fā)表于１７９３年。

泰勒(-02-06)第27頁(yè)五、小結(jié)第28頁(yè)五、小結(jié)第29頁(yè)五、小結(jié)第30頁(yè)五、小結(jié)第