高數(shù)同濟§33-泰勒(taylor)公式省公開課一等獎全國示范課微課金獎

§3.3泰勒(Taylor)公式

問題提出泰勒中值定理簡單應(yīng)用P139第1頁一、問題提出（以下列圖）在微分中我們講過，當(dāng)很小時，即令：則誤差為上式表明函數(shù)

f(x)在x0附近可用一個線性函數(shù)來近似。且當(dāng) 很小時，誤差也很小。第2頁第3頁不足:問題:1、準(zhǔn)確度不高；2、誤差不能預(yù)計.第4頁分析:2.若有相同切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交第5頁第6頁三、泰勒(Taylor)中值定理第7頁證實:第8頁第9頁第10頁拉格朗日形式余項皮亞諾形式余項第11頁1.說明:第12頁2.麥克勞林(Maclaurin)公式—Talyor公式特例或第13頁四、Talyor公式簡單應(yīng)用解代入公式,得由公式可知第14頁預(yù)計誤差其誤差思索：e–x=?第15頁

慣用函數(shù)麥克勞林公式第16頁

位于x與1之間。例2直接展開法解：第17頁解第18頁播放小結(jié)第19頁播放第20頁思索題1.利用泰勒公式求極限第21頁思索題解答第22頁思索題第23頁證實:∵f(a)=A>0,f(x)二階可導(dǎo)∴∴X>a,使f(X)<0,∵f(x)在[a,+)上連續(xù),∴最少

(a,X)[a,+)使f()=0.唯一性證實:方法一方法二(反證法)若f(x)=0有兩個根:x1<x2,由羅爾定理知第24頁作業(yè)：P145：2、4、5、9-（1）、10-（2）第25頁第26頁

１８世紀早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)異代表人物之一英國數(shù)學(xué)家泰勒（BrookTaylor），于１６８５年８月１８日在米德爾塞克斯埃德蒙頓出生。１７０９年后移居倫敦，獲法學(xué)碩士學(xué)位。他在１７１２年當(dāng)選為英國皇家學(xué)會會員，并于兩年后獲法學(xué)博士學(xué)位。同年（即１７１４年）出任英國皇家學(xué)會秘書，四年后因健康理由解聘職務(wù)。１７１７年，他以泰勒定理求解了數(shù)值方程。最終在１７３１年１２月２９日于倫敦逝世。泰勒主要著作是１７１５年出版《正和反增量方法》，書內(nèi)以以下形式陳說出他已于１７１２年７月給其老師梅欽（數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家）信中首先提出著名定理──泰勒定理：式內(nèi)ｖ為獨立變量增量，及為流數(shù)。他假定ｚ隨時間均勻改變，則為常數(shù)。上述公式以當(dāng)代形式表示則為：這公式是從格雷戈里－牛頓插值公式發(fā)展而成，當(dāng)ｘ＝０時便稱作馬克勞林定理。１７７２年，拉格朗日強調(diào)了此公式之主要性，而且稱之為微分學(xué)基本定理，但泰勒于證實當(dāng)中并沒有考慮級數(shù)收斂性，因而使證實不嚴謹，這工作直至十九世紀二十年代才由柯西完成。泰勒定理開創(chuàng)了有限差分理論，使任何單變量函數(shù)都可展成冪級數(shù)；同時亦使泰勒成了有限差分理論奠基者。泰勒于書中還討論了微積分對一系列物理問題之應(yīng)用，其中以相關(guān)弦橫向振動之結(jié)果尤為主要。他透過求解方程導(dǎo)出了基本頻率公式，開創(chuàng)了研究弦振問題之先河。另外，此書還包含了他于數(shù)學(xué)上之其它創(chuàng)造性工作，如敘述常微分方程奇異解，曲率問題之研究等。１７１５年，他出版了另一名著《線性透視論》，更發(fā)表了再版《線性透視原理》（１７１９）。他以極嚴密之形式展開其線性透視學(xué)體系，其中最突出之貢獻是提出和使用「沒影點」概念，這對攝影測量制圖學(xué)之發(fā)展有一定影響。另外，還撰有哲學(xué)遺作，發(fā)表于１７９３年。

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