專題07 計(jì)數(shù)原理-2024高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全國）（理科）含解析

專題07計(jì)數(shù)原理-2024高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全國通用）（理科）含解析專題07計(jì)數(shù)原理考向一排列與組合【母題來源】2022年高考全國甲卷（理科）【母題題文】有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【答案】B【試題解析】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B【命題意圖】本題主要考查利用捆綁法和插空法求出排列總數(shù)，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解..【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，題型多樣，思路靈活，試題難度較大，是歷年高考的必考題型．常見的命題角度有：（1）捆綁法；（2）插空法；（3）排列求冪法；（4）標(biāo)號(hào)排位法.【得分要點(diǎn)】；；（3）要求元素不相離的，可以采用插空法考向二二項(xiàng)式定理【母題來源】2021年高考北京卷【母題題文】若，則（）A.40 B.41 C. D.【答案】B【試題解析】令，則，令，則，故，故選：B.【命題意圖】利用賦值法求二項(xiàng)式的參數(shù)值.【命題方向】這類試題在通常是以易題出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，其試題難度屬中檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)．常見的命題角度有：求二項(xiàng)式展開式中的某一項(xiàng)或幾項(xiàng)的系數(shù)；（2）二項(xiàng)式的性質(zhì)和各系數(shù)的和；（3）利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì)求參數(shù).【得分要點(diǎn)】首先求二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)； 根據(jù)已知求出展開式中指定的項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)；得出結(jié)論.一、單選題1．（2022·全國·模擬預(yù)測）七輛汽車排成一縱隊(duì)，要求甲車、乙車、丙車均不排隊(duì)頭或隊(duì)尾且各不相鄰，則排法有（

）A．48種 B．72種 C．90種 D．144種2．（2022·全國·模擬預(yù)測）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是（

）A．28 B．24 C．20 D．163．（2022·江西·上高二中模擬預(yù)測（理））2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)）的成功舉辦，展現(xiàn)了中國作為一個(gè)大國的實(shí)力和擔(dān)當(dāng)，“一起向未來”更體現(xiàn)了中國推動(dòng)構(gòu)建人類命運(yùn)共同體的價(jià)值追求.該屆冬奧會(huì)分北京、延慶、張家口三個(gè)賽區(qū)，甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分別去這三個(gè)賽區(qū)擔(dān)任志愿者，每個(gè)人只去一個(gè)賽區(qū)，每個(gè)賽區(qū)至少安排1人.學(xué)生甲不被安排到張家口賽區(qū)做志愿者且乙不被安排到延慶賽區(qū)做志愿者的方法數(shù)為（

）A．17 B．29 C．56 D．134．（2022·江西·九江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測（理））2010年世界杯足球賽預(yù)計(jì)共有24個(gè)球隊(duì)參加比賽，第一輪分成6個(gè)組進(jìn)行單循環(huán)賽（在同一組的每兩個(gè)隊(duì)都要比賽），決出每個(gè)組的一、二名，然后又在剩下的12個(gè)隊(duì)中按積分取4個(gè)隊(duì)（不比賽），共計(jì)16個(gè)隊(duì)進(jìn)行淘汰賽來確定冠亞軍，則一共需比賽（

）場次．A．53 B．52 C．51 D．505．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））教育部于2022年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項(xiàng)行動(dòng)，某市3所高校的校長計(jì)劃拜訪當(dāng)?shù)仄髽I(yè)，共有4家企業(yè)可供選擇.若每名校長拜訪3家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長，則不同的安排方法共有（

）A．60種 B．64種 C．72種 D．80種6．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））在北京冬奧會(huì)短道速滑混合團(tuán)體2000米接力決賽中，中國隊(duì)成功奪冠，為中國體育代表團(tuán)奪得本屆冬奧會(huì)首金.短道速滑男女接力賽要求每隊(duì)四名運(yùn)動(dòng)員，兩男兩女，假設(shè)男女隊(duì)員間隔接力，且每位隊(duì)員只上場一次，則不同的上場次序的種數(shù)為（

）A．8 B．16 C．18 D．247．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測（理））二項(xiàng)式的展開式中，其中是無理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（

）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)8．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知，則（

）A．280 B．35 C． D．9．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））在二項(xiàng)式的展開式，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)中恰有兩項(xiàng)相鄰的概率為（

）A． B． C． D．10．（2022·福建省福州格致中學(xué)模擬預(yù)測）已知，則關(guān)于的展開式，以下命題錯(cuò)誤的是（

）A．展開式中系數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)共有3項(xiàng)B．展開式中系數(shù)為正數(shù)的項(xiàng)共有4項(xiàng)C．含的項(xiàng)的系數(shù)是D．各項(xiàng)的系數(shù)之和為二、填空題11．（2022·浙江溫州·三模）勠力同心，共克時(shí)艱!近日，某地因出現(xiàn)新冠疫情被劃分為“封控區(qū)”“管控區(qū)”和“防范區(qū)”，現(xiàn)有6位專家到這三個(gè)“區(qū)”進(jìn)行一天的疫情指導(dǎo)工作，每個(gè)“區(qū)”半天安排一位專家，每位專家只安排半天的工作，其中專家甲只能安排在上午，專家乙不安排在“防范區(qū)”，則不同的安排方案一共有___________種.（用數(shù)字作答）12．（2022·遼寧·育明高中一模）一張節(jié)目單上原有8個(gè)節(jié)目，現(xiàn)臨時(shí)再插入A，B，C三個(gè)新節(jié)目，如果保持原來8個(gè)節(jié)目的相對順序不變，節(jié)目B要排在另外兩個(gè)新節(jié)目之間（也可以不相鄰），則有__________種不同的插入方法．（用數(shù)字作答）13．（2022·上海長寧·二模）將編號(hào)為，，，的個(gè)小球放入個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子不空，若放在同一盒子里的個(gè)小球編號(hào)不相鄰，則共有__________種不同的放法．14．（2022·江西·模擬預(yù)測（理））隨著鄉(xiāng)村的發(fā)展，很多鄉(xiāng)村融合本地的特點(diǎn)發(fā)展旅游業(yè)，某縣運(yùn)用本地特點(diǎn)和風(fēng)俗習(xí)慣打造了多個(gè)特色鄉(xiāng)村，有4名游客打算去該縣的A，B，C三個(gè)特色鄉(xiāng)村旅游，每人只選擇一個(gè)鄉(xiāng)村旅游，則這4人恰好選擇了兩個(gè)鄉(xiāng)村旅游的概率為___．15．（2022·黑龍江·雞西市第四中學(xué)三模（理））已知的展開式中第二項(xiàng)的系數(shù)為8，則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為___________.16．（2022·上海徐匯·三模）已知多項(xiàng)式，則___________. 專題07計(jì)數(shù)原理考向一排列與組合【母題來源】2022年高考全國甲卷（理科）【母題題文】有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【答案】B【試題解析】因?yàn)楸∫谝黄穑劝驯±?，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B【命題意圖】本題主要考查利用捆綁法和插空法求出排列總數(shù)，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解..【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，題型多樣，思路靈活，試題難度較大，是歷年高考的必考題型．常見的命題角度有：（1）捆綁法；（2）插空法；（3）排列求冪法；（4）標(biāo)號(hào)排位法.【得分要點(diǎn)】；；（3）要求元素不相離的，可以采用插空法考向二二項(xiàng)式定理【母題來源】2021年高考北京卷【母題題文】若，則（）A.40 B.41 C. D.【答案】B【試題解析】令，則，令，則，故，故選：B.【命題意圖】利用賦值法求二項(xiàng)式的參數(shù)值.【命題方向】這類試題在通常是以易題出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，其試題難度屬中檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)．常見的命題角度有：求二項(xiàng)式展開式中的某一項(xiàng)或幾項(xiàng)的系數(shù)；（2）二項(xiàng)式的性質(zhì)和各系數(shù)的和；（3）利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì)求參數(shù).【得分要點(diǎn)】首先求二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)； 根據(jù)已知求出展開式中指定的項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)；得出結(jié)論.一、單選題1．（2022·全國·模擬預(yù)測）七輛汽車排成一縱隊(duì)，要求甲車、乙車、丙車均不排隊(duì)頭或隊(duì)尾且各不相鄰，則排法有（

）A．48種 B．72種 C．90種 D．144種【答案】D【解析】【分析】依題可知甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，由分步計(jì)數(shù)原理即可解出．【詳解】由題意得，甲車，乙車、丙車均不排隊(duì)頭或隊(duì)尾，且各不相鄰，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有種排法，其他車輛任意排列，所以總排法有種．故選：D．2．（2022·全國·模擬預(yù)測）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是（

）A．28 B．24 C．20 D．16【答案】A【解析】【分析】分類討論四個(gè)數(shù)的組成后，由計(jì)數(shù)原理求解【詳解】顯然a，b，c，d均為不超過5的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論．最大數(shù)為5的情況：①，此時(shí)共有種情況；最大數(shù)為4的情況：②，此時(shí)共有種情況；③，此時(shí)共有種情況．當(dāng)最大數(shù)為3時(shí)，，故沒有滿足題意的情況．綜上，滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是．故選：A3．（2022·江西·上高二中模擬預(yù)測（理））2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)）的成功舉辦，展現(xiàn)了中國作為一個(gè)大國的實(shí)力和擔(dān)當(dāng)，“一起向未來”更體現(xiàn)了中國推動(dòng)構(gòu)建人類命運(yùn)共同體的價(jià)值追求.該屆冬奧會(huì)分北京、延慶、張家口三個(gè)賽區(qū)，甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分別去這三個(gè)賽區(qū)擔(dān)任志愿者，每個(gè)人只去一個(gè)賽區(qū)，每個(gè)賽區(qū)至少安排1人.學(xué)生甲不被安排到張家口賽區(qū)做志愿者且乙不被安排到延慶賽區(qū)做志愿者的方法數(shù)為（

）A．17 B．29 C．56 D．13【答案】A【解析】【分析】先求出所有可能安排的方法數(shù)，再應(yīng)用間接法求甲不被安排到張家口且乙不被安排到延慶的方法數(shù).【詳解】由題意，任意安排的方法數(shù)有種，甲被安排到張家口有種，同理乙被安排到延慶有種，甲被安排到張家口，同時(shí)乙被安排到延慶有種，所以甲不被安排到張家口且乙不被安排到延慶的方法數(shù)為種.故選：A4．（2022·江西·九江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測（理））2010年世界杯足球賽預(yù)計(jì)共有24個(gè)球隊(duì)參加比賽，第一輪分成6個(gè)組進(jìn)行單循環(huán)賽（在同一組的每兩個(gè)隊(duì)都要比賽），決出每個(gè)組的一、二名，然后又在剩下的12個(gè)隊(duì)中按積分取4個(gè)隊(duì)（不比賽），共計(jì)16個(gè)隊(duì)進(jìn)行淘汰賽來確定冠亞軍，則一共需比賽（

）場次．A．53 B．52 C．51 D．50【答案】C【解析】【分析】分單循環(huán)賽和淘汰賽：單循環(huán)賽共需要場比賽，淘汰賽依次分別計(jì)算，在求總和即可．【詳解】第一輪分成6個(gè)組進(jìn)行單循環(huán)賽共需要場比賽，淘汰賽有如下情況：16進(jìn)8需要8場比賽，8進(jìn)4需要4場比賽，4進(jìn)2需要2場比賽，確定冠亞軍需要1場比賽，共需要場比賽故選：C．5．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））教育部于2022年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項(xiàng)行動(dòng)，某市3所高校的校長計(jì)劃拜訪當(dāng)?shù)仄髽I(yè)，共有4家企業(yè)可供選擇.若每名校長拜訪3家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長，則不同的安排方法共有（

）A．60種 B．64種 C．72種 D．80種【答案】A【解析】【分析】按照間接法，先計(jì)算3名校長在4家企業(yè)任取3家企業(yè)的所有安排情況，然后減去3名校長選的3家企業(yè)完全相同的安排方法數(shù)，即可求得所需安排情況種數(shù).【詳解】解：3名校長在4家企業(yè)任取3家企業(yè)的所有安排情況為：種又每家企業(yè)至少接待1名校長，故3名校長選的3家企業(yè)，不全相同，因?yàn)?名校長選的3家企業(yè)完全相同有種，則不同的安排方法共有：種.故選：A.6．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））在北京冬奧會(huì)短道速滑混合團(tuán)體2000米接力決賽中，中國隊(duì)成功奪冠，為中國體育代表團(tuán)奪得本屆冬奧會(huì)首金.短道速滑男女接力賽要求每隊(duì)四名運(yùn)動(dòng)員，兩男兩女，假設(shè)男女隊(duì)員間隔接力，且每位隊(duì)員只上場一次，則不同的上場次序的種數(shù)為（

）A．8 B．16 C．18 D．24【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意把問題分類為：（1）以男運(yùn)動(dòng)員排第一位的的上場次序；（2）以女運(yùn)動(dòng)員排第一位的上場次序；然后求和，即可求解.【詳解】把問題分類：（1）以男運(yùn)動(dòng)員排第一位，上場次序的種數(shù)為：；（2）以女運(yùn)動(dòng)員排第一位，上場次序的種數(shù)為：；總的上場次序種數(shù)合計(jì)為：故選：A7．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測（理））二項(xiàng)式的展開式中，其中是無理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（

）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，可考慮求有理項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，由的指數(shù)值為整數(shù)，即可解出有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而得到無理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)即可【詳解】二項(xiàng)式的展開式中，通項(xiàng)公式為，，時(shí)為有理項(xiàng)共6項(xiàng)，故無理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有故選：D.8．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知，則（

）A．280 B．35 C． D．【答案】A【解析】【分析】將化為，利用展開式的通項(xiàng)求解即可.【詳解】，令，則，展開式的通項(xiàng)為：，令，可得，所以.故選：A.9．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））在二項(xiàng)式的展開式，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)中恰有兩項(xiàng)相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知求出求出二項(xiàng)式展開式有3項(xiàng)是有理項(xiàng)，再利用古典概型求出恰有兩項(xiàng)有理項(xiàng)相鄰的概率.【詳解】展開式通項(xiàng)為，由題意．所以當(dāng)時(shí)為整數(shù)，相應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，因?yàn)槎?xiàng)式展開式中共有9項(xiàng)，其中有3項(xiàng)是有理項(xiàng)，6項(xiàng)是無理項(xiàng)，所求恰有兩項(xiàng)有理項(xiàng)相鄰的概率為．故選：B．10．（2022·福建省福州格致中學(xué)模擬預(yù)測）已知，則關(guān)于的展開式，以下命題錯(cuò)誤的是（

）A．展開式中系數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)共有3項(xiàng)B．展開式中系數(shù)為正數(shù)的項(xiàng)共有4項(xiàng)C．含的項(xiàng)的系數(shù)是D．各項(xiàng)的系數(shù)之和為【答案】C【解析】【分析】寫出展開式各項(xiàng)的系數(shù)判斷其正負(fù)即判斷選項(xiàng)ABC的真假；求出各項(xiàng)的系數(shù)之和即可判斷選項(xiàng)D的真假.【詳解】解：原式=，所以的系數(shù)為1，是正數(shù)；的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，所以展開式中系數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)共有3項(xiàng)，展開式中系數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)共有4項(xiàng)，所以選項(xiàng)AB正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.設(shè)，所以.所以各項(xiàng)的系數(shù)之和為，所以選項(xiàng)D正確.故選：C二、填空題11．（2022·浙江溫州·三模）勠力同心，共克時(shí)艱!近日，某地因出現(xiàn)新冠疫情被劃分為“封控區(qū)”“管控區(qū)”和“防范區(qū)”，現(xiàn)有6位專家到這三個(gè)“區(qū)”進(jìn)行一天的疫情指導(dǎo)工作，每個(gè)“區(qū)”半天安排一位專家，每位專家只安排半天的工作，其中專家甲只能安排在上午，專家乙不安排在“防范區(qū)”，則不同的安排方案一共有___________種.（用數(shù)字作答）【答案】240【解析】【分析】根據(jù)題意分兩類：甲安排在“防范區(qū)”上午和甲不安排在“防范區(qū)”上午，分別求出其方法數(shù)，再根據(jù)分類加法原理求解即可【詳解】甲安排在“防范區(qū)”上午時(shí)，則專家乙有4種可能，其余4位專家有種可能，，甲不安排在“防范區(qū)”上午時(shí)，甲有2種可能，乙有3種可能，其余4位專家有種可能，，所以共有種安排方案.故答案為：24012．（2022·遼寧·育明高中一模）一張節(jié)目單上原有8個(gè)節(jié)目，現(xiàn)臨時(shí)再插入A，B，C三個(gè)新節(jié)目，如果保持原來8個(gè)節(jié)目的相對順序不變，節(jié)目B要排在另外兩個(gè)新節(jié)目之間（也可以不相鄰），則有__________種不同的插入方法．（用數(shù)字作答）【答案】330【解析】【分析】法1：先選后排，進(jìn)行求解；法2：用消序法進(jìn)行求解.【詳解】法1：第一步，從11個(gè)位置中選3個(gè)位置，共有種方法；第二步，三個(gè)位置中節(jié)目B位置確定，節(jié)目A，C的順序?yàn)椋煞植接?jì)數(shù)原理可得共有種方法.法2：先插入節(jié)目A，再插入節(jié)目B，最后插入節(jié)目C，共有：種，其中節(jié)目B與兩個(gè)新節(jié)目的位置關(guān)系有3種，由消序法可得總數(shù)為.故答案為：33013．（2022·上海長寧·二