八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《構(gòu)造中位線》5種常用方法

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《構(gòu)造中位線》5種常用方法

一：連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線1．如圖，點(diǎn)B為AC上一點(diǎn)，分別以AB，BC為邊在AC同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE，點(diǎn)P，M，N分別為AC，AD，CE的中點(diǎn)．(1)求證：PM＝PN；解：證明：如圖，連接CD，AE.由三角形中位線定理可得PM綊1/2CD，PN綊1/2AE.∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.∴PM＝PN.(2)求∠MPN的度數(shù)．解：如圖，設(shè)PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.易證四邊形PFHG為平行四邊形，∴∠MPN＝120°.二：利用角平分線＋垂直構(gòu)造中位線2．如圖在△ABC中，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，AD為△ABC的外角平分線，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的長(zhǎng)．解：如圖，延長(zhǎng)BD，CA交于N.在△AND和△ABD中，∠ADN＝∠ADB＝90°，AD＝AD，∴△AND≌△ABD(ASA)．∴DN＝DB，AN＝AB.∴DM＝1/2NC＝1/2(AN＋AC)＝1/2(AB＋AC)＝15.3．如圖，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)．解：如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．∴AF＝AB＝6，BD＝FD.∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.∵E為BC的中點(diǎn)，∴DE是△BCF的中位線．∴DE＝1/2CF＝1/2×4＝2.三：倍長(zhǎng)法構(gòu)造三角形的中位線4．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF為等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M為AF的中點(diǎn)，求證：ME＝1/2CF.解：證明：如圖，延長(zhǎng)FE至N，使EN＝EF，連接BN，AN.易得ME＝1/2AN.∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.∵△BEF為等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN.在△BCF和△BAN中,BC＝BA∴△BCF≌△BAN.∴CF＝AN.

∴ME＝1/2AN＝1/2CF.四：已知一邊中點(diǎn)，取另一邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線5．如圖，在四邊形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，若AB＝10，CD＝8，求MN長(zhǎng)度的取值范圍．解：如圖，取BD的中點(diǎn)P，連接PM，PN.解：證明：如圖，取AB的中點(diǎn)H，連接MH，NH，則MH＝1/2BF，NH＝1/2AE.解：證明：如圖，取NC的中點(diǎn)H，連接DH，過點(diǎn)H作HE∥AD，交BN的延長(zhǎng)線于E.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D為BC的中點(diǎn)．又∵H為NC的中點(diǎn)，∴DH∥BN.又∵PD∥EH，∴四邊形PDHE是平行四邊形．∴