行列式的計(jì)算

行列式的計(jì)算3.4行列式的計(jì)算

3.4.1降階法

內(nèi)容小結(jié)

3.4.2三角化方法

3.4.3歸納法

3.4.4遞推法

3.4.5分拆法

3.4.6升階法

第2頁,共26頁，2024年2月25日，星期天行列式計(jì)算常用方法有:降階法、三角化方法、歸納法、遞推法、分拆法、升階法等.行列式計(jì)算的理論根據(jù):行列式的按行(列)展開法則行列式初等變換的性質(zhì)行列式乘積法則

第3頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例3.9

計(jì)算四階行列式3.4.1降階法應(yīng)用初等變換使行列式的某行或某列的零元充分多,然后按該行或該列展開,化為低階行列式來計(jì)算.第4頁,共26頁，2024年2月25日，星期天解第5頁,共26頁，2024年2月25日，星期天解將

|

A|

按第

n

行展開,得例3.10

計(jì)算

n

階行列式第6頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例3.11

計(jì)算

n

階行列式解將第

2,

3,

,

n

列都加到第一列得3.4.2三角化方法利用行列式的初等變換將其化為三角行列式.第7頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第8頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例3.12

計(jì)算

解

先把第一行乘以

(

1)

加到以下各行,再把后面各列加到第一列.

第10頁,共26頁，2024年2月25日，星期天3.4.3歸納法通過計(jì)算低階行列式,發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律,進(jìn)而猜想k階行列式符合這種規(guī)律,然后證明k1階行列式也呈現(xiàn)此規(guī)律,這就是數(shù)學(xué)歸納法的思想.第11頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

證對(duì)行列式的階數(shù)

n

用數(shù)學(xué)歸納法.例3.13

證明

Vandermonde

行列式因?yàn)樗詎

2

時(shí),等式成立.

第12頁,共26頁，2024年2月25日，星期天假設(shè)等式對(duì)

n

1階

Vandermonde

行列式

Vn

1

成立,n

1階Vandermonde行列式則第13頁,共26頁，2024年2月25日，星期天因此由歸納法假設(shè)得

所以等式對(duì)所有n

2都成立.

第14頁,共26頁，2024年2月25日，星期天3.4.4遞推法利用按行

(列)

展開法則,將

n

階行列式化成形式相同的

n

1

階行列式,從而建立遞推關(guān)系,反復(fù)應(yīng)用這個(gè)遞推關(guān)系便可求出

n

階行列式.第15頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例3.14

計(jì)算解將

Dn

按第一行展開,得Dn1Dn2第16頁,共26頁，2024年2月25日，星期天從而因故再把第二個(gè)行列式按第一列展開,得第17頁,共26頁，2024年2月25日，星期天于是第18頁,共26頁，2024年2月25日，星期天3.4.5分拆法分拆法是指利用行列式的性質(zhì)將復(fù)雜的行列式分解為簡(jiǎn)單的行列式之和或之積.例3.15

計(jì)算

n

階行列式解先將

Dn

的最后一行拆開,得第19頁,共26頁，2024年2月25日，星期天將y

與

z

互換,行列式Dn不變,從而第20頁,共26頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)

z

y

時(shí),解得當(dāng)

z

y

時(shí),由例3.11

的結(jié)果知第21頁,共26頁，2024年2月25日，星期天解

細(xì)心觀察可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)n3時(shí),有例3.16

計(jì)算行列式第22頁,共26頁，2024年2月25日，星期天從而當(dāng)n3時(shí),

A

0.第23頁,共26頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)n1

時(shí),顯然當(dāng)n2

時(shí),有第24頁,共26頁，2024年2月25日，星期天3.4.6升階法為便于應(yīng)用行列式的性質(zhì),有時(shí)在原來的行列式中添加一行一列,即把行列式的階數(shù)增加1,這就是升階法.升階必須給計(jì)算帶來方便,而且要求升階后的行列式與原來的行列式