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吉林省舒蘭市一中2024年高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知a>b>0,c>1,則下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.a(chǎn)c<bc D.2.將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排,各小球除了顏色以外其他屬性均相同,則相同顏色的小球不相鄰的排法共有()A.14種 B.15種 C.16種 D.18種3.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則m的值為()A. B. C.1 D.35.已知為非零向量,“”為“”的()A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6.已知焦點(diǎn)為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,則當(dāng)取得最大值時(shí),直線的方程為()A.或 B.或 C.或 D.7.若θ是第二象限角且sinθ=,則=A. B. C. D.8.如圖,用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.9.已知實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.10.已知雙曲線(,),以點(diǎn)()為圓心,為半徑作圓,圓與雙曲線的一條漸近線交于,兩點(diǎn),若,則的離心率為()A. B. C. D.11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A.7 B.14 C.28 D.84二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知全集,,則________.14.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積是______.15.“”是“”的__________條件.(填寫(xiě)“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)16.記等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和,若,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知四棱錐的底面是等腰梯形,,,,,為等邊三角形,且點(diǎn)P在底面上的射影為的中點(diǎn)G,點(diǎn)E在線段上,且.(1)求證:平面.(2)求二面角的余弦值.18.(12分)在開(kāi)展學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)的活動(dòng)中,某校高三數(shù)學(xué)教師成立了黨員和非黨員兩個(gè)學(xué)習(xí)組,其中黨員學(xué)習(xí)組有4名男教師、1名女教師,非黨員學(xué)習(xí)組有2名男教師、2名女教師,高三數(shù)學(xué)組計(jì)劃從兩個(gè)學(xué)習(xí)組中隨機(jī)各選2名教師參加學(xué)校的挑戰(zhàn)答題比賽.(1)求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù);(2)記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù),求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中,參考的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績(jī)分布在的范圍內(nèi),規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評(píng)為“優(yōu)秀作文”,按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖,如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.(1)求的值;(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)6不獲獎(jiǎng)合計(jì)400(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從全市參考學(xué)生中,任意抽取2名學(xué)生,記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)已知函數(shù),若的解集為.(1)求的值;(2)若正實(shí)數(shù),,滿足,求證:.21.(12分)已知矩陣的逆矩陣.若曲線:在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線,求曲線的方程.22.(10分)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形,且平行四邊形的周長(zhǎng)和最大面積分別為8和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為,當(dāng)點(diǎn)在以線段為直徑的圓上時(shí),求直線的方程.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可【詳解】對(duì)A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定,故錯(cuò)誤;對(duì)B,因?yàn)閥=cx為增函數(shù),且a>b,所以ca>cb,正確對(duì)C,因?yàn)閥=xc為增函數(shù),故,錯(cuò)誤;對(duì)D,因?yàn)樵跒闇p函數(shù),故,錯(cuò)誤故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】

采取分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法,分兩種情況具體討論,一種是黑白依次相間,一種是開(kāi)始僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好,再插入紅球.情況1:黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中即可,因此共有2×7=14種;情況2:黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中,共4種.綜上所述,共有14+4=18種.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用,插空法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題3、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn),結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得,因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以,∴,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由數(shù)量積的定義可得,為實(shí)數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷;再根據(jù)判斷,由等價(jià)法即可判斷兩命題的關(guān)系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以;若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.6、A【解析】

過(guò)作與準(zhǔn)線垂直,垂足為,利用拋物線的定義可得,要使最大,則應(yīng)最大,此時(shí)與拋物線相切,再用判別式或?qū)?shù)計(jì)算即可.【詳解】過(guò)作與準(zhǔn)線垂直,垂足為,,則當(dāng)取得最大值時(shí),最大,此時(shí)與拋物線相切,易知此時(shí)直線的斜率存在,設(shè)切線方程為,則.則,則直線的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,涉及到拋物線的定義,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.7、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.8、D【解析】

先求出球心到四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的距離,再加上側(cè)面三角形的高,即可求解.【詳解】設(shè)四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質(zhì)可得,又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

所求的分母特征,利用變形構(gòu)造,再等價(jià)變形,利用基本不等式求最值.【詳解】解:因?yàn)闈M足,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故選:.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧,以整式為基礎(chǔ),注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.10、A【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程,利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn),且,則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程,求解離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于,因?yàn)?,所以圓心到的距離為:,即,因?yàn)?,所以解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于中檔題.對(duì)于離心率求解問(wèn)題,關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程,主要有兩個(gè)思考方向,一方面,可以從幾何的角度,結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程;另一方面,可以從代數(shù)的角度,結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.11、D【解析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán),輸出,選D.點(diǎn)睛:算法與流程圖的考查,側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念,包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼,其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件,更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律,明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題,是求和還是求項(xiàng).12、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】由全集,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集運(yùn)算,需理解補(bǔ)集的概念,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先由三視圖在長(zhǎng)方體中將其還原成直觀圖,再利用球的直徑是長(zhǎng)方體體對(duì)角線即可解決.【詳解】由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)為,所以三棱錐外接球半徑為,故所求外接球的表面積.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積,考查學(xué)生空間想象能力以及基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.15、充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.16、【解析】

結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得,求解即可.【詳解】由題意,,,因?yàn)?所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)由等腰梯形的性質(zhì)可證得,由射影可得平面,進(jìn)而求證;(2)取的中點(diǎn)F,連接,以G為原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面與平面的法向量,再利用數(shù)量積求解即可.【詳解】(1)在等腰梯形中,點(diǎn)E在線段上,且,點(diǎn)E為上靠近C點(diǎn)的四等分點(diǎn),,,,,點(diǎn)P在底面上的射影為的中點(diǎn)G,連接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.(2)取的中點(diǎn)F,連接,以G為原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,由(1)易知,,,又,,,為等邊三角形,,則,,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,,,設(shè)平面與平面的夾角為θ,則二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運(yùn)算能力與空間想象能力.18、(1)28種;(2)分布見(jiàn)解析,.【解析】

(1)分這名女教師分別來(lái)自黨員學(xué)習(xí)組與非黨員學(xué)習(xí)組,可得恰好有一名女教師的選派方法數(shù);(2)X的可能取值為,再求出X的每個(gè)取值的概率,可得X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數(shù)為種.(2)X的可能取值為0,1,2,3.,,,.故X的概率分布為:X0123P所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查組合數(shù)與組合公式及離散型隨機(jī)變量的期望和方差,相對(duì)不難,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.19、(1),,.(2)填表見(jiàn)解析;在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下,不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)(3)詳見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)頻率分步直方圖和構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,即可得解;(2)由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫(xiě)列聯(lián)表,再用的計(jì)算公式運(yùn)算即可;(3)獲獎(jiǎng)的概率為,隨機(jī)變量,再根據(jù)二項(xiàng)分布即可求出其分布列與期望.【詳解】解:(1)由頻率分布直方圖可知,,因?yàn)闃?gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,所以,解得,所以,.故,,.(2)獲獎(jiǎng)的人數(shù)為人,因?yàn)閰⒖嫉奈目粕c理科生人數(shù)之比為,所以400人中文科生的數(shù)量為,理科生的數(shù)量為.由表可知,獲獎(jiǎng)的文科生有6人,所以獲獎(jiǎng)的理科生有人,不獲獎(jiǎng)的文科生有人.于是可以得到列聯(lián)表如下:文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)61420不獲獎(jiǎng)74306380合計(jì)80320400所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下,不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān).(3)由(2)可知,獲獎(jiǎng)的概率為,的可能取

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