重積分的計算方法

重積分的計算方法重積分包括二重積分和三重積分，它是定積分的推廣；被積函數(shù)由一元函數(shù)f（x）推廣為二元函數(shù)f（x,y），三元函數(shù)（fx,y,z）;積分范圍由數(shù)軸上的區(qū)域推廣為平面域（二重積分）和空間域（三重積分）。我個人在學習與復習多重積分這一塊時，感到多重積分的計算比較繁瑣，而在日常生活中多重積分有著很多的應用。通過在圖書館查閱資料、以及老師的指點，重積分的計算方法還是有規(guī)律可循的。為了更好的應用重積分，本人結(jié)合前人的經(jīng)驗，在這里介紹幾種常用的重積分計算方法，以及一些小技巧。著重介紹累次積分的計算與變量代換。一．二重積分的計算1．常用方法（1）化累次積分計算法對于常用方法我們先看兩個例子對于重積分的計算主要采用累次積分法，即把一個二重積分表達為一個二次積分，通過兩次定積分的計算求得二重積分值，分析上面的例子累次積分法其主要步驟如下：第一步：畫出積分區(qū)域D的草圖；第二步：按區(qū)域D和被積函數(shù)的情況選擇適當?shù)姆e分次序，并確定積分的上、下限；第三步：計算累次積分。需要強調(diào)一點的是，累次積分要選擇適當?shù)姆e分次序。積分次序的不同將影響計算的繁簡，有些題這兩種次序的難易程度可以相差很大，甚至對一種次序可以“積出來”，而對另一種次序卻“積不出來”。所以，適當選擇積分次序是個很重要的工作。選擇積分次序的原則是：盡可能將區(qū)域少分塊，以簡化計算過程；第一次積分的上、下限表達式要簡單，并且容易根據(jù)第一次積分的結(jié)果作第二次積分。（2）變量替換法著重看下面的例子：在計算定積分時，求積的困難在于被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得。從而適當?shù)卦谟嬎阒胤e分時，求積的困難來自兩個方面，除了被積函數(shù)的原因以外還在而且，有時候其積分區(qū)域往往成為困難的主要方面。利用換元法的好處是可以把被積函數(shù)的形狀進行轉(zhuǎn)化，以便于用基本求積公式。于積分區(qū)域的多樣性。為此，針對不同的區(qū)域要討論重積分的各種不同算法。（3）極坐標變換公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）下面看一個例子：計算二重積分時，要從被積函數(shù)和積分域兩個方面來考慮如何適當?shù)剡x擇坐標系，如能采用適當?shù)淖鴺讼?，往往可以收到事半功倍的效果。從積分域來考慮，一般情況下，圓形、扇形或者環(huán)形可以選用極坐標。（4）對稱法對稱法就是利用區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性簡化積分。在做題時，先考慮區(qū)域和被積函數(shù)有無對稱性，有時一看就知道積分為零，有時可使積分化簡。否則的話，就會把時間花在無謂的計算上，有時不僅僅“得不償失”，而且往往是“有失無得”。利用區(qū)域和被積函數(shù)對稱性簡化積分的方法可以總結(jié)為：①設域D關于x軸對稱，x軸上方部分為D1，下方為D2，②設域D關于y軸對稱，y軸右邊的部分為D1,左邊的部分為D2，（4）特例當積分區(qū)域是一矩形，被積函數(shù)可以分離成只含x的函數(shù)和只含y的函數(shù)相乘時二重積分可作兩個定積分相乘。二．三重積分三重積分概念可以看作是二重積分概念的直接推廣，它的計算也是化為累次積分，適當?shù)剡x擇變量代換可使三重積分容易計算。與前面二重積分情況相同，三重積分也可以應用對稱法計算，即一般地，若區(qū)域D關于yoz平面對稱，被積函數(shù)關于x是奇函數(shù)，則三重積分必為零，類似地還可推出其它各種對稱情況的三重積分。計算三重積分的一般步驟為：1．畫出空間域D的草圖；2．根據(jù)被積函數(shù)和積分域D選擇適當?shù)淖鴺撕屠鄞畏e分的次序，并將域D用相應的雙邊不等式組表示；3．完成累次積分的計算。這里，畫好圖形是計算的關鍵，因為積分變量變化的范圍就是從圖形上看出來的，于是也就順利地寫出了積分限。其中柱坐標系中的定限化為平面直角坐標系的定限，球坐標中定限化為平面極坐標系的定限。可以說，三重積分的計算方法可由二重積分推廣過來，不再累述。三．結(jié)語綜上所述