浙江省諸暨市牌頭中學(xué)高中數(shù)學(xué)《拋物線的幾何性質(zhì)》同步練習(xí)

浙江省諸暨市牌頭中學(xué)高中數(shù)學(xué)《拋物線的幾何性質(zhì)》同步練習(xí)

1、拋物線y=4,的準(zhǔn)線方程是()

2、已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上拋物線上的點尸(如,一2)到焦點的距離為4,則必的值為()

A.4B.-2C.4或一4D.12或一2

3、拋物線/=8x的焦點到雙曲線二一匕=1的漸近線的距離為()

124

A.1B.J3C.—.D.—

36

4、過點(0,1)作直線，使它與拋物線/=4x僅有一個公共點，這樣的直線有()

A,.l條B.2條.C.3條D.4條

.5、已知過拋物線/=6x焦點的弦長為12,則此弦所在直線的傾斜角是()

,兀—p,5%兀3乃7t?27r兀

6644332

6、設(shè)斜率為2的直線1過拋物線/=ax(aW0)的焦點F,且和y軸交于點A,若△如尺。為坐標(biāo)原點)的面

積為4,則拋物線的方程為()

A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x

7、已知拋物線〃=4x上兩個動點反，和點4(1,2),且/54C=90°,則動直線式1必過定點()

A.(2,5)B.(-2,5)C.(5,-2)D.(5,2)

8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線關(guān)于x軸對稱，頂點在原點。，且過點尸(2,4),則該拋物線的

方程是.

22

9、若拋物線/=2px的焦點與雙曲線二一二=1的右焦點重合，則0的值為.

63

10、已知點"是拋物線/=4x上的一點，尸為拋物線的焦點，4在圓G(x—4)旺5—1y=1上，則|始|

+|姐的最小值為________.

11、已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(X|,y)、8(馬，為)兩點，則

y,y2+xtx2=,y]的最小值是。

12、A、B為拋物線)”=4x上兩動點，AB長為8,M(x(),%)為AB中點，則x()的最小值為

13、已知動圓過定點P(l,0),且與定直線/：x=-1相切，點。在/上.

(1)求動圓圓心的軌跡"的方程；

(2)設(shè)過點P,且斜率為一百的直線與曲線材相交于4、6兩點.

問△/8C能否為正三角形？若能，求出。點的坐標(biāo)；若不能，說明理由.

14、在平面直角坐標(biāo)系x。/中，直線/與拋物線/=4x相交于不同的45兩點.

(1)如果直線/過拋物線的焦點，求麗?麗的值；

(2)如果加?OB=-4,證明直線/必過一定點，..并求出該定點.

15、如圖：直線y與拋物線y=’一一4交于八、B兩點，.直線1與直線y=』x和y=-5分別交

282

..,1,—,

于M、Q,且。"?"=(),QM=-(QA+QB).

(1)求點Q的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點P為拋物線上且位于線段AB下方(含點A、B)的動點時,

求aop、面枳的最大值.

參考答案

一、選擇題

1、D、

2.已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上一，拋物線上的點尸（0，一2）到焦點的距離為4,則加的值

為（）

A.4B.-2

C.4或一4D.12或一2

解析：設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為f=-20<9>0）,

由定義知產(chǎn)到準(zhǔn)線距離為4,

故"2=4,二。=4,

二方程為-87,代入P點坐標(biāo)得m=±4.

答案：C

22

3.（2011?東北三校）拋物線〃=8x的焦點到雙曲線*一9=1的漸近線的距離為（）

1■乙4

A.1B.73

H

3DW6

解析：由題意可知，拋物線4=8%的焦點為（2,0）,雙曲線《一?=1的漸近線為y=±羋x,所以焦

1.乙4o

2X土鏡

點到雙曲線的漸近線的距離為=1.

43+9

答案：A

4.過點（0,1）作直線，使它與拋物線/=4x僅有一個公共點，這樣的直線有（）

A.1條B.2條

C.3條D.4條

解析：結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x=0,過點（0,1）且平行于x軸的直線以

及過點（0,1）且與拋物線.相切的直線（非直線x=0）.

答案：C

5.已知過拋物線/=6x焦點的弦長為12,則此弦所在直線的傾斜角是（）［

.n_戶5JinJ3n

山瓦或丁B,7或工

五一2nn

C.—SK-r-D.—

解析：由焦點弦長公式=2fA得.‘2=12,「.sin〃=平，I.或沖■.

sin8sin0244

答案：B

6.(2011?濟南第二次診斷)設(shè)斜率為2的直線，過拋物線/=ax(a#0)的焦點F,用Uy軸交于點A,

若△如尸(。為坐標(biāo)原點)的面積為4,則拋物線的方程為()

A./=±4x-B.y=±8x

C.y=4xD.y=8x

解析：由題可知拋物線焦點坐標(biāo)為(；，0),于是過焦點且斜率為2的直線的方程為y=2(x-；),令x

=0,可得4點坐標(biāo)為(0,一，，所以S△麗?片-?一2=4,.,.a=±8.

答案：B

7.已知拋物線產(chǎn)=4x上兩個動點反。和點4(1,2),且N84C=90°,則動直線比■必過定點()

A.(2,5)B.(-2,5)

C.(5,-2)D.(5,2)

或

22X——_

解析：設(shè)占件，yi),。(與，㈤，8。的中點為〃(如㈤，則%+%=2加直線%——~,即：

44上_匕%―必

4%-2%7+弘度=0①；又彳萬?AC=0,度=-4%—20,代入①式得：2(x—5)—%(y+2)=0,則

動直線a1恒過x-5=0與y+2=0的交點(5,-2).

答案：C

二、填空題

8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線關(guān)于x軸對稱，頂點在原點0,且過點戶(2,4),則該拋物

線的方程是.

解析：由題意設(shè)拋物線的方程為了=2ax(a>0),由于其過點一(2,4),所以〃=2aX2=a=4,故該拋

物線的方程是「=8*

答案：/=8x

22

9.若拋物線V=2px的焦點與雙曲線!一《=1的右焦點重合，則p的值為

63

解析：雙曲線總一5=1的右焦點廠(3,0)是拋物線/=2分的焦點，所以§=3,p=6.

632

答案：6

10.(2011?南京調(diào)研)已知點"是拋物線/=4x上的一點，尸為拋物線的焦點，1在圓G(x—4尸+

(y—1/=1上,則|物|+|煙的最小值為.

解析：依題意得|場|+|姐)(I第-1)+1炳=(|附+|姐)7,由拋物線的定義知|網(wǎng)等于點M

到拋物線的準(zhǔn)線8=-1的距離，結(jié)合圖形不難得知，11仞+\MF\的最小值等于圓心C(4,1)到拋物線的準(zhǔn)

線x=-l的距離，即為5,因此所求的最小值為4.

答案：4

11、032

12、3

三、解答題

13.已知動圓過定點P(1,O),且與定直線x=-1相切，點。在/上.

(1)求動圓圓心的軌跡M的方程；

⑵設(shè)過點凡且斜率為一W的直線與曲線”相交于小8兩點.

問比1能否為正三角形？若能，求出C點的坐標(biāo)；若不能，說明理由.

解：(1)依題意，曲線M是以點P為焦點，直線/為準(zhǔn)畿的拋物

線，所以曲線M的方程為爐=4工如圖所示.

(2)由題意得，直線.45的方程為T”/

y=—V3(x-1),

<y=—V3(x—1),

#=4x，

消y得

3x2-10x+3=0.

解得￥),3(3,-273).

若△.45C能為正三角形，

設(shè)v)-則=H用=|5Q,即

,竽)2,①

(3+l)2+(R3+y)2=(3-?+(R5+￥)2,②

X.3J

①②如成的方程如無解，因此直線/上不存在點C使ZU3C是正三角形.

.(2010?淄博模擬)在平面直角坐標(biāo)系皿/中，直線/與拋物線/=4x相交于不同的爾夕兩點.

(1)如果直線7過拋物線的焦點，求麗?麗的值；

(2)如果萬5?OB=-4,證明直線/必過一定點，并求出該定點.

解：(1)由題意:拋物線焦點為(1,0),

設(shè)/：x=ty+1,代入拋物線/=4x,

消去x得了—4。一4=0,

設(shè)4(小,%),B(x?,㈤,

則y+%=43%%=—4,

OAOB=X\X2+yiy2=?Vi+1)(仍+l)+jmanZXXK]

=4屯+@+陽+1+yg

=—4足+4浜+1—4=—3.

(2)設(shè)/：x=ty+b代入拋物線y=4x,消去x得

V2—4/y—46=0,設(shè)幺(為，yi),5(X2，”)，

則＞1+”=4，，)窗2=-4瓦

科?詬=對4+＞設(shè)=(仍+5)(8+方)+)。*2

=bt(yi+/+加+y.

——46/2+4df2+&2-4b=於-4b.

令/一4方=-4,???屈-4萬+4=0,:,b=2,

?二直線/過定點(20).