2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材第一冊(cè)教案：5.6 函數(shù) y=Asin cox+(p )的圖像

第五章三角的教

5.6的敷y=Asin(cox+(p)的圖像

教材分析

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書教學(xué)必修1》5.6.2

節(jié)法教y=Asin(3x+。)的圖象

通過(guò)圖象變換，揭示參數(shù)。、3、A變化時(shí)對(duì)函教圖象的形狀

和住置的影響。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asin(wx+

0)的圖象變換規(guī)律的探索，讓學(xué)生體會(huì)到由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊

到一般的化歸思想；并通過(guò)對(duì)周期變換、相核變換先后順序調(diào)

整后,將影響圖象變換這一難點(diǎn)的突破，讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓住問(wèn)題的

主要矛盾來(lái)解決問(wèn)題的基本思想方法;通過(guò)對(duì)參數(shù)。、3、A的

分類討論，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)圖象變換與改數(shù)解析式變換的內(nèi)在

聯(lián)系。通過(guò)圖象變換和“五點(diǎn)”作圖法，正確找出函數(shù)y=sinx

到y(tǒng)=Asin(x+(J)J的圖象變換規(guī)律，這也是本節(jié)課的重點(diǎn)所

在。提高學(xué)生的推理能力。讓學(xué)生感受教形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想

方法。發(fā)畏學(xué)生教學(xué)直觀、教學(xué)抽象、變輯推理、教學(xué)建模的

核心素養(yǎng)。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

lo借助討算機(jī)畫出函教a.教學(xué)抽象:三個(gè)參數(shù)對(duì)舀

y=Asin(cox+<j)J的圖教圖像變化的影響；

象，觀察參數(shù)中，3,A

bo近卷推理：由特殊到一

對(duì)法教圖象變化的影響；

2.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)y=般的歸納推理；

Asin（cox+（J）J的圖象C.教學(xué)運(yùn)算:運(yùn)用規(guī)律解決

的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，學(xué)會(huì)用

問(wèn)題；

“五點(diǎn)法”畫法教y=

d.直觀想象：由函教圖像歸

Asin（3x+。）的簡(jiǎn)圖；用

準(zhǔn)確的教學(xué)語(yǔ)言描述不納規(guī)律；

同的變換過(guò)程。eo教學(xué)建模：運(yùn)用規(guī)律解

3.體會(huì)教形結(jié)合以及從決問(wèn)題;

特殊到一般的化歸思想;

培養(yǎng)學(xué)生從不同角度分

折問(wèn)題，解決問(wèn)題的能

力O

教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn)：將考察參教A、3、。對(duì)函數(shù)y二Asin（3x+

。）圖象的影響的問(wèn)題進(jìn)行分解，找出函教y=sinx到y(tǒng)=

Asin（wx+（［）J的圖象變換規(guī)律。學(xué)習(xí)如何將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題

分解為若干簡(jiǎn)單問(wèn)題的方法會(huì)用五點(diǎn)作圖法正確后函教y

=Asin（cox+<j）J的簡(jiǎn)圖.

教學(xué)難點(diǎn)：：學(xué)生對(duì)周期變換、相位變換順序不同，圖象平移量

也不同的理解.

課前準(zhǔn)備

多媒體

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程設(shè)討意

圖

核心教

學(xué)素養(yǎng)

口標(biāo)

(-)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

提出問(wèn)題

通過(guò)開

上面我們利用三角函教的知識(shí)建立

門見山,

了一個(gè)形如y二Asin(cox+cpJ其中(A

提出問(wèn)

>0,3>0)的函教,顯然，這

題，利用

個(gè)函教由參數(shù)A,CD,(P所確定.因圖像變

此，只要了解這些參數(shù)的意義，知道換觀察

它們的變化對(duì)舀教圖象的影響，就能杷參數(shù)對(duì)

握這個(gè)法教的性質(zhì),從解析式看，函

函數(shù)圖

教y=cosx就是函數(shù)y=4sin(刃工+夕)，左A

像的影

二7,①=7,9=0時(shí)的特殊情形.響問(wèn)題,

(1)能否借助我們熟悉的函數(shù)y=sinx的圖培養(yǎng)和

象與性質(zhì)研究參教A,3,9對(duì)法教

發(fā)展教

y=Asin(69%+(p)的影響?學(xué)抽象、

(2)函數(shù)y=Asin(cox+夕)含有三個(gè)參直觀想

教，你認(rèn)為應(yīng)按怎樣的思路進(jìn)行研究。象的核

lo探奈9對(duì)？=$111+圖象的心素養(yǎng).

影響

為了更加直觀地觀察參數(shù)9對(duì)函

教圖象的影響，下面借助信息技術(shù)做一

個(gè)教學(xué)實(shí)驗(yàn).如圖5。6。4,取A=7,

3二7,動(dòng)點(diǎn)M在單位圓°】上以單位

角速度按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng),圖5。6.4

如梟動(dòng)點(diǎn)、M以0°為起點(diǎn)（此時(shí)夕=

0J,經(jīng)過(guò)xs后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,那么

點(diǎn)、P的縱坐標(biāo)y就等于sinx、以（工,

y）為坐標(biāo)描點(diǎn)，可得正弦函教y=sinx

的圖象.

尸sin（x+含）

圖5.6-4

在單枚圓上拖動(dòng)起點(diǎn)Q。，使點(diǎn)Q。繞點(diǎn)

Q1旋轉(zhuǎn)2到Q1，你發(fā)現(xiàn)圖象有什么變

化?如梟使點(diǎn)Q。繞點(diǎn)Q1旋轉(zhuǎn)一”；-

或者旋轉(zhuǎn)一個(gè)任意角夕呢

當(dāng)起點(diǎn)住于Qi時(shí)，（P-l,可得及教

y=sin（x+的圖象,進(jìn)一步，在單

住圓上，設(shè)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別以Qo,Qi為超

點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng).如梟以Q。為起點(diǎn)的動(dòng)

點(diǎn)到達(dá)圓周上點(diǎn)P的時(shí)間為XS,那么

以Q1為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)相繼到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間

是（%—9s.這個(gè)規(guī)律反映在圖象上

就是：如梟F（x,y）是法教y二

sinx圖象上的一點(diǎn)，那么G（x-9y）

就是函數(shù)y=sin（x*）圖象上的點(diǎn)，如

圖5.6-4所示.這說(shuō)明，把正弦曲線

y=sinx上的所有點(diǎn)向左平移％個(gè)單住長(zhǎng)

度，就得到y(tǒng)=sin（x+弓）的圖象、

分別說(shuō)一'說(shuō)旋轉(zhuǎn)—？，g,—。時(shí)的情

況、

產(chǎn)sin（x+.）

圖5.6-4

一般地，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)、M的起點(diǎn)住置

Q所對(duì)應(yīng)的角為夕時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y

二sin（x+9）（（p豐°），把正弦曲線上的

所有點(diǎn)向左（當(dāng)夕>。時(shí)）或向右

（當(dāng)夕V。時(shí)）平移⑷個(gè)單枚長(zhǎng)

度，就得到函數(shù)y=sin（x+夕）的圖象.

2O探奈co（（f）>0）對(duì)y=sin

fa）x+（p）圖象的影響下面，仍然通

過(guò)教學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)探索.如圖5。6o5,取

圓的半徑A=L為了研究方便，不妨令

(P=/當(dāng)3=7時(shí)得到y(tǒng)=sin(%+9

的圖象.

?、俣?,圖象有什么變化?

取3二號(hào)呢？取3=3,CD=|,圖

象又有什么變化?當(dāng)3取任意正教呢？

取3=2時(shí)，得到改教y=

sin(2x+9的圖象,進(jìn)一步，在單住圓

上,設(shè)以Qi為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)①二7

時(shí)到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間為％1s,當(dāng)3=2

時(shí)到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間為小s,因?yàn)棰俣?/p>

2時(shí)動(dòng)點(diǎn)的轉(zhuǎn)速是①=/時(shí)的2

僖，所以%2=.這樣，設(shè)G(x,y)

是法教y=sin(x+p圖象上的一點(diǎn)，那

么KQ%,y)就是法教y=sinf2x+=)

圖象上的相應(yīng)點(diǎn)，如圖5.6-5示、這

說(shuō)明，把y=sin(x+弓)的圖象上所有

點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的［僖(紈生林通過(guò)

不變)，就得到y(tǒng)=sin(2x+^)的圖對(duì)典型

象,y=sin(2x+^)的周期為兀，是＞二問(wèn)題的

sin(x+9的周期的、分析解

決，發(fā)畏

學(xué)生教

學(xué)建模、

近科推

理，直觀

同理，當(dāng)3個(gè)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的轉(zhuǎn)

想象、教

速是3二7時(shí)的冷，以Qi為起點(diǎn)，

學(xué)抽象、

到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間是3=/時(shí)的2

教學(xué)運(yùn)

僖.這樣，杷y=sin（%+9圖象上

算等核

所有點(diǎn)的橫生標(biāo)獷大到原來(lái)的2售

心素養(yǎng)；

（紈圭林不變J,就得到y(tǒng)=sin（|x+

的圖象.y=sin（挑+"的周期為4兀，是

y=sin（x+^）的周期的2僖.

一般地，函教的周期抬，把y

=sin（x+cp）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮

短（當(dāng)①>7時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)。

<CD</時(shí)）到原來(lái)的！售（紈生林

不變），就得到的圖象.

3o探親A，A>。）對(duì)y=sin

（cox+（p）圖象的影響

下面通過(guò)教學(xué)實(shí)驗(yàn)探索A對(duì)法教圖

象的影響、為了研究方便，不妨令3

二2,（p屋,當(dāng)A=7時(shí)，如圖5.6.6,可

得y=sin（2X+￡）的圖象.

改變A的取值，使A取2,》3,

膏,你發(fā)現(xiàn)圖象有什么變化？當(dāng)A取

任意正教呢?

當(dāng)A=2時(shí)，得到法教y=2sin(2x+^J

的圖象.

進(jìn)~步，設(shè)射線。&與以。1為圓心、2

為半徑的圓交于「一如果單枝圓上以。］

為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，以3二2的轉(zhuǎn)速經(jīng)過(guò)

XS到達(dá)圓周上點(diǎn)P,那么點(diǎn)P的紈生

標(biāo)是2sin(2x+。；相應(yīng)地，點(diǎn)、Ti在以％

為圓心、2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

點(diǎn)的紈坐標(biāo)是這

T,T2sin(2x+=6J.

樣，設(shè)K(x,y)是函數(shù)y=sin(2x+》

圖象上的一點(diǎn)，那么點(diǎn)、N(xy2y)

就是法教圖象y=2sin(2x+》上的相應(yīng)

點(diǎn)，如圖5.6.6所示,這說(shuō)明，杷

y=sin(2x+9圖象上所有點(diǎn)的紈坐標(biāo)伸

長(zhǎng)到原來(lái)的2僖r橫坐標(biāo)不變)，就

得到y(tǒng)=2sin(2x+Q的圖象,同理，杷

y=sin（2x+"圖象上所有點(diǎn)的縱生林縮短

到原來(lái)的3售（橫坐標(biāo)不變）,就得到

y=jsin（2x+~的圖象、

一般地,法教y=Asin（s+夕）

的圖象，可以看作是把y二Asin（69%+夕）

圖象上所有點(diǎn)的紈坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A>

/時(shí)）或縮短（當(dāng)0<A</時(shí)）

到原來(lái)的A售（橫生林不變）而得

到,從而，函教y=Asin（Gx+夕）的

值域是f-A,AJ,最大值是A,最

小值是-A

你能總結(jié)一下從正弦法教圖象出

發(fā)，通過(guò)圖象變換得到y(tǒng)=Asin（cox+（p）

（A>0,3>0）圖象的過(guò)程與方

法嗎?

一般地,法教y=Asin（s+夕）（A

>0,CD>0）的圖象，可以用下面

的方法得到：先畫出函數(shù)y=sinx的圖

象；再杷正弦曲線向左（或右）平移I磯

個(gè)單住長(zhǎng)度，得到收教〉=sin（x+夕）的

圖象；然后把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)?/p>

原來(lái)的5借（紈生林不變），得到的教

y=sin（69X+cp）的圖象；最后把曲線上

各點(diǎn)的縱生林變?yōu)樵瓉?lái)的A僖（橫生

標(biāo)不變），這時(shí)的曲線就是函教y二

Asin（69%+9）的圖象.

規(guī)律總結(jié)：

先平移后伸縮的步驟程序如下：

向左（8>0）或向右（.CO）,

y=sinx的圖象平移⑷個(gè)單位長(zhǎng)度得

y=sin（x+（［））的圖象

橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短（G>1）,

到原來(lái)L（縱坐標(biāo)不變），口.，，I、

切得y=sin（3x+巾）

的圖象

縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（4>1）或縮短（0<力<1））

為原來(lái)的陽(yáng)（橫坐標(biāo)不變）得y=Asin（wx+（j）J

的圖象O

先伸縮后平移（提醒學(xué)生盡量先平移）,

但要注意第三步的平移。

縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（4>1）或縮短（。<4<1））

y=sinx的圖象這原來(lái)的4倍（橫坐標(biāo)不變）得

y=Asinx的圖象

橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（。吠<1）或縮短（G>1）>

到原來(lái)的L（縱坐標(biāo)不變）A?，、

g何y=Asin（cox）

的圖象

向左3>o）或縮短3>1）

平移四個(gè)單位?,、以

s得y=Asin（3x+巾）的

圖象。

典例解析

例/畫出函教y=jsin(3x—的簡(jiǎn)

圖.

解：先畫出法教產(chǎn)sinx的圖象；再把正

弦曲線向右平移珊個(gè)單住長(zhǎng)度，得到函

教的圖象；然后使曲線上各點(diǎn)的橫生林

變?yōu)樵瓉?lái)的|4,得到改數(shù)的圖象；

最后把曲線上各點(diǎn)的紈坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

2僖,這時(shí)的曲線就是函數(shù)y三sin(3x-

D的圖象，如圖5。6。7所示.

6

圖5.6-7

下面用"五點(diǎn)法"畫函數(shù)y=：sin(3x—

T在一個(gè)周期(T=爭(zhēng))內(nèi)的圖象.令X=

3x—處1x=-（X+

63

T列表（表5.6.1J,

描點(diǎn)畫圖（圖5.6.8）

表5.61

n3n

X07nT2n

2n7n5n13n

X

18~9187?

y020-20

例2摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械

建筑設(shè)施,游家坐在摩天輪的座艙里慢

慢地往上轉(zhuǎn)，可

以從高處俯瞰四

周景色.如圖

5.6o9,其摩天

蛤最高點(diǎn)距離地

面高度為120

圖5.6-9

m,轉(zhuǎn)盤直徑為

110m,設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后接

逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn),游家在座艙轉(zhuǎn)到

距離地面最近的核置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約

需要30in.

(1)游家甲生上厚天輪的座艙，開

始轉(zhuǎn)動(dòng)tmin后距離地面的高度為H

m,求在轉(zhuǎn)動(dòng)~周的過(guò)程中，H關(guān)于t

的法教解析式；

(2J求游家甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)5min后

距離地面的高度；

(3)若甲、乙兩人分別生在兩個(gè)

相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過(guò)程中，

求兩人距離地面的高度差h(單?。?/p>

m)關(guān)于t的函教解析式，并求高度

差的最大值(精確到0.7)

分析：摩天輪上的座艙運(yùn)動(dòng)可以近似地

看作是質(zhì)點(diǎn)在圓周上做勻速旋轉(zhuǎn).在旅

轉(zhuǎn)過(guò)程中，游家距離地面的高度犁呈

現(xiàn)周而復(fù)始的變化，因此可以考慮用三

角函數(shù)來(lái)刻畫.

解：如圖5.6.10,設(shè)座艙距離地面最近

的住置為點(diǎn)P,

以軸心O為原點(diǎn)，與地面平行的直線

為久軸建立直角坐標(biāo)系.

(])7殳t=0min,

游客甲優(yōu)于點(diǎn)pco,

—55J,以0P為終邊

的角為一“根據(jù)摩天

輪轉(zhuǎn)一周大約需要

30min,可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約為專兀

rad/min,由題意可得H=55sin(凱契

+65,0<t<30,

(2J當(dāng)t=5時(shí)，H=55sin(^xs—

三2)"+65=37。5

所以，游家甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)5min后距離

地面的高度約為37.5m、

(3)如圖5.6.10,甲、乙兩人的

住置分別用點(diǎn)A,B表示，則ZAOB

二葛二盤、經(jīng)過(guò)后甲跖離地面的高度

為％=55sin（某—》+65,點(diǎn)、B相對(duì)于

點(diǎn)A始終落后Jrad,此時(shí)乙距離地面

的高度為%=55sin（各一翳）+65,則甲、

乙距離地面的高度差九=%-

“2尸55卜in（白一“-sin（白一詈）尸55卜in（會(huì)“

+sin（署-自），羽1用sin。+sin?=2s譏與qos與4可彳導(dǎo)

/i=110|sin^sin（^/-^）,0<t<30,當(dāng)白七弓（或

371）

即」7。8r或22.8J時(shí)，h的最大

值為sin—~7O、

110482

所以，甲、乙兩人距離地面的高度差

的最大值約為7.2m.

三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

1.函教y=3sin錯(cuò)誤!的振幅和周期分別為通過(guò)練

習(xí)鞏固

（）

本節(jié)所

A,3,4B、3,錯(cuò)誤！Co錯(cuò)誤!，4

學(xué)知識(shí)，

Do錯(cuò)誤!，3鞏固對(duì)

【解析】由于法數(shù)y=3sin錯(cuò)誤!，二振幅三角函

是3,周期T=錯(cuò)誤!=4.教圖像

變換規(guī)

【答去】A律的理

2、將函數(shù)y=sin錯(cuò)誤!的圖象上所有點(diǎn)的橫解，增強(qiáng)

學(xué)生的

生林伸長(zhǎng)到原來(lái)的2僖（縱生標(biāo)不變），再

直觀想

將所得圖象向左平移錯(cuò)誤!個(gè)單佳，則所得

象、教學(xué)

函教圖象對(duì)應(yīng)的解析式為（）

抽象、教

A.y二sin錯(cuò)誤！B.y=sin錯(cuò)誤！C.y=sin學(xué)運(yùn)算、

錯(cuò)誤氏D、y=sin錯(cuò)誤！近輯推

理的核

【解析】函教y=sin錯(cuò)誤!的圖象上所有

心素養(yǎng).

點(diǎn)的橫生林伸長(zhǎng)到原來(lái)的

2售，得y=sin錯(cuò)誤!的圖象，再將此圖象

向左平移錯(cuò)誤!個(gè)單住，

得y=sin錯(cuò)誤!=sin錯(cuò)誤!的圖象，選D.

【答案】D

3.已知收教〉=Asin（cyx+夕）（A>0,①）

0）的最大值是3,最小正周期是錯(cuò)誤!，初相

戲,則這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是（）

A.y=3sin錯(cuò)誤！B,y=3sin錯(cuò)誤！

C.y=3sin錯(cuò)誤！D,y=3sin錯(cuò)誤！

【解析】由已知得A=3,T=錯(cuò)誤!，?二

兀271rc.

不，g=下二7,所以y=3sm錯(cuò)誤!。

【答案】B

4.法教y=2sin錯(cuò)誤!圖象的一條對(duì)稱軸是

_____.