2024年初二上冊數學期末考試專項復習46一次函數全章復習與鞏固（基礎）知識講解

2024年初二上冊數學期末考試專項復習一次函數全章復習與鞏固（基礎）【學習目標】1．了解常量、變量和函數的概念，了解函數的三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法），能利用圖象數形結合地分析簡單的函數關系.2．理解正比例函數和一次函數的概念，會畫它們的圖象，能結合圖象討論這些函數的基本性質，能利用這些函數分析和解決簡單實際問題.3．通過討論一次函數與方程（組）及不等式的關系，從運動變化的角度，用函數的觀點加深對已經學習過的方程（組）及不等式等內容的再認識.4.通過討論選擇最佳方案的問題，提高綜合運用所學函數知識分析和解決實際問題的能力.【知識網絡】【高清課堂396533一次函數復習知識要點】變化的世界函數變化的世界函數建立數學模型應用概念選擇方案概念再認識表示方法圖象性質一次函數（正比例函數）一元一次方程一元一次不等式二元一次方程組與數學問題的綜合與實際問題的綜合列表法解析法圖象法【要點梳理】要點一、函數的相關概念一般地，在一個變化過程中.如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說是自變量，是的函數.

是的函數，如果當＝時＝，那么叫做當自變量為時的函數值.

函數的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.要點二、一次函數的相關概念一次函數的一般形式為，其中、是常數，≠0.特別地，當＝0時，一次函數即（≠0），是正比例函數.要點三、一次函數的圖象及性質

1、函數的圖象

如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.

要點詮釋：直線可以看作由直線平移||個單位長度而得到（當＞0時，向上平移；當＜0時，向下平移）.說明通過平移，函數與函數的圖象之間可以相互轉化.

2、一次函數性質及圖象特征掌握一次函數的圖象及性質（對比正比例函數的圖象和性質）要點詮釋：理解、對一次函數的圖象和性質的影響：（1）決定直線從左向右的趨勢（及傾斜角的大小——傾斜程度），決定它與軸交點的位置，、一起決定直線經過的象限．（2）兩條直線：和：的位置關系可由其系數確定：與相交；，且與平行；，且與重合；（3）直線與一次函數圖象的聯(lián)系與區(qū)別一次函數的圖象是一條直線；特殊的直線、直線不是一次函數的圖象.要點四、用函數的觀點看方程、方程組、不等式方程（組）、不等式問題函數問題從“數”的角度看從“形”的角度看求關于、的一元一次方程＝0（≠0）的解為何值時，函數的值為0？確定直線與軸（即直線＝0）交點的橫坐標求關于、的二元一次方程組的解．為何值時，函數與函數的值相等？確定直線與直線的交點的坐標求關于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集為何值時，函數的值大于0？確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍【典型例題】類型一、函數的概念【高清課堂396533一次函數復習例1】1、下列說法正確的是：（）Ａ.變量滿足，則是的函數；Ｂ.變量滿足，則是的函數；Ｃ.變量滿足，則是的函數；Ｄ.變量滿足，則是的函數.【答案】A；【解析】B、C、D三個選項，對于一個確定的的值，都有兩個值和它對應，不滿足單值對應的條件，所以不是函數.【總結升華】理解函數的概念，關鍵是函數與自變量之間是單值對應關系，自變量的值確定后，函數值是唯一確定的.舉一反三：【變式】如圖的四個圖象中，不表示某一函數圖象的是（）【答案】B；2、求函數的自變量的取值范圍.【思路點撥】要使函數有意義，需或解這個不等式組即可.【答案與解析】解：要使函數有意義，則要符合：即：或

解方程組得自變量取值是或.【總結升華】自變量的取值范圍是使函數有意義的的集合.舉一反三：【變式】求出下列函數中自變量的取值范圍（1） （2） （3）【答案】解：（1）要使有意義，需，解得≠0且≠－1；（2）要使有意義，需，解得；（3）要使有意義，需，解得.類型二、一次函數的解析式3、已知與成正比例關系，且其圖象過點(3，3)，試確定與的函數關系，并畫出其圖象．【思路點撥】與成正比例關系，即，將點(3，3)代入求得函數關系式.【答案與解析】解：設，由于圖象過點(3，3)知，故．其圖象為過點(2，0)與(0，－6)的一條直線（如圖所示）．【總結升華】與成正比例滿足關系式，與－2成正比例滿足關系式，注意區(qū)別.舉一反三：【變式】直線平行于直線，且與軸交于點（2，0），求這條直線的解析式.【答案】解：∵直線平行于直線∴∵與軸交于點（2，0）∴①將＝2代入①，得∴此直線解析式為.類型三、一次函數的圖象和性質4、已知正比例函數（≠0）的函數值隨的增大而減小，則一次函數的圖象大致是圖中的（）．【答案】B；【解析】∵隨的增大而減小，∴＜0．∵中的系數為1＞0，＜0，∴經過一、三、四象限，故選B．【總結升華】本題綜合考查正比例函數和一次函數圖象和性質，＞0時，函數值隨自變量的增大而增大．舉一反三：【變式】已知正比例函數的圖象上兩點A(,),B(,)，當時,有,那么的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】A；提示：由題意隨著的增大而減小，所以，選A答案.類型四、一次函數與方程（組）、不等式5、（2016春?鄂托克旗期末）如圖，直線y=﹣2x與直線y=kx+b相交于點A（a，2），并且直線y=kx+b經過x軸上點B（2，0）（1）求直線y=kx+b的解析式．（2）求兩條直線與y軸圍成的三角形面積．（3）直接寫出不等式（k+2）x+b≥0的解集．【思路點撥】（1）首先確定點A的坐標，然后利用點B的坐標利用待定系數法確定直線的解析式即可；（2）首先根據直線AB的解析式確定直線AB與y軸的交點坐標，從而利用三角形的面積公式求得三角形的面積；（3）將不等式變形后結合函數的圖象確定不等式的解集即可．【答案與解析】解：（1）把A（a，2）代入y=﹣2x中，得﹣2a=2，∴a=﹣1，∴A（﹣1，2）把A（﹣1，2），B（2，0）代入y=kx+b中得，∴k=﹣，b=，∴一次函數的解析式是y=﹣x+；（2）設直線AB與Y軸交于點C，則C（0，）∴S△BOC=××1=；（3）不等式（k+2）x+b≥0可以變形為kx+b≥﹣2x，結合圖象得到解集為：x≥﹣1．【總結升華】本題考查了一次函數與一元一次不等式的知識，解題的關鍵是能夠根據題意確定直線的解析式，然后結合圖象直接寫出不等式的解集．舉一反三：【變式】（2015?武漢校級模擬）已知一次函數y=kx+b的圖象經過點（3，5）與（﹣4，﹣9）．（1）求這個一次函數的解析式；（2）求關于x的不等式kx+b≤5的解集．【答案】解：∵一次函數y=kx+b的圖象經過點點（3，5）與（﹣4，﹣9），∴，解得∴函數解析式為：y=2x﹣1；（2）∵k=2＞0，∴y隨x的增大而增大，把y=5代入y=2x﹣1解得，x=3，∴當x≤3時，函數y≤5，故不等式kx+b≤5的解集為x≤3．類型五、一次函數的應用6、（2015?黔西南州）某地為了鼓勵居民節(jié)約用水，決定實行兩級收費制，即每月用水量不超過12噸（含12噸）時，每噸按政府補貼優(yōu)惠價收費；每月超過12噸，超過部分每噸按市場調節(jié)價收費，小黃家1月份用水24噸，交水費42元．2月份用水20噸，交水費32元．（1）求每噸水的政府補貼優(yōu)惠價和市場調節(jié)價分別是多少元；（2）設每月用水量為x噸，應交水費為y元，寫出y與x之間的函數關系式；（3）小黃家3月份用水26噸，他家應交水費多少元？【答案與解析】解：（1）設每噸水的政府補貼優(yōu)惠價為a元，市場調節(jié)價為b元．根據題意得，解得：．答：每噸水的政府補貼優(yōu)惠價為1元，市場調節(jié)價為2.5元．（2）∵當0≤x≤12時，y=x；當x＞12時，y=12+（x﹣12）×2.5=2.5x﹣18，∴所求函數關系式為：y=．（3）∵x=26＞12，∴把x=26代入y=2.5x﹣18，得：y=2.5×26﹣18=47（元）．答：小英家三月份應交水費47元．【總結升華】本題考查了一次函數的應用，題目還考查了二元一次方程組的解法，特別是在求一次函數的解析式時，此函數是一個分段函數，同時應注意自變量的取值范圍．舉一反三：【變式】一報刊銷售亭從報社訂購某晚報的價格是每份0.7元，銷售價是每份1元，賣不掉的報紙還可以以0.20元的價格返回報社，在一個月內（以30天計算），有20天每天可賣出100份，其余10天，每天可賣出60份，但每天報亭從報社訂購的份數必須相同，若以報亭每天從報社訂購報紙的份數為，每月所獲得的利潤為．（1）寫出與之間的函數關系式，并指出自變量的取值范圍；（2）報亭應該每天從報社訂購多少份報紙，才能使每月獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】解：（1）

．類型六、一次函數綜合7、如圖所示，直線的解析表達式為，且與軸交于點D，直線經過A、B兩點，直線、交于點C．(1)求點D的坐標；(2)求直線的解析表達式；(3)求△ADC的面積；(4)在直線上存在異于點C的另一點P，使得△ADP與△ADC的面積相等，請直接寫出點P的坐標．【答案與解析】解：(1)由，當＝0，得＝0，得＝l．∴D(1，0)．(2)設直線的解析表達式為，由圖象知，，；，．將這兩組值代入，得方程組解得∴直線的解析表達式為．(3)∵點C是直線與的交點，于是有解得∴C(2，－3)．∴△ADC的AD邊上的高為3．∵OD＝1，OA＝4，∴AD＝3．∴．(4)P(6，3)．【總結升華】這是一道一次函數圖象與性質的綜合應用問題，求直線的函數解析式，一般運用待定系數法，但運用過程中，又要具體問題具體分析；求底邊在坐標軸上三角形的面積的關鍵是探求該三角形的高．一次函數全章復習與鞏固（提高）【學習目標】1．了解常量、變量和函數的概念，了解函數的三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法），能利用圖象數形結合地分析簡單的函數關系.2．理解正比例函數和一次函數的概念，會畫它們的圖象，能結合圖象討論這些函數的基本性質，能利用這些函數分析和解決簡單實際問題.3．通過討論一次函數與方程（組）及不等式的關系，從運動變化的角度，用函數的觀點加深對已經學習過的方程（組）及不等式等內容的再認識.4.通過討論選擇最佳方案的問題，提高綜合運用所學函數知識分析和解決實際問題的能力.【知識網絡】【高清課堂396533一次函數復習知識要點】變化的世界函數變化的世界函數建立數學模型應用概念選擇方案概念再認識表示方法圖象性質一次函數（正比例函數）一元一次方程一元一次不等式二元一次方程組與數學問題的綜合與實際問題的綜合列表法解析法圖象法【要點梳理】要點一、函數的相關概念一般地，在一個變化過程中.如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說是自變量，是的函數.

是的函數，如果當＝時＝，那么叫做當自變量為時的函數值.

函數的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.要點二、一次函數的相關概念一次函數的一般形式為，其中、是常數，≠0.特別地，當＝0時，一次函數即（≠0），是正比例函數.要點三、一次函數的圖象及性質

1、函數的圖象

如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.

要點詮釋：直線可以看作由直線平移||個單位長度而得到（當＞0時，向上平移；當＜0時，向下平移）.說明通過平移，函數與函數的圖象之間可以相互轉化.

2、一次函數性質及圖象特征掌握一次函數的圖象及性質（對比正比例函數的圖象和性質）要點詮釋：理解、對一次函數的圖象和性質的影響：（1）決定直線從左向右的趨勢（及傾斜角的大小——傾斜程度），決定它與軸交點的位置，、一起決定直線經過的象限．（2）兩條直線：和：的位置關系可由其系數確定：與相交；，且與平行；，且與重合；（3）直線與一次函數圖象的聯(lián)系與區(qū)別一次函數的圖象是一條直線；特殊的直線、直線不是一次函數的圖象.要點四、用函數的觀點看方程、方程組、不等式方程（組）、不等式問題函數問題從“數”的角度看從“形”的角度看求關于、的一元一次方程＝0（≠0）的解為何值時，函數的值為0？確定直線與軸（即直線＝0）交點的橫坐標求關于、的二元一次方程組的解．為何值時，函數與函數的值相等？確定直線與直線的交點的坐標求關于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集為何值時，函數的值大于0？確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍【典型例題】類型一、函數的概念1、（2014春?桃城區(qū)校級月考）在國內投寄平信應付郵資如下表：信件質量x（克）0＜x≤200＜x≤400＜x≤60郵資y（元）0.801.602.40（1）y是x的函數嗎？為什么？（2）分別求當x=5，10，30，50時的函數值．【思路點撥】（1）根據函數定義：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數，x是自變量可得y是x的函數；（2）根據表格可以直接得到答案．【答案與解析】解：（1）y是x的函數，當x取定一個值時，y都有唯一確定的值與其對應；（2）當x=5時，y=0.80；當x=10時，y=0.80；當x=30時，y=1.60；當x=50時，y=2.40．【總結升華】此題主要考查了函數定義，關鍵是掌握函數的定義．類型二、一次函數的解析式2、某出版社出版一種適合中學生閱讀的科普讀物，若該讀物首次出版印刷的印數不少于5000冊時，投入的成本與印數間的相應數據如下：印數（冊）500080001000015000……成本（元）28500360004100053500……（1）經過對上表中數據的探究，發(fā)現這種讀物的投入成本（元）是印數（冊）的一次函數，求這個一次函數的解析式（不要求寫出的取值范圍）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印該讀物多少冊？【思路點撥】待定系數法求函數解析式，根據兩點得到兩個二元一次方程，組成一個二元一次方程組求出解即可．表中信息取兩組就可以了.【答案與解析】解：（1）設所求一次函數的解析式為，

則

解得＝，＝16000．

∴所求的函數關系式為＝＋16000．

（2）∵48000＝＋16000．

∴＝12800．

答：能印該讀物12800冊．【總結升華】此類問題主要是考查考生利用待定系數法來求出有關函數一般解析式中的未知系數，從而確定該函數解析式的能力．舉一反三：【變式】已知直線經過點，且與坐標軸所圍成的三角形的面積為，求該直線的函數解析式．【答案】解：因為直線過點，所以，①又因為直線與軸、軸的交點坐標分別為，再根據，所以整理得②．根據方程①和②可以得出，，所以，．所以所求一次函數解析式為或．類型三、一次函數的圖象和性質【高清課堂396533一次函數復習例2】3、若直線（≠0）不經過第一象限，則、的取值范圍是（）

A.＞0,＜0B.＞0,≤0C.＜0,＜0D.＜0,≤0

【思路點撥】根據一次函數的圖象與系數的關系解答.圖象不經過第一象限，則k＜0，此時圖象可能過原點，也可能經過二、三、四象限.【答案】D；【解析】當圖象過原點時，＜0，＝0，當圖象經過二、三、四象限時，＜0且＜0.【總結升華】圖象不經過第一象限包括經過二、三、四象限和過原點兩種情況.舉一反三：【高清課堂396533一次函數復習例3】【變式】一次函數與在同一坐標系內的圖象可以為（）A.B.C.D.【答案】D；提示：分為＜0；0＜＜2；＞2分別畫出圖象，只有D答案符合要求.類型四、一次函數與方程（組）、不等式4、（2016春?棗陽市期末）直線a：y=x+2和直線b：y=﹣x+4相交于點A，分別與x軸相交于點B和點C，與y軸相交于點D和點E．（1）在同一坐標系中畫出函數圖象；（2）求△ABC的面積；（3）求四邊形ADOC的面積；（4）觀察圖象直接寫出不等式x+2≤﹣x+4的解集和不等式﹣x+4≤0的解集．【思路點撥】（1）根據直線的畫法畫出圖形即可；（2）根據直線a、b的解析式可得出點B、C的坐標，聯(lián)立兩直線的解析式成方程組，解方程組可得出點A的坐標，再利用三角形的面積公式即可得出結論；（3）根據直線a的解析式可求出點D的坐標，利用分割圖形求面積法結合三角形的面積公式即可得出結論；（4）根據兩函數圖象的上下位置關系結合交點的坐標，即可得出不等式的解集．【解析】解：（1）依照題意畫出圖形，如圖所示．（2）令y=x+2中y=0，則x+2=0，解得：x=﹣2，∴點B（﹣2，0）；令y=﹣x+4中y=0，則﹣x+4=0，解得：x=4，∴點C（4，0）；聯(lián)立兩直線解析式得：，解得：，∴點A（1，3）．S△ABC=BC?yA=×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x+2中x=0，則y=2，∴點D（0，2）．S四邊形ADOC=S△ABC﹣S△DBO=9﹣×2×2=7．（4）觀察函數圖形，發(fā)現：當x＜1時，直線a在直線b的下方，∴不等式x+2≤﹣x+4的解集為x≤1；當x＞4時，直線b在x軸的下方，∴不等式﹣x+4≤0的解集為x≥4．【總結升華】本題考查了一次函數與一元一次不等式、一次函數的圖象以及三角形的面積公式，解題的關鍵是：（1）畫出函數圖象；（2）找出點A、B、C的坐標；（3）利用分割圖形求面積法求出面積；（4）根據函數圖象的上下位置關系解不等式．舉一反三：【變式】（2015春?東城區(qū)期末）已知直線y=kx+b經過點A（5，0），B（1，4）．（1）求直線AB的解析式；（2）若直線y=2x﹣4與直線AB相交于點C，求點C的坐標；（3）根據圖象，寫出關于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．【答案】解：（1）∵直線y=kx+b經過點A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直線AB的解析式為：y=﹣x+5；（2）∵若直線y=2x﹣4與直線AB相交于點C，∴．解得，∴點C（3，2）；（3）根據圖象可得x＞3．類型五、一次函數的應用5、某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥2后血液中的含藥量最高，達每升6，接著逐步衰減，10后血液中的含藥量為每升3，每升血液中的含藥量隨時間的變化情況如圖所示．當成人按規(guī)定劑量服藥后：(1)分別求出≤2和≥2時，與之間的函數關系式；(2)如果每升血液中的含藥量為4或4以上時，治療疾病是有效的，那么這個有效時間是多長?【思路點撥】（1）根據題意由待定系數法求函數的解析式.（2）令≥4，分別求出的取值范圍，便可得出這個藥的有效時間．【答案與解析】解：(1)由圖知，≤2時是正比例函數，≥2時是一次函數．設≤2時，，把(2，6)代入，解得＝3，∴當0≤≤2時，．設≥2時，，把(2，6)，(10，3)代入中，得，解得，即．當＝0時，有，．∴當2≤≤18時，．(2)由于≥4時在治療疾病是有效的，∴，解得．即服藥