2024年初二下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)正方形（提高）知識(shí)講解

2024年初二下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)正方形（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2．掌握正方形的性質(zhì)及判定方法．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、正方形的定義四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.要點(diǎn)詮釋：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.要點(diǎn)二、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；2.角——四個(gè)角都是直角；3.對(duì)角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；4.是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.要點(diǎn)詮釋：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四個(gè)等腰直角三角形.要點(diǎn)三、正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.要點(diǎn)四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：【典型例題】類型一、正方形的性質(zhì) 1、如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別在OD、OC上，且DE＝CF，連接DF、AE，AE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)M．求證：AM⊥DF．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)DE＝CF，可得出OE＝OF，繼而證明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代換可得出∠DME＝90°，即得出了結(jié)論．【答案與解析】證明：∵ABCD是正方形，∴OD＝OC，又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF，在Rt△AOE和Rt△DOF中，，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF，∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF．【總結(jié)升華】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是通過(guò)全等的證明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代換解題．舉一反三：【變式1】如圖四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、K分別在BC，AB上，點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上，且CE＝BK＝AG．以線段DE、DG為邊作DEFG．(1)求證：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)連接KF，猜想四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．【答案】證明：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．又∵CE＝AG，∴△DCE≌△DAG，∴∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴DE⊥DG．(2)四邊形CEFK為平行四邊形．證明：設(shè)CK，DE相交于M點(diǎn)，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；∵BK＝AG，∴KG＝AB＝CD．∴四邊形CKGD為平行四邊形．∴CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF∴四邊形CEFK為平行四邊形．【高清課堂417083正方形例9】【變式2】如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是_______．【答案】2；提示：陰影部分面積等于正方形面積的一半.類型二、正方形的判定 2、（2016?普寧市模擬）如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2．（1）已知DG=6，求AE的長(zhǎng)；（2）已知DG=2，求證：四邊形EFGH為正方形．【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理列出表達(dá)式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后計(jì)算AE的長(zhǎng)；（2）先根據(jù)已知條件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到菱形的一組鄰邊相等，進(jìn)而判定該菱形為正方形．【答案與解析】解：（1）∵AD=6，AH=2∴DH=AD﹣AH=4∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2∵四邊形EFGH是菱形∴HG=HE∴DH2+DG2=AH2+AE2即42+62=22+AE2∴AE==4（2）∵AH=2，DG=2∴AH=DG∵四邊形EFGH是菱形∴HG=HE在Rt△DHG和Rt△AEH中∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL）∴∠DHG=∠AEH∵∠AEH+∠AHE=90°∴∠DHG+∠AHE=90°∴∠GHE=90°∵四邊形EFGH是菱形∴四邊形EFGH是正方形【總結(jié)升華】本題主要考查了矩形、菱形的性質(zhì)以及正方形的判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：矩形的四個(gè)角都是直角，菱形的四條邊都線段，有一組鄰邊相等的菱形是正方形．在解題時(shí)注意，求直角三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，一般都需要考慮運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解．舉一反三：【變式】（2015春?上城區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連結(jié)CF．（1）若DG=2，求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面積．【答案】（1）證明：∵四邊形EFGH為菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四邊形EFGH為菱形，∴四邊形EFGH為正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，連結(jié)GE，如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四邊形EFGH為菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面積=CG?FQ=×2×2=2．類型三、正方形綜合應(yīng)用3、E、F分別是正方形ABCD的邊AD和CD上的點(diǎn)，若∠EBF＝45°．(1)求證：AE＋CF＝EF．(2)若E點(diǎn)、F點(diǎn)分別是邊DA、CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，結(jié)論（1）仍成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，寫出正確結(jié)論并加以證明．【答案與解析】證明：（1）延長(zhǎng)DC，使CH＝AE，連接BH，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△BCH，∴∠1＝∠2，BE＝BH．又∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，∴∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，在△EBF和△HBF中，∴△EBF≌△HBF，∴EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．(2)如圖所示：不成立，正確結(jié)論：EF＝CF－AE．證明：在CF上截取CH＝AE，連接BH．∵四邊形ABCD是正方形，∴在Rt△EAB和Rt△HCB中，∴Rt△EAB≌Rt△HCB，∴BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．∵∠HBC＋∠ABH＝90°，∴∠EBA＋∠ABH＝90°．又∵∠EBF＝45°，∴∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．在△EBF和△HBF中∴△EBF≌△HBF，∴EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．【總結(jié)升華】本題主要考察正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵在于用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法正確地作出輔助線.4、如圖①所示，已知A、B為直線上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線上方一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，過(guò)點(diǎn)D作⊥于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作⊥于點(diǎn)．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E恰好在直線上時(shí)（此時(shí)與E重合），試說(shuō)明＝AB；（2）在圖①中，當(dāng)D、E兩點(diǎn)都在直線的上方時(shí)，試探求三條線段、、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在直線的下方時(shí)，請(qǐng)直接寫出三條線段、、AB之間的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）【答案與解析】（1）證明：∵四邊形CADF、CBEG是正方形，∴AD＝CA，∠DAC＝∠ABC＝90°，∴∠＋∠CAB＝90°，∵⊥AB，∴∠DD1A＝∠ABC＝90°，∴∠＋∠＝90°，∴∠＝∠CAB，在△和△CAB中，，∴△≌△CAB（AAS），∴＝AB；（2）解：AB＝＋．證明：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，∵⊥AB，∴∠＝∠CHA＝90°，∴∠＋∠＝90°，∵四邊形CADF是正方形，∴AD＝CA，∠DAC＝90°，∴∠＋∠CAH＝90°，∴∠＝∠CAH，在△和△CAH中，，∴△≌△CAH（AAS），∴＝AH；同理：＝BH，∴AB＝AH＋BH＝＋；（3）解：AB＝－．證明：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，∵⊥AB，∴∠＝∠CHA＝90°，∴∠＋∠＝90°，∵四邊形CADF是正方形，∴AD＝CA，∠DAC＝90°，∴∠＋∠CAH＝90°，∴∠＝∠CAH，在△和△CAH中，，∴△≌△CAH（AAS），∴＝AH；同理：＝BH，∴AB＝AH－BH＝－．【總結(jié)升華】此題考查了正方形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．舉一反三：【變式】在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG，如圖①，易證EG＝CG，且EG⊥CG．(1)將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖②，則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的猜想．(2)將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，如圖③，則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．【答案】解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．(2)EG＝CG，且EG⊥CG．證明：延長(zhǎng)FE交DC延長(zhǎng)線于M，連MG，如圖③，∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四邊形BEMC是矩形．∴BE＝CM，∠EMC＝90°，又∵BE＝EF，∴EF＝CM．∵∠EMC＝90°，F(xiàn)G＝DG，∴MG＝FD＝FG．∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD．∵EF＝CM，∴FM＝DM，∴∠F＝45°．又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°，∴∠F＝∠GMC，∴△GFE≌△GMC，∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，∵M(jìn)G⊥DF，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，∴EG⊥CG．【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.如圖，將一邊長(zhǎng)為12的正方形紙片ABCD的頂點(diǎn)A折疊至DC邊上的點(diǎn)E，使DE＝5，折痕為PQ，則PQ的長(zhǎng)為()A.12B.13C.14 D.152.（2015?南湖區(qū)一模）將四根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形，使它形狀改變．當(dāng)∠B=90°時(shí)（如圖甲），測(cè)得對(duì)角線BD的長(zhǎng)為．當(dāng)∠B=60°時(shí)（如圖乙），則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為（）A.B.C.2 D.3.如圖，點(diǎn)，是正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，以它的對(duì)角線為一邊作正方形，以正方形的對(duì)角線為一邊作正方形，再以正方形的對(duì)角線為一邊作正方形，…，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．4.（2016春?嘉祥縣期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=5，則四邊形EFGH的面積是（）A．30 B．34 C．36 D．405.如圖，四邊形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四邊形ABCD面積為16，則DE的長(zhǎng)為（）A．3B．2C．4D．86.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點(diǎn)G在線段DK上，且G為BC的三等分點(diǎn)，R為EF中點(diǎn)，正方形BEFG的邊長(zhǎng)為4，則△DEK的面積為（）A．10B．12C．14D．16二.填空題7．延長(zhǎng)正方形ABCD的BC邊至點(diǎn)E，使CE＝AC，連結(jié)AE，交CD于F，那么∠AFC的度數(shù)為______，若BC＝4，則△ACE的面積等于______．8．在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分別為F、G，如果，那么EF＋EG的長(zhǎng)為______．9．已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O為△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是垂足，且BC＝8，CA＝6，則點(diǎn)O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于______．10.如圖所示，直線經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過(guò)頂點(diǎn)B、D作DE⊥于點(diǎn)E、BF⊥于點(diǎn)F，若DE＝4，BF＝3，則EF的長(zhǎng)為_____.11.點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段PE，連接BE，則∠CBE＝_____°12.（2015?潮南區(qū)一模）如圖所示，如果以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以AE為邊作第三個(gè)正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面積S1=1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S2，S3，…Sn（n為正整數(shù)），那么第8個(gè)正方形面積S8=．三.解答題13．（2015?西城區(qū)二模）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是原點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），則點(diǎn)C的坐標(biāo)？14.（2016?嶗山區(qū)一模）已知：如圖，E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的點(diǎn)，連接AE、CE．（1）求證：AE=CE；（2）若將△ABE沿AB對(duì)折后得到△ABF；當(dāng)點(diǎn)E在BD的何處時(shí)，四邊形AFBE是正方形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．15．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DP交AC于點(diǎn)Q．(1)試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】B；【解析】過(guò)P作PF⊥BC于F，可證△PFQ≌△ADE，則PQ＝.2.【答案】B；【解析】解：如圖甲，∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，∴四邊形ABCD是正方形，連接BD，則AB2+AD2=BD2，∴AB=AD=1，如圖乙，∠B=60°，連接BD，∴△ABD為等腰三角形，∠ABD=30°，∴AB=AD=1，∴BD=故選B．3.【答案】A；【解析】，，.4.【答案】B；【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四邊形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四邊形EFGH是正方形，∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，∴EH=FE=GF=GH==，∴四邊形EFGH的面積是：×=34，故選B．5.【答案】C；【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于F，利用互余關(guān)系可得∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用AAS可以判斷△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，＝＝16，DE＝4．6.【答案】D；【解析】連DB，GE，F(xiàn)K，則DB∥GE∥FK，再根據(jù)G為BC的三等分點(diǎn)，R為EF中點(diǎn)，正方形BEFG的邊長(zhǎng)為4可求出，，再由即可求出答案．二.填空題7．【答案】112.5°，8；【解析】∠AEC＝∠CEA＝°，∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°，面積等于.8．【答案】5；【解析】AC＝BD＝，EF＋EG＝BD＝5.9．【答案】2；【解析】OD＝OE＝OF，可知四邊形ODCE是正方形，設(shè)CD＝CE＝，BD＝BF＝，AE＝AF＝，所以，，，解得，即O點(diǎn)到三邊的距離.10.【答案】7；【解析】因?yàn)锳BCD是正方形，所以AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，則有∠ABF＝∠DAE，又因?yàn)镈E⊥、BF⊥，根據(jù)AAS易證△AFB≌△AED，所以AF＝DE＝4，BF＝AE＝3，所以EF＝7．11.【答案】45；【解析】過(guò)E點(diǎn)作EF⊥AB的延長(zhǎng)線于F，易證△ADP≌△FPE；BF＝EF，所以∠CBE＝∠EBF＝45°.12.【答案】128；【解析】根據(jù)題意可得：第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是第（n﹣1）個(gè)的倍；故面積是第（n﹣1）個(gè)的2倍，已知第一個(gè)面積為1；則那么第8個(gè)正方形面積S8=27=128．故答案為128．三.解答題13.【解析】解：作AD⊥軸于D，作CE⊥x軸于E，如圖所示：則∠ADO=∠OEC=90°，∴∠1+∠2=90°，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），∴OD=1，AD=，∵四邊形OABC是正方形，∴∠AOC=90°，OC=AO，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，在△OCE和△AOD中，，∴△OCE≌△AOD（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，1）.14.【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABE=∠CBE=45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE．（2）解：點(diǎn)E在BD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFBE是正方形；理由如下：由折疊的性質(zhì)得：∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE，∵∠BAD=90°，E是BD的中點(diǎn)，∴AE=BD=BE=DE，∵AE=CE，∴AE=BE=CE=DE=AF=BF，∴四邊形AFBE是菱形，E是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∴AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∴四邊形AFBE是正方形．15．【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，AQ＝AQ∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；(2)AD×QE＝＝∴QE＝∵點(diǎn)Q在正方形對(duì)角線AC上∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為∴過(guò)點(diǎn)D(0，4)，兩點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式為：，當(dāng)＝0時(shí)，＝2，即P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；(3)若△ADQ是等腰三角形，則有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，由四邊形ABCD是正方形知QD＝QA此時(shí)△ADQ是等腰三角形；②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，此時(shí)DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；③如圖，設(shè)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)到CP＝時(shí)，有AD＝AQ∵AD∥BC∴∠ADQ＝∠CPQ．又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，∴∠CQP＝∠CPQ．∴CQ＝CP＝．∵AC＝，AQ＝AD＝4．∴＝CQ＝AC－AQ＝－4．即當(dāng)CP＝－4時(shí)，△ADQ是等腰三角形．直方圖——鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.為了繪出一批數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖，首先計(jì)算出這批數(shù)據(jù)的變動(dòng)范圍是指數(shù)據(jù)的().A．最大值B．最小值C．最大值與最小值的差D．個(gè)數(shù)2．在頻數(shù)分布直方圖中，各小矩形的面積等于().A．相應(yīng)各組的頻數(shù)B．組數(shù)C．相應(yīng)各組的頻率D．組距3．（2015春?和平區(qū)期末）已知一組數(shù)據(jù)的最大值為46，最小值為27，在繪制頻數(shù)分布直方圖時(shí)，取組距為3，則這組數(shù)據(jù)應(yīng)分成（）A．5組 B．6組 C．7組 D．8組4．某班50名學(xué)生期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如圖所示，對(duì)圖中提供的信息做出如下判斷：①成績(jī)?cè)?0～60分段的人數(shù)與90～100分段的人數(shù)相等；②從左到右數(shù)，第4小組的頻率是0.03；③成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有20人；④及格率為90%．其中正確的判斷有().A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)5．在樣本頻數(shù)分布直方圖中，有11個(gè)小長(zhǎng)方形．若中間的小長(zhǎng)方形的面積等于其他10個(gè)小長(zhǎng)方形面積之和的，且樣本容量為160個(gè)，則中間的一組的頻數(shù)為().A．0.2B．32C．0.25D．406.某學(xué)校隨機(jī)抽取了同齡的60名學(xué)生，對(duì)其身高進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)（均為整數(shù)）進(jìn)行整理后繪成頻率分布直方圖（如下圖），圖中自左向右各小組數(shù)據(jù)的頻率依次為：0.017，0.050，0.100，0.133，0.300，0.183，0.167，0.050．則身高在157.5以上的學(xué)生有（）A．18人B．24人C．39人D．42人7．有40個(gè)數(shù)據(jù)，其中最大值為35，最小值為15，若取組距為4，則應(yīng)該分的組數(shù)是().A．4B．5C．6D．78．學(xué)校為了解七年級(jí)學(xué)生參加課外興趣小組活動(dòng)情況，隨機(jī)調(diào)查了40名學(xué)生，將結(jié)果繪制成了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，則參加繪畫興趣小組的頻率是().A．0.1B．0.15C．0.25D．0.3二、填空題9．已知樣本容量是40，在樣本的頻數(shù)分布直方圖中各小矩形的高之比依次為3:2:4:1，則第二小組的頻數(shù)為________，第四小組的頻數(shù)為________．10．（2016春?滄州期末）一個(gè)樣本含有下面10個(gè)數(shù)據(jù)：52，51，49，50，47，48，50，51，48，53，則最大的值是，最小的值是，如果組距為1.5，則應(yīng)分成組．11．為了解各年齡段觀眾對(duì)某電視節(jié)目的收視率，小明調(diào)查了部分觀眾的收視情況，并分成A，B，C，D，E，F(xiàn)六組進(jìn)行調(diào)查，其頻率分布直方圖如圖所示，各長(zhǎng)方形上方的數(shù)據(jù)表示該組的頻率，若E組的頻數(shù)為48，那么被調(diào)查的觀眾總?cè)藬?shù)為__________.12.某單位職工的年齡(取正整數(shù))的頻數(shù)分布直方圖如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，進(jìn)行填空．(1)該單位職工共有________人；(2)不小于38歲但小于44歲的職工人數(shù)占職工總?cè)藬?shù)的百分率是________．13.我市某中學(xué)七年級(jí)甲、乙、丙三個(gè)班中，每班的學(xué)生人數(shù)都為60名，某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：（每組分?jǐn)?shù)含最小值，不含最大值）丙班數(shù)學(xué)成績(jī)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表根據(jù)以上圖、表提供的信息，則80～90分這一組人數(shù)最多的是_________班.14．某校為了了解某個(gè)年級(jí)的學(xué)習(xí)情況，在這個(gè)年級(jí)抽取了50名學(xué)生，對(duì)某學(xué)科進(jìn)行測(cè)試，將所得成績(jī)(成績(jī)均為整數(shù))整理后，列出表格：分組50～59分60～69分70～79分80～89分90～99分頻率0.040.040.160.340.42(1)本次測(cè)試90分以上的人數(shù)有________人；(包括90分)(2)本次測(cè)試這50名學(xué)生成績(jī)的及格率是________；(60分以上為及格，包括60分)(3)這個(gè)年級(jí)此學(xué)科的學(xué)習(xí)情況如何？請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)選項(xiàng)中，選一個(gè)填在題后的橫線上________．A．好B．一般C．不好三、解答題15．為了了解中學(xué)生的體能狀況，某校抽取了50名學(xué)生進(jìn)行1分鐘跳繩測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，分成5組繪成了頻數(shù)分布直方圖，如圖(圖中數(shù)據(jù)含最低值不含最高值)．其中前4個(gè)小組的頻率依次為0.04，0.12，0.4，0.28．(1)第4組的頻數(shù)是多少？(2)第5組的頻率是多少？(3)哪一組的頻數(shù)最大？(4)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖．16．為檢查某工廠所產(chǎn)8萬(wàn)臺(tái)電扇的質(zhì)量，抽查了其中40臺(tái)，這40臺(tái)電扇的無(wú)故障連續(xù)使用時(shí)限如下：(單位：h)248256232243188278286292308312274296288302295208314290281298228287217329283327272264307257268278266289312198204254244278(1)以組距20h列出樣本的頻數(shù)分布表，并畫出頻數(shù)分布直方圖.(2)估計(jì)8萬(wàn)臺(tái)電扇中有多少臺(tái)無(wú)故障連續(xù)使用時(shí)限會(huì)不少于288h？(3)樣本的平均無(wú)故障連續(xù)使用時(shí)限是多少？(4)如果電扇的無(wú)故障正常(非連續(xù))使用時(shí)限是無(wú)故障連續(xù)使用時(shí)限的8倍，那么這些電扇的正常使用壽命為多少小時(shí)？(精確到1h)17．（2016?臨沂）為了解某校九年級(jí)學(xué)生的身高情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生的身高進(jìn)行調(diào)查，利用所得數(shù)據(jù)繪成如圖統(tǒng)計(jì)圖表：頻數(shù)分布表身高分組頻數(shù)百分比x＜155510%155≤x＜160a20%160≤x＜1651530%165≤x＜17014bx≥170612%總計(jì)100%（1）填空：a=，b=；（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（3）該校九年級(jí)共有600名學(xué)生，估計(jì)身高不低于165cm的學(xué)生大約有多少人？【答案與解析】一、選擇題1.【答案】C；【解析】頻數(shù)直方圖是按照數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，包括所有的數(shù)據(jù)，即數(shù)據(jù)的變化范圍是指數(shù)據(jù)的最大值和最小值的差．2.【答案】A；【解析】頻數(shù)直方圖中縱坐標(biāo)表示的是頻數(shù)，則小長(zhǎng)方形的高為頻數(shù)，小長(zhǎng)方形的面積＝．3.【答案】C；【解析】解：∵數(shù)據(jù)的最大值為46，最小值為27，∴這組數(shù)據(jù)的差是46﹣27=19，∵組距為3，∴這組數(shù)據(jù)應(yīng)分成19÷3=6，則分成7組．故選C．4.【答案】B；【解析】正確的是①③④．5.【答案】B；【解析】根據(jù)在頻數(shù)直方圖中，某一組相應(yīng)的小長(zhǎng)方形的面積與直方圖中所有小矩形面積的比值即這小組的頻率，求得中間一個(gè)長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)的頻率后，再由頻數(shù)、頻率、總數(shù)的關(guān)系求解．6.【答案】D；【解析】解：根據(jù)題意身高157.5以上的頻率為：1-（0.017+0.050+0.100+0.133）=0.7，因抽取了60名學(xué)生，則身高在157.5以上的學(xué)生有：60×0.7=42；故答案為D．7.【答案】B；【解析】.8.【答案】D；【解析】根據(jù)頻率＝計(jì)算.二、填空題9．【答案】8，4；【解析】頻數(shù)分布直方圖中，各個(gè)長(zhǎng)方形的高之比依次為3：2：4：1，則指各組頻數(shù)之比為3：2：4：1，據(jù)此即可求出第二小組的頻數(shù)第四小組的頻數(shù).10.【答案】53，47，5；【解析】解：分析數(shù)據(jù)可得：最大的值是53，最小的值是47，則它們的差為53﹣47=6；如果組距為1.5，由于=4；但由于要包含兩個(gè)端點(diǎn)，故可分為5組．故本題答案為：53，47，5．11.【答案】200；【解析】解：∵E組的頻率為：1-0.04-0.08-0.16-0.36-0.12=0.24，又∵E組的頻數(shù)為48，∴被調(diào)查的觀眾總?cè)藬?shù)為：48÷0.24=200．故答案為200．12.【答案】(1)50(2)58％；【解析】正確讀圖是解題的關(guān)鍵．13.【答案】甲；【解析】解：甲班：60-3-7-12-18=20（人）乙班：60×（1-35%-10%-5%-20%）=18（人）．丙班：17（人）．所以最多的是甲班．14.【答案】(1)21；(2)96％；(3)A.【解析】（1）0.42×50＝21．（2）1－0.04－0.96＝96％．（3）理由是優(yōu)秀率和及格率都很高．三、解答題15.【解析】解：(1)第4組的頻數(shù)是0.28×50＝14．(2)第5組頻率為1-0.04-0.12-0.4-0.28＝0.16．(3)170～180這一組頻數(shù)最大．（4）補(bǔ)全如圖：16.【解析】解：(1)頻數(shù)分布表如下：頻數(shù)分布直方圖如圖：(2)因?yàn)檫@40臺(tái)中不少于288h的有9+5+1＝15(臺(tái))，所以8萬(wàn)臺(tái)電扇中不少于288h的有(萬(wàn)臺(tái))．(3)平均無(wú)故障連續(xù)使用時(shí)限為(h)．(4)電扇的正常壽命為271.3×8≈2170(h)．17.【解析】解：（1）由表格可得，調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：5÷10%=50，∴a=50×20%=10，b=14÷50×100%=28%，故答案為：10，28%；（2）補(bǔ)全的頻數(shù)分布直方圖如下圖所示，（3）600×（28%+12%）=600×40%=240（人）即該校九年級(jí)共有600名學(xué)生，身高不低于165cm的學(xué)生大約有240人．直方圖——知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解組距、頻數(shù)、頻率、頻數(shù)分布表的概念；2.會(huì)制作頻數(shù)分布表，理解頻數(shù)分布表的意義和作用；3.掌握畫頻數(shù)分布直方圖的一般步驟，會(huì)畫頻數(shù)分布直方圖，理解頻數(shù)分布直方圖的意義和作用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、組距、頻數(shù)、頻率與頻數(shù)分布表1．組距：把所有數(shù)據(jù)分成若干組，每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離（組內(nèi)數(shù)據(jù)的取值范圍）．2.頻數(shù)：在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)，某個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)或落在某個(gè)組別中的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)稱為頻數(shù)．3.頻率：頻數(shù)與總次數(shù)的比值稱為頻率.4．頻數(shù)分布表：把各個(gè)組別中相應(yīng)的頻數(shù)分布用表格的形式表示出來(lái)，所得表格就是頻數(shù)分布表．頻數(shù)分布表能清楚地反映一組數(shù)據(jù)的大小分布情況.將一批數(shù)據(jù)分組，一般數(shù)據(jù)越多，分的組也越多.當(dāng)數(shù)據(jù)在100個(gè)以內(nèi)時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，常分成5～12組.在分組時(shí)，要靈活確定組距，使所分組數(shù)合適，一般組數(shù)為的整數(shù)部分+1．要點(diǎn)詮釋：（1）頻數(shù)之和等于樣本容量，各頻率之和等于1；（2）制作頻數(shù)分布表的一般步驟：①計(jì)算最大值與最小值的差；②決定組距和組數(shù)；③確定分點(diǎn)；④列頻數(shù)分布表.要點(diǎn)二、頻數(shù)分布直方圖1．頻數(shù)分布直方圖根據(jù)頻數(shù)分布表，用橫軸表示各分組數(shù)據(jù)、縱軸表示各組數(shù)據(jù)的頻數(shù)，繪制條形統(tǒng)計(jì)圖.這樣的條形統(tǒng)計(jì)圖，直觀地呈現(xiàn)了頻數(shù)的分布特征和變化規(guī)律，稱為頻數(shù)分布直方圖.2．畫頻數(shù)分布直方圖的步驟(1)計(jì)算最大值與最小值的差；(2)決定組距與組數(shù)；(3)列頻數(shù)分布表；(4)畫頻數(shù)分布直方圖．3.頻數(shù)分布直方圖與條形圖的聯(lián)系與區(qū)別（1）聯(lián)系：它們都是用矩形來(lái)表示數(shù)據(jù)分布情況的；當(dāng)矩形的寬度相等時(shí)，都是用矩形的高來(lái)表示數(shù)據(jù)分布情況的；頻數(shù)分布直方圖是特殊的條形統(tǒng)計(jì)圖.（2）區(qū)別：①由于分組數(shù)據(jù)具有連續(xù)性，頻數(shù)分布直方圖中各“條形”之間通常是連續(xù)排列，中間沒有間隙，而條形圖中各“條形”是分開排列的，中間有一定的間隙；②條形統(tǒng)計(jì)圖用橫向指標(biāo)表示考察對(duì)象的類別，用縱向指標(biāo)表示不同對(duì)象的數(shù)量.頻數(shù)分布直方圖橫向指標(biāo)表示考察對(duì)象數(shù)據(jù)的變化范圍，用縱向指標(biāo)表示相應(yīng)范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的頻數(shù).要點(diǎn)詮釋：（1）頻數(shù)分布直方圖簡(jiǎn)稱直方圖，它是條形統(tǒng)計(jì)圖的一種．（2）注意直方圖與條形圖、扇形圖、折線圖在表示數(shù)據(jù)方面的優(yōu)缺點(diǎn).【典型例題】類型一、組距、組數(shù)、頻數(shù)、頻率1.(1)對(duì)某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，90～99分的人數(shù)有10名，這一分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)為_________．(2)有60個(gè)數(shù)據(jù)，其中最小值為140，最大值為186，若取組距為5，則應(yīng)該分的組數(shù)是________．【答案】(1)10；(2)10.【解析】解：(1)利用頻數(shù)的定義進(jìn)行解答；(2)利用組數(shù)的計(jì)算方法求解．【總結(jié)升華】組數(shù)的確定方法：設(shè)數(shù)據(jù)總數(shù)目為n，一般地，當(dāng)n≤50時(shí)，則分為5～8組；當(dāng)50≤n<100．則分為8～12組較為合適，組數(shù)等于的整數(shù)部分+1.舉一反三：【變式】一組數(shù)據(jù)19，22，25，30，28，27，26，21，20，22，24，23，25，29，27，28，27，30，19，20，為了畫頻率分布直方圖，先計(jì)算出最大值與最小值的差是，如果取組距為2，應(yīng)分為組．【答案】11；6.解：∵最小的數(shù)是19，最大的數(shù)是30，∴最大值與最小值的差是30﹣19=11，∵11÷2=5.5，∴應(yīng)分成6組．故答案為：11；6．2.我校八年級(jí)學(xué)生在生物實(shí)驗(yàn)中抽出50粒種籽進(jìn)行研究，數(shù)據(jù)落在37～40之間的頻率是0.2，則這50個(gè)數(shù)據(jù)在37～40之間的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．10D．5【思路點(diǎn)撥】根據(jù)頻率、頻數(shù)的關(guān)系：頻率=頻數(shù)÷數(shù)據(jù)總和，可得頻數(shù)=頻率×數(shù)據(jù)總和．【答案】C.【解析】解：∵在生物實(shí)驗(yàn)中抽出50粒種籽進(jìn)行研究，數(shù)據(jù)落在37～40之間的頻率是0.2，∴這50個(gè)數(shù)據(jù)在37～40之間的個(gè)數(shù)=50×0.2=10．故選C．【總結(jié)升華】本題考查頻率、頻數(shù)、總數(shù)的關(guān)系：頻率=頻數(shù)÷數(shù)據(jù)總和．舉一反三：【變式】有一個(gè)樣本容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)如下：29，42，58，37，53，52，49，24，37，45，4