醫(yī)科高等數(shù)學(xué) 第一節(jié) 不定積分

一、原函數(shù)與不定積分的概念二、不定積分的性質(zhì)三、基本積分公式四、換元積分法五、分部積分法第一節(jié)

不定積分1

問題的提出我們知道反之不難知道因此，本章的內(nèi)容為微分運(yùn)算的逆運(yùn)算2一、原函數(shù)與不定積分的概念

定義3-1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若在區(qū)間上存在可導(dǎo)函數(shù)，使或則稱為在區(qū)間上的一個原函數(shù)．例1．基本概念3問題：(1)原函數(shù)是否唯一？（為任意常數(shù)）(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？分析結(jié)論:（1）若，則對于任意常數(shù)，（2）若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）4任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量

定義3-2：設(shè)函數(shù)為在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則原函數(shù)的全體，稱為在區(qū)間上的不定積分．記為．5例3-1求解：例3-2求解：62．幾何意義是積分曲線上、下平移所得到一簇積分曲線，稱為積分曲線簇．

在點(diǎn)處有相同的斜率，即這些切線互相平行．7二、不定積分的性質(zhì)(1)或(2)或(3)(4)8三、基本積分公式(是常數(shù));(4)(5)910例3-3

求解：例3-4

求解：11例3-5

求解：12例3-6

求解：13例3-8求解：例3-7

求解：14例3-9求解：15但是解決方法：利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.

問題的提出：四、換元積分法因為1．第一類換元法16證明：注意：使用此公式的關(guān)鍵在于第一類換元法又稱為湊微分法．定理3-1則有換元公式17例3-10

求解：18例3-11

求解：例3-12

求解：19解：例3-13

求20例3-14

求解：21解：例3-14

求例3-15

求解：22例3-16

求解：例3-17

求解：23解：同理可得例3-18

求24解法一：解法二：解法三：例3-19

求25第一類換元法是通過變量替換

將積分

下面介紹的第二類換元法是通過變量替換將積分2．第二類換元法定理3-2

設(shè)單調(diào)、可導(dǎo)，且，若具有原函數(shù)，則有26第二類積分換元法證明：

注意：使用此公式的關(guān)鍵在于通過變量替換將換成一個容易求得的積分來計算．27解：設(shè)例3-20

求28解：令例3-21

求29解：令例3-22

求30

以上三例表明,若被積函數(shù)中含有時,均可采用三角替換的方法化去根式,這種方法稱為三角代換.三角代換常有下列規(guī)律可令可令可令31解：令例3-23

求32注

倒數(shù)代換

也是常用的代換之一

解：令例3-24

求33

對被積函數(shù)中含有無理根式的積分，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q去掉根式后再積分，也稱根式代換.例3-25

求解：令34考慮積分解決思路利用分部積分法

五、分部積分法定理3-3

證明：由導(dǎo)數(shù)公式即兩邊求不定積分分部積分公式所以35解：令如果令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.例3-26

求36

選擇注意以下兩點(diǎn)

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)（或三角函數(shù)）的乘積,設(shè)冪函數(shù)為.例3-27

求解：37解：例3-28

求例3-29

求解：38解：令例3-29

求

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)（或反三角函數(shù)）的乘積，設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.39解：例3-30

求

若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積時,二者皆可作為,但作為的函數(shù)的類型不變.40

1．原函數(shù)的概不定積分的概念不定積分的性質(zhì)積分公式小結(jié)2．兩類換元法湊微分法三角代換、根式代換3．分部積分法

（1）若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)（或三角函數(shù)）的乘積,設(shè)冪函數(shù)為.(2)若被積函數(shù)