福建省漳州市后時中學高三數(shù)學理摸底試卷含解析

福建省漳州市后時中學高三數(shù)學理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.曲線在點（1,1）處切線的斜率等于（）

A．

B．

C．2

D．1參考答案：【知識點】導數(shù)的幾何意義.B11

【答案解析】C

解析：因為，所以，則，故選C.【思路點撥】先對原函數(shù)求導，再利用導數(shù)的幾何意義求出斜率即可.2.若一個三棱柱的底面是正三角形，其正（主）視圖如圖所示，則它的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：3.設(shè)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，那么的值為（

）A．1

B．

C．D．參考答案：D4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出，則判斷框中應填入的條件是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為I，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，結(jié)合幾何體的體積公式，求解幾何體的體積即可.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是在一個底面邊長為，高為4的四棱錐中挖掉個半徑為的球，故該幾何體的體積為，故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)幾何體的體積的問題，涉及到的知識點有利用三視圖還原幾何體，求有關(guān)幾何體的體積，屬于中檔題目.

6.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則的值為（

）A．－6

B．－8

C．－10

D．－12參考答案：C7.現(xiàn)有5人參加抽獎活動，每人依次從裝有5張獎票(其中3張為中獎票）的箱子中不放回地隨機抽取一張，直到3張中獎栗都被抽出時活動結(jié)束，則活動恰好在第4人抽完后結(jié)束的概率為A. B.

C.

D.參考答案：C8.下列選項中與點位于直線的同一側(cè)的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D9.在數(shù)列中，（為非零常數(shù)），前n項和為，則實數(shù)為：A．0

B．1

C．

D．2

參考答案：C略10.已知k∈Z，關(guān)于x的不等式k（x+1）＞在（0，+∞）上恒成立，則k的最小值為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】3R：函數(shù)恒成立問題．【分析】問題轉(zhuǎn)化為k＞?e﹣x對x＞0恒成立，令f（x）=e﹣x?，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，求出k的最小值即可．【解答】解：k（x+1）＞在（0，+∞）上恒成立，即k＞?e﹣x對x＞0恒成立，令f（x）=e﹣x?，（x＞0），f′（x）=，∴f′（x）＞0?x2+x﹣1＜0?0＜x＜，f′（x）＜0?x＞，則f（x）max=f（）=，而0＜＜，又k∈Z，故k的最小值是1，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè),且滿足,則的最大值為________參考答案：

12.由曲線與在區(qū)間上所圍成的圖形面積為

．參考答案：略13.對于任意的平面向量，定義新運算：．若為平面向量，，則下列運算性質(zhì)一定成立的所有序號是

．（寫出所有正確命題的編號）①；

②；③；

④．參考答案：①③14.已知等差數(shù)列{an}滿足：，且它的前n項和Sn有最大值，則當Sn取到最小正值時，n=．參考答案：19【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】根據(jù)題意判斷出d＜0、a10＞0＞a11、a10+a11＜0，利用前n項和公式和性質(zhì)判斷出S20＜0、S19＞0，再利用數(shù)列的單調(diào)性判斷出當Sn取的最小正值時n的值．【解答】解：由題意知，Sn有最大值，所以d＜0，由，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，則S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19為最小正值．故答案為：19．【點評】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項和公式以及Sn最值問題，要求Sn取得最小正值時n的值，關(guān)鍵是要找出什么時候an+1小于0且an大于0．15.如圖，在平面斜坐標系中，。斜坐標定義：如果，（其中分別是軸，軸的單位向量），則叫做P的斜坐標。（1）已知P的斜坐標為，則

。（2）在此坐標系內(nèi)，已知，動點P滿足，則P的軌跡方程是

。參考答案：

本題是新信息題，讀懂信息，斜坐標系是一個兩坐標軸夾角為的坐標系。這是區(qū)別于以前學習過的坐標系的地方。（1），（2）設(shè)，由得，整理得：。本題給出一個新情景，考查學生運用新情景的能力，只要明白了本題的本質(zhì)是向量一個變形應用，問題即可解決。16.設(shè)a，b∈R，c∈[0，2π），若對任意實數(shù)x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），定義在區(qū)間[0，3π]上的函數(shù)y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點橫坐標為d，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組（a，b，c，d）的組數(shù)為．參考答案：28【考點】排列、組合的實際應用．【分析】首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等變換sin2x=cosx求出所有根的個數(shù)，最后利用排列組合的思想求得滿足條件的有序?qū)崝?shù)組．【解答】解：∵對任意實數(shù)x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴|a|=2，若a=2，則方程等價于sin（3x﹣）=sin（bx+c），則函數(shù)的周期相同，若b=3，此時c=；若b=﹣3，此時c=；若a=﹣2，則方程等價于sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，此時c=；若b=3，此時c=．綜上，滿足條件的數(shù)組（a，b，c，）為（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，）共4組．而當sin2x=cosx時，2sinxcosx=cosx，得cosx=0或sinx=，∴x=+kπ或x=+2kπ，k∈Z又∵x∈[0，3π]，∴x=．∴滿足條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）共有4×7=28．故答案為28．17.現(xiàn)有5雙不同號碼的鞋，從中任意取出4只，則恰好只能配出一雙的概率為

．參考答案：考點：古典概型及其概率計算公式．專題：概率與統(tǒng)計．分析：由題意可得總的基本事件數(shù)為=210，恰有兩只成雙的取法是???=120，由概率公式可得．解答： 解：總的基本事件數(shù)為=210，恰有兩只成雙的取法是???=120∴從中任意取出4只，則恰好只能配出一雙的概率P==故答案為：點評：本題考查古典概型及其概率公式，涉及排列組合的知識，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面為菱形，且，.

（I）求證：；（II）若，求二面角的余弦值。參考答案：(Ⅰ)證明：取的中點，連接．∵，四邊形為菱形，且，∴和為兩個全等的等邊三角形，則∴平面，又平面，∴；(Ⅱ).試題分析：（1）首先作出輔助線即取的中點，連接，然后由已知條件易得和為兩個全等的等邊三角形，于是有，進而由線面垂直的判定定理可知所證結(jié)論成立；(Ⅱ)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，并求出每個點的空間坐標，然后分別求出平面、平面的法向量，再運用公式即可求出二面角的平面角的余弦值，最后判斷其大小為鈍角還是銳角即可.試題解析：(Ⅰ)證明：取的中點，連接．∵，四邊形為菱形，且，∴和為兩個全等的等邊三角形，則∴平面，又平面，∴；(Ⅱ)解：在中，由已知得，，，則，∴，即，又，∴平面；以點E為坐標原點，分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則E(0,0,0)，C(－2,,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)，則＝(1,0,)，＝(－1,,0)，由題意可設(shè)平面的一個法向量為；設(shè)平面的一個法向量為，由已知得：令y＝1，則，z＝－1，∴；則，所以，由題意知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.考點：1、直線平面垂直的判定定理；2、空間向量法求空間二面角的大?。?9.某流感病研究中心對溫差與甲型H1N1病毒感染數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系進行研究，他們每天將實驗室放入數(shù)量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分別記錄了4月1日至4月5日每天晝夜溫差與實驗室里100只白鼠的感染數(shù)，得到如下資料：日

期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日溫

差101311127感染數(shù)2332242917（1）求這5天的平均感染數(shù)；（2）從4月1日至4月5日中任取2天，記感染數(shù)分別為x，y用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）視為同一事件，并求|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（1）由已知利用平均數(shù)公式能求出這5天的平均感染數(shù)．（2）利用列舉法求出基本事件總數(shù)n=10，設(shè)滿足|x﹣y|≥9的事件為A，設(shè)滿足|x﹣y|≤3的事件為B，利用列舉法能求出|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．【解答】解：（1）由題意這5天的平均感染數(shù)為：．（2）（x，y）的取值情況有：（23，32），（23，24），（23，29），（23，17），（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17），基本事件總數(shù)n=10，設(shè)滿足|x﹣y|≥9的事件為A，則事件A包含的基本事件為：（23，32），（32，17），（29，17），共有m=3個，∴P（A）=，設(shè)滿足|x﹣y|≤3的事件為B，由事件B包含的基本事件為（23，24），（32，29），共有m′=2個，∴P（B）=，∴|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率P=P（A）+P（B）=．【點評】本題考查平均數(shù)和概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．20.(本小題滿分12分)為了了解湖南各景點在大眾中的熟知度，隨機對15～65歲的人群抽樣了人，回答問題“湖南省有哪幾個著名的旅游景點？”統(tǒng)計結(jié)果如下圖表．組號分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第1組[15，25)a0.5第2組[25，35)18x第3組[35，45)b0.9第4組[45，55)90.36第5組[55，65]3y

(Ⅰ)分別求出a，b，x，y的值；(Ⅱ)從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2，3，4組每組各抽取多少人？(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中隨機抽取2人，求所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率參考答案：（Ⅰ）由頻率表中第4組數(shù)據(jù)可知，第4組總?cè)藬?shù)為，再結(jié)合頻率分布直方圖可知n=,∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，

…4分

（Ⅱ）因為第2，3，4組回答正確的人數(shù)共有54人，所以利用分層抽樣在54人中抽取6人，每組分別抽取的人數(shù)為：第2組：人；第3組：人；第4組：人

…8分（Ⅲ）設(shè)第2組2人為：A1，A2；第3組3人為：B1，B2，B3；第4組1人為：C1.則從6人中隨機抽取2人的所有可能的結(jié)果為：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C1)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C1)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,C1)，(B2,B3)，(B2,C1)，(B3,C1)共15個基本事件，其中恰好沒有第3組人共3個基本事件，

…….…10分

∴所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率是：.

…….…12分21.已知實數(shù)x，y，z滿足．證明：．參考答案：見詳解.【分析】設(shè)a＝x2+2y2，b＝y(tǒng)2+3z2，c＝z2，由題意可得4a+b+9c＝12，再根據(jù)柯西不等式即可證明．【詳解】設(shè)a＝x2+2y2，b＝y(tǒng)2+3z2，c＝z2，∴4（a﹣2b+6c）+9（b﹣3c）+12c＝12，即4a+b+9c＝12，∴故原不等式成立．【點睛】本題考查了不等式的證明，柯西不等式的應用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，推理論證能力，屬于中檔題22.（本小題14分）已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，函數(shù)