2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合A={x[-3<x<3},B={-3,0,1,2},則4nB=()

A.[0,1}B.[0,1,2)C.{—3,0,1,2}D.[-2,-1,0,1,2)

2.已知命題p：3x<3,|x-2|<1,則->「為（）

A.3x<3,|x-2|>1B.3x>3,\x-2\<1

C.Vx<3,|x-2|>1D.Vx>3,|x-2|>1

3.已知｛時(shí)｝為等比數(shù)列，公比q>0,—12,-a5=81,貝!]的=()

A.81B.27C.32D.16

4.下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間［0,1］上的平均變化率最大的為（)

1

A.y=xB.y=exC.y=sinxD.

5.已知aVb,貝!J()

A.a2<b2B.e~a<e~b

C.ln(|a|+1)<In(網(wǎng)+1)D.a\a\<b\b\

6.已知函數(shù)/（%）=x2-sinx,則/嗎）的值為（）

A.0B.71c.貯D.―貯

44

7.從A,B,C,。4本不同的文學(xué)讀物中選出3本分給甲、乙、丙3名學(xué)生（每人一本）.如果甲

不得4讀物，則不同的分法種數(shù)為（）

A.24B.18C.6D.4

8.已知等差數(shù)列｛a九｝的前幾項(xiàng)和為%,公差為d,則有最大值”是“d<0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.學(xué)校要從8名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì).已知恰有3名候選人來(lái)自甲班，假設(shè)每名候

選人都有相同的機(jī)會(huì)被選中，則甲班恰有2名同學(xué)被選中的概率為（）

A.jBcD

4l-l-右

32

10.已知函數(shù)/（%）=%+3x+bx+c.若函數(shù)g（%）=有三個(gè)極值點(diǎn)血，1,n,且m<

1<n,則nm的取值范圍是（）

1

A.(-oo,l)B.(—8，NC.(-oo,-1)D.(-00,-2)

二、填空題（本大題共5小題，共20.0分）

11.在（1+3x）4的展開(kāi)式中，/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

12.不等式是<1的解集是.

13.已知函數(shù)/'（%）=e'+a/一1在（0,+8）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是.

14.隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，越來(lái)越多的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)開(kāi)始使用推薦系統(tǒng)來(lái)給用戶提供更加個(gè)性

化的服務(wù).某公司在研發(fā)平臺(tái)軟件的推薦系統(tǒng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為工。>2）萬(wàn)條時(shí)，推

薦系統(tǒng)的準(zhǔn)確率約為P=3，平臺(tái)軟件收入為40000p元.已知每收集1萬(wàn)條數(shù)據(jù)，公司需要花

費(fèi)成本100元，當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為萬(wàn)條時(shí)，該軟件能獲得最高收益.

15.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛a",其前幾項(xiàng)和是分,%=a,且%=anan+1（n=1,2,…）.給

出下列四個(gè)結(jié)論：

①a2=1；

②｛即｝為遞增數(shù)列；

③若VneN*,an+1>an,貝b的取值范圍是（0,1）;

@3meW*,使得當(dāng)k>/n時(shí)，總有守-<l+eT°.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題（本大題共4小題，共40.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

16.（本小題9.0分）

已知等差數(shù)列｛a"前n項(xiàng)和為無(wú),滿足ct4=8,S3=12.

（I）求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

（口）若等比數(shù)列｛小｝前幾項(xiàng)和為及，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作

為已知，設(shè)CnUCln+b”，求數(shù)列｛%｝的前71項(xiàng)和“公

條件①：b]b2b3=8；

條件②：72=52；

條件③：76=973.

17.（本小題10.0分）

某企業(yè)產(chǎn)品利潤(rùn)依據(jù)產(chǎn)品等級(jí)來(lái)確定：其中一等品、二等品、三等品的每一件產(chǎn)品的利潤(rùn)分

別為100元、50元、50元.為了解產(chǎn)品各等級(jí)的比例，檢測(cè)員從流水線上隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)

品進(jìn)行等級(jí)檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果如表：

產(chǎn)品等級(jí)一等品二等品三等品

樣本數(shù)量(件)503020

(I)若從流水線上隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，估計(jì)2件產(chǎn)品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；

(H)若從流水線上隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記X為這3件產(chǎn)品中一等品的件數(shù)，丫為這3件產(chǎn)品的利

潤(rùn)總額.

①求X的分布列；

②直接寫(xiě)出丫的數(shù)學(xué)期望EK

18.(本小題11.0分)

已知函數(shù)/'(%)=1+alnx.

(I)當(dāng)。=2時(shí)，求曲線y=/Q)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

(口)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)/'(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(HI)若對(duì)任意的xe[1,+8),都有求實(shí)數(shù)a的最大值.

19.(本小題10.0分)

給定整數(shù)n>2,對(duì)于數(shù)列A：a1，a2,…，定義數(shù)列B如下:仇=min(a1,a2)>b2=min(a2,a3},

bn_1=min{an_1,an},bn=min{an,a^,其中min{Xi，X2,一?，久上}表示尤i，龍2，“r刀上這k個(gè)

數(shù)中最小的數(shù).記％=+a2+-■■+an>Tn=+b2+-Fbn.

(I)若數(shù)列4為①1，0,0,1；②1,2,3,4,5,6,7,分別寫(xiě)出相應(yīng)的數(shù)列B；

(H)求證：若%=Sn，則有的=a?=…=&i；

(也)若%=0,常數(shù)的使得。<Cn-m譏a，Ci2,…,a"恒成立，求C”的最大值.

答案和解析

L【答案】B

【解析】解：集合4={x|-3<x<3},B={-3,0,1,2）,

則4CB={0,1,2}.

故選：B.

根據(jù)集合交集的定義求解即可.

本題考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：命題p：3%<3,|x-2|<1,

則-ip：Vx<3,|x-2|>1.

故選：C.

根據(jù)特稱(chēng)命題的否定定義求解.

本題考查特稱(chēng)命題的否定，考查學(xué)生邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：；{冊(cè)}為等比數(shù)列，公比q>0,a2+a3=12,-a5=81=a^,

；?{斯}的各項(xiàng)都是正實(shí)數(shù)，,a3=9或<23=-9（舍去），

2

???=3,「=言=3,a5=a3-q=27.

故選：B.

由題意，利用等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，求出和q2的值，從而求出口5的值.

本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：4：y=%在［0,1］上的平均變化率為"?Y（°）=1；

B-.y=口在［0,1］上的平均變化率為=e—1；

C：y=s譏%在［0,1］上的平均變化率為“?，（°）=sinl；

1—（J

D：y=擊在［0,1］上的平均變化率為普鏟=-1.

故選：B.

根據(jù)函數(shù)的平均變化率的定義分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

本題主要考查了函數(shù)平均變化率的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4當(dāng)a=—2,b=0時(shí)，a<b,但@2>62,4錯(cuò)誤；

對(duì)于8,當(dāng)。=-2,b=0時(shí)，a<b,但°一。=">1=^一/B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,當(dāng)a=-2,b=0時(shí)，a<bf當(dāng)ln(|a|+1)=ln3>ln(|&|+1)=Zn2,C錯(cuò)誤；

對(duì)于O,函數(shù)f(%)=x\x\=儼~0,易得/(%)在R上為增函數(shù)，

若avb,則有/(a)</(b),即Q|Q|V一網(wǎng),。正確.

故選：D.

根據(jù)題意，舉出反例，說(shuō)明/、B、。錯(cuò)誤，分析函數(shù)/(%)=%|劉的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定

義分析可得。正確，綜合可得答案.

本題考查不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(%)=x2?sinx,則/'(%)=2xsinx+x2cosx,

則((方=兀s譏5+G)2cos］=7T.

故選：B.

根據(jù)題意，先求出「(久)，將％=5代入，計(jì)算可得答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，注意函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：由題意，甲不得4讀物，則甲從B,C,。中選一本，有3種不同的選法,

甲選完，乙、丙2名同學(xué)從剩余的3本文學(xué)讀物中選擇，有屑=6種不同的選法，

則不同的分法種數(shù)共有3x6=18種.

故選：B.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理以及排列數(shù)的定義計(jì)算即可.

本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查排列數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：???等差數(shù)列前幾項(xiàng)和%=g?/+(的一9?71,

當(dāng)d<0時(shí)，由目對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開(kāi)口向下可知，Sn有最大值，

若等差數(shù)列是各項(xiàng)為0的常數(shù)列，則%最大值也為0,此時(shí)d=0,

所以“Sn有最大值”是“d<0”的必要不充分條件.

故選：B.

根據(jù)等差數(shù)列前幾項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)及d=0的等差數(shù)列，判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、

必要性定義即可知答案.

本題考查等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和性質(zhì)，充要條件的判定，屬基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：由題意可得，所有的選法共有讖，該班恰有2名同學(xué)被選到的種數(shù)為窗金，

故甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率P=等=3

故選：C.

根據(jù)已知條件，分別求出樣本空間的種數(shù)和該班恰有2名同學(xué)被選到的種數(shù)，結(jié)合古典概型的概率

計(jì)算公式，即可求解.

本題主要考查古典概型的問(wèn)題，需要學(xué)生熟練掌握古典概型的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】D

【解析】解：已知函數(shù)/(%)=/+3%2+bx+C,函數(shù)定義域?yàn)镽,

可得/''(%)=3x2+6x+b,

此時(shí)g(x)=e~xf(x),函數(shù)定義域?yàn)镽,

可得g'Q)=—e~xf(x)+e-xf'(x)=e~x[—x3+(6—b)x+b—c],

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)有三個(gè)極值點(diǎn)1,n,

所以g'(l)=0,

解得c=5,

此時(shí)g'Q)=e~x[—x3+(6—b)x+6-5]=e~x(x—1)(—%2—x+b—7),

因?yàn)閙,九是函數(shù)g(%)的極值點(diǎn)，

所以％=TH,%=幾是g'(%)=0的兩個(gè)根，

因?yàn)閊一771,e~n,m—1,九—1均不為零且mV1V九，

所以他，九為方程一%+b-7=0的兩個(gè)根，

可得mn=7—b,

不妨設(shè)九。)=-%2-%+h-7,函數(shù)定義域?yàn)镽,

滿足h(77i)=h(n)=0,m<1<n,

又函數(shù)似%)是開(kāi)口向下的二次函數(shù)，

當(dāng)％=1時(shí)，h(l)>0,

解得7—b<—2,

則nm<—2.

故選：D.

由題意，得到函數(shù)g。)的解析式，對(duì)函數(shù)9。)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)g'(l)=0對(duì)式子進(jìn)行整理，根據(jù)加

九是函數(shù)g(%)的極值點(diǎn)，得到％=TH,%=幾是g'(%)=0的兩個(gè)根，又e-叱e~n,m-1,九一1均

不為零且mV1V九，此時(shí)機(jī)，九為方程—/一％+b—7=0的兩個(gè)根，易得mn=7—b,構(gòu)造函

數(shù)以為=-/_%+b_7,利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出等式求解即可.

本題考查錄用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.

11.【答案】54

【解析】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)為〃+1=或(3%)4-1

令丁=2得到展開(kāi)式中小的系數(shù)是量X32=54.

故答案為：54.

在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令第的幕指數(shù)等于2,求出丁的值，即可求得展開(kāi)式中小的系數(shù).

本題是基礎(chǔ)題，考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題.考查計(jì)算能力.

12.【答案】(―8,—l)U(0,+8)

【解析】解：:=<1，.?.=一1=^^=言<0,

1+x1+x1+x1+x

???%(%+1)>0,??.x>0或％<—1,

則不等式￡<1的解集是(-8,-1)u(0,+8).

故答案為：(―°°,—1)U(0,+oo).

將分式不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式即可.

本題考查分式不等式，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】{a|a2—*}

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=e"+a/一1在(o,+8)上是增函數(shù)，

所以/'(乃=ex+2ax>0在(0,+8)上恒成立，

故2a>一?在(0,+8)上恒成立，

令g(x)=_?，x>0，

則再)=-甘，

當(dāng)％>1時(shí)，/(%)V0,g(%)單調(diào)遞減，當(dāng)0<%<1時(shí)，g'(%)>0,g(x)單調(diào)遞增,

故g(%)W9(1)=一e，即g(x)ma%=g(l)=-e，

故2a>-e,

所以a>~~\e'

故答案為：{a|a2e}.

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】19

【解析】解：設(shè)收益為“元,

40000%.40000

根據(jù)題意可得W=40000p-100%=-100%=40100一[-+100(X+1)]<40100-

x+l%+1

2x100(%+1)=36100-

當(dāng)且僅當(dāng)*?=100(%+1),即％=19時(shí)，力取得最大值36100元,

故答案為：19.

設(shè)收益為W元，根據(jù)題意得到卬=40100-［甯+100（x+l）］,再根據(jù)基本不等式求解即可.

本題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的函數(shù)模型，屬于中檔題.

15.【答案】①③

【解析】解：對(duì)于①，由題意S1==。1，所以。2=1，①正確；

對(duì)于②，若則的>。2,顯然數(shù)列也九｝不是遞增數(shù)列，②錯(cuò)誤；

由S九=&1a九+i可得當(dāng)九之2,^n-i=。九-1。九，一*式相減得。九=。九（。九+1-1），

由于數(shù)列｛即｝各項(xiàng)不為零，所以有冊(cè)+i-an_r=1,

所以｛的九-1｝，｛的竟是以1為公差的的等差數(shù)列，

a2n-l=。+幾—1，=幾，當(dāng)&i+l>an9即。2九>a2n-l9且。2九+1>a2nf

即九>a+n—1,a+n>n,解得0<a<l,③正確；

令a=則的=a+1=|,。4=2,|^=^>1+e-10,④錯(cuò)誤.

故答案為：①③.

根據(jù)條件求出數(shù)列數(shù)列｛a九｝中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，而后對(duì)各結(jié)論進(jìn)行分析即可.

本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)，屬中檔題.

16.【答案】解：（I）由題意，設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

。4=+3d=8

（53=3的+竽d=12）

化簡(jiǎn)整理，得H片二％

解得

3=2

???a九=2+2?（九一1）=2九,nEN*.

（口）方案一：選擇條件①②

由題意，設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q（q40）,

2

皿儼162b3=d?b^q-brq=8

、u2=br+b2=hi+brq=6，

整理，得｛比：=6，

僅i=4

解得^=21，

3n

bn=4.(扔-i=2-,nGN*,

%=q+c2+■-■+cn

=+瓦)+(。2+。2)+,"+(an+bn)

=(at+a24----Fan)+血+b2H----l-bn)

=Sn+Tn

,4.[l-(1)n]

n(n—1)

2?71++,1

-2-

1

=nz7+n+8——工.

方案二：選擇條件①③

由題意，設(shè)等比數(shù)列｛,｝的公比為q（q豐0）,

當(dāng)q=1時(shí)，T6=6瓦,

73=3瓦，即9T3=27瓦，

此時(shí)北*9T3,

故q=l不符合題意，即公比q41,

當(dāng)時(shí)，〃=a[l_q6),

01-q

_ai(l-q3)

/3—]_q，

9T3,

???T6=

.ai(lY)_Q.。1(1一冷

一1—q1—q'

化簡(jiǎn)整理，得q6—9q3+8=0,

解得q3=1(舍去)，或q3=8,

即q=2,

vb[b2b3=8,即(瓦q)3=8,

???brq=2,角星得%=1,

c

???Mn=q+。2+…+n

=(%+瓦)+(a2+力2)+…+(a/i+bn)

=(的+a24----Fa九)+(瓦+b24-----卜“)

=Sn+Tn

r,n(n-l)?,l-2n

=2.n+^.2+__

=n2+n—1+2n.

方案三：選擇條件②③

由題意，設(shè)等比數(shù)列出"的公比為q(q力0),

當(dāng)q=1時(shí)，T6=6瓦，

T3=3br,即9T3=27瓦，

此時(shí)76豐9T3,

故q=1不符合題意，即公比q豐1,

當(dāng)時(shí)，？6=當(dāng)二吧，

'01—q

_Qi(l—q3)

13-1_q'

??,T6=9T3,

...Ql(l-q6)=g.一泊

,?1—q1—q'

化簡(jiǎn)整理，得q6-9q3+8=0,

解得q3=1(舍去)，或q3=8,

即q=2,

72=瓦+尻=瓦+瓦q=S2=6,

解得九=2,

???“n=+c2■1----^~cn

=(%+瓦)+(a2+b2)+…+(。九+bn)

=(a1+a2H-----Fan)+(瓦+b2-\----Fb九)

=Sn+Tn

=2.n+-2+—

Z1—z

=n2+n—2+2n+1.

【解析】(I)先等差數(shù)列｛即｝的公差為d,再根據(jù)題干已知條件列出關(guān)于首項(xiàng)的與公差d的方程組，

解出的與d的值，即可計(jì)算出等差數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(H)在選擇條件①②的情況下，先設(shè)等比數(shù)列｛與｝的公比為q(q40),再根據(jù)題干已知條件列出

關(guān)于首項(xiàng)瓦與公比q的方程組，解出瓦與q的值，再運(yùn)用分組求和法，以及等差數(shù)列與等比數(shù)列的

求和公式即可計(jì)算出數(shù)列｛7｝的前幾項(xiàng)和M”；在選擇條件①③的情況下，先設(shè)等比數(shù)列｛g｝的公

比為q(q豐0),先分析判斷出公比q*1,再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式及北=9&列出關(guān)于公比q的

方程，解出q的值，進(jìn)一步化簡(jiǎn)條件①b/2b3=8并計(jì)算出首項(xiàng)名的值，再運(yùn)用分組求和法，以及

等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算出數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和在選擇條件②③的情況下，

先設(shè)等比數(shù)列｛與｝的公比為q(q豐0),先分析判斷出公比q豐1,再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式及北=

9痣列出關(guān)于公比q的方程，解出q的值，進(jìn)一步化簡(jiǎn)條件②&=52并計(jì)算出首項(xiàng)九的值，再運(yùn)用

分組求和法，以及等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算出數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和“公

本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算，以及數(shù)列求和問(wèn)題.考查了方程思想，分類(lèi)討論

思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分組求和法，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力

和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

17.【答案】解：(I)記40=1,2)表示“第t件產(chǎn)品是一等品”，

記B?=1,2)表示“第i件產(chǎn)品是二等品”，

記C表示“2件產(chǎn)品中恰有1件一等品、1件二等品”，

此時(shí)C=A1B2+A2B1,

易知p(4)=g,P?)=),

1alaa

則P(C)=P(A^P(B2)+P(42)P(B1)f+卜)=S；

(n)①若從流水線上隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，

則X的所有取值為0,1,2,3,

11111131113

-1^

X-8在--XXX---XXX-

此時(shí)P(X=0)=x2-2-?2-2-2-8-2)2-2-2-8-

P(X=3)1g1*1

所以X的分布列：

X0123

1331

P

8888

②￡Y=225.

【解析】(I)由題意，記4。=1,2)表示“第i件產(chǎn)品是一等品"，記=1,2)表示“第i件產(chǎn)品

是二等品”，記C表示“2件產(chǎn)品中恰有1件一等品、1件二等品”，結(jié)合所給信息代入公式求解即

可.

(II)①得到X的所有取值，求出相對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可列出分布列;

②結(jié)合①中信息代入公式進(jìn)行求解即可.

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查了數(shù)據(jù)分析和運(yùn)算能力.

18.【答案】解：(1)已知/(%)=；+出的函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

當(dāng)Q=2時(shí)，/(%)="+2Znx,

可得/■'(%)=_妥+”等，

所以r(1)=1,

又"1)=1，

所以曲線y=/(x)在(1)(1))處的切線方程為y-l=lx(x-l),

即y=x；

1

(n)當(dāng)a=2時(shí)，/(%)=；+2仇》,

要求函數(shù)/(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

即求方程1+2xlnx=0的根，

不妨設(shè)9。)=1+2%/nx,函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

可得。'(％)=21nx+2,

當(dāng)0(尤時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)久=加，函數(shù)g(x)取得極小值也是最小值，最小值片)=1-1>0,

此時(shí)g(%)>0,

所以與工軸無(wú)交點(diǎn)，

即方程1+2xlnx=0無(wú)實(shí)數(shù)根，

故函數(shù)/(%)沒(méi)有零點(diǎn)；

(皿)若對(duì)任意的％G[L+8),都有/(%)4%,

不妨設(shè)h(%)=/(x)一%=g+alnx-x,函數(shù)定義域?yàn)閇1,+8),

可得h'(x)=_1+?-1=弋尸,

當(dāng)Q>2時(shí)，

易知方程y=-x2+ax-1中4=a2—4>0,

所以該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)為右,不，

因?yàn)椋?+%2=a>0,%i%2=1>0,

不妨設(shè)0</<1<%2，

當(dāng)1V%V%2時(shí)，h'(x)>0,h(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)%>%2時(shí)，九'(%)<0,九(%)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)％=也時(shí)，函數(shù)九(%)取得極大值，極大值/(冷)>g(D=。，不符合題意；

當(dāng)a<2時(shí)，

易知方程y=-x2+ax—1中/=a2—4<0,

即方程y=-x2+ax-1與％軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，

又函數(shù)y=-x2+