現(xiàn)代心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)2

心理統(tǒng)計(jì)學(xué)

第一章概述

描述統(tǒng)計(jì)

定義:研究如何把心理與教育科學(xué)實(shí)驗(yàn)或調(diào)查得來的大量數(shù)據(jù)科學(xué)的科學(xué)的加以整理概

括和表述

作用：使雜亂無章的數(shù)字更好的顯示出事物的某些特征，有助于說明問題的實(shí)質(zhì)。

具體內(nèi)容：1數(shù)據(jù)分組：采用圖與表的形式。

2計(jì)算數(shù)據(jù)的特征值：集中量數(shù)（平均數(shù)中數(shù)）離散量數(shù)（方差）

3計(jì)算量事物間的相關(guān)關(guān)系：積差相關(guān)（2列3列多列）

推斷統(tǒng)計(jì)

定義：主要研究如何利用局部數(shù)據(jù)（樣本數(shù)據(jù)）所提供的信息，依據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)提供的理

論和方法，推論總體情形。

作用：用樣本推論總體。

具體內(nèi)容：1如何對(duì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。

2如何對(duì)總體參數(shù)特征值進(jìn)行估計(jì)。

3各種非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法。

心理與教育統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)概念

數(shù)據(jù)類型

一從數(shù)據(jù)來源來劃分

1計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)：計(jì)算個(gè)數(shù)或次數(shù)而獲得的數(shù)據(jù)。（都是離散數(shù)據(jù)）

2測(cè)量數(shù)據(jù)：借助一定測(cè)量工具或測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)而獲得的數(shù)據(jù)。（連續(xù)數(shù)據(jù)）

二根據(jù)數(shù)據(jù)所反映的測(cè)量水平

1稱名數(shù)據(jù)（分類）

定義：指用數(shù)字代表事物或數(shù)字對(duì)事物進(jìn)行分類的數(shù)據(jù)。

特點(diǎn)：數(shù)字只是事物的符號(hào)，而沒有任何數(shù)量意義。

統(tǒng)計(jì)方法：百分?jǐn)?shù)次數(shù)眾數(shù)列聯(lián)相關(guān)卡方檢驗(yàn)等。（非參檢驗(yàn)）

2順序數(shù)據(jù)（分類排序）

定義：指代事物類別，能夠表明不同食物的大小等級(jí)或事物具有的某種特征的程度的數(shù)

據(jù)。（年級(jí)）

特點(diǎn)：沒有相等單位沒有絕對(duì)零點(diǎn)。不表示事物特征的真正數(shù)量。

統(tǒng)計(jì)方法：中位數(shù)百分位數(shù)等級(jí)相關(guān)肯德爾和諧系數(shù)以及常規(guī)的非參數(shù)檢驗(yàn)方法。

3等距數(shù)據(jù)（分類排序加減（相等單位））（真正應(yīng)用最廣泛的數(shù)據(jù)）

定義：不僅能夠指代物體的類別等級(jí)，而且具有相等的單位的數(shù)據(jù)。（成績溫度）

特點(diǎn)：真正的數(shù)量，能進(jìn)行加減運(yùn)算，沒有絕對(duì)零點(diǎn)，不能進(jìn)行乘除計(jì)算。

統(tǒng)計(jì)方法：平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差積差相關(guān)Z檢驗(yàn)t檢驗(yàn)F檢驗(yàn)等。

4比率數(shù)據(jù)（分類排序加減法乘除法（絕對(duì)零點(diǎn)））

定義：表明量的大小，也具有相等單位，同時(shí)具有絕對(duì)零點(diǎn)。（身高反應(yīng)時(shí)）

特點(diǎn)：真正的數(shù)字，有絕對(duì)零點(diǎn)，可以進(jìn)行加減乘除運(yùn)算。

在統(tǒng)計(jì)中處理的數(shù)據(jù)大多是順序數(shù)據(jù)和等距數(shù)據(jù)。

三按照數(shù)據(jù)是否具有連續(xù)性

離散數(shù)據(jù)連續(xù)數(shù)據(jù)

1

變量觀測(cè)值隨機(jī)變量

變量：指心理與教育實(shí)驗(yàn)觀察調(diào)查種想要獲得的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)獲得前用“X”表示，即為一

個(gè)可以取不同熟知的物體的屬性或事件，其數(shù)值具有不確定性，因而稱為變量。

觀測(cè)值：是研究中確定的某一變量的取值。

隨機(jī)變量：表示隨機(jī)現(xiàn)象各種結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量

三總體樣本個(gè)體

總體：具有某種共同特質(zhì)的一類事物。（欲研究的研究范圍）

樣本：構(gòu)成總體的每個(gè)基本單元。

個(gè)體：從總體重抽取的部分個(gè)體組成的群體。樣本容量超過30為大樣本反之為小樣本。

四次數(shù)比率頻率與概率

次數(shù)：某一事件在某一類別中的數(shù)目。

比率：（比例百分?jǐn)?shù)）兩個(gè)數(shù)相比。

頻率：（相對(duì)次數(shù)）某一事件發(fā)生的次數(shù)被總的事件數(shù)目出。常用比例百分?jǐn)?shù)表示。

概率：用符號(hào)P表示，指某一事件在無限觀測(cè)中所能預(yù)料的相對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)。

五統(tǒng)計(jì)量和參數(shù)

1參數(shù)：（總體參數(shù)）描述一個(gè)總體情況的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)用希臘字母表示。（小寫）（大寫

表示運(yùn)算符）

總體平均數(shù)

總體標(biāo)準(zhǔn)差

總體相關(guān)系數(shù)

總體回歸系數(shù)

2統(tǒng)計(jì)量：（特征值樣本統(tǒng)計(jì)量）描述一組數(shù)據(jù)的情況。

樣本統(tǒng)計(jì)量用英文表示

樣本平均數(shù)

樣本標(biāo)準(zhǔn)差

樣本相關(guān)系數(shù)

樣本回歸系數(shù)

小結(jié)

描述統(tǒng)計(jì)

心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)容推論統(tǒng)計(jì)

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)類型稱名數(shù)據(jù)順序數(shù)據(jù)等距數(shù)據(jù)比率數(shù)據(jù)

離散數(shù)據(jù)計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)

變量觀測(cè)值隨機(jī)變量

心理與教育統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)概念總體樣本個(gè)體

次數(shù)頻數(shù)概率

參數(shù)統(tǒng)計(jì)量

2

練習(xí)題

1等距量表的特點(diǎn)是（）

A無絕對(duì)零點(diǎn)，無相同單位。

B無絕對(duì)零點(diǎn)，有相同單位。

C有絕對(duì)零點(diǎn)，無相同單位。

D有絕對(duì)零點(diǎn)，有相同單位。

2下列量表中具有絕對(duì)零點(diǎn)的是（）

A稱名量表

B順序量表

C等距量表

D比率量表

3教師的職稱和薪水這兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)類型分別屬于（）

A命名數(shù)據(jù)等比數(shù)據(jù)

B等距數(shù)據(jù)等比數(shù)據(jù)

C順序數(shù)據(jù)等距數(shù)據(jù)

D順序數(shù)據(jù)等比數(shù)據(jù)

4下列數(shù)據(jù)類型屬于比率數(shù)據(jù)的是（）

A智商分?jǐn)?shù)

B反應(yīng)時(shí)

C年紀(jì)

D數(shù)學(xué)成績

練習(xí)題思路解析

1B見第一頁

2D見第一頁

3D職稱：講師副教授教授這三個(gè)職稱能排序，但不能做加減法。（順序數(shù)據(jù)）

薪水：xyz能排序能做加減法，也具有絕對(duì)零點(diǎn)（沒工資）能做乘除法。

（比率數(shù)據(jù)）

4B智商分?jǐn)?shù)：加減法可做不能做乘除（智商測(cè)量表測(cè)量出來人為規(guī)定零）（等距數(shù)據(jù)）

反應(yīng)時(shí)：有絕對(duì)零點(diǎn)（比率數(shù)據(jù)）

年級(jí)：只能大小排序（順序數(shù)據(jù)）

數(shù)學(xué)成績：人為規(guī)定零點(diǎn)（等距數(shù)據(jù)）

3

第一章統(tǒng)計(jì)圖表（重要但不怎么考）（圖表的特點(diǎn)）

第一節(jié)數(shù)據(jù)的初步整理（將數(shù)據(jù)制成統(tǒng)計(jì)圖表的第一步）

一數(shù)據(jù)排序

排序就是按照某種標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)收集到的雜亂無章的數(shù)據(jù)按照一定的順序標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行

排列。數(shù)據(jù)排序是正理數(shù)據(jù)最簡單的方法。

二統(tǒng)計(jì)分組

統(tǒng)計(jì)分組只根據(jù)被研究對(duì)象的特征，將所得到的數(shù)據(jù)劃分到各個(gè)分組中去。

數(shù)據(jù)的取舍原則：三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差原則

三統(tǒng)計(jì)表

統(tǒng)計(jì)表：用來表達(dá)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)與被說明的事物間關(guān)系的表格。

特點(diǎn)：簡潔清晰準(zhǔn)確表中數(shù)據(jù)易于比較分析。

三線表

員工對(duì)上筑盡職情況，的評(píng)定人數(shù)VT―1

9*:標(biāo)目J

X1.非常不盡職

2.不盡職30

、>3.不置可否10

.標(biāo)日J(rèn)

4盡職25［故字］

5.非常盡職6

總計(jì)80_____

?中數(shù)樹源IXX

四統(tǒng)計(jì)圖

統(tǒng)計(jì)圖：用來表達(dá)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)與被說明事物之間數(shù)量關(guān)系的圖形，是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)資料的可

視化顯示方式。

4

第二節(jié)次數(shù)分布表（最重要的一類統(tǒng)計(jì)表）（皮爾遜次數(shù)分布表次數(shù)分布圖）

一簡單次數(shù)分布表（既可用于計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的整理，又可用于測(cè)量數(shù)據(jù)的整理）

簡單次數(shù)分布表:依據(jù)每一個(gè)分?jǐn)?shù)值在一列數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)或總計(jì)數(shù)資料編制成的統(tǒng)

計(jì)表。

特點(diǎn)：對(duì)數(shù)據(jù)資料的來源沒有過多要求，編制過程簡單，應(yīng)用廣泛。

二分組次數(shù)分布表

當(dāng)數(shù)據(jù)的取值過多時(shí)，不適合每個(gè)值記錄一個(gè)頻次。

把所有數(shù)據(jù)先劃分為若干個(gè)分組區(qū)間,然后將數(shù)據(jù)按其數(shù)值大小劃歸相應(yīng)組內(nèi)，分別計(jì)

算各個(gè)組別中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，再用列表的形式呈現(xiàn)出來，就構(gòu)成了分組次數(shù)分布表。

制作過程：

1求全距（離散量度）

全距=最大值-最小值（離散

2決定組數(shù)

組數(shù)K=L87（N-1）”（N為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，K取近似整數(shù)）（經(jīng)驗(yàn)公式）

3決定組距（任意一組的起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的距離）

組距是一個(gè)組的上限與下限之差組距=全距/組數(shù)

4列出分組區(qū)間（組限）（一個(gè)組起點(diǎn)值與終點(diǎn)值之間的距離）

組上限：一個(gè)組的終止點(diǎn)

組下限：一個(gè)組的起始點(diǎn)

表示方法：

表述組限：10T920-2930-39

精確組限：9.5-19.49919.5-29.49929.5-39.499

分組次數(shù)分布表的意義與缺點(diǎn)

意義：顯示數(shù)據(jù)的分布狀況，集中狀況。

假設(shè)：各區(qū)間的數(shù)據(jù)均勻分布，并用各組的組中值代表各原始數(shù)據(jù)。

缺點(diǎn)：由于假設(shè)所造成的誤差為歸組效應(yīng)。

三相對(duì)次數(shù)分布表

1含義：相對(duì)次數(shù)是指各組次數(shù)f對(duì)數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)N的比值，用符號(hào)f/N表示。

所有相對(duì)次數(shù)之和Ef/N等于1.

2制作：將分組次數(shù)分布表的各組次數(shù)轉(zhuǎn)化為相對(duì)次數(shù)，用f/N或f/Nx100%作標(biāo)

志來表示次數(shù)就制成了相對(duì)次數(shù)分布表。

四累加次數(shù)分布表

1實(shí)際累加次數(shù)

把各組次數(shù)f由下而上或由上而下依次累加的和，用符號(hào)cf表示。

2相對(duì)累加次數(shù)

把各組的相對(duì)次數(shù)p由上而下或由下而上依次累加的和，累加之和為1.

五雙列次數(shù)分布表（相關(guān)次數(shù)分布表）

1含義：對(duì)有聯(lián)系的兩列變量用一個(gè)表來表示次數(shù)分布。（體重與血壓；智力與成

績）

2制作：先按照分組次數(shù)表的編制方法，分別列出各變量的分組區(qū)間，登記時(shí)，每

次同一對(duì)變量同時(shí)登記在相應(yīng)的格內(nèi)。

5

第三節(jié)次數(shù)分布圖

一直方圖（又稱等距直方圖，用于等距變量）

用一系列寬度相等、高度不一的矩形表示數(shù)據(jù)分布的統(tǒng)計(jì)圖。以矩形的面積表示連續(xù)性

隨機(jī)變量次數(shù)分布的圖形。

一般用縱軸表示數(shù)據(jù)的頻數(shù)，用數(shù)軸表示數(shù)據(jù)的等距分組點(diǎn)，也就是各組分組區(qū)間的

上限和下限，有時(shí)也使用組中值。

二次數(shù)多邊圖（變化趨勢(shì)）

一種線形圖，凡是等距分組的可以用直方圖表示的數(shù)據(jù)，都可以用次數(shù)多邊圖表示。

繪制時(shí)，橫坐標(biāo)是用各分組區(qū)間組中值表示的連續(xù)變量，縱坐標(biāo)是數(shù)據(jù)的次數(shù)。以每個(gè)

分組區(qū)間的組中值為橫坐標(biāo)，一個(gè)組的次數(shù)為縱坐標(biāo)標(biāo)點(diǎn)，連接各點(diǎn)，就成為一條折線。

三累加次數(shù)分布圖

在累加次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上繪制的，有直方圖式和曲線式兩種，最為常用的是累加曲線

圖。

累加次數(shù)分布曲線

橫軸：原始分?jǐn)?shù)百分位數(shù)

縱軸：等級(jí)排名百分等級(jí)

正偏態(tài)分布：小端的數(shù)據(jù)特別多，大端的數(shù)據(jù)不是很多，比較分散，表現(xiàn)在曲線就是上肢

長于下肢。（分?jǐn)?shù)分布在低端）

負(fù)偏態(tài)分布：大端的數(shù)據(jù)比較多，小端的數(shù)據(jù)不是很多，但比較分散，表現(xiàn)在曲線就是下

肢長于上肢。（分?jǐn)?shù)分布在高端）

正態(tài)分布：中端的數(shù)據(jù)最多，兩端的數(shù)據(jù)少，平均兩側(cè)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)差不多，表現(xiàn)在曲線

是上肢和下肢長度相當(dāng)。（中數(shù)眾數(shù)平均數(shù)三合一、曲線上拐點(diǎn)50%）

6

第四節(jié)其他類型的統(tǒng)計(jì)圖表

一條形圖

表示的是離散型數(shù)據(jù)資料，宜用窗度相同的條形長短或高低來表示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的大小或變

動(dòng)情況的統(tǒng)計(jì)圖。

一個(gè)是分類軸（橫軸），表示類別,描述的是計(jì)數(shù)的數(shù)據(jù)。（離散數(shù)據(jù)（類別））

一個(gè)是數(shù)量軸（縱軸），表示大小多少,描述的是計(jì)量數(shù)據(jù)。（連續(xù)數(shù)據(jù)（測(cè)量數(shù)據(jù)））

W2-2aVftVl1成FtO人&HI2-3bIIKV)

條形圖與直方圖的本質(zhì)區(qū)別（選擇簡答多選）

條形圖與直方圖的本質(zhì)區(qū)別條形圖直觀圖

數(shù)據(jù)類型離散數(shù)據(jù)（分類）連續(xù)數(shù)據(jù)（分組區(qū)間）

數(shù)據(jù)表示方式直條的長度面積

坐標(biāo)軸（橫軸）分類軸刻度值

直觀狀態(tài)有間隔沒有間隔

二圓形圖（餅圖）

以整個(gè)圓的面積帶鞭被研究對(duì)相的總體，按照組成部分占總體的比重大小，把圓面積分

成若干扇形，用來表示某一現(xiàn)象的部分對(duì)總體的比例關(guān)系。

適用于離散性的數(shù)據(jù)。

三線形圖

1用來表示連續(xù)性資料,是以起伏的線條來說明事物因時(shí)間、條件推移而變遷的趨勢(shì)。

（考點(diǎn)）

2表示的是兩邊兩之間的函數(shù)關(guān)系或描述某種現(xiàn)象的發(fā)展趨勢(shì)，或一種現(xiàn)象隨著另一種

現(xiàn)象變化發(fā)展的情形。

3通常用橫軸表示自變量，用縱軸表示因變量。

7

四散點(diǎn)圖

1用相同大小的圓點(diǎn)的多少或疏密表示統(tǒng)計(jì)資料數(shù)量的大小以及變化趨勢(shì)等。

2還可以表示相關(guān)程度。（正相關(guān)、負(fù)相關(guān)、無相關(guān)、可能相關(guān)）

iltil3tilK

20人的“騎及^^的盧陽

練習(xí)題

1某考生最高分為81分，在下列次數(shù)分布表中，能直接判斷有多少考生得分比他低的

是（）

A簡單次數(shù)分布表

B分組次數(shù)分布表

C累加次數(shù)分布表

D相對(duì)次數(shù)分布表

2運(yùn)用相對(duì)累加次數(shù)分布曲線，可以快速計(jì)算出原始分?jǐn)?shù)相對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量是（）

A百分等級(jí)

BZ分?jǐn)?shù)

CT分?jǐn)?shù)

D頻次

3適用于描述某種心里屬性在時(shí)間上的變化趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)分析圖（）

A莖葉圖

B箱形圖

C散點(diǎn)圖

D線形圖

4用于描述兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)圖（）

A直方圖

B線形圖

C條形圖

D散點(diǎn)圖答案及解析

1C見第5頁

2A

3D見第7頁

4D

8

徜'V次數(shù)分&

分外I次數(shù)分作表

411xf次數(shù)分/|J&

統(tǒng)“衣火力”次數(shù)分布j正

不6成，次數(shù)分作衣

雙夕U次數(shù)分/IJ&

統(tǒng)it圖友廣工力圖

次數(shù)《必形圖

嶇則1I。力圖

家加“III紋

統(tǒng)”圖條形圖

IMI形圖

約inw

攸點(diǎn)圖

前兩章沒什么特別重要的知識(shí)但不要放松必拿分?jǐn)?shù)。

9

第三章集中量數(shù)（2-3選擇）

數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)就是指數(shù)據(jù)分布中大連數(shù)據(jù)朝向某個(gè)方向集中的程度，用于描述數(shù)據(jù)

集中程度的統(tǒng)計(jì)量。

第一節(jié)算書平均數(shù)

一概念及計(jì)算公式

1概念

算術(shù)平均數(shù)，是所有觀測(cè)值（或變量）的總和除以總數(shù)所得得商。

符號(hào)：X或M

2計(jì)算公式

公式一（平均數(shù)的定義公式）

N

公式二（平均數(shù)的估算公式）

X=AM+AM估算值

N

例題

現(xiàn)有一組實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)，25272827252930343233.計(jì)算他們的平均數(shù)。

解法一：

根據(jù)題意已知N=10,根據(jù)公式：

<A25+27++33290

A-29

HIOIO

解法二：

先設(shè)定一個(gè)估計(jì)平均數(shù)AM=27,求X=Xi-A的值。

Xi252728272529303432

X-2010-22375

V\25+27-1+33290?

A-29

〃1（）10

l\/

先估計(jì)平均值為27（預(yù)估計(jì)）（大的數(shù)據(jù)用估計(jì)法好算有利于簡化

計(jì)算過程）

10

二平均數(shù)的特點(diǎn)

1一組變量值的和等于變量的個(gè)數(shù)與平均數(shù)的乘積，

￡x=NX

2一組變量值的離均差之和等于零，（說明了平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的重心最能表達(dá)一

組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)）

X）=0

3在一組變量中，每個(gè)變量值加上或減去、乘以或除以常數(shù)c,所得的平均數(shù)等于

原平均數(shù)加上或減去、乘以或除以常數(shù)c。

三平均數(shù)的意義

1平均數(shù)是應(yīng)用最普遍的一種集中量數(shù)。

2是真值漸進(jìn)、最佳的估計(jì)值。（概率分布中心極限定理）（真值=□總體平均數(shù)）

3當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增加時(shí)，算術(shù)平均數(shù)趨近于真值。

（樣本平均數(shù)量趨近于總體平均數(shù)）

（觀測(cè)次數(shù)較少時(shí)樣本統(tǒng)計(jì)量是總體參數(shù)的無偏估計(jì)）

四平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)（選擇題的重要內(nèi)容）

1優(yōu)點(diǎn)：反應(yīng)靈敏:計(jì)算嚴(yán)密；計(jì)算簡單；內(nèi)容容易理解；適合進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算、

較少受抽樣變動(dòng)的影響。

2缺點(diǎn)：容易受極端數(shù)據(jù)的影響；如果出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)，無法使用。

第二節(jié)中數(shù)與眾數(shù)

―中數(shù)

中數(shù)又稱中位數(shù)，間稱中數(shù)用血表示，是按一定順序排列的一組數(shù)中央位置的數(shù)值。

中數(shù)是一種位置量數(shù)。

中數(shù)的計(jì)算（主要考中數(shù)的計(jì)算方式）

1中數(shù)附近無重復(fù)數(shù)時(shí)

若數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)（N）奇數(shù)時(shí),中數(shù)則為（N+D/2位置的那個(gè)數(shù)。

若數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)（N）偶數(shù)時(shí),中數(shù)則為居于中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)

[XN/2+XN/2+l]/2

2中數(shù)附近有重復(fù)數(shù)時(shí)（難點(diǎn)沒考過考很正常）采用畫圖法（王老師開創(chuàng)）

例：求111111111313131717

分析：N=9中間位置為5,第5個(gè)數(shù)為13。但數(shù)據(jù)中有3個(gè)13,意味著3個(gè)13占

了一個(gè)單位。（統(tǒng)計(jì)學(xué)上把13看為一個(gè)區(qū)間，三個(gè)13共享這個(gè)區(qū)間，把區(qū)

間劃分為三段，

12.5+1/6第一小段的組中值

11

二眾數(shù)

1含義：

眾數(shù)(mode)是指一群數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù),不只有一個(gè)，用表

zj\O

2計(jì)算方法：

(1)直接觀察法

未分組數(shù)據(jù)一-次數(shù)最多的數(shù)值

次數(shù)分布表一-次數(shù)最多一組的組中值

(2)公式計(jì)算法

皮爾遜經(jīng)驗(yàn)公式：(牢記)

X。=3Md—2X

三平均數(shù)中數(shù)眾數(shù)三者間的關(guān)系(出小了計(jì)算形式為主的選擇題出大了簡答題)

1正態(tài)分布Md=Mo=X

左偏分布=負(fù)偏態(tài)右偏分布=正偏態(tài)(比較三數(shù)大小直接畫圖即可直觀看出)

第三節(jié)其他集中數(shù)(往往沒怎么考過)(統(tǒng)計(jì)中基本不考)

一加權(quán)平均數(shù)

是觀測(cè)數(shù)據(jù)(4)與相應(yīng)的權(quán)數(shù)(W)乘積的和除以總權(quán)數(shù)(％+%+/+....+%)

所得的商。用符號(hào)血卻表示。

權(quán)數(shù)是指各變量在構(gòu)成總體重的相對(duì)重要性，權(quán)數(shù)的大小，由觀測(cè)者依據(jù)一定的理論

或經(jīng)驗(yàn)而定。

-W,X,+W,X,+..…+WX,,

n

wx+w2+..+wn

每個(gè)數(shù)對(duì)總體的貢獻(xiàn)不一樣權(quán)重不一樣

二幾何平均數(shù)

三調(diào)和平均數(shù)：先將各個(gè)數(shù)據(jù)取倒數(shù)平均，然后再取倒數(shù)，表述符號(hào)為主要用于

描述速度方面的集中趨勢(shì)。

12

練習(xí)題

1現(xiàn)有一列數(shù)據(jù)，4453552。這列數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和全距依次是（）

A442

B453

C544

D551

2有一組數(shù)據(jù)36273248要描述這組蘇劇的特征，受極端數(shù)據(jù)之影響的統(tǒng)計(jì)

量是（）

A平均數(shù)

B中數(shù)

C四分位數(shù)

D眾數(shù)

3數(shù)據(jù)259118910131024的中位數(shù)是（）

4一組數(shù)據(jù)的分布曲線稱雙峰狀態(tài)，據(jù)此可以推測(cè)改組數(shù)據(jù)中可能有兩個(gè)（）

A中數(shù)

B眾數(shù)

C平均數(shù)

D幾何平均數(shù)

5要比較幾個(gè)不同性質(zhì)的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)，比較恰當(dāng)?shù)氖潜容^（）

A原始分?jǐn)?shù)

B眾數(shù)

C百分等級(jí)

D平均數(shù)

6測(cè)驗(yàn)總分呈負(fù)偏態(tài)分布說明測(cè)驗(yàn)難度（）

A偏難

B偏易

C適中

7甲乙兩圖表示數(shù)據(jù)分布形態(tài)分別是（）

8描述甲乙靚圖特征的集中量數(shù)中，數(shù)據(jù)最大的分別是（）

答案及解析

1B選擇題用省時(shí)間的方式哪個(gè)好算先算那個(gè)

2A見第

39.5

4B

5C百分等級(jí)是原始分?jǐn)?shù)在所在團(tuán)體中的位置位置量數(shù)

6B

7正偏態(tài)負(fù)偏態(tài)

13

框架小結(jié)

算術(shù)平均數(shù)（定義公式特點(diǎn)）

集中量數(shù)中數(shù)（特點(diǎn)計(jì)算方法）

眾數(shù)（計(jì)算特點(diǎn)）

三者之間的關(guān)系（正態(tài)偏態(tài)）

眾數(shù)最具代表性的最具優(yōu)勢(shì)的

中數(shù)當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí)用中數(shù)比較合適

平均數(shù)

第四章差異量數(shù)

表示一組數(shù)據(jù)的差異情況或離散程度的量數(shù):反應(yīng)數(shù)據(jù)的分布的離中趨勢(shì);描述事物差

異性的表現(xiàn)。差異量越小，平均數(shù)的代表性越好。差異量越大，平均數(shù)的代表性越差。

第一節(jié)全距與百分位差（容易受極端數(shù)據(jù)影響不怎么用）

一全距（沒用）

定義：一列數(shù)據(jù)中最大數(shù)與最小數(shù)之差

特點(diǎn)：不可靠不靈敏

二百分位差

（一）百分位數(shù)（原始分?jǐn)?shù)）一百分等級(jí)

量尺上的一個(gè)點(diǎn)，在此點(diǎn)以下包括數(shù)據(jù)分布中全部數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的一定百分比，符

號(hào)為巴。

65=90百分位數(shù)為90（90為原始分?jǐn)?shù)）

在90分以下的包含了整個(gè)數(shù)據(jù)的75%

（二）百分位差

三四分位差

1四分位數(shù)可視為百分位數(shù)的特例，用。來表示。

2025尸50尸75把數(shù)據(jù)分成四等份，所以稱為四分位數(shù)。

打5（第一個(gè)四分位，01）

品）（第二個(gè)四分位，。2）

片5（第三個(gè)四分位，。3）

14

3四分位差是百分位差的特例：

(45—W)/2=(Q—9)/2

實(shí)質(zhì)：反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度。

四分位差越小中間50%數(shù)據(jù)越集中

四分位差越大中間50%數(shù)據(jù)越離散

四百分等級(jí)(弓表示)

1含義：指某個(gè)數(shù)據(jù)在整個(gè)數(shù)據(jù)中所處的百分位置。

2作用：可以表示任何一個(gè)分?jǐn)?shù)在該團(tuán)體中的相對(duì)位置。

品-百分等級(jí)一百分位數(shù)

4-百分位數(shù)一百分等級(jí)

第二節(jié)平均差/方差與標(biāo)準(zhǔn)差(有單位不能比較不同事物的離散程度)

一平均差

1含義：原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)絕對(duì)離差的平均值。

2符號(hào)：A.D.

nn

A.D.平均差

x離均差

3特點(diǎn)：

較好反映了數(shù)據(jù)分布的離散程度;

平均差是絕對(duì)值，使用受到了限制;(絕對(duì)值不容易進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算)

屬于低效的差異量數(shù)。

二方差與標(biāo)準(zhǔn)差

1含義：

(1)方差：離均差平方的算數(shù)平均數(shù)，表示一列數(shù)據(jù)平均差距的平方。

符號(hào)：樣本方差一一52

總體方差一一CT?

,>(X-X)2

S2=4--------L(定義公式)

N

15

（2）標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算數(shù)平方根，表示一列數(shù)據(jù)的平均差距。

符號(hào)：樣本標(biāo)準(zhǔn)差一一s

總體標(biāo)準(zhǔn)差一一b

Z-x

s=1----------—

\N

計(jì)算過程1先計(jì)算平均數(shù)

2求離均差的平方和

3代入方差和標(biāo)準(zhǔn)差的公式

完整表述一列數(shù)據(jù)：X{M,S）

2方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)和意義

（1）性質(zhì)

每一個(gè)觀測(cè)值加一個(gè)常數(shù)C標(biāo)準(zhǔn)差不變。

每一個(gè)觀測(cè)值乘一個(gè)常數(shù)C,新數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差為原標(biāo)準(zhǔn)差乘此常數(shù)。

（2）意義

表述數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)。

第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用

一變異系數(shù)（?！福ㄏ鄬?duì)離散程度沒有單位可以比較不同類型數(shù)據(jù)的離散程度）

一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比。

V

CK=—xlOO%

X

適應(yīng)范圍：

（1）不同質(zhì)的數(shù)據(jù)

（2）同質(zhì)但是差距大

二標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（沒有單位有正負(fù)）（線性變換變換完了保持相對(duì)位置）

）概念和公式

標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù):又稱Z分?jǐn)?shù)，是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的一種量數(shù)。表示的是一個(gè)原始分

數(shù)在團(tuán)體中所處的相對(duì)位置。

計(jì)算公式：

Z=------

s

X原始數(shù)據(jù)

X原始數(shù)據(jù)的平均數(shù)

16

s原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差

乜------4

X】--------z

2V_V

用2=---------將X轉(zhuǎn)換為Z

s

X“------乙

（二）性質(zhì)：

1Z分?jǐn)?shù)是一個(gè)相對(duì)量,以平均數(shù)為參照點(diǎn),以標(biāo)準(zhǔn)差為單位。

2一組原始數(shù)據(jù)的Z分?jǐn)?shù)分布：平均數(shù)為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1。

3Z分?jǐn)?shù)的均值為0。

X—X力-葉

因?yàn)閆所以

S

小

因?yàn)?=_V---------2所以gz2=N

N乙

所以”=1即一組原始數(shù)據(jù)的z分?jǐn)?shù)分布：平均數(shù)為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1

（三）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

1觀測(cè)值在數(shù)據(jù)分布中相對(duì)位置的高低

2當(dāng)已知各不同質(zhì)的觀測(cè)值的次數(shù)分布為正態(tài)時(shí)，可用Z分?jǐn)?shù)求不同的觀測(cè)值的總

和或平均值，以表明在總體中的位置。（可加性）

3表示標(biāo)準(zhǔn)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，線性轉(zhuǎn)換

Z=aZ+b

4異常值的取舍標(biāo)準(zhǔn)：團(tuán)〉3三個(gè)z就占了99.73。

17

全部敢樹計(jì)不代咬方法評(píng)價(jià)

全卻百荷使、方便差不能

白分伯/自循便不能

酒用F

描述統(tǒng)計(jì)

四分他宣

否徜使不?

牛均芳n商使不能

方星.

優(yōu)、2犯

nX%尸監(jiān)餞H算R

懵論統(tǒng)計(jì)J

前四種低效的用的不多方差標(biāo)準(zhǔn)差表示離散程度最好的差異量數(shù)。

百分等級(jí)無相等單位是順序數(shù)據(jù)Z分?jǐn)?shù)有相等單位（標(biāo)準(zhǔn)差）等距數(shù)據(jù)

框架小結(jié)

全距

百分位差

四分位差

差異城數(shù)平均差

方差與標(biāo)準(zhǔn)差

差異系數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

68.26%95.44%99.73%

Z分?jǐn)?shù)只適合符合正態(tài)分布的的數(shù)據(jù)

網(wǎng)上資料

所有正態(tài)分布都可以通過z分?jǐn)?shù)公式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

將成正態(tài)分布的數(shù)據(jù)中的原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為Z分?jǐn)?shù)，我們就可以通過查閱Z

分?jǐn)?shù)在正態(tài)曲線下面積的表格來得知平均數(shù)與z分?jǐn)?shù)之間的面積，進(jìn)而得

知原始分?jǐn)?shù)在數(shù)據(jù)集合中的百分等級(jí)。

18

第五章相關(guān)量數(shù)

描述統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)（理解記憶）

兩列或兩列以上的的數(shù)據(jù)

第一節(jié)相關(guān)系數(shù)與散點(diǎn)圖

一相關(guān)

（一）實(shí)物可能存在的關(guān)系

1因果關(guān)系：A是引起B(yǎng)的原因，B是導(dǎo)致A的結(jié)果。

2共變關(guān)系：表面看似有關(guān)系的兩個(gè)事物，實(shí)際上是因?yàn)閮烧叨寂c第三個(gè)事物

有關(guān)的緣故。

3相關(guān)關(guān)系：A與B在發(fā)展變化方向與大小方面（關(guān)系密切程度）存在一定關(guān)

系。

（二）相關(guān)類別

1方向上

正相關(guān)負(fù)相關(guān)零相關(guān)

2形狀上

直線相關(guān)曲線相關(guān)

3相關(guān)程度上

完全相關(guān)強(qiáng)相關(guān)弱相關(guān)零相關(guān)

二相關(guān)系數(shù)

概念：相關(guān)系數(shù)是變量之間相關(guān)程度的指標(biāo)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)一般需要大樣本。

符號(hào)：樣本相關(guān)系數(shù)：r

總體相關(guān)系數(shù)：p

取值：-1—+1

性質(zhì)：順序數(shù)據(jù)（沒有單位）

第二節(jié)積差相關(guān)

一概念級(jí)適用范圍

是計(jì)算兩個(gè)變量線性相關(guān)的一種方法

適用范圍：

數(shù)據(jù)成對(duì)。

兩變量總體正態(tài)分布或接近正態(tài)分布。

兩變量是連續(xù)變量。

兩變量為線性關(guān)系。

二計(jì)算公式（定義公式）

_^（x-x）（y-y）

NS*Sy

N為成對(duì)數(shù)據(jù)的數(shù)目

或r=—YZvZv

NJ丫

19

協(xié)方差：兩個(gè)變量離均差乘積的平均數(shù)，協(xié)方差的絕對(duì)值越大砂之間的相關(guān)關(guān)系

越強(qiáng)這些點(diǎn)越接近一條直線。

E町

N

￡町立心工）「丫）

第三節(jié)等級(jí)相關(guān)

一等級(jí)相關(guān)的意義

等級(jí)相關(guān)是根據(jù)等級(jí)資料（順序數(shù)據(jù)）來研究變量之間相互關(guān)系的方法。

數(shù)據(jù)來源：一是等級(jí)評(píng)定的資料，二是等距或比率資料轉(zhuǎn)化而成的等級(jí)評(píng)定資料。

優(yōu)點(diǎn)：適用范圍比積差相關(guān)更廣

缺點(diǎn)：沒積差相關(guān)精確。

二斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)

斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)：是根據(jù)兩列變量的成對(duì)等級(jí)差數(shù)計(jì)算計(jì)算相關(guān)系數(shù),又叫等級(jí)差

數(shù)法。

條件：成對(duì)；線性相關(guān)；無正態(tài)假設(shè)；無大樣本設(shè)定。

結(jié)論：比皮爾遜積差相關(guān)應(yīng)用范圍廣。

計(jì)算公式

一無相同等級(jí)時(shí)：

（1）利用等級(jí)差計(jì)算

6\￡）2

2一而刁

N為等級(jí)個(gè)數(shù)

D指二列成對(duì)變量的等級(jí)差數(shù)

（2）利用等級(jí)直接計(jì)算

二有相同等級(jí)的計(jì)算公式（不考）

三肯德爾和諧系數(shù)（測(cè)量意義：多列等級(jí)數(shù)據(jù)評(píng)價(jià)一致性）

1肯德爾沙系數(shù)又稱和諧系數(shù)，是表示多列等級(jí)變量下個(gè)關(guān)程度的一種方法。

2適用范圍：

（1）采用等級(jí)評(píng)定的方法收集等級(jí)數(shù)據(jù)，讓k個(gè)評(píng)委（被試）評(píng)定N個(gè)

事物，或一個(gè)評(píng)委（被試）先后k次評(píng)定N件事物。

（2）每個(gè)評(píng)價(jià)者對(duì)N件事物排出一個(gè)等級(jí)順序，最小的等級(jí)順序?yàn)?,

最大為N,若并列等級(jí)時(shí)，則評(píng)分共同應(yīng)該占據(jù)的等級(jí)。

20

3計(jì)算公式:

s

W=----------------

［片儼―N)

、2SR2(?)

s=Z&一=/A,----------------

NJ乙'N

&代表評(píng)價(jià)對(duì)象獲得的K個(gè)等級(jí)之和

N代表被等級(jí)評(píng)定的對(duì)象的數(shù)目

K代表等級(jí)評(píng)定者的數(shù)目

有相同等級(jí)時(shí)分母減

3

、T"一"

乙乙12

〃為相同等級(jí)數(shù)（有幾個(gè)相同的就加幾次）

肯德爾U系數(shù)與W系數(shù)處理問題相同但評(píng)價(jià)者采用對(duì)偶比較法

第四節(jié)質(zhì)與量相關(guān)

—點(diǎn)二列相關(guān)（應(yīng)用較二列相關(guān)廣）

（一）定義：研究一列等距數(shù)據(jù)或比率數(shù)據(jù)與一列“二分”名稱變量之間相關(guān)的統(tǒng)計(jì)方

法稱做點(diǎn)二列相關(guān)，符號(hào)：rpb

（二）適用范圍：

（1）一列數(shù)據(jù)等比或等距,總體服從正態(tài)分布;

（2）另一列變量按事物的性質(zhì)劃分為兩類的變量（真正二分變量）

（3）多用于測(cè)驗(yàn)中評(píng)價(jià)題目的區(qū)分度

（三）計(jì)算公式

Xp是與二分稱名變量的一個(gè)值對(duì)應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù)；

Xg是與二分稱名變量的另一個(gè)值對(duì)應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù)；

P與q是二分稱名變量的兩個(gè)值各自所占的比率，夕+q=l；

s,是連續(xù)變量的標(biāo)準(zhǔn)差；

21

取值在-1?+1之間相關(guān)越高，絕對(duì)值越接近1。

二二列相關(guān)（不考）

（一）定義：二列相關(guān)系數(shù)是研究一列正態(tài)的比率或等距變量和一列人為“二分”名稱

變量之間的相互關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法，符號(hào)：rb

（二）適用范圍：兩個(gè)變量都是等距或等比數(shù)據(jù)，服從正態(tài)分布，其中一列被人為地劃

分為兩列。

在測(cè)驗(yàn)中用于測(cè)驗(yàn)效度和試題區(qū)分度的分析。

（三）計(jì)算公式：

Xp-Xqpq

rb=----------,一

Stv

邑與x,分別是連續(xù)變量的標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)；

xP為與二分變量中某一分類對(duì)偶的連續(xù)變量的平均數(shù)；

Xg為與二分變量中另一分類對(duì)偶的連續(xù)變量的平均數(shù)；

P為某一分類在所有二分變量中所占比的比率；

y為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線中夕值對(duì)應(yīng)的高度，查正態(tài)分布表能得到；

二列相關(guān)系數(shù)的取值正T.001.00之間。絕對(duì)值越接近1.00,其相關(guān)程度越高。

第五節(jié)品質(zhì)相關(guān)

四分相關(guān)（不考）兩個(gè)都是人為二分的

。相關(guān)兩列數(shù)據(jù)都是真正二分

%+町＜7+c）（b+d）（c+d）

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第六章概率分布(基礎(chǔ))

前三節(jié)每年都要出題選擇理解簡答多選這一章才剛剛進(jìn)入統(tǒng)計(jì)

第一節(jié)概率的基本概念

一概率

實(shí)驗(yàn)，事件：在相同條件下，對(duì)某事物或現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或?qū)嶒?yàn)叫試驗(yàn)，把觀

察或試驗(yàn)的結(jié)果叫做事件。

基本事件：如果某一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)可以分成有限的72種可能結(jié)果，這,種結(jié)果之間是

互不交叉的,而且這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,該結(jié)果就為基本事件。

概率：事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小，事件/的概率用尸(Z)表示。

(一)古典概率(先驗(yàn)概率)

在只含有有限個(gè)基本事件的試驗(yàn)中，任意事件z發(fā)生的概率定義為

=事件z所包含的基本事件數(shù)(掰)

(基本事件數(shù)(〃)

(二)統(tǒng)計(jì)概率(后驗(yàn)概率)

在相同條件下進(jìn)行〃次試驗(yàn)，事件Z出現(xiàn)了加次，如果試驗(yàn)次數(shù)〃充分大，

且事件Z出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在某一數(shù)值p附近，則p為事件Z的概率。由于p

也是一抽象的值，常常用〃在充分大時(shí)的代替。

P(A)=p如巴(n48)

n

二概率的基本性質(zhì)(選擇)

1加法定理(〃種情況，或)

兩個(gè)互不相容事件Z,3之和的概率，等于兩個(gè)事件概率之和。

尸(Z+8)=P(Z)+P(8)

2乘法定理(〃個(gè)步驟，與)

兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)出現(xiàn)的概率等于該兩件事件概率的乘積，

P(AB)=P(A)?P(B)

三概率分布

是用來描述隨機(jī)變量取某些值時(shí)的概率的數(shù)學(xué)模型。

類型：

離散分布與連續(xù)分布

經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布

基本隨機(jī)變量分布與抽樣分布

分布三要素形態(tài)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差

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基本隨機(jī)變量分布：

基本隨機(jī)變量分布是一個(gè)與隨機(jī)變量的函數(shù)相對(duì)應(yīng)的。隨機(jī)變量的

函數(shù)，依然是隨機(jī)變量。

抽樣分布：

抽樣是從總體中隨機(jī)的，選取一個(gè)樣本的過程，每一個(gè)樣本都可以計(jì)、

算平均數(shù)，方差標(biāo)準(zhǔn)差，相關(guān)系數(shù)，等指標(biāo)。這些指標(biāo)的概率分布就

是抽樣分布。

第二節(jié)正態(tài)分布

（一）正態(tài)分布定義X~

正態(tài)分布也呈常態(tài)分布，是連續(xù)隨機(jī)變量概率分布的一種，中間量次數(shù)分