非線性函數(shù)的線性化問題省公開課金獎全國賽課一等獎微課獲獎?wù)n件

非線性函數(shù)線性化問題馮仲科北京林業(yè)大學(xué).4.11/33一.數(shù)學(xué)期望與方差性質(zhì)1.隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望就是全部可能取值概率平均值，簡稱均值，它有以下性質(zhì)：（1）常數(shù)c數(shù)學(xué)期望等于它本身，即

E(c)=c.（2）常數(shù)c與ξ之積數(shù)學(xué)期望等于c與ξ數(shù)學(xué)期望之積，即

E(cξ)=cE(ξ).2/33（3）n個隨機(jī)變量之和數(shù)學(xué)期望，等于各隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和，即

E(ξ1+ξ2+···+ξn)=E(ξ1)+E(ξ2)+···+E(ξn).（4）隨機(jī)變量線性函數(shù)F=α1ξ1+α2ξ2+···+αnξn=數(shù)學(xué)期望為E()=α1E(ξ2)+α2E(ξ2)+···+

αnE(ξn).)3/33（5）n個相互獨(dú)立隨機(jī)變量之積數(shù)學(xué)期望，等于各隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和，即

E(ξ1ξ2···ξn)=E(ξ1)E(ξ2)···E(ξn).4/332.隨機(jī)變量方差是描述隨機(jī)變量全部可能取值離散程度。在測量中就是中誤差平方，是一個精度指標(biāo)。它有以下性質(zhì)：（1）常數(shù)c方差等于零，即

D(c)=0.（2）常數(shù)c與隨機(jī)變量之積方差等于c2與方差之積，即

D(cξ)=c2D(ξ).5/33（3）n個相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和方差等于各個隨機(jī)變量方差之和，即D(ξ1+ξ2+···+ξn)=D(ξ1)+D(ξ2)+···+D(ξ3).（4）相互獨(dú)立隨機(jī)變量線性函數(shù)F=α1ξ1+α2ξ2+···+αnξn=方差為D()=D(ξ1)+E(ξ2)+···+E(ξn).6/33例.已知⊿=X-L,求真誤差⊿方差。解：因X是常數(shù)，故有

D(⊿)=D(X)+D(L)=D(L),亦即觀察值L誤差方差D(⊿)等于觀察值本身方差D(L)。7/33例.求算術(shù)平均值

X=(L1+L2+…+Ln)方差。解：D(x)=(D(L1)+D(L2)+···+D(Ln)).假如D(L1)=D(L2)=···=D(Ln)=σ2,則上式為

D(x)=,令=σx，則有

σx=式中σ和σx分別為觀察值和算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差在測量中稱為中誤差。8/33二.協(xié)方差及其傳輸律1.協(xié)方差概念及定義設(shè)有線性函數(shù)

z=f1x+f2y，令x，y真誤差為⊿x，⊿y，則z真誤差⊿z為

⊿z=f1⊿x+f2⊿y.⊿y9/33它中誤差mxy為mxy=.當(dāng)x與y彼此不獨(dú)立，比如它們都是獨(dú)立觀察值L函數(shù)：x=3L，y=4L，則有mxy===12≠0，式中，mL為L中誤差，為L方差。10/33例.已知x=3L1-2L2，y=2L1+3L2，L1和L2相互獨(dú)立且同精度，設(shè)L1和L2方差均為m2，試判別x與y是否獨(dú)立。解：從x與y均是L1，L2函數(shù)看，它們似乎相關(guān)，其實(shí)不一定。由已知關(guān)系得⊿x=3⊿L1-2⊿L2，⊿y=2⊿L1+3⊿L2，

⊿x⊿y=6⊿-6⊿+5⊿L1⊿L2

，顧及=0，則x與y協(xié)方差為

mxy==6m2-6m2=0.可見，此例x與y實(shí)為相互獨(dú)立觀察值。11/33協(xié)方差有以下性質(zhì)：（1）當(dāng)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立時，有

σXY=0.（2）當(dāng)X=Y時，有

σXY==（3）當(dāng)X與Y成線性關(guān)系：Y=aX+b，式中，a、b為常數(shù)，則有當(dāng)a>0σXY=

當(dāng)a<0σXY=–12/332.普通誤差傳輸定律

設(shè)有相關(guān)觀察值x1,x2,···xn線性函數(shù)普通形式為

z=f1x1+f2x2+···+fnxn,

最終能夠得到它中誤差為

mxy=a1b1+a2b2+···+anbn13/33

若用普通符號表示xi方差，σij表示xi與xj協(xié)方差，則普通誤差傳輸定律式能夠?qū)懗梢韵滦问剑?/p>

=+2f1f2σ12+···+2f1fxσ1n

++···+2f2fnσ2n

·································

+

14/333.協(xié)方差陣及其傳輸律

假如有兩個隨機(jī)變量X1和X2，已知其數(shù)學(xué)期望為E(X1)和E(X2)，方差及協(xié)方差為D(X1),D(X2)和=，則定義

E(X)=，D(X)=其中D(X)能夠?qū)懗?/p>

D(X)=E(X-E(X))(X-E(X))T

15/33

普通，設(shè)有t維隨機(jī)向量X=(X1X2···Xt)T，定義X數(shù)學(xué)期望和方差為

E(X)=

D(X)=16/33協(xié)方差陣傳輸率隨機(jī)向量X數(shù)學(xué)期望E(X)是由E(X)=定義，它含有以下性質(zhì)：（1）常數(shù)向量C數(shù)學(xué)期望等于它本身，即E(C)=C.（2）常數(shù)矩陣A與隨機(jī)向量X之積數(shù)學(xué)期望等于A與X數(shù)學(xué)期望之積，即E(AX)=AE(X).17/33（3）設(shè)A和B為常數(shù)矩陣，X和Y為隨機(jī)向量，則AX與BY之和數(shù)學(xué)期望等于AX數(shù)學(xué)期望與BY數(shù)學(xué)期望之和，即E(AX+BY)=AE(X)+BE(Y).尤其地，當(dāng)A和B均為單位陣，X和Y維數(shù)相同，有E(X+Y)=E(X)+E(Y).(4)設(shè)有隨機(jī)向量X和Y，則E(XYT)=E(X)(E(Y))T+σXY18/33設(shè)有兩個線性函數(shù)

=+，=+A﹑B﹑C﹑H為常數(shù)矩陣，則有

FG=AD(X)CT+AσXZHT+BσYZHT證:σFG=E[(AX+BY-E(AX+BY))(CX+HZ-E(CX+HZ))T]=E[(A(X-E(X))+B(Y-E(Y)))(C(X-E(X))+H(Z-E(Z)))]T=AD(X)CT+AσXZHT+BσYXCT+BσYZHT19/33三.非線性函數(shù)線性化以上是屬于線性函數(shù)，對于非線性函數(shù)，如：y=f(x1,x2,···xn)則需要采取

（1）對數(shù)法線性化（2）級數(shù)展開法線性化20/331.對數(shù)法：U=xyzlnU=lnx+lny+lnz

=++21/332.泰勒級數(shù)展開法：U=xyzdU=yzdx+xzdy+xydz

兩邊同時除以U，U=xyz=++經(jīng)過：乘除法運(yùn)算取對數(shù)

加減乘除運(yùn)算取級數(shù)

22/33例：已知單木生物量數(shù)學(xué)模型為

，試說明a,b幾何學(xué)和物理學(xué)意義。已知

，試統(tǒng)計(jì)分析建模求a，b。已知單木

。求由

計(jì)算

及其置信區(qū)間。答：利用林木相對生長公式

（1）

設(shè)第i（i=1，2，…，n）棵標(biāo)準(zhǔn)木生物量（樹干、樹枝、樹根或樹葉生物量等，以下同）為

，胸徑為

，樹高為

，

測定誤差為

，則可寫出

（2）23/33對于,（i=1，2，…，n）

（3）設(shè)a、b第k（k=0，1，2，…，m）次近似值為

，記

（4）則用泰勒級數(shù)在

處將式（3）展開得

（5）24/33其中

為二階以上余項(xiàng)。又記：

，

，，

，25/33則有

（6）在式（6）中，將

換成估值形式

，用

代表

最或然誤差（又稱為

更正數(shù)），則有和式（6）誤差方程形式

（7）26/33其中

中包含了觀察誤差和二次以上余項(xiàng)誤差等。利用最小二乘準(zhǔn)則，即在

標(biāo)準(zhǔn)下，利用式（7）可推導(dǎo)出求解

公式，即

（8）依據(jù)式（4）和

定義，可知a、b第k+1次估值為

（9）27/33計(jì)算步驟1）用對數(shù)法求解a、b估值，作為初值

、

，計(jì)算

，并用式（8）求解

，利用式（9）求解

、

。2）將

、

作為a、b新近似估值，計(jì)算

，并用式（8）求解

，利用式（9）求解

、

。3）將

、

作為a、b新近似值計(jì)算

、

。余者類推，直至

到達(dá)最小或

和

到達(dá)足夠?。ù藭r

）。精度評定設(shè)迭代在第k+1步終止，以下不加推證地給出求解單位權(quán)方差（標(biāo)準(zhǔn)方差）估值公式以及

、

方差、協(xié)方差計(jì)算公式1）單位權(quán)方差無偏估值