2023蘇教版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步練習-3 . 3 拋物線

3.3拋物線

?3.3.1拋物線的標準方程

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一拋物線的定義及其應用

1.（2021江蘇南京人民中學月考）設(shè)拋物線y2=12x的焦點為F,點P在此拋物線上

且橫坐標為5,則PF等于（）

A.4B.6C.8D.10

2.（2021江蘇徐州銅山大許中學調(diào)研測試）在平面直角坐標系xOy中,直線1過拋

物線y2=4x的焦點,交拋物線于A,B兩點,且線段AB中點的橫坐標為3,則線段AB

的長為（）

A.6B.7C.8D.10

3.（2022安徽淮南第一中學期中）已知拋物線C:y=2px（p>0）的焦點為F,準線為1,

且1過點（-3,2）,M在拋物線C上，若點N（2,4）,則MF+MN的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

題組二拋物線的標準方程和準線方程

4.（2021江蘇泰州中學質(zhì)量檢測）若拋物線x2=ay的準線與橢圓t+y?=l相切,則

4

a=（）

A.-4或4B.4

C.-8或8D.8

5.（2020江蘇南通啟東中學檢測）中國古代的橋梁建筑有不少是世界橋梁史上的

創(chuàng)舉,充分顯示了中國勞動人民的非凡智慧.有一個拋物線型拱橋,當水面離拱頂

2m時,水面寬8m.若水面下降1m,則水面寬度為（）

A.2V6mB.4乃m*

C.4V2mD.12m

6.（2021江蘇鎮(zhèn)江中學檢測）若雙曲線的方蒙?■程為則

以雙曲線右準線（即直線％=為準線的拋物線的標準方程是（）

A2口Q

A.y=—12^7―5xB.yz=--12-^5x

C「.x21275y^D.xz=--1-27-5y

題組三直線與拋物線的位置關(guān)系

7.已知直線l:y=x-1與拋物線C:y2=4x相交于A、B兩點，則AB=（）

A.5B.6C.7D.8

8.已知直線y=kx-k及拋物線y2=2px（p>0）,則（）

A.直線與拋物線有一個公共點

B.直線與拋物線有兩個公共點

C.直線與拋物線有一個或兩個公共點

D.直線與拋物線可能沒有公共點

9.（2021江蘇南京江浦高級中學檢測）過點（0,-3）的直線1與拋物線y2=4x只有一

個公共點,則直線1的方程為.

10.（2022安徽淮北第一中學期中）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為F,點M（2,m）

為其上一點，且MF=4.

（1）求P與m的值；

⑵如圖,過點F作直線1交拋物線于A,B兩點,求直線OA,0B的斜率之積.

能力提升練

題組一拋物線的定義及其應用

1.（2022河南名校聯(lián)盟模擬）若點P是拋物線y2=8x上一點,且點P到焦點F的距

離是它到y(tǒng)軸距離的3倍,則線段PF的中點到y(tǒng)軸的距離等于（）

A.1B.-3C.2D.3

2

2.（2020湖南長沙長郡中學期中）已知拋物線C:x2=2py（p>0）的焦點為F,拋物線C

的準線與y軸交于點A,點M（l,y。）在拋物線C上,MF=^,則tanNFAM=（）

4

2ss4

A.-B.-C.-D.-

5245

3.（2021江蘇南京人民中學月考）已知點A（-2,1）,y2=-4x的焦點為F,P是y2=-4x

上的點，則使PA+PF取得最小值的點P的坐標是.

題組二拋物線的標準方程及其應用

4.（2022四川成都第七中學期中）A,B是拋物線x2=2y上的兩點,0為坐標原點.若

OA=OB,MAAOB的面積為12V3,貝ZAOB=（）

A.30B.45°C.60°D.120°

5.(2021江蘇南通海安期中)已知點F(l,0),直線l:x=-1,動點P與點F間的距離

等于它到直線1的距離.

⑴試判斷點P的軌跡C的形狀,并寫出其方程；

⑵若曲線C與直線m:y=x-1相交于A、B兩點,求AOAB的面積.

題組三拋物線的綜合應用

6.(2020江蘇南通第一次教學質(zhì)量調(diào)研)如圖，已知AOAP和4ABQ均為等邊三角

形,它們的邊長分別為叫n,拋物線y2=2px(p>0)恰好經(jīng)過點P,Q,則竺二.

n

7.設(shè)拋物線y2=2x上兩點A,B位于x軸的同側(cè),且A,B兩點的橫坐標之積為4,則

直線AB經(jīng)過的定點坐標是.

8.(2022江蘇南通如皋中學月考)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的準線方程為y=-l,

直線1過點P(0,-1)且與拋物線C交于A,B兩點?點A關(guān)于y軸的對稱點為A',連

接A'B.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)問直線A'B是否過定點?若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.C因為拋物線方程為y2=12x,所以p=6,由拋物線的定義可得PF=x*=5+1=8.故選C.

2.C設(shè)A(xi,yi),B(X2,yz),貝！Ixi+x?=6,由題意知，p-2,貝AB=xi+：+x2+j=xi+x2+p=6+2=8.故選C.

3.D由題可得，準線1的方程為x=-3,則拋物線的方程為y?=12x,...點N(2,4)在拋物線內(nèi),

如圖所示.

由拋物線的定義可知,MF=x“+3,

；.MN+MF=MN+XM+32XN+3=2+3=5.故選D.

4.A易知拋物線x2=ay的準線方程為y=小，

4

2

因為拋物線x?=ay的準線與橢圓號+yW相切,所以-白土1,所以a=±4,故選A.

44

5.答案B

信息提取(1)拋物線型拱橋；(2)當水面離拱頂2m時,水面寬8m.

數(shù)學建模本題以中國古代的橋梁建筑為背景構(gòu)建拋物線模型，以拱橋頂點為原點建立平面直角坐標系，設(shè)

出拋物線的標準方程,進而求解.

解析由題意，以拱橋頂點為原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè)拋物線的標準方程為x2=-2py(p>0),

由題意知,拋物線經(jīng)過點A(-4,-2)和點B(4,-2),

代入拋物線方程,解得p=4,

所以拋物線的標準方程為x?=-8y,

水面下降1m,即尸-3,代入方程,解得xi=2V6,x2=—2A/6,所以此時水面寬度d=2xi=4V6m.

故選B.

6.B由雙曲線方程得a2=3,b2=2,

則c=Va2+薩=孤.?.雙曲線的右準線方程為x=?=靠=誓,

可知拋物線的準線方程為x=等，

設(shè)拋物線的標準方程為y=-2px(p>0),

則:=手，故2P與金

則拋物線的標準方程是黃=-學x,故選B.

7.D由條件知,直線y=x-l過拋物線的焦點，

將y=x-l代入拋物線方程y2=4x,整理得x2-6x+l=0,

設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),則xi+x?=6,

AB=XI+X2+2=8.

8.C因為直線方程為y=kx-k=k(x-1),

所以直線恒過點(1,0).又點(1,0)在拋物線y=2px(p>0)的內(nèi)部,

所以當k=0時,直線與拋物線有一個公共點；

當kWO時,直線與拋物線有兩個公共點.

故選C.

9.答案x=0或y=-3或x+3y+9=0

解析當直線1的斜率不存在時,直線1的方程為x=0,滿足題意.

當直線1的斜率存在時,設(shè)直線1的方程為y=kx-3,與y2=4x聯(lián)立，

可得k2x2-(6k+4)x+9=0,

當k=0時,直線1的方程為y=-3,

滿足題意；

當kWO時，由A=[-(6k+4)]2-36k2=0,解得k=f,

此時直線1的方程為x+3y+9=0.

綜上,直線1的方程為x=0或y=-3或x+3y+9=0.

10.解析(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為Fg,o),準線方程為x=￡,

由拋物線的定義知，點M⑵m)與點F間的距離等于點M到準線的距離，

所以MF=2+g=4,所以p=4,

故拋物線C的方程為y?=8x.

因為點M(2,m)在拋物線C上,所以m2=16,所以m=±4.

(2)由(1)知,拋物線C的方程為yJ8x,焦點為F(2,0),

當直線1的斜率不存在時,直線1的方程為x=2,將x=2代入y2=8x,可得y=±4,則A(2,4),B(2,-4),

II-r7114-0-4-0.

從irnK()A?koB——x—=—4;

2-02-0

當直線1的斜率存在時,設(shè)直線1的斜率為k(kWO),則其方程為y=k(x-2),

聯(lián)立4=47消去％得y=k("-2),

即ky2-8y-16k=0,其中kWO,

則△=64+64k2>0,

設(shè)A⑶yJ,B(X2,矽，則加*-16,

所以X|X2=(U?，羽)=](yly2)2=*X(-16)=4,

從而koA?k后%x織=*=主=-4.

Xi-0X2-V4

綜上,直線OA,OB的斜率之積為-4.

能力提升練

1.B根據(jù)題意,得拋物線的準線方程為x=-2,F⑵0）,設(shè)P（x。,y?）,

由拋物線的定義及已知條件,得xo+2=3xo,解得xo=l,

所以線段PF的中點的橫坐標為?=|,所以線段PF的中點到y(tǒng)軸的距離等于|.

2.D如圖,過M向拋物線的準線引垂線,垂足為N,則MN=y0+§=也，故y0=2p.

24

又在拋物線上，域，于是2P喘，解得p］（負值舍去），，MNe券/

tanZFAM=tanZAMN=——AN=4

MN5

故選D.

3?答案（-祠

解析如圖，過P作PKXld為拋物線的準線）于K,則PF=PK,???PA+PF=PA+PK,?,?當點P的縱坐標與點A的

縱坐標相同時,PA+PK的值最小,此時點P的縱坐標為1,把y=l代入y?=-4x,得x=-：,

4

即當點P的坐標為時,PA+PF取得最小值.

4.C如圖，由OA=OB,知A,B兩點關(guān)于y軸對稱,設(shè)A（-a,y）,Ba>0,

1n2

貝!ISAAOB=|x2axy=12V3,解得a=2g,

所以B(2百,6),

設(shè)NFOB=e,O°<0<90°,

則tan。咨=宜，所以e=30°，所以NA0B=29=60°.故選C.

63

5.解析(1).??點P與點F間的距離等于它到直線1的距離，；.點P的軌跡C是以F為焦點,直線1為準線的

拋物線,其方程為y=4x.

-2

⑵設(shè)A(xi,yj,B(xz,yz),聯(lián)立？x-6x+l=0,.*.XI+X2=6.

(y=x-1,

:直線m經(jīng)過拋物線C的焦點F(1,0),

AB=xi+x2+p=6+2=8.

???點。到直線m的距離d=%=號

SAOAB^AB?d-ix8x—=2V2.

222

6.答案|

解析由已知得A(m,0),B(m+n,0),則P(p-等),Q(加+冷),

因為拋物線yJ2px(p>0)恰好經(jīng)過點P,Q,

2

兩式相除可得9=

nz2m+n

設(shè)竺=t(t>0),則三,解得t=；(負值舍去)，即巴=i

n2t+l2n2