19.1 矩形 華師大版八年級(jí)下冊(cè)素養(yǎng)提升練習(xí)(含解析)

第19章矩形、菱形與正方形單元大概念素養(yǎng)目標(biāo)單元大概念素養(yǎng)目標(biāo)對(duì)應(yīng)新課標(biāo)內(nèi)容掌握矩形、菱形、正方形的定義,會(huì)用定義進(jìn)行判定理解矩形、菱形、正方形的概念,以及它們之間的關(guān)系【P66】掌握矩形、菱形的性質(zhì),并能應(yīng)用性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題探索并證明矩形、菱形的性質(zhì)定理:矩形的四個(gè)角都是直角,對(duì)角線相等;菱形的四條邊相等,對(duì)角線互相垂直【P66】掌握矩形、菱形的判定定理,能應(yīng)用判定定理解決相關(guān)問(wèn)題探索并證明矩形、菱形的判定定理:三個(gè)角是直角的四邊形是矩形,對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形;四邊相等的四邊形是菱形,對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形【P66】掌握正方形的性質(zhì)與判定定理,理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系正方形既是矩形,又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系【P66】19.1矩形基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1矩形的定義與性質(zhì)1.(2023河南新鄉(xiāng)長(zhǎng)垣期中)關(guān)于矩形的性質(zhì),以下說(shuō)法不正確的是()A.四個(gè)角都相等 B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線互相垂直 D.是軸對(duì)稱圖形2.(2023江蘇常州清潭中學(xué)期中)如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,DE⊥AC于點(diǎn)E,∠AOD=110°,則∠CDE的大小是()A.55° B.40° C.35° D.20°3.【教材變式·P100T2】(2022河南信陽(yáng)潢川期中)一個(gè)矩形的兩條對(duì)角線的一個(gè)夾角為60°,每條對(duì)角線的長(zhǎng)為16cm,則這個(gè)矩形較短邊的長(zhǎng)為()A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm4.(2023遼寧大連金州期中)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)O作EF⊥AC交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連結(jié)CE,△DEC的周長(zhǎng)為()A.10 B.11 C.12 D.135.(2023湖南湘西鳳凰月考)已知一矩形的兩邊長(zhǎng)分別為7cm和12cm,其中一個(gè)內(nèi)角的平分線分長(zhǎng)邊為兩部分,這兩部分的長(zhǎng)分別為()A.6cm和6cm B.7cm和5cmC.4cm和8cm D.3cm和9cm6.(2023湖北咸寧溫泉中學(xué)期中)如圖,線段BC為等腰△ABC的底邊,矩形ADBE的對(duì)角線AB與DE交于點(diǎn)O,若OD=1,則AC=.

第6題圖第7題圖7.【轉(zhuǎn)化思想】(2023湖南株洲中考)如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,已知BC=4,AB=3,則OB的長(zhǎng)為.

8.【方程思想】(2023江蘇淮安盱眙期中)如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)E在AD上,且EB平分∠AEC,若AB=3,AE=1,則△BEC的面積為.

9.(2022福建泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)M在DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足為N.(1)求證:△ABN≌△MAD;(2)若AD=3,AN=4,求四邊形BCMN的面積.10.【新獨(dú)家原創(chuàng)】【教材呈現(xiàn)】矩形的性質(zhì)定理2:矩形的對(duì)角線相等.如圖,矩形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.(1)求證:BD=AC;【性質(zhì)應(yīng)用】(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)定理2,可以得到關(guān)于直角三角形的一個(gè)性質(zhì),你認(rèn)為這個(gè)性質(zhì)是;

【拓展提升】(3)根據(jù)你得到的性質(zhì)解決以下問(wèn)題:如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),F為CE的中點(diǎn),以B為圓心,BF長(zhǎng)為半徑的圓弧過(guò)AD與CE的交點(diǎn)G,連結(jié)BG.若AB=4,CE=10,求AG的長(zhǎng).知識(shí)點(diǎn)2矩形的定義判定法11.(2023山東聊城實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模)如圖,在?ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD.BF∥CE,CF∥BE.求證:四邊形BECF是矩形.12.(2023浙江寧波期中)如圖,在平行四邊形ABCD中,BM,DN分別平分∠ABD,∠CDB.(1)求證:△ABM≌△CDN;(2)當(dāng)AB與BD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),四邊形BNDM是矩形?請(qǐng)說(shuō)明理由.知識(shí)點(diǎn)3矩形的判定定理113.(2023廣東云浮一中期中)如圖,在?ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,點(diǎn)E,F為垂足.求證:四邊形AECF是矩形.14.如圖,已知點(diǎn)M,O,N在同一條直線上,OB,OC分別平分∠AOM,∠AON,AB⊥OB,AC⊥OC,垂足分別為B,C,連結(jié)BC交AO于點(diǎn)E.(1)求證:四邊形ACOB是矩形;(2)猜想BC與MN的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.知識(shí)點(diǎn)4矩形的判定定理215.(2023河南信陽(yáng)平橋期末)如圖,用一根繩子檢查一平行四邊形書(shū)架的側(cè)邊是否和上、下底邊都垂直,只需要用繩子分別測(cè)量并比較書(shū)架的兩條對(duì)角線AC,BD就可以判斷,其推理依據(jù)是()A.矩形的對(duì)角線相等B.矩形的四個(gè)角是直角C.對(duì)角線垂直的平行四邊形是矩形D.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形16.(2023北京朝陽(yáng)一模)如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F在BD上,AE∥CF,連結(jié)AF,CE.(1)求證:四邊形AECF為平行四邊形;(2)若∠EAO+∠CFD=180°,求證:四邊形AECF是矩形.能力提升全練17.(2023上海中考,5,★☆☆)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列說(shuō)法能使四邊形ABCD為矩形的是()A.AB∥CD B.AD=BCC.∠A=∠B D.∠A=∠D18.【等積變換法】(2023四川內(nèi)江中考,16,★★☆)出入相補(bǔ)原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要成就之一,最早是由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建.“將一個(gè)幾何圖形任意分割成多塊小圖形,幾何圖形的總面積保持不變,等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一.如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分別為點(diǎn)F,G,則EF+EG=.

19.【最短距離問(wèn)題】(2022四川內(nèi)江中考,25,★★☆)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn),EF∥BC,則AF+CE的最小值是.

20.【新考向·開(kāi)放型試題】(2023湖南岳陽(yáng)中考,21,★★☆)如圖,點(diǎn)M在?ABCD的邊AD上,BM=CM,請(qǐng)從以下三個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件,使?ABCD為矩形:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4.(1)你添加的條件是(填序號(hào));

(2)添加條件后,請(qǐng)證明?ABCD為矩形.21.【方程思想】(2022浙江麗水中考,22,★★☆)如圖,將矩形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,點(diǎn)A落在點(diǎn)P處,折痕為EF.(1)求證:△PDE≌△CDF;(2)若CD=4cm,EF=5cm,求BC的長(zhǎng).22.(2022吉林期末,23,★★☆)如圖,在?ABCD中,F是邊CD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作FE∥AD,交AB于點(diǎn)E.連結(jié)ED、EC,作CG∥DE,交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連結(jié)DG.(1)求證:四邊形DECG是平行四邊形;(2)當(dāng)DE平分∠ADC時(shí),求證:四邊形DECG是矩形.23.(2023福建廈門(mén)華僑中學(xué)期末,22,★★☆)在矩形ABCD中,AB=8,BC=15,E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)點(diǎn),AE=CF=3.5,動(dòng)點(diǎn)G、H分別從A、C同時(shí)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,分別沿AD、CB運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<15).(1)求證:四邊形EGFH是平行四邊形;(2)若四邊形EGFH為矩形,請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值.24.(2023黑龍江大慶三模,24,★★☆)如圖,四邊形ABDE中,∠ABD=∠BDE=90°,C為邊BD上一點(diǎn),連結(jié)AC,EC,M為AE的中點(diǎn),延長(zhǎng)BM交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,AC交BM于點(diǎn)G,連結(jié)DM交CE于點(diǎn)H.(1)求證:MB=MF;(2)若AB=BC,DC=DE,求證:四邊形MGCH為矩形.素養(yǎng)探究全練25.【模型觀念】(2023湖北隨州中考)如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=4,M是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),將△ADM沿直線DM對(duì)折,得到△NDM.當(dāng)射線CN交線段AB于點(diǎn)P時(shí),連結(jié)DP,則△CDP的面積為,DP的最大值為.

答案全解全析1.C矩形的性質(zhì)有四個(gè)角都相等,對(duì)角線互相平分且相等,是軸對(duì)稱圖形,故選C.2.C∵四邊形ABCD是矩形,∴OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,∵∠AOD=110°,∴∠DOE=70°,∠ODC=∠OCD=12×(180°-70°)=55°,∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,∴∠CDE=180°-∠OCD-∠DEC=35°.故選3.C如圖,∵四邊形ABCD是矩形,每條對(duì)角線的長(zhǎng)為16cm,∴AC=BD=16cm,∴AO=BO=8cm,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等邊三角形,∴AB=AO=BO=8cm,故矩形較短邊的長(zhǎng)為8cm.故選C.4.A∵四邊形ABCD是矩形,∴DC=AB=4,AD=BC=6,AO=OC,∵EF⊥AC,∴AE=CE,∴△DEC的周長(zhǎng)=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=4+6=10.故選A.5.B如圖,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC.∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE.當(dāng)AB=12cm時(shí),AE=12cm,不滿足題意;當(dāng)AB=7cm時(shí),AE=7cm,則DE=5cm.故選B.6.答案2解析∵四邊形ADBE是矩形,∴AB=DE=2OD=2,∵AB=AC,∴AC=2.7.答案5解析∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,OB=OD=OA=OC=12AC,∵BC=4,AB=3,∴AC=AB2+BC2=328.答案15解析在矩形ABCD中,∠D=90°,AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∵EB平分∠AEC,∴∠AEB=∠CEB,∴∠CBE=∠CEB,∴BC=CE,∵CD=AB=3,AE=1,∴DE=AD-AE=BC-1,在Rt△CED中,根據(jù)勾股定理得CE2=DE2+CD2,∴BC2=(BC-1)2+32,解得BC=5,∴△BEC的面積=12BC·AB=12×5×3=9.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠D=90°,DC∥AB,∴∠BAN=∠AMD,∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°,在△ABN和△MAD中,∠∴△ABN≌△MAD(A.A.S.).(2)∵△ABN≌△MAD,∴BN=AD,∵AD=3,∴BN=3,∵BN⊥AM,AN=4,∴AB2=AN2+BN2=42+32=25=52,∴AB=5,∴S矩形ABCD=AD·AB=3×5=15.∵S△ABN=12AN·BN=6,∴S△MAD=S△ABN=6,∴S四邊形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD10.解析(1)證明:∵四邊形ABCD為矩形,∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°.又∵AD=DA,∴△ABD≌△DCA(S.A.S),∴BD=AC.(2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.(3)∵四邊形ABCD為矩形,∴∠ABC=∠BAD=90°,在Rt△BCE中,點(diǎn)F為斜邊CE的中點(diǎn),∴BF=12CE=5,∴在Rt△ABG中,AB=4,BG=5,由勾股定理得AG=BG11.證明∵BF∥CE,CF∥BE,∴四邊形BECF是平行四邊形,∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,∴∠EBC=12∠ABC,∠ECB=12∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴∠EBC+∠ECB=12(∠ABC+∠BCD)=1∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-90°=90°,∴四邊形BECF是矩形.12.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∵BM,DN分別平分∠ABD,∠CDB,∴∠ABM=12∠ABD,∠CDN=12∴∠ABM=∠CDN,又∵∠A=∠C,AB=CD,∴△ABM≌△CDN(A.S.A.).(2)當(dāng)AB=BD時(shí),四邊形BNDM是矩形,理由如下:由(1)可知,△ABM≌△CDN,∴AM=CN,∴AD-AM=BC-CN,即DM=BN,又∵DM∥BN,∴四邊形BNDM是平行四邊形,又∵AB=BD,BM平分∠ABD,∴BM⊥AD,∴∠BMD=90°,∴四邊形BNDM是矩形.13.證明∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠AEC+∠EAF=180°.∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∴∠EAF=180°-∠AEC=90°,∵CF⊥AD,∴∠AFC=90°,∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°,∴四邊形AECF是矩形.14.解析(1)證明:∵OB,OC分別平分∠AOM,∠AON,∴∠AOB=12∠AOM,∠AOC=12∴∠AOB+∠AOC=12∠AOM+12∠AON=12(∠AOM+∠AON)=1∵AB⊥OB,AC⊥OC,∴∠ABO=∠ACO=∠BOC=90°,∴四邊形ACOB是矩形.(2)BC∥MN.證明:∵四邊形ACOB是矩形,∴AE=BE=CE=OE,∴△CEO是等腰三角形,∴∠AOC=∠BCO,∵OC平分∠AON,∴∠AOC=∠CON,∴∠BCO=∠CON,∴BC∥MN.15.D推理依據(jù)是對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.故選D.16.證明(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO,∵∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(A.S.A.),∴OE=OF,∴四邊形AECF為平行四邊形.(2)∵∠EAO+∠CFD=180°,∠CFO+∠CFD=180°,∴∠EAO=∠CFO,∵∠EAO=∠FCO,∴∠FCO=∠CFO,∴OC=OF,由(1)可知,OA=OC,OE=OF,∴AC=EF,∴四邊形AECF是矩形.能力提升全練17.C添加條件∠A=∠B,可證四邊形ABCD是矩形,理由:∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∵∠A=∠B,∴∠A=∠B=90°,∴AB⊥AD,AB⊥BC,∴AB的長(zhǎng)為AD與BC間的距離,∵AB=CD,∴CD⊥AD,CD⊥BC,∴∠C=∠D=90°,∴四邊形ABCD是矩形,故選項(xiàng)C符合題意.添加其他三個(gè)選項(xiàng)中的條件均不能證明四邊形ABCD是矩形,故選C.18.答案60解析如圖,連結(jié)OE,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,BC=AD=12,AO=CO=BO=DO,∵AB=5,BC=12,∴AC=AB2+BC2=13,∴OB=OC=132,∴S△BOC=S△BOE+S△COE=12OB·EG+12OC·EF=12S△ABC=12×12×5×12=15,∴12×13219.答案10解析如圖,延長(zhǎng)BC到G,使CG=EF,連結(jié)FG,AG,∵EF∥BC,EF=CG,∴四邊形EFGC是平行四邊形,∴CE=FG,∴AF+CE=AF+FG,∴當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí),AF+CE的值最小,為AG的長(zhǎng),由勾股定理得,AG=AB2+BG2=620.解析(1)①.(或②)(2)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DC,AB=DC,∴∠A+∠D=180°,在△ABM和DCM中,AB∴△ABM≌DCM(S.A.S.),∴∠A=∠D,∴∠A=∠D=90°,∴?ABCD為矩形.21.解析(1)證明:由題意得,∠P=∠PDF=∠B=∠ADC=∠C=90°,PD=AB=CD,∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,即∠PDE=∠CDF,∴△PDE≌△CDF(A.S.A.).(2)如圖,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G,∴∠EGC=90°,EG=CD=4cm,在Rt△EGF中,EG2+GF2=EF2,∵EF=5cm,∴GF=3cm.設(shè)CF=xcm,易得BG=AE=PE=CF=xcm,∴DF=BF=(x+3)cm,在Rt△CDF中,CF2+CD2=DF2,即x2+42=(x+3)2,解得x=76∴BC=BG+GF+CF=2×76+3=1622.證明(1)∵F是邊CD的中點(diǎn),∴DF=CF.∵CG∥DE,∴∠DEF=∠CGF.又∵∠DFE=∠CFG,∴△DEF≌△CGF(A.A.S.),∴DE=CG,又∵DE∥CG,∴四邊形DECG是平行四邊形.(2)∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠FDE.∵EF∥AD,∴∠ADE=∠DEF.∴∠DEF=∠EDF,∴EF=DF,又∵DF=CF,EF=FG,∴CD=EG,∴平行四邊形DECG是矩形.23.解析(1)證明:由題意得AE=CF=3.5,AG=CH=t,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠GAE=∠HCF,在△AEG和△CFH中,AG∴△AEG≌△CFH(S.A.S.),∴EG=FH,∠AEG=∠CF