復(fù)雜的奧數(shù)行程問題

比較復(fù)雜的行程問題

多人行程例題

多人行程這類問題主要涉及的人數(shù)為3人，主要考察的問題就是求前兩個人相遇或追及的時刻，

第三個人的位置，解題的思路就是把三人問題轉(zhuǎn)化為尋找兩兩人之間的關(guān)系。

例1.甲乙丙三人同時從東村去西村，甲騎自行車每小時比乙快12公里，比丙快15公里，甲行

3.5小時到達(dá)西村后立刻返回。在距西村30公里處和乙相聚，問：丙行了多長時間和甲相遇？

例2.甲、乙、丙三輛車同時從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車的速度分別為60千米/時和

48千米/時。有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后6時、7時、8時先后與甲、乙、丙三輛車相

遇。求丙車的速度。

例3、李華步行以每小時4千米的速度從學(xué)校出發(fā)到20.4千米外的冬令營報到。0.5小時后，

營地老師聞訊前來迎接，每小時比李華多走1.2千米，又經(jīng)過了1.5小時，張明從學(xué)校騎車去營地

報到。結(jié)果3人同時在途中某地相遇。問：張明每小時行駛多少千米？

例4：有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙

相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘

和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？

例5、AB兩地相距30千米，甲乙丙三人同時從A到B,而且要求同時到達(dá)。現(xiàn)在有兩輛自行車,

但不許帶人，但可以將自行車放在中途某處，后來的人可以接著騎。已知騎自行車的平均速度為每

小時20千米，甲步行的速度是每小時5千米，乙和丙每小時4千米，那么三人需要多少小時可以同

時到達(dá)？

例6、有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙

相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘

和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？

二次相遇行程問題

答題思路點撥：甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)相向而行，兩人在C地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到B

地后返回，乙繼續(xù)走到A地后返回，第二次在D地相遇。一般知道AC和AD的距離，主要抓住第二次

相遇時走的路程是第一次相遇時走的路程的兩倍。

例1.甲乙兩車同時從A、B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇，它們各自到達(dá)對方車站后

立即返回，在距A地42千米處相遇。請問A、B兩地相距多少千米？

A.120B.100C.90D.80

例2.兩汽車同時從A、B兩地相向而行，在離A城52千米處相遇，到達(dá)對方城市后立即以原

速沿原路返回，在離A城44千米處相遇。兩城市相距（）千米

A.200B.150C.120D.100

環(huán)形問題：

例3.在一個圓形跑道上，甲從A點、乙從B點同時出發(fā)反向而行，8分鐘后兩人相遇，再過6

分鐘甲到B點，又過10分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要（）？

A.24分鐘B.26分鐘C.28分鐘D.30分鐘

追及問題的要點及解題技巧

一、多人相遇追及問題的概念及公式

多人相遇追及問題，即在同一直線上，3個或3個以上的對象之間的相遇追及問題。

所有行程問題都是圍繞“追及距離=速度差X追及時間"這一條基本關(guān)系式展開的，由此還可以得

到如下兩條關(guān)系式：

追及時間=追及距離小速度差速度差=追及距離4■追及時間

多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題

即可迎刃而解.比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個量之間的關(guān)系

轉(zhuǎn)化.

二、多次相遇追及問題的解題思路

所有行程問題都是圍繞“路程=速度X時間”這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然

較復(fù)雜，但只栗抓住這個公式，逐步分析題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解.

多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵

多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個全程

多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差

復(fù)雜追及問題

例1.一條街上，一個騎車人和一個步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3倍，每個隔10

分鐘有一輛公交車超過一個行人。每個隔20分鐘有一輛公交車超過一個騎車人，如果公交車從始發(fā)

站每隔相同的時間發(fā)一輛車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車？

A.10B.8C.6D.4

例2.小明在商場的一樓要乘扶梯到二樓。扶梯方向向上，小芳則從二樓到一樓。已知小明的速

度是小芳的2倍。小明用了2分鐘到達(dá)二樓，小芳用了8分鐘到達(dá)一樓。如果我們把一個箱子放在

一樓的第一個階梯上問多長時間可以到達(dá)二樓？

總結(jié)：在多個行程問題模型存在的時候。我們利用其速度差，速度和的關(guān)系將未知的變量抵消。

可以很輕松的一步求得結(jié)果！

例1.上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4

千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回頭去追小明，再追上小明的時候，離

家恰好是8千米。問這時是幾點幾分？

小明戰(zhàn)器遇i

爸爸匚口

一%“8-4“千米

、z<-I一）

圖37-1

例2.A、B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到B地，乙騎摩托車從B地出發(fā)，不停地往

返于A、B兩地之間，他們同時出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問：

當(dāng)甲到達(dá)B地時，乙追上甲幾次？

環(huán)形跑道較復(fù)雜的行程問題

環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程，解決

多人、多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是：看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出

正確合理的線段圖進(jìn)行分析。

例1.甲、乙兩人同時從400米的環(huán)形路跑道的一點A背向出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。

已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0.1米，兩人第三次相遇的地點與A點沿跑道上的最短距離是多少米？

A.166米B.176米C.224米D.234米

練習(xí)：

甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點A背向同時出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比

乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點與點A沿跑道上的最短路程是多少米？

例2.二人沿一周長400米的環(huán)形跑道均速前進(jìn)，甲行一圈4分鐘，乙行一圈7分鐘，他們同時

同地同向出發(fā)，甲走10圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時二人都要擊掌。問第十五次擊

掌時，甲走多長時間乙走多少路程？

例3.乙兩車同時從同一點出發(fā)，沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛。甲車每小時行駛

65千米，乙車每小時行駛55千米。一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車,

則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點距離點有多少米？（每一次甲車追上乙車也看

作一次相遇）

鐘面行程問題的要點及解題技巧

一、什么是鐘面行程問題？

鐘面行程問題是研究鐘面上的時針和分針關(guān)系的問題，常見的有兩種：⑴研究時針、

分針成一定角度的問題，包括重合、成一條直線、成直角或成一定角度；⑵研究有關(guān)時間誤差的問題.

在鐘面上每針都沿順時針方向轉(zhuǎn)動，但因速度不同總是分針追趕時針，或是分針超越時

針的局面，因此常見的鐘面問題往往轉(zhuǎn)化為追及問題來解.

二、鐘面問題有哪幾種類型？

第一類是追及問題（注意時針分針關(guān)系的時候往往有兩種情況）；

第二類是相遇問題（時針分針永遠(yuǎn)不會是相遇的關(guān)系，但是當(dāng)時針分針與某一刻度夾角相等時，

可以求出路程和）；

第三種就是走不準(zhǔn)問題，這一類問題中最關(guān)鍵的一點：找到表與現(xiàn)實時間的比例關(guān)系。

三、鐘面問題有哪些關(guān)鍵問題？

①確定分針與時針的初始位置；

②確定分針與時針的路程差；

四、解答鐘面問題有哪些基本方法？

①分格方法：

時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格，

即一周；而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。

②度數(shù)方法：

從角度觀點看，鐘面圓周一周是360。，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度，即6°,時針每分鐘

轉(zhuǎn)360/12*60度,即1/2度。

奧數(shù)行程：鐘面行程問題的例題一

例1：從5時整開始，經(jīng)過多長時間后，時針與分針第一次成了直線？

例2：從6時整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時針與分針第一次重合?

例3：在8時多少分，時針與分針垂直?

奧數(shù)行程：鐘面行程問題的例題二

例1：從9點整開始，經(jīng)過多少分，在幾點鐘，時針與分針第一次成直線?

例2：一個指在九點鐘的時鐘，分針追上時針需要多少分鐘?

例3：時鐘的分針和時針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過多少分鐘可以成一條直線?

奧數(shù)行程：走走停停的要點及解題技巧

一、行程問題里走走停停的題目應(yīng)該怎么做

1.畫出速度和路程的圖。

2.要學(xué)會讀圖。

3.每一個加速減速、勻速要分清楚，這有利于你的解題思路。

4.要注意每一個行程之間的聯(lián)系。

二、學(xué)好行程問題的要訣

行程問題可以說是難度最大的奧數(shù)專題。

類型多：行程分類細(xì)，變化多，工程抓住工作效率和比例關(guān)系，而行程每個類型重點

不一，因此沒有一個關(guān)鍵點可以抓

題目難：理解題目、動態(tài)演繹推理——靜態(tài)知識容易學(xué)，動態(tài)分析需要較高的理解能力、

邏輯分析和概括能力

跨度大：從三年級到六年級都要學(xué)行程——四年的跨度，需要不斷的復(fù)習(xí)鞏固來加深理解、

夯實基礎(chǔ)

那么想要學(xué)好行程問題，需要掌握哪些要訣呢？

要訣一：大部分題目有規(guī)律可依，要訣是"學(xué)透"基本公式

要訣二：無規(guī)律的題目有"攻略"，一畫（畫圖法）二抓（比例法、方程法）

競賽考試中的行程題涉及到很多中數(shù)學(xué)方法和思想（比如：假設(shè)法、比例、方程）等的熟練

運用，而這些方法和思想，都是小學(xué)奧數(shù)中最為經(jīng)典并能考察孩子思維的專項。

奧數(shù)行程：走走停停的例題及答案（一）

例題1：甲乙兩人同時從一條800環(huán)形跑道同向行駛，甲100米/分，乙80米/分，兩人每跑

200米休息1分鐘，甲需多久第一次追上乙？

例題2：在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點的跑道相距200米，甲、乙兩人分別從A、B兩點同

時出發(fā)，按逆時針方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他們每人跑100米都停5秒.那么，

甲追上乙需要多少秒？

例3.在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點的跑道相距200米，甲、乙兩人分別從A、B兩點同時

出發(fā)，按逆時針方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他們每人跑100米都停5秒.那么，甲

追上乙需要多少秒？

奧數(shù)行程：接送問題的例題及答案（一）

例1：如果A、B兩地相距10千米，一個班有學(xué)生45人，由A地去B地，現(xiàn)在有一輛馬車,

車速是人步行的3倍，馬車每次可以乘坐9人，在A地先將第一批學(xué)生送到B地，其余的學(xué)生同時

向B地前進(jìn)；車到B地后立即返回，在途中與步行的學(xué)生相遇后，再接9名學(xué)生前往B地，余下的

學(xué)生繼續(xù)向B地前進(jìn)...多次往返后，當(dāng)全體學(xué)生到達(dá)B地時，馬車共行了多少千米？

例2：某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班.有一天，專家為了早些到廠，比平時提前一小時

出發(fā)，步行去工廠，走了一段時間后遇到來接他的汽車，他上車后汽車立即調(diào)頭繼續(xù)前進(jìn)，進(jìn)入工

廠大門時，他發(fā)現(xiàn)只比平時早到10分鐘，問專家在路上步行了多長時間才遇到汽車？（設(shè)人和汽車

都作勻速運動，他上車及調(diào)頭時間不記）

例3：甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行，甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相

遇時距離中點48千米，兩城之間的路程是多少千米？甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行,

甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相遇時距離中點48千米，兩城之間的路程是多少千米？

小學(xué)數(shù)學(xué)行程：接送問題的例題及答案（二）

例1:有兩個班的小學(xué)生要到少年宮參加活動，但只有一輛車接送。第一班的學(xué)生做車從學(xué)校出

發(fā)的同時，第二班學(xué)生開始步行；車到途中某處，讓第一班學(xué)生下車步行，車立刻返回接第二班學(xué)

生上車并直接開往少年宮。學(xué)生步行速度為每小時4公里，載學(xué)生時車速每小時40公里，空車是50

公里/小時，學(xué)生步行速度是4公里/小時，要使兩個班的學(xué)生同時到達(dá)少年宮，第一班的學(xué)生步行

了全程的幾分之幾？（學(xué)生上下車時間不計）

A.1/7；B.1/6；C.3/4；D.2/5；

例2：某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班.有一天，專家為了早些到廠，比平時提前一小時

出發(fā)，步行去工廠，走了一段時間后遇到來接他的汽車，他上車后汽車立即調(diào)頭繼續(xù)前進(jìn)，進(jìn)入工

廠大門時，他發(fā)現(xiàn)只比平時早到10分鐘，問專家在路上步行了多長時間才遇到汽車？（設(shè)人和汽車

都作勻速運動，他上車及調(diào)頭時間不記）

例3：甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行，甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相

遇時距離中點48千米，兩城之間的路程是多少千米？甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行,

甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相遇時距離中點48千米，兩城之間的路程是多少千米？

小學(xué)數(shù)學(xué)行程：發(fā)車問題的要點及解題技巧

一、發(fā)車問題的基本解題思路

空間理解稍顯困難，證明過程對快速解題沒有幫助。一旦掌握了3個基本公式，一般問題都可以

迎刃而解。

在班車?yán)铩＜戳▎栴}。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻

麻的交叉線，按要求數(shù)交點個數(shù)即可完成。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說

不容易。

二、對“發(fā)車問題”的化歸與優(yōu)化

“發(fā)車”是一個有趣的數(shù)學(xué)問題。解決“發(fā)車問題”需栗一定的策略和技巧。本文重點解決這樣

兩個問題：一是在探索過程中，如何揭示“發(fā)車問題”的實質(zhì)？二是在建模的過程中，如何選擇最簡

明、最嚴(yán)謹(jǐn)和最易于學(xué)生理解并接受的方法或情景？

為便于敘述，現(xiàn)將“發(fā)車問題”進(jìn)行一般化處理：某人以勻速行走在一條公交車線路上，線路的

起點站和終點站均每隔相等的時間發(fā)一次車。他發(fā)現(xiàn)從背后每隔a分鐘駛過一輛公交車，而從迎面每

隔b分鐘就有一輛公交車駛來。問：公交車站每隔多少時間發(fā)一輛車？（假如公交車的速度不變，而

且中間站停車的時間也忽略不計。）

1、把“發(fā)車問題”化歸為“和差問題”

因為車站每隔相等的時間發(fā)一次車，所以同向的、前后的兩輛公交車間的距離相等。這個相等的

距離也是公交車在發(fā)車間隔時間內(nèi)行駛的路程。我們把這個相等的距離假設(shè)為“1”。

根據(jù)“同向追及”，我們知道：公交車與行人a分鐘所走的路程差是1,即公交車比行人每分鐘

多走1/a,1/a就是公交車與行人的速度差。

根據(jù)“相向相遇”，我們知道：公交車與行人b分鐘所走的路程和是1,即公交車與行人每分鐘

一■共走1/b,1/b就是公交車和行人的速度和。

這樣，我們把“發(fā)車問題”化歸成了“和差問題”。根據(jù)“和差問題”的解法：大數(shù)=（和+差）

?2,小數(shù)=（和-差）?2,可以很容易地求出公交車的速度是（1/a+1/b）三2。又因為公交車在這個

“間隔相等的時間”內(nèi)行駛的路程是1,所以再用“路程4?速度=時間”，我們可以求出問題的答案，

即公交車站發(fā)車的間隔時間是15[（1/a+1/b）+2]=21（1/a+1/b）o

2、把“發(fā)車問題”優(yōu)化為“往返問題”

如果這個行人在起點站停留m分鐘，恰好發(fā)現(xiàn)車站發(fā)n輛車，那么我們就可以求出車站發(fā)車的間

隔時間是m+n分鐘。但是，如果行人在這段時間內(nèi)做個“往返運動”也未嘗不可，那么他的“往返”

決不會影響答案的準(zhǔn)確性。

因為從起點站走到終點站，行人用的時間不一定被a和b都整除，所以他見到的公交車輛數(shù)也不

一定是整數(shù)。故此，我們不讓他從起點站走到終點站再返回。那么讓他走到哪再立即返回呢？或者說

讓他走多長時間再立即返回呢？

取a和b的公倍數(shù)（如果是具體的數(shù)據(jù)，最好取最小公倍數(shù)），我們這里取ab。假如剛剛有一輛

公交車在起點站發(fā)出，我們讓行人從起點站開始行走，先走ab分鐘，然后馬上返回；這時恰好是從

行人背后駛過第b輛車。當(dāng)行人再用ab分鐘回到起點站時，恰好又是從迎面駛來第a輛車。也就是

說行人返回起點站時第（a+b）輛公交車正好從車站開出，即起點站2ab分鐘開出了（a+b）輛公交車。

這樣，就相當(dāng)于在2ab分鐘的時間內(nèi)，行人在起點站原地不動看見車站發(fā)出了（a+b）輛車。于

是我們求出車站發(fā)車的間隔時間也是2ab;（a+b）=24-（1/a+1/b）。

這樣的往返假設(shè)也許更符合“發(fā)車問題”的情景，更簡明、更嚴(yán)謹(jǐn)，也更易于學(xué)生理解和接受。

如果用具體的時間代入，則會更加形象，更便于說明問題。

小學(xué)數(shù)學(xué)行程：發(fā)車問題的例題（一）

例1：如果A、B兩地相距10千米，一個班有學(xué)生45人，由A地去B地，現(xiàn)在有一輛馬車，車

速是人步行的3倍，馬車每次可以乘坐9人，在A地先將第一批學(xué)生送到B地，其余的學(xué)生同時向

B地前進(jìn)；車到B地后立即返回，在途中與步行的學(xué)生相遇后，再接9名學(xué)生前往B地，余下的學(xué)生

繼續(xù)向B地前進(jìn)多次往返后，當(dāng)全體學(xué)生到達(dá)B地時，馬車共行了多少千米？

例2：某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班.有一天，專家為了早些到廠，比平時提前一

小時出發(fā)，步行去工廠，走了一段時間后遇到來接他的汽車，他上車后汽車立即調(diào)頭繼續(xù)前進(jìn)，進(jìn)

入工廠大門時，他發(fā)現(xiàn)只比平時早到10分鐘，問專家在路上步行了多長時間才遇到汽車？（設(shè)人和

汽車都作勻速運動，他上車及調(diào)頭時間不記）

例3.甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行，甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相

遇時距離中點48千米，兩城之間的路程是多少千米？甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而

行，甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相遇時距離中點48千米，兩城之間的路程是多少千米？

小學(xué)數(shù)學(xué)行程：發(fā)車問題的例題（二）

例1.有兩個班的小學(xué)生要到少年宮參加活動，但只有一輛車接送。第一班的學(xué)生做車從學(xué)校出

發(fā)的同時，第二班學(xué)生開始步行；車到途中某處，讓第一班學(xué)生下車步行，車立刻返回接第二班學(xué)

生上車并直接開往少年宮。學(xué)生步行速度為每小時4公里，載學(xué)生時車速每小時40公里，空車是50

公里/小時，學(xué)生步行速度是4公里/小時，要使兩個班的學(xué)生同時到達(dá)少年宮，第一班的學(xué)生步行

了全程的幾分之幾？（學(xué)生上下車時間不計）

A.1/7；B.1/6；C.3/4；D.2/5

例2.某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班.有一天，專家為了早些到廠，比平時提前一小時

出發(fā)，步行去工廠，走了一段時間后遇到來接他的汽車，他上車后汽車立即調(diào)頭繼續(xù)前進(jìn)，進(jìn)入工

廠大門時，他發(fā)現(xiàn)只比平時早到10分鐘，問專家在路上步行了多長時間才遇到汽車？（設(shè)人和汽車

都作勻速運動，他上車及調(diào)頭時間不記）

例3.甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行，甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相

遇時距離中點48千米，兩城之間的路程是多少千米？甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行,

甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相遇時距離中點48千米，兩城之間的路程是多少千米？

小學(xué)數(shù)學(xué)行程：獵狗追兔問題的要點及解題技巧

獵狗追兔問題是行程問題中比較典型的一類題，該類問題除考察追及問題的基本公式外，還

要綜合運用比例、份數(shù)等手段解決。解題思想是將兩種動物單位化為統(tǒng)一，然后用路程差除以速度差

得到追及時間，或者由速度比得出路程比，再引入份數(shù)思想，進(jìn)而解決問題。以下題為例：

【例1】一獵狗正在追趕前方20米遠(yuǎn)兔子，已知狗一跳前進(jìn)3米,而兔子一跳前進(jìn)2.1米，但

狗跳3次的時間兔子可以跳4次，問獵狗跑多少米能追上兔子？

我們再看下一道題：

【例2］獵狗前面26步遠(yuǎn)有一只野兔,獵狗追之,兔跑8步的時間狗跑5步，兔跑9步的距離

等于狗跑4步的距離，問:兔跑多少步后被獵狗抓獲?此時獵狗跑了多少米？

小學(xué)數(shù)學(xué)行程：獵狗追兔問題的例題（一）

例1.獵犬發(fā)現(xiàn)在離它9米遠(yuǎn)的前方有一只奔跑的兔子，立刻追趕，獵犬步子大.它跑5步的

路程，兔子跑9步，但兔子動作快，獵犬跑2步的時間，兔子跑3步，獵犬至少跑多少米才能追上

兔子？

例2.獵狗發(fā)現(xiàn)離它110米處有一只奔跑的兔子，馬上緊追上去，獵狗跑5步的距離兔子要

跑9步，獵狗跑2步的時間兔子要跑3步，問獵狗跑多遠(yuǎn)才能追上兔子？

獵狗追兔問題二：

例1.獵狗前面26步遠(yuǎn)的地方有一野兔，獵狗追之。兔跑8步的時間狗只跑5步，但兔跑9步的

距離僅等于狗跑4步的距離。問兔跑幾步后，被狗抓獲？

例2.獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米的前方有一只奔跑的兔，馬上追.獵犬的步子大，它跑5步等于兔跑

9步，兔子動作快，獵犬2步時它能跑3步，獵犬至少跑多少米才能追上兔子？

例3.獵人帶狗去打獵。發(fā)現(xiàn)兔子跑出去70米時，獵狗立即去追兔子。獵狗跑2步的時間兔子

跑3步，獵狗跑7步的距離兔子跑13步。那么獵狗跑多少米才能追上兔子？

平均速度問題的例題

例1.（2007年4月〃“希望”全國數(shù)學(xué)邀請賽〃四年級2試）趙伯伯為了鍛煉身體，每天步

行3小時，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回.假設(shè)趙伯伯在平路上每小時行4千米，上

山每小時行3千米，下山每小時行6千米，在每天鍛煉中，他共行走多少千米？

例2.張師傅開汽車從A到B為平地（見下圖），車速是36千米/時；從B到C為上山路，

車速是28千米/時；從C到D為下山路，車速是42千米/時.已知下山路是上山路的2倍，從A到

D全程為72千米，張師傅開車從A到D共需要多少時間？

10個經(jīng)典又復(fù)雜的行程問題

1、甲、乙兩人分別從相距100米的A、B兩地出發(fā)，相向而行，其中甲的速度是2米每秒,

乙的速度是3米每秒。一只狗從A地出發(fā)，先以6米每秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉頭沖向甲,

碰到甲之后再跑向乙，如此反復(fù)，直到甲、乙兩人相遇。問在此過程中狗一共跑了多少米？

2、甲從A地前往B地，乙從B地前往A地，兩人同時出發(fā)，各自勻速地前進(jìn)，每個人到

達(dá)目的地后都立即以原速度返回。兩人首次在距離A地700米處相遇，后來又在距離B地400

米處相遇。求A、B兩地間的距離。

3、甲、乙、丙三人百米賽跑，每次都是甲勝乙10米，乙勝丙10米。則甲勝丙多少米?

4、哥哥弟弟百米賽跑，哥哥贏了弟弟1米。第二次，哥哥在起跑線處退后1米與弟弟比賽，那

么誰會獲勝？

5、船在靜水中往返A(chǔ)、B兩地和在流水中往返A(chǔ)、B兩地相比，哪種情況下更快?

6、船在流水中逆水前進(jìn)，途中一個救生圈不小心掉入水中，一小時后船員才發(fā)現(xiàn)并調(diào)頭追趕。則

追上救生圈所需的時間會大于一個小時，還是小于一個小時，還是等于一個小時？

下面這個問題也很類似：假設(shè)人在傳送帶上的實際行走速度等于人在平地上的行走速度加上一個

傳送帶的速度。

7、你需要從機(jī)場的一號航站樓走到二號航站樓。路途分為兩段，一段是平地，一段是自動傳送帶。

假設(shè)你的步行速度是一定的，因而在傳送帶上步行的實際速度就是你在平地上的速度加上傳送帶的速

度。如果在整個過程中，你必須花兩秒鐘的時間停下來做一件事情（比如蹲下來系鞋帶），那么為了

更快到達(dá)目的地，你應(yīng)該把這兩秒鐘的時間花在哪里更好？

8、假設(shè)你站在甲、乙兩地之間的某個位置，想乘坐出租車到乙地去。你看見一輛空車遠(yuǎn)遠(yuǎn)地從甲

地駛來，而此時整條路上并沒有別人與你爭搶空車。我們假定車的行駛速度和人的步行速度都是固定

不變的，并且車速大于人速。為了更快地到達(dá)目的地，你應(yīng)該迎著車走過去，還是順著車的方向往前

走一點？

9、某工廠每天早晨都派小車按時接總工程師上班。有一天，總工程師為了早些到工廠，比平日提

前一小時出發(fā)步行去工廠。走了一段時間后，遇到來接他的小車才上車?yán)^續(xù)前進(jìn)。進(jìn)入工廠大門后，

他發(fā)現(xiàn)只比平時早到10分鐘?？偣こ處熢诼飞喜叫辛硕嚅L時間才遇到來接他的汽車？設(shè)人和汽車

都做勻速直線運動。

10、有一位隱居在深山老林的哲學(xué)家。一天，他忘記給家里唯一的時鐘上發(fā)條了。由于他家里沒

有電話、電視、網(wǎng)絡(luò)、收音機(jī)等任何能獲知時間的設(shè)備，因此他徹底不知道現(xiàn)在的時間是多少了。

于是，他徒步來到了他朋友家里坐了一會兒，然后又徒步回到自己家中。此時，他便知道了應(yīng)該怎

樣重新設(shè)定自己的時鐘。他是怎么做的？

環(huán)形問題練習(xí)

人在環(huán)形路上行走，計算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關(guān).

1小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）

小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？

（2）小張和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？

2如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們在C點第

一次相遇，C離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點60米.求這個圓的周長.

3甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)

另一村后就馬上返回）.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地

方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？

4小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他

們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點離乙

村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？

5繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時速度每

走1小時后休息5分鐘；小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時間

第一次相遇？

6一個圓周長90厘米，3個點把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A,B,C分別在這3個點上.它

們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度

是3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達(dá)同一位置？

7圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時，在BC上的速

度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米/小時.從CD上一點

P,同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點相遇.如果從PC中點M,同?

時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點N處相遇.求

cpMD

稍復(fù)雜的行程問題練習(xí)

在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個解題技巧：

（1）在行程中能設(shè)置一個解題需要的點；（2）靈活地運用比例.

1、小王的步行速度是4.8千米/小時，小張的步行速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地

去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去他們3人同時出發(fā)，在小張與小李相遇后

5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間？

2、小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.

小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”？姐

姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4：1,那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時，

回家取車才合算.”請推算一下，從公園到他們家的距離是多少米？

3、快車和慢車分別從A,B兩地同時開出，相向而行.經(jīng)過5小時兩車相遇.已知慢車從B到

A用了12.5小時，慢車到A停留半小時后返回.快車到B停留1小時后返回.問：兩車從第一次相遇

到再相遇共需多少時間？

4、一只小船從A地到B地往返一次共用2小時.回來時順?biāo)?，比去時的速度每小時多行駛8千

米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米.求A至B兩地距離.

5、從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米，在第二段

上，汽車速度是每小時90千米，在第三段上，汽車速度是每小時50千米.已知第一段公路的長恰好

是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行.1小時20分后，在第二段的1/3

處（從甲方到乙方向的1/3處）相遇，那么，甲、乙兩市相距多少千米？

6、一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20%,可以比原定時間提前一小時到達(dá)；如果以原速

行駛120千米后，再將速度提高25%,則可提前40分鐘到達(dá).那么甲、乙兩地相距多少千米？

行程問題經(jīng)典練習(xí)

1、甲、乙兩地相距6千米，某人從甲地步行去乙地，前一半時間平均每分鐘行80米，后一半時

間平均每分鐘行70米。問他走后一半路程用了多少分鐘？

2、小明從家到學(xué)校有兩條一樣長的路，一條是平路，另一條是一半上坡路、一半下坡路。小明

上學(xué)走兩條路所用的時間一樣多。已知下坡的速度是平路的1.5倍,那么上坡的速度是平路的多少倍？

3、一只小船從甲地到乙地往返一次共用