線性代數(shù)考試復(fù)習(xí)提綱、知識(shí)點(diǎn)、例題

線性代數(shù)考試復(fù)習(xí)提綱、知識(shí)點(diǎn)、例題

一、行列式的計(jì)算（重點(diǎn)考四階行列式）

1、利用行列式的性質(zhì)化成三角行列式

行列式的性質(zhì)可概括為五條性質(zhì)、四條推論，即七種變形手段（轉(zhuǎn)

置、交換、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三個(gè)為01兩行（列）

相同、成比例、一行（列）全為0】

2、行列式按行（列）展開(kāi)定理降階

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘

積之和，即。/1Ai+42A2+…+%,Ani=L2,...,九

=+…+〃川A”i=1,

-22-40

例1、計(jì)算行列式：?：：

31-2-3

2051

二、解矩陣方程

矩陣方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：AX=BXA=BAXB=C

若系數(shù)矩陣可逆，則乂二人-七X=BA'X=A-'CB-'

切記不能寫(xiě)成X=A'B'C或X=￡

AB

求逆矩陣的方法：

1、待定系數(shù)法AB=E（或8A=E）

2、伴隨矩陣法

其中A*叫做A的伴隨矩陣，它是同的每一行的元素的代數(shù)余

子式排在相同序數(shù)的列上的矩陣。

Ai4???Aji

A*_A242Ai2

、A"A?”…Arn>

3、初等變換法(AE)照行憚A-')

同c初左匚時(shí)士羊口(3-H(56)<14161

例2、解矩陣方程「°X°=八八

(5-2j(78八910J

‘010、‘1-1、

例3、解矩陣方程X=AX+B,其中A=-1118=20

、T0”

三、解齊次或非齊次線性方程組

設(shè)A=(%)，〃元齊次線性方程組AX=0有非零解or(A)<〃

〃兀齊次線性方程組AX=0只有零解0r(A)=〃。

當(dāng)〃?=〃時(shí)，〃兀齊次線性方程組AX=0只有零解二|A|HO。

當(dāng)〃z=〃時(shí)，〃元齊次線性方程組AX=0有非零解0網(wǎng)=0。

當(dāng)機(jī)<“時(shí)，齊次線性方程組一定有非零解。

定義：設(shè)齊次線性方程組AX=0的解配…?滿足：

(1)。，…?線性無(wú)關(guān)，

(2)AX=0的每一個(gè)解都可以由配…白線性表示。

貝!|全.."叫做AX=0的基礎(chǔ)解系。

定理1、設(shè)4*“，齊次線性方程組AX=0,若r(A)=r<〃，則該方程組

的基礎(chǔ)解系一定存在，且每一個(gè)基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)

數(shù)都等于“-入

齊次線性方程組的通解“輻+???+&&_,K，GR

設(shè)A=(%)，"元非齊次線性方程組/1%=3有解0?4)=?)。

\J'mxn

唯一解"r(A)=r(A)=〃。

無(wú)數(shù)解=廠⑷=r(A)<no

無(wú)解=r(A)#r(A)。

非齊次線性方程組的通解x=匕。乂,…,k.—wR

玉+樂(lè)+2%3-x4=0

例4、求齊次線性方程組2%+馬+超74=0的通解

2尤］+2X2+X3+2X4=0

Xj+x2-3X3-x4=1

例5、求非齊次線性方程組上玉f-3芻+4/=4的通解。

玉+5X2-9X3-8X4=0

四、含參數(shù)的齊次或非齊次線性方程組的解的討論

丸尢+y+z=0

例6、當(dāng)尤為何值時(shí)，齊次線性方程組卜+仙-z=0有非零解，并求解。

2工一y+z=0

-2%+9+X3=-2

例7、已知線性方程組X,-2X2+X3=A,問(wèn)當(dāng)X為何值時(shí)，它有唯一

玉+%2—2%3二丸一

解，無(wú)解，無(wú)窮多解，并在有無(wú)窮多解時(shí)求解。

五、向量組的線性相關(guān)性

%,火，”.,4線性相關(guān)=岡,。2，“”右($22)中至少存在一個(gè)向量能由其余

向量線性表示。

=存在不全為0的數(shù)勺&…，&使得//+k2a2+..+ksas=0。

(kA作、

0(1,%*=0有非零解&=0有非零解

小、

"=0有非零解

O廠(1)VSor?,必…,a；）＜s

%.，…，。、線性無(wú)關(guān)0%，。2，..”鬼（5之2）中任意一個(gè)向量都不能由其余

向量線性表示。

<=>k]cc}+k)a?+..+k、a、=0,貝!|ki=k'=…=&-0。

伏、

0（%,02，...,%）*=0只有零解0(勺&,“”4)%=0只有零解

A

o*=0

。廠（弓,。2,…,aj=s

o/…,a；)=s

特殊的，〃個(gè)〃維向量％如…，%線性相關(guān)…,%|=?；?=。。

%

〃個(gè)〃維向量即%,…,火線性無(wú)關(guān)＜=＞[4,00或|-卜0。

%

例8、已知向量組4=（f,2,1）,a2=（2,r,0）,%=（1'-1』），

討論/使該向量組（1）線性相關(guān)（2）線性無(wú)關(guān)

六、求向量組的秩，極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用極大無(wú)關(guān)組

線性表示

設(shè)向量組A:%,4,若從A中選出r個(gè)向量構(gòu)成向量組

4滿足：

(1)4線性無(wú)關(guān)

(2)A中的每一個(gè)向量都能由4線性表示，

條件(2)換一句話說(shuō)A的任意r+1個(gè)向量(若有的話)都線性

相關(guān)，或者說(shuō)從A中向4任意添加一個(gè)向量(若有的話)，所得的向

量組都線性相關(guān)。

則4叫做A的極大線性無(wú)關(guān)向量組，簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組。

向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)叫做向量組的秩，

記作r(a,,a2,?.,av)=r

求向量組的秩的方法：

(1)擴(kuò)充法

(2)子式法"(％,%.”,區(qū)鼠

最高階非0子式的階數(shù)就是矩陣的秩，也就是這個(gè)向量組

的秩，并且這個(gè)子式的行(列)對(duì)應(yīng)的原向量組的向量就

是這個(gè)向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。

(3)初等變換法同法二構(gòu)成矩陣，對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換。

例9、設(shè)向量組

?=(121,3)3=(4—4=(-1,-3,-4,-7)1%=(2,1,2,3丫

求(1)向量組的秩；

(2)向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并把其余向量用這個(gè)極大

線性無(wú)關(guān)組線性表示。

七、相似矩陣的性質(zhì)與矩陣可相似對(duì)角化問(wèn)題

P'AP^B

相似矩陣的性質(zhì)：

1、相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值，行列式,

跡。特征值相同是兩個(gè)矩陣相似的必要而非充分條件。

2、相似矩陣有相同的秩。秩相等是方陣相似的必要而非充分條件。

3、相似矩陣有相同的可逆性，當(dāng)它們可逆時(shí),它們的逆矩陣也相似。

4、若A與8相似，則不與"相似，keN,則9(A)與9(B)相似。

Bk=(P-'AP)k=P'APP-'AP...P'AP=P'AkP

'4、

A“與A=相似

=4有〃個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量八02，...0,，且以它們?yōu)榱邢蛄?/p>

組的矩陣P使kAP=A,4,4,…，4,分別為與PI，P2,…,0對(duì)應(yīng)的

4的特征值。

若4有〃個(gè)互不相等的特征值4人,..自，則A“一定與

’4、

A=4,相似。

A“與A相似。對(duì)應(yīng)于A“的每個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)

等于該特征值的重?cái)?shù)。

<=>n-r(AE-A)=k其中k為入的重?cái)?shù)

r1-2—4](500、

例10、設(shè)矩陣A=-2x-2與B=0y0相似

、一4-21JI。0-4?

（1）求尤與y；

(2)求可逆矩陣P,^P~'AP=BO

'00P

例11、設(shè)A=11a問(wèn)。為何值時(shí)，矩陣A能相似對(duì)角化。

J00,

例12、設(shè)三階矩陣A的特征值為4=1,4=2,4=3,對(duì)應(yīng)的特征

向量依次為7=（1,1,1）',%=（1,2,4）,7=（1，3,9）',求矩陣A。

例13、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征向值-1,1,1,與特征值-1對(duì)應(yīng)的

特征向量為q求A。

八、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并求所用線性變換的矩陣

例14、化二次型/（XL，/）=x；+5x；+6石-以/-6中3-1。工2工3為標(biāo)準(zhǔn)

型，并求所用可逆線性變換的矩陣。

例15、化二次型/區(qū),工2，當(dāng)）=2X也+2%工3-6%