湖南省衡陽市 縣清潭中學高二數(shù)學文聯(lián)考試題含解析

湖南省衡陽市縣清潭中學高二數(shù)學文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.有兩個問題：①有1000個乒乓球分別裝在3個箱子內(nèi)，其中紅色箱子內(nèi)有500個，藍色箱子內(nèi)有200個，黃色箱子內(nèi)有300個，現(xiàn)從中抽取一個容量為100的樣本；②從20名學生中選出3人參加座談會．則下列說法中正確的是（）A．①隨機抽樣法②系統(tǒng)抽樣法 B．①分層抽樣法②隨機抽樣法C．①系統(tǒng)抽樣法②分層抽樣法 D．①分層抽樣法②系統(tǒng)抽樣法參考答案：B【考點】收集數(shù)據(jù)的方法．【分析】簡單隨機抽樣是從總體中逐個抽??；系統(tǒng)抽樣是事先按照一定規(guī)則分成幾部分；分層抽樣是將總體分成幾層，再抽取．【解答】解：1000個乒乓球分別裝在3個箱子內(nèi)，其中紅色箱子內(nèi)有500個，藍色箱子內(nèi)有200個，黃色箱子內(nèi)有300個，總體的個體差異較大，可采用分層抽樣；從20名學生中選出3名參加座談會，總體個數(shù)較少，可采用抽簽法．故選B．2.在平面直角坐標系中,方程表示在x軸、y軸上的截距分別為a、b的直線,類比到空間直角坐標系中,在x軸、y軸、z軸上的截距分別為的平面方程為(

)A. B.C. D.參考答案：A【分析】平面上直線方程的截距式推廣到空間中的平面方程的截距式是.【詳解】由類比推理得：若平面在軸、軸、軸上的截距分別為，則該平面的方程為：，故選A.【點睛】平面中的定理、公式等類比推理到空間中時，平面中的直線變?yōu)榭臻g中的直線或平面，平面中的面積變?yōu)榭臻g中的體積.類比推理得到的結(jié)論不一定正確，必要時要對得到的結(jié)論證明.如本題中，可令，看是否為.3.等差數(shù)列中，，則＝（

）A.15

B.30

C.31

D.64參考答案：A4.在△ABC中，（a，b，c分別為角A，B，C的對邊），則△ABC的形狀為（）A．直角三角形

B．等邊三角形

C．等腰三角形

D．等腰三角形或直角三角形參考答案：A因為，由正弦定理當可得，，因為，所以，的形狀為直角三角形，故選A.

5.已知,

,且,則等于

(

)

A．－1

B．－9

C．9

D．1

參考答案：A6.計算機中常用的十六進制是逢16進1的計數(shù)制，采用數(shù)字0～9和字母A～F共16個計數(shù)符號，這些符號與十進制數(shù)的對應關(guān)系如下表：十六進制0123456789ABCDEF十進制0123456789101112131415例如，用十六進制表示：E＋D＝1B，則B×F(“×”表示通常的乘法運算)等于(

)A．A5 B．BF

C．165

D．B9參考答案：A略7.全集為實數(shù)集R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，則（?RM）∩N=（）A．{x|x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2≤x＜1}參考答案：A【考點】1H：交、并、補集的混合運算．【分析】由已知中全集為實數(shù)集R，M={x|﹣2≤x≤2}，我們可以確定CRM，再根據(jù)N={x|x＜1}，結(jié)合集合交集的運算法則，可以求出（CRM）∩N的值．【解答】解：∵M={x|﹣2≤x≤2}，∴CRM={x|x＜﹣2，或x＞2}，又∵N={x|x＜1}，∴（CRM）∩N={x|x＜﹣2}故選A8.已知均為單位向量，它們的夾角為，那么（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A9.上圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象,則下面判斷正確的是A.在區(qū)間(-2,1)內(nèi)是增函數(shù)

B.在(1,3)內(nèi)是減函數(shù)C.在(4,5)內(nèi)是增函數(shù)

D.在x=2時取到極小值參考答案：C略10.已知等差數(shù)列{an}中，若，則它的前7項和為（

）

A．120

B．115

C．110

D．105參考答案：D由題得.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，前三項的和為21，則__________。參考答案：16812.已知P是底面為正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1的上底面△A1B1C1的中心，作平面與棱AA1交于點D．若，則三棱錐D-ABC的體積為_____．參考答案：【分析】由題意畫出圖形，求出AD的長度，代入棱錐體積公式求解．【詳解】如圖，∵P為上底面△A1B1C1的中心，∴A1P，∴tan．設(shè)平面BCD交AP于F，連接DF并延長，交BC于E，可得∠DEA＝∠PAA1，則tan∠DEA．∵AE，∴AD．∴三棱錐D﹣ABC的體積為V．故答案為：．【點睛】本題考查多面體體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，是中檔題．13.若正實數(shù)，滿足，則的最小值是

__

．參考答案：1814.已知點為雙曲線的右支上一點,、為雙曲線的左、右焦點，使(為坐標原點),且,則雙曲線離心率為

。參考答案：15.在三棱錐P﹣ABC中，PA垂直于底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，則當△AEF的面積最大時，tanθ的值為

．參考答案：【考點】解三角形的實際應用．【分析】等腰Rt△PAB中，算出AE=PE=BE═PB=．由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出PB⊥面AEF，得PB⊥EF．在Rt△PEF中算出EF=tanθ，在Rt△AEF中，算出AF=，可得S△AEF，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出當且僅當tanθ=時S△AEF有最大值，可得答案．【解答】解：在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2，∵AE⊥PB，∴AE=PB=，∴PE=BE=．∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC∵PB?平面PBC，∴AF⊥PB∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF，結(jié)合EF?平面AEF，可得PB⊥EF．Rt△PEF中，∠EPF=θ，可得EF=PE?tanθ=tanθ，∵AF⊥平面PBC，EF?平面PBC．∴AF⊥EF．∴Rt△AEF中，AF==，∴S△AEF=AF?EF=×tanθ×=∴當tan2θ=，即tanθ=時，S△AEF有最大值為．故答案為：．16.已知曲線恰有三個點到直線距離為1，則參考答案：917.已知向量a＝(8,)，b＝(x，1)，其中x＞0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x＝

▲

．參考答案：4【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算公式求出向量與,然后根據(jù)平面向量共線（平行）的充要條件建立等式,解之即可.【詳解】向量，，，，即，又，故答案為4.【點睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1與平面ABCD所成的二面角的大小

參考答案：

19.（4-4：坐標系與參數(shù)方程）曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若直線l與曲線C交于A，B兩點，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C曲線C的參數(shù)方程（θ為參數(shù)）化為直角坐標方程即：，與直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）聯(lián)立可得：，則，結(jié)合弦長公式可知：.本題選擇C選項.

20.如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其對角線的交點為O，且SA=SC，SA⊥BD．（1）求證：SO⊥平面ABCD；（2）設(shè)∠BAD=60°，AB=SD=2，P是側(cè)棱SD上的一點，且SB∥平面APC，求三棱錐A﹣PCD的體積．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，容易判斷BD⊥平面SAC，所以BD⊥SO，而SO又是等腰三角形底邊AC的高，所以SO⊥AC，從而得到SO⊥平面ABCD；（2）連接OP，求出P到面ABCD的距離為，利用V三棱錐A﹣PCD=V三棱錐P﹣ACD，這樣即可求出三棱錐A﹣PCD的體積．【解答】（1）證明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又∵BD⊥SA，SA∩AC=A，∴BD⊥平面SAC．又∵SO?平面SAC，∴BD⊥SO．∵SA=SC，AO=OC，∴SO⊥AC．又∵AC∩BD=O，∴SO⊥平面ABCD．（2）解：連接OP，∵SB∥平面APC，SB?平面SBD，平面SBD∩平面APC=OP，∴SB∥OP．又∵O是BD的中點，∴P是SD的中點．由題意知△ABD為正三角形．∴OD=1．由（1）知SO⊥平面ABCD，∴SO⊥OD．又∵SD=2，∴在Rt△SOD中，SO=，∴P到面ABCD的距離為，∴∴VA﹣PCD=VP﹣ACD=×（×2×2sin120°）×=．【點評】考查線面垂直的判定定理，菱形對角線的性質(zhì)，線面平行的性質(zhì)定理，以及三角形的面積公式，三棱錐的體積公式．21.已知動圓P與圓F1：（x+1）2+y2=1外切，與圓F2：（x﹣1）2+y2=9內(nèi)切．動圓P的圓心軌跡為曲線E，且曲線E與y軸的正半軸相交于點M．若曲線E上相異兩點A、B滿足直線MA，MB的斜率之積為．（1）求E的方程；（2）證明直線AB恒過定點，并求定點的坐標．參考答案：【考點】軌跡方程．【分析】（1）確定PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，可得曲線E是長軸長2a=4，焦距2c=2的橢圓，且b2=a2﹣c2=3，即可求E的方程；（2）分類討論，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合直線MA，MB的斜率之積為，即可證明直線AB恒過定點，并求定點的坐標【解答】解（1）設(shè)動圓P的半徑為r，由已知|PF1|=r+1，|PF2|=3﹣r，則有|PF1|+|PF2|=4，化簡得曲線E的方程為=1．（2）由曲線E的方程得，上頂點M（0，），記A（x1，y1），B（x2，y2），由題意知，x1≠0，x2≠0．若直線AB的斜率不存在，則直線AB的方程為x=x1，故y1=﹣y2，因此，kMA?kMB==﹣=，與已知不符，因此直線AB的斜率存在．設(shè)直線AB：y=kx+m，代入橢圓E的方程=1，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，①因為直線AB與曲線E有公共點A，B，所以方程①有兩個非零不等實根x1，x2，所以x1+x2=﹣，x1?x2=，又kAM=，kMB=由kAM?kBM=得4（kx1+m﹣）（kx2+m﹣）=x1x2，即（4k2﹣1）x1x2+4k（m﹣）（x1+x2）+4（m﹣）2=0，所以4（m2﹣3）（4k2﹣1）+4k（m﹣）（﹣8km）+4（m﹣）2?（3+4k2）=0，化簡得m2﹣3+6=0，故m=或m=2．結(jié)合x1x2≠0知m=2，即直線AB恒過定點N（0，2）．22.已知動圓過定點