人教版八年級(jí)上冊期末數(shù)學(xué)試題含答案

人教版八年級(jí)上冊期末數(shù)學(xué)試題含答案一、選擇題1．下列圖形中是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．2020年6月23日上午9時(shí)43分，北斗三號(hào)系統(tǒng)第30顆衛(wèi)星，同時(shí)也是整個(gè)北斗系統(tǒng)的第55顆衛(wèi)星成功發(fā)射，北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)星座部署全面完成．其中支持北斗三號(hào)新信號(hào)的22納米工藝射頻基帶一體化導(dǎo)航定位芯片，已實(shí)現(xiàn)規(guī)?；瘧?yīng)用．1納米＝0.000000001米，將22納米用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．米 B．米 C．米 D．米3．下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．4．若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．且5．下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．6．下列分式的變形正確的是（

）A．＝ B．＝x+y C．＝ D．＝（a≠b）7．如圖，點(diǎn)E，點(diǎn)F在直線AC上，，AD∥BC，若想利用“”說明，需要添加的條件是（

）A． B． C． D．8．若關(guān)于x的一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，且關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)m的和是（

）A．1 B．2 C．3 D．59．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，O是三條高AD，BE，CF的交點(diǎn)，則以下結(jié)論中不一定成立的是（

）A．∠BOC＝120° B．AB＝2AEC．∠BOD＝60° D．OE＋OF＝10．如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有(

)個(gè)①；②；③；④是等腰三角形；⑤.A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)二、填空題11．若分式的值為0，則x的值是_________．12．點(diǎn)P（1，-2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．13．已知：，則A+B＝_____．14．已知，則_________．15．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分線，P是直線EF上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值是___．16．多項(xiàng)式是完全平方式，則________．17．實(shí)數(shù)，滿足，則分式的值是__．18．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，AX⊥AC，點(diǎn)P和點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，分別在線段AC和射線AX上運(yùn)動(dòng)，且AB=PQ，當(dāng)AP=________時(shí)，△ABC與△APQ全等．三、解答題19．分解因式：(1)．(2)．20．解分式方程：．21．如圖，AB⊥CB，DC⊥CB，E、F在BC上，∠A=∠D，BE=CF，求證：AF=DE．22．閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點(diǎn)P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P．則∠A＝（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為．（用x、y表示∠P）拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．23．某商場準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種商品進(jìn)行銷售，若每個(gè)甲商品的進(jìn)價(jià)比每個(gè)乙商品的進(jìn)價(jià)少2元，且用80元購進(jìn)甲商品的數(shù)量與用100元購進(jìn)乙商品的數(shù)量相同．設(shè)每個(gè)乙商品的進(jìn)價(jià)為x元．(1)每個(gè)甲商品的進(jìn)價(jià)為_______元（用含x的式子表示）；(2)求每個(gè)甲、乙商品的進(jìn)價(jià)分別是多少？24．材料：數(shù)學(xué)興趣一小組的同學(xué)對完全平方公式進(jìn)行研究：因，將左邊展開得到，移項(xiàng)可得：.數(shù)學(xué)興趣二小組受興趣一小組的啟示，繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：對于任意兩個(gè)非負(fù)數(shù)、，都存在，并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)非負(fù)數(shù)、的和一定存在著一個(gè)最小值.根據(jù)材料，解答下列問題：（1）__________（，）；___________（）；（2）求的最小值；（3）已知，當(dāng)為何值時(shí)，代數(shù)式有最小值，并求出這個(gè)最小值.25．在Rt△中，，∠，點(diǎn)是上一點(diǎn)．(1)如圖，平分∠，求證；(2)如圖，點(diǎn)在線段上，且∠，∠，求證；(3)如圖3，BM⊥AM，M是△ABC的中線AD延長線上一點(diǎn)，N在AD上，AN＝BM，若DM＝2，則MN＝（直接寫出結(jié)果）．26．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并證明；（3）如圖3，將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數(shù)．【參考答案】一、選擇題2．B解析：B【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A，C，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．B選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．C解析：C【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【詳解】解：22納米＝22×0.000000001米＝2.2×10?8米．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．B解析：B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方和積的乘方來計(jì)算求解．【詳解】解：A．，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，此項(xiàng)不符合題意；B．，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，此項(xiàng)符合題意；C．，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，此項(xiàng)不符合題意；D．，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，此項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方和積的乘方，理解相關(guān)運(yùn)算法則是解答關(guān)鍵．5．C解析：C【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式的分母不為0解答即可．【詳解】解：∵代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x-1≥0，且x≠0解得：x≥1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．6．D解析：D【分析】根據(jù)因式分解的概念以及方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A、沒有變?yōu)檎降姆e的形式，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、沒有變?yōu)檎降姆e的形式，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，故D選項(xiàng)正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的概念，把一個(gè)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)化為幾個(gè)整式的積，這種式子變形叫做多項(xiàng)式的因式分解，掌握因式分解的概念是解答本題的關(guān)鍵．7．C解析：C【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變，逐項(xiàng)分析即可求出答案．【詳解】解：A、當(dāng)c＝0時(shí)，等式不成立，故A不符合題意；B、≠x＋y，故B不符合題意；C、＝，變形正確，故C符合題意；D、≠（a≠b），故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．8．A解析：A【分析】根據(jù)AD∥BC，可得∠A=∠C，再根據(jù)全等三角形的判定，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵，∴A、添加，可利用AAS說明，故本選項(xiàng)符合題意；B、添加，不能說明，故本選項(xiàng)不符合題意；C、添加，不能說明，故本選項(xiàng)不符合題意；D、添加，可利用SAS說明，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．A解析：A【分析】先利用一次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求解m的范圍，再解分式方程可得結(jié)合分式方程的解為非負(fù)整數(shù)確定m的值，從而可得答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=（m+3）x+m-5的圖象不經(jīng)過第二象限，解得-3＜m≤5，解分式方程∴整理得：得，∵關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，∴是非負(fù)整數(shù)且不等于2，∴m=-1，2，∵（-1）+2=1，∴滿足條件的所有整數(shù)m的和為1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、分式方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出滿足條件的m的值，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和分式方程的知識(shí)解答．10．C解析：C【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及直角三角形兩個(gè)銳角互余可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可判斷B選項(xiàng)，只有時(shí)，C選項(xiàng)才成立，即可作出判斷，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，設(shè)，，分別表示出即可判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：∠BAC＝60°，O是三條高AD，BE，CF的交點(diǎn)，，，故A成立，不符合題意，中，，，故B成立，不符合題意，若，則，但不一定相等，故C不一定成立，符合題意，中，，則，中，，則，設(shè)，，，，，，OE＋OF＝，故D選項(xiàng)成立，不符題意，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．B解析：B【分析】只要證明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF＝∠DFG＝67.5°，即可判斷①②③④正確，作GM⊥BD于M，只要證明GH＜DG即可判斷⑤錯(cuò)誤．【詳解】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A＋∠ABE＝90°，∠ABE＋∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°?45°＝45°＝∠DBC，∴BD＝DC，在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC，故①正確．∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，∴∠A＝∠BCA＝67.5°，故③正確，∴BA＝BC，∵BE⊥AC，∴AE＝EC＝AC＝BF，故②正確，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∵∠BDF＝∠BHG＝90°，∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，∴DG＝DF，故④正確．作GM⊥AB于M．∵∠GBM＝∠GBH，GH⊥BC，∴GH＝GM＜DG，∴S△DGB＞S△GHB，∵S△ABE＝S△BCE，∴S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE．故⑤錯(cuò)誤，∴①②③④正確，故選B．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，第五個(gè)問題難度比較大，添加輔助線是解題關(guān)鍵，屬于中考選擇題中的壓軸題．二、填空題12．1【分析】根據(jù)分式的值為零的條件得到且，解方程即可．【詳解】解：根據(jù)分式的值為零的條件得到且，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為零的條件：當(dāng)分式的分母不為零，分子為零時(shí)，分式的值為零．13．（1，2）【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．【詳解】解：點(diǎn)P（1，-2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，2）．故答案為:（1，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．14．A解析：3【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算將右邊的分式合并之后，運(yùn)用待定系數(shù)法建立關(guān)于A，B的方程組求解即可．【詳解】解：，，解得：．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．15．3【分析】逆用同底數(shù)冪的除法公式即可．【詳解】∵，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的除法逆用，熟記同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減是解題的關(guān)鍵．16．4【分析】根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P為EF和AC的交點(diǎn)時(shí)，AP+BP值最小為AC的長為4．【詳解】解：如圖：連結(jié)BP，CP，∵EF垂直平分BC，∴B、C關(guān)解析：4【分析】根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P為EF和AC的交點(diǎn)時(shí)，AP+BP值最小為AC的長為4．【詳解】解：如圖：連結(jié)BP，CP，∵EF垂直平分BC，∴B、C關(guān)于EF對稱，∴BP=CP，∴AP+BP=AP+CP，根據(jù)兩點(diǎn)之間相等最短AP+PC≥AC，∴當(dāng)點(diǎn)P在AC與EF交點(diǎn)時(shí)，AP+BP最小=AC，最小值等于AC的長為4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱——最短路線問題的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是能根據(jù)想到垂直平分線的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短找出P點(diǎn)的位置．17．25【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出m的值．【詳解】解：∵多項(xiàng)式是完全平方式，∴m=25．故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題解析：25【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出m的值．【詳解】解：∵多項(xiàng)式是完全平方式，∴m=25．故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．18．【分析】先把已知等式的兩邊去括號(hào)，移項(xiàng)變形，化成，利用非負(fù)性得到，代入分式即可求值．【詳解】解：，．．，．，．原式．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了分式解析：【分析】先把已知等式的兩邊去括號(hào)，移項(xiàng)變形，化成，利用非負(fù)性得到，代入分式即可求值．【詳解】解：，．．，．，．原式．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是把已知的等式變性后利用非負(fù)性質(zhì)求得，．19．5或10##10或5【分析】分兩種情況：①當(dāng)AP=BC=5時(shí)；②當(dāng)AP=CA=10時(shí)；由HL證明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ=9解析：5或10##10或5【分析】分兩種情況：①當(dāng)AP=BC=5時(shí)；②當(dāng)AP=CA=10時(shí)；由HL證明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，∴∠C=∠PAQ=90°，分兩種情況：①當(dāng)AP=BC=5時(shí)，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②當(dāng)AP=CA=10時(shí)，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AP=5或10時(shí)，△ABC與△APQ全等；故答案為：5或10．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定方法；熟練掌握直角三角形全等的判定方法，本題需要分類討論．三、解答題20．(1)(2)【分析】（1）提取公因數(shù)，利用完全平方和公式即可求得；（2）提取公因數(shù)，利用平方差公式即可求得．(1)解：；(2)解：．【點(diǎn)睛】本題解析：(1)(2)【分析】（1）提取公因數(shù)，利用完全平方和公式即可求得；（2）提取公因數(shù)，利用平方差公式即可求得．(1)解：；(2)解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用公式以及提取公因數(shù)法因式分解，掌握因式分解的方法是解決問題的關(guān)鍵．2【分析】根據(jù)分式方程的解法去分母化為整式方程即可求解．【詳解】，，，，，，．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原方程的解是．【點(diǎn)睛】此題主要考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟知解析：【分析】根據(jù)分式方程的解法去分母化為整式方程即可求解．【詳解】，，，，，，．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原方程的解是．【點(diǎn)睛】此題主要考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟知分式方程的解法．22．見解析【分析】由題意可得∠B=∠C=90°，BF=CE，由“AAS”可證△ABF≌△DCE，可得AF=DE．【詳解】證明：∵AB⊥CB，DC⊥CB，∴∠B=∠C=90°，∵BE=CF解析：見解析【分析】由題意可得∠B=∠C=90°，BF=CE，由“AAS”可證△ABF≌△DCE，可得AF=DE．【詳解】證明：∵AB⊥CB，DC⊥CB，∴∠B=∠C=90°，∵BE=CF，∴BF=CE，且∠A=∠D，∠B=∠C=90°，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AF=DE，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．23．∠A+∠B＝∠C+∠D；25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝；；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【分析】探索一：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；探索二：根據(jù)角平解析：∠A+∠B＝∠C+∠D；25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝；；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【分析】探索一：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；探索二：根據(jù)角平分線的定義可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，結(jié)合（1）的結(jié)論可得2∠P＝∠B+∠D，再代入計(jì)算可求解；探索三：運(yùn)用探索一和探索二的結(jié)論即可求得答案；應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點(diǎn)A，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再運(yùn)用角平分線定義及三角形外角性質(zhì)即可求得答案；應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點(diǎn)A，設(shè)T是CB的延長線上一點(diǎn)，R是BC延長線上一點(diǎn)，利用應(yīng)用一的結(jié)論即可求得答案；拓展一：運(yùn)用探索一的結(jié)論可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再結(jié)合已知條件即可求得答案；拓展二：運(yùn)用探索一的結(jié)論及角平分線定義即可求得答案．【詳解】解：探索一：如圖1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案為∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案為25°；探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P＝．故答案為：∠P＝．應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點(diǎn)A，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；∵BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，故答案為：α+β﹣180°，；應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點(diǎn)A，設(shè)T是CB的延長線上一點(diǎn)，R是BC延長線上一點(diǎn)，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由應(yīng)用一得：∠P＝∠A＝，故答案為：；拓展一：如圖6，由探索一可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，∵∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，∴∠P＝，故答案為：∠P＝；拓展二：如圖7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案為：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【點(diǎn)睛】本題是探究性題目，考查了三角形的相關(guān)計(jì)算、三角形內(nèi)角和定理、角平分線性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等，此類題目遵循題目順序，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)和定理，逐步證明求解即可．24．(1)x-2；(2)甲商品的進(jìn)價(jià)每個(gè)8元，乙商品的進(jìn)價(jià)每個(gè)10元．【分析】（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系：每個(gè)甲商品的進(jìn)價(jià)=每個(gè)乙商品的進(jìn)價(jià)-2即可表示甲商品的進(jìn)價(jià)；（2）根據(jù)等量關(guān)系用80元購進(jìn)甲解析：(1)x-2；(2)甲商品的進(jìn)價(jià)每個(gè)8元，乙商品的進(jìn)價(jià)每個(gè)10元．【分析】（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系：每個(gè)甲商品的進(jìn)價(jià)=每個(gè)乙商品的進(jìn)價(jià)-2即可表示甲商品的進(jìn)價(jià)；（2）根據(jù)等量關(guān)系用80元購進(jìn)甲商品的數(shù)量=用100元購進(jìn)乙商品的數(shù)量列分式方程求解即可．（1）解：∵每個(gè)甲商品的進(jìn)價(jià)比每個(gè)乙商品的進(jìn)價(jià)少2元，∴每個(gè)甲商品的進(jìn)價(jià)=每個(gè)乙商品的進(jìn)價(jià)-2即可表示甲商品的進(jìn)價(jià)，∵設(shè)每個(gè)乙商品的進(jìn)價(jià)為x元，∴每個(gè)甲商品的進(jìn)價(jià)為（x-2）元，故答案為：x-2；（2）解：由每個(gè)乙商品的進(jìn)價(jià)為x元，得每個(gè)甲商品的進(jìn)價(jià)為（x-2）元，則，，∴，經(jīng)檢驗(yàn)x=10是原方程的解，∴原方程的解為x=10，當(dāng)x=10時(shí)，x-2=8，答：甲商品的進(jìn)價(jià)每個(gè)8元，乙商品的進(jìn)價(jià)每個(gè)10元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)式及分式方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系列分式方程求解是解本題的關(guān)鍵．25．（1），2；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值為2019.【分析】（1）根據(jù)閱讀材料即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)閱讀材料介紹的方法即可得出結(jié)論；（3）把已知代數(shù)式變?yōu)椋倮瞄喿x材料介紹的方解析：（1），2；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值為2019.【分析】（1）根據(jù)閱讀材料即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)閱讀材料介紹的方法即可得出結(jié)論；（3）把已知代數(shù)式變?yōu)?，再利用閱讀材料介紹的方法，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵，，∴，∵，∴；（2）當(dāng)x時(shí)，，均為正數(shù)，∴所以，的最小值為．（3）當(dāng)x時(shí)，，，2x-6均為正數(shù)，∴由可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，∴當(dāng)，即時(shí)，有最小值．∵x故當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值為2019．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解閱讀材料所介紹的方法．26．(1)見解析(