初二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷附答案

初二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷附答案一、選擇題1．下列不是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．斑葉蘭的種子小得簡直像灰塵一樣，1億粒斑葉蘭種子才50克重，因種子太小，只有放在顯微鏡下才能看清它的真面目，它的一粒種子重約0.0000005克，數(shù)據(jù)0.0000005用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．2a-a=24．下列分式中一定有意義的是（）A． B． C． D．5．下列各式從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．6．某數(shù)學(xué)老師在課堂上設(shè)計(jì)了一個(gè)接力游戲，用合作的方式完成分式化簡，規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將計(jì)算結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡，過程如圖所示．對于三個(gè)人的接力過程判斷正確的是（）A．三個(gè)人都正確 B．甲有錯(cuò)誤C．乙有錯(cuò)誤 D．丙有錯(cuò)誤7．如圖，已知∠1＝∠2，要得到結(jié)論ABC≌ADC，不能添加的條件是（

）A．BC＝DC B．∠ACB＝∠ACD C．AB＝AD D．∠B＝∠D8．若關(guān)于x的分式方程的根是正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．，且 B．且，C．，且 D．且，9．如圖，一根細(xì)鐵絲恰好經(jīng)過含30°角的三角尺的直角頂點(diǎn)，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（

）A．20° B．50° C．60° D．70°10．如圖，中，，的角平分線、相交于點(diǎn)，過作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題11．若分式的值為0，則______．12．點(diǎn)M(a，5)與點(diǎn)N(-3，b)關(guān)于y軸對稱，則2a-b=______．13．已知，則的值是______．14．已知，，則代數(shù)式+值是_________．15．如圖，在中，，，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，則周長的最小值是________cm．16．若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式4x2+3mx+9是完全平方式，則m的值是_____．17．已知，則代數(shù)式的值是______．18．如圖，在△ABC中，厘米，厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為______時(shí)，能夠在某一時(shí)刻使與△CQP全等．三、解答題19．因式分解：(1)(2)20．解分式方程．21．如圖，已知點(diǎn)B、E在線段CF上，，，，求證：．22．閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點(diǎn)P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P．則∠A＝（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為．（用x、y表示∠P）拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．23．某商店用6000元購進(jìn)一批玩具，很快售完；第二次購進(jìn)時(shí)，每件的進(jìn)價(jià)提高了50%，同樣用6000元購進(jìn)的數(shù)量比第一次少了40件．(1)求第一次每件的進(jìn)價(jià)為多少元？(2)若兩次購進(jìn)的玩具售價(jià)均為80元，且全部售完，求兩次的總利潤為多少元？24．閱讀下列材料：利用完全平方公式，可以將多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這種變形方法，叫做配方法．運(yùn)用配方法及平方差公式能對一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．例如：根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）用配方法將化成的形式，則________；（2）用配方法和平方差公式把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；（3）對于任意實(shí)數(shù)x，y，多項(xiàng)式的值總為______（填序號）．①正數(shù)②非負(fù)數(shù)③025．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，在BD的延長線上取一點(diǎn)E滿足：AE＝AB；AF平分∠CAE交BE于點(diǎn)F．(1)如圖1，連CF，求證：△ACF≌△AEF．(2)如圖2，當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，線段AF，EF，BF之間存在某種數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明．(3)如圖3，當(dāng)∠ACB＝45°時(shí)，且AE∥BC，若EF＝3，請直接寫出線段BD的長是（只填寫結(jié)果）．26．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并證明；（3）如圖3，將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數(shù)．【參考答案】一、選擇題2．B解析：B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義（如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形）逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，則此項(xiàng)符合題意；B、不是軸對稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；C、是軸對稱圖形，則此項(xiàng)符合題意；D、是軸對稱圖形，則此項(xiàng)符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形，熟記軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．3．D解析：D【分析】根據(jù)絕對值小于1的數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定，即可求解．【詳解】解：0.0000005=．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，熟練掌握一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定是解題的關(guān)鍵．4．C解析：C【分析】根據(jù)冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法和合并同類項(xiàng)法則逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．，原式計(jì)算錯(cuò)誤；B．，原式計(jì)算錯(cuò)誤；C．，計(jì)算正確；D．2a－a＝a，原式計(jì)算錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法和合并同類項(xiàng)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．C解析：C【分析】根據(jù)分式有意義的條件：分母≠0，即可作答．【詳解】A：當(dāng)x=0時(shí)，分母=0，不符合題意；B：當(dāng)x=1或-1時(shí)，分母=0，不符合題意；C：無論x取何實(shí)數(shù)，分母都不等于0，符合題意；D：當(dāng)x=-1時(shí)，分母=0，不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式有意義的條件，熟練地掌握“當(dāng)分母不等于0時(shí)分式有意義”是解題的關(guān)鍵．6．B解析：B【分析】根據(jù)因式分解的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：A．，從左到右是單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，等式的右邊是整式的積的形式，是因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；C．，等式的右邊不是幾個(gè)整式的積，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；D．，等式的右邊不是幾個(gè)整式的積，含有分式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的判斷．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義，即把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．7．C解析：C【分析】乙的分子由2-x變成了x-2，也就是分子乘了-1，而分母和分式本身的符號并沒有發(fā)生變化，所以乙有錯(cuò)誤．【詳解】解：乙的分子由2-x變成了x-2，也就是分子乘了-1，而分母和分式本身的符號并沒有發(fā)生變化，所以乙有錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，分式的乘除法法則，考核學(xué)生的計(jì)算能力，熟記分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．A解析：A【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∠1＝∠2，A、當(dāng)BC＝DC時(shí)，是邊邊角，不能得到結(jié)論ABC≌ADC，故本選項(xiàng)符合題意；B、當(dāng)∠ACB＝∠ACD時(shí)，是角邊角，能得到結(jié)論ABC≌ADC，故本選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)AB＝AD時(shí)，是邊角邊，能得到結(jié)論ABC≌ADC，故本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)∠B＝∠D時(shí)，是角角邊，能得到結(jié)論ABC≌ADC，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法——邊角邊、角邊角、角角邊、邊邊邊是解題的關(guān)鍵．9．D解析：D【分析】利用解分式方程的一般步驟解出方程，根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：方程兩邊同乘2（x﹣2）得：m=2（x-1）﹣4（x-2），解得：x=．∵≠2，∴m≠2，由題意得：＞0，解得：m＜6，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是：m＜6且m≠2．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解、一元一次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的一般步驟、分式方程無解的判斷方法．10．B解析：B【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠2＝∠A＋∠1，代入求出即可．【詳解】解：如圖所示：∠1＝20°，，根據(jù)外角性質(zhì)可得∠2＝∠A＋∠1＝30°＋20°＝50°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，能根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠2＝∠A＋∠1是解此題的關(guān)鍵．11．B解析：B【分析】根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=，∠ABE=∴∠BAD+∠ABE=∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正確；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正確；在△APH與△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正確；連接HD，ED，∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP∴，，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP，∴∵故④錯(cuò)誤，∴正確的有①②③，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定兩個(gè)三角形全等．二、填空題12．2【分析】直接利用分式的值為零，則分子為零，且分母不為零，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由題意，得x2﹣4＝0且x+2≠0，解得x＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式為零的條件，要使分式的值為零，必須同時(shí)滿足分子為零，且分母不為零．13．【分析】直接利用關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，即橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，得出a，b的值，再利用有理數(shù)的運(yùn)算法則求出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)M（a，5），點(diǎn)N（?3，b）關(guān)于y軸對稱，∴a＝3，b＝5，∴2a?b＝2×3?5＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．14．##-0.25【分析】先把所給等式的左邊通分，再相減，可得，再根據(jù)等式性質(zhì)可得，即可得出，再代入，化簡即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減法，解題的關(guān)鍵是通分，得出，是解題關(guān)鍵．15．【分析】先通過同底數(shù)冪的逆運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘法與除法可得再建立方程組再解方程組代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴∴整理得：解得：∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，同底數(shù)冪的乘法及其逆運(yùn)算，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，求解代數(shù)式的值，由冪的運(yùn)算得到是解本題的關(guān)鍵．16．12【分析】當(dāng)點(diǎn)于重合時(shí)，的周長最小，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可求出的周長．【詳解】∵DE垂直平分AC，∴點(diǎn)C與A關(guān)于DE對稱，∴當(dāng)點(diǎn)于重合時(shí)，即A、D、B三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，BF+CF解析：12【分析】當(dāng)點(diǎn)于重合時(shí)，的周長最小，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可求出的周長．【詳解】∵DE垂直平分AC，∴點(diǎn)C與A關(guān)于DE對稱，∴當(dāng)點(diǎn)于重合時(shí)，即A、D、B三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，BF+CF=AB最小，（如圖），∴的周長為：，∵是垂直平分線，∴，又∵，∴，∴，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題以及線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，熟練掌握最短路徑的求解方法以及垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．±4##4或-4【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征列式解答．【詳解】解：由題意得，4x2+3mx+9=或故答案為：±4．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)解析：±4##4或-4【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征列式解答．【詳解】解：由題意得，4x2+3mx+9=或故答案為：±4．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．18．13【分析】由，可得（a-1）2=（）2，有a2-2a=4，即可得a2-2a+9=13．【詳解】解：∵，∴（a-1）2=（）2，∴a2-2a=4，∴a2-2a+9=13，故答解析：13【分析】由，可得（a-1）2=（）2，有a2-2a=4，即可得a2-2a+9=13．【詳解】解：∵，∴（a-1）2=（）2，∴a2-2a=4，∴a2-2a+9=13，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知變形，求出a2-2a=4，再整體代入．19．2或厘米/秒【分析】根據(jù)等邊對等角可得∠B=∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，分①BD、PC是對應(yīng)邊，②BD與CQ是對應(yīng)邊兩種情況討論求解即可．【詳解】解：解析：2或厘米/秒【分析】根據(jù)等邊對等角可得∠B=∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，分①BD、PC是對應(yīng)邊，②BD與CQ是對應(yīng)邊兩種情況討論求解即可．【詳解】解：∵AB=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=×10=5cm，設(shè)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則BP=2t，PC=（8﹣2t）cm①當(dāng)△BPD≌△CQP時(shí)，即BD=PC時(shí)，8﹣2t=5，解得：t=1.5，則BP=CQ=2t=3，故點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為：3÷1.5=2（厘米/秒）；②當(dāng)BPD≌△CPQ，即BP=PC，CQ=BD=5時(shí)，∵BC=8cm，∴BP=PC=4cm，∴t=4÷2=2（秒），故點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為（厘米/秒）；故答案為2或厘米/秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠利用分類討論的思想求解．三、解答題20．(1)(2)【分析】（1）利用完全平方公式解答，即可求解；（2）先提出公因式，再利用平方差公式解答，即可求解．(1)解：；(2)解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了多解析：(1)(2)【分析】（1）利用完全平方公式解答，即可求解；（2）先提出公因式，再利用平方差公式解答，即可求解．(1)解：；(2)解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解的方法，并靈活選用合適的方法解答是解題的關(guān)鍵．21．原方程無解【詳解】試題分析：觀察可得最簡公分母是（x﹣2），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解：方程的兩邊同乘（x﹣2），得1﹣x=﹣1+x﹣2，解得x=2．解析：原方程無解【詳解】試題分析：觀察可得最簡公分母是（x﹣2），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解：方程的兩邊同乘（x﹣2），得1﹣x=﹣1+x﹣2，解得x=2．檢驗(yàn)：把x=2代入（x﹣2）=0，x=2是原方程的增根，∴原方程無解．22．見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C＝∠F，∠ABE＝∠DEB，求出∠ABC＝∠DEF，根據(jù)CE＝FB求出CB＝FE，根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DEF即可．【詳解】證明：∵C解析：見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C＝∠F，∠ABE＝∠DEB，求出∠ABC＝∠DEF，根據(jù)CE＝FB求出CB＝FE，根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DEF即可．【詳解】證明：∵CE＝FB，∴CE?BE＝FB?BE，∴CB＝FE，∵，∴∠C＝∠F，∵，∴∠ABE＝∠DEB，∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∠DEF＋∠DEB＝180°，∴∠ABC＝∠DEF，∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：①全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等；②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．23．∠A+∠B＝∠C+∠D；25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝；；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【分析】探索一：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；探索二：根據(jù)角平解析：∠A+∠B＝∠C+∠D；25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝；；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【分析】探索一：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；探索二：根據(jù)角平分線的定義可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，結(jié)合（1）的結(jié)論可得2∠P＝∠B+∠D，再代入計(jì)算可求解；探索三：運(yùn)用探索一和探索二的結(jié)論即可求得答案；應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點(diǎn)A，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再運(yùn)用角平分線定義及三角形外角性質(zhì)即可求得答案；應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點(diǎn)A，設(shè)T是CB的延長線上一點(diǎn)，R是BC延長線上一點(diǎn)，利用應(yīng)用一的結(jié)論即可求得答案；拓展一：運(yùn)用探索一的結(jié)論可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再結(jié)合已知條件即可求得答案；拓展二：運(yùn)用探索一的結(jié)論及角平分線定義即可求得答案．【詳解】解：探索一：如圖1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案為∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案為25°；探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P＝．故答案為：∠P＝．應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點(diǎn)A，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；∵BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，故答案為：α+β﹣180°，；應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點(diǎn)A，設(shè)T是CB的延長線上一點(diǎn)，R是BC延長線上一點(diǎn)，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由應(yīng)用一得：∠P＝∠A＝，故答案為：；拓展一：如圖6，由探索一可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，∵∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，∴∠P＝，故答案為：∠P＝；拓展二：如圖7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案為：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【點(diǎn)睛】本題是探究性題目，考查了三角形的相關(guān)計(jì)算、三角形內(nèi)角和定理、角平分線性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等，此類題目遵循題目順序，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)和定理，逐步證明求解即可．24．(1)第一次每件的進(jìn)價(jià)為50元(2)兩次的總利潤為4000元【分析】（1）設(shè)第一次每件的進(jìn)價(jià)為x元，則第二次進(jìn)價(jià)為（1+25%）x，根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，即可求解；（2）根據(jù)總利潤解析：(1)第一次每件的進(jìn)價(jià)為50元(2)兩次的總利潤為4000元【分析】（1）設(shè)第一次每件的進(jìn)價(jià)為x元，則第二次進(jìn)價(jià)為（1+25%）x，根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，即可求解；（2）根據(jù)總利潤=總售價(jià)-總成本，列出算式，即可求解．（1）設(shè)第一次每件的進(jìn)價(jià)為x元，則第二次進(jìn)價(jià)為（1+50%）x，根據(jù)題意得：，解得：x=50，經(jīng)檢驗(yàn)：x=50是方程的解，且符合題意，答：第一次每件的進(jìn)價(jià)為50元；（2）解：（元），答：兩次的總利潤為4000元．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則運(yùn)算的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出分式方程，是解題的關(guān)鍵．25．（1）；（2）；（3）①【分析】（1）根據(jù)材料所給方法解答即可；（2）材料所給方法進(jìn)行解答即可；（3）局部進(jìn)行因式分解，最后寫成非負(fù)數(shù)的積的形式即可完成解答.【詳解】解：（1）=解析：（1）；（2）；（3）①【分析】（1）根據(jù)材料所給方法解答即可；（2）材料所給方法進(jìn)行解答即可；（3）局部進(jìn)行因式分解，最后寫成非負(fù)數(shù)的積的形式即可完成解答.【詳解】解：（1）=.（2）原式====．（3）==＞11故答案為①.【點(diǎn)睛】本題考查了配方法，根據(jù)材料學(xué)會(huì)配方法并靈活運(yùn)用配方法解題是解答本題的關(guān)鍵.26．(1)證明見解析(2)，證明見解析(3)6【分析】（1）由角平