二次函數(shù)同步輔導講義

二次函數(shù)同步輔導講義

目錄

第一講二次函數(shù)的認識與待定系數(shù)法、配方法........................................1

【問題探索】............................................................................1

【新課引人】............................................................................1

【總結歸納】...........................................................................2

【精選例題】...........................................................................4

【課后作業(yè)】...........................................................................9

第二講二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)......................................................13

【問題探索】..........................................................................13

【新課引入】..........................................................................13

【總結歸納】..........................................................................15

【精選例題】..........................................................................17

【課后作業(yè)】..........................................................................24

第三講二次函數(shù)與一元二次方程...................................................29

【問題探索】..........................................................................29

【新課引入】..........................................................................30

【總結歸納】..........................................................................31

【精選例題】..........................................................................32

【課后作業(yè)】..........................................................................43

第四講二次函數(shù)的應用............................................................46

【問題探親】..........................................................................46

【新課引入】..........................................................................47

【忍結歸納】..........................................................................48

【精選例題】..........................................................................49

【課后作業(yè)】..........................................................................60

第一講二次函數(shù)的認識與待定系數(shù)法、配方法

【問題探親】

某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結600個橙子，現(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量，但是如果

多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗估計，多種一棵樹，平均每棵樹

就會少結5個橙子.

(1)假設果園增種X棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹?這時平均每棵樹結多少個橙子？

(2)如果果園橙子的總產(chǎn)量為)，個，那么請你寫出了與x之間的關系式.

答案：(1)共有(100+x)棵橙子樹，平均每棵樹結(600—5x)個橙子；

(2)V與X之間的關系式為：y=(100+x)(600-5x)化簡得：y=-5x2+l()()x+6()000。

【新源引入】

提問：

1、在式子y=-5x2+100x+60000中，＞是X的函數(shù)嗎？若是，與我們以前學過的函數(shù)相同嗎？若不相同，那

是什么函數(shù)呢？

答案：根據(jù)函數(shù)的定義，可知y是尤的函數(shù)，與以前學過的一次函數(shù)和反比例函數(shù)不同，猜想它是二次函

數(shù)。

2、請寫一個一次函數(shù)關系式和一個反比例函數(shù)關系式，通過比較三個函數(shù)關系式，猜想y=-5x2+100x+60000

是什么函數(shù)，并說出該函數(shù)的式子特征。

y=-5x2+100x+60000

一次函數(shù)(y=h+b)反比例函數(shù)(y=M)

未知項的最高次數(shù)是1未知項的最高次數(shù)是-1未知項最高次數(shù)是2

(其中女H0)

答案：比較結果見上表，由表格可猜想該函數(shù)是二次函數(shù)，該式子的特征是①含兩個變量x(自變量\y

(因變量)；②式子右邊有三項：二次項、一次項、常數(shù)項，最高次項是2次。

總結：一般地，形如y=af2+6x+c(a,"c是常數(shù)，aH0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù).

注意：定義中只要求二次項系數(shù)a不為零(必須存在二次項)，一次項系數(shù)b、常數(shù)項c可以為零。因

此，最簡單的二次函數(shù)形式是曠=62(。工())

舉例：

y=-5x2+100x+6()0()0和y=100f+200x+100都是二次函數(shù).我們以前學過的正方形面積A與邊長a的

關系4=片，圓面積S與半徑廠的關系5=乃，等，都是二次函數(shù).

3、y=(100+x)(600-5x)是二次函數(shù)嗎?

答案：是，因為化簡能變成y=a?+次+。(a^Q)的形式。

4、通過二次三項式的配方，改變函數(shù)y=-5x2+100x+60()()0的表示形式。

答案：

y=-5x2+100x+60000=-5(x2-20x)+6000=-5(x2-20x+100)+6000+500=5(x-10)2+60500,它反過來也能

變成曠="2+加+。(。工0)的形式，因此，它還是二次函數(shù)。這個式子可以讓我們之間看出)'的最大

值或最小值。如：丫=-5(*-10)2+60500中，當*=10時，y有最大值60500。

5、一次函數(shù)、反比例函數(shù)都有圖象，二次函數(shù)有圖象嗎？怎么畫出它的圖象呢？

答案：二次函數(shù)也有圖象，畫二次函數(shù)的圖象應該①列表；②描點；③連線。

6、請畫出y=-5x2+100x+60000(y=(100+x)(600-5x卜y=-5x2+100x+60000)的圖象,觀察圖象的形狀是

什么？觀察圖象與x軸、y軸的交點坐標，以及圖象的最高點(頂點)坐標。

答案:圖象是拋物線，與x軸交點(-100,0X(120,0),與y軸的交點(0,60000),頂點(10,60500),

同一個函數(shù)可以有三種表達形式，從解析式可以分別看出圖象的哪些特征？

【總結歸納】

一、二次函數(shù)圖象上點的橫坐標、縱坐標分別與函數(shù)中的x、y對應也就是說：

1、二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足二次函數(shù)的函數(shù)關系式，即代入解析式兩邊相等；

2、滿足二次函數(shù)解析式的每一組（x,y）的實數(shù)對也對應著一個點，這些點就組成了二次函數(shù)的圖象，

解析式與圖象的一些特征點對應關系如下圖所示。

二、二次函數(shù)的三種表達形式以及它們之間的轉(zhuǎn)化關系

三、待定系數(shù)法求函數(shù)關系式

1、已知圖象上三個普通點的坐標，設一般式，解三元一次方程組可求解析式中的待定系數(shù);

2、已知圖象的頂點坐標和一個普通點的坐標，設頂點式，解二元一次方程組可求待定系數(shù);

3、已知圖象與x軸的兩個交點坐標和一個普通點的坐標，設交點式，解方程可求待定系數(shù)。

4、后面學過二次函數(shù)圖象特征和性質(zhì)之后還有待定系數(shù)法的其他解法。

四、配方法

22

其實就是二次三項式的配方，配方依據(jù)是“完全平方”公式——a±2ah+b=（a±byo

配方法在如下幾個方面使用較多：

1、用于求二次三項式的最值；

2、用于解一元二次方程；

3、用于二次函數(shù)解析式變形，變一般式為頂點式，方便找圖象的頂點和函數(shù)的最值。

【精選例題】

(-)二次函數(shù)的概念

.?2_2

例1、(1)函數(shù)y=(m+2)x~+2x-1是二次函數(shù)，則m=.

(2)下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有()

11

①y=x+T；@y=3(x-1)2+2;?y=(x+3)2-2x2；&y=~~2+x.

AJi

A.l個B.2個C.3個D.4個

解析：

(1)丁=。^+法+。中，只有二次項系數(shù)時，才是二次函數(shù)，，機之一2=2且m+2。0,故答

案為機=2;

(2)①④中未知項的最高次數(shù)都是1次，不是2次，因此不是二次函數(shù)；②③通過化簡成一般形式，發(fā)

現(xiàn)它們符合y=a?+fex+c且,所以答案為B。

前思后想：一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，關鍵看兩個方面，①最高次項為2次，化簡后符合一般形式；②二

次項系數(shù)不等于0.

牛刀小試：

1.B?^^y=ax2+bx+c(M^a,b,c是常數(shù)),當a―時，是二次函數(shù)；當a_,b—時，是一次

函數(shù)；當a___b_____c時，是正比例函數(shù).

2.當m_時，)=(…2)x'是二次函數(shù).

3.下列不是二次函數(shù)的是()

1_____

A.y=3x2+4B.y=-3x2C.y=7x2-5D.y=(x+1)(x-2)

答案：1、awO,a=0,b^0,a=0,8w0,c=0;

2、m=-2;3、C.

(二)根據(jù)等?關系列二次函數(shù)關系式

例2I、正方形的邊長是5,若邊長增加x,面積增加y,求y與x之間的函數(shù)表達式.

A

解析：

等量關系：增加的面積=新正方形面積一原正方形面積，則y=（x+5）2—52整理得yud+iOx

前思后想：

根據(jù)實際情境列函數(shù)關系式，跟方程應用題一樣，先找等量關系，再用代數(shù)式分別表示各個量，根據(jù)

等量關系即可列出函數(shù)關系式。

變式：

1、已知正方形的周長為20,若其邊長增加x,面積增加y,求y與x之間的表達式.

2、已知正方形的周長是X,面積為y,求y與x之間的函數(shù)表達式.

3、已知正方形的邊長為x,若邊長增加5,求面積y與x的函數(shù)表達式.

牛刀小試：

1、某商場將進價為40元的某種服裝按50元售出時，每天可以售出300套.據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種服裝

售價每提高1元，銷量就減少5套，如果商場將售價定為x元，請你得出每天銷售利潤了（元）與售價

x（元）的函數(shù)表達式.

2、如圖，正方形ABC。的邊長為4,P是BC邊上一點交0c于。，如果BP=x,

△A。。的面積為y,用含x的代數(shù)式表示y.

答案：

1、y=（%-40）［300-5（x-50）］化簡得了=—5父+750x-22000;

2、先證AABPAPC。得CQ=^x（4-尤），在根據(jù)面積公式得y='x2—2x+8。

42

（三）畫二次函數(shù)圖象

A

例3.畫出函數(shù)y=2?-3x的圖象，并說出它與坐標軸的交點坐標以及頂點坐標.

解析：

列表：

_32工9

X0

~4424

27927

00

yT-8T

描點并連線:

前思后想：

1、列表：畫二次函數(shù)的圖象，必須先配方找到頂點，再將X取五個數(shù)，正中取頂點，向兩邊平均取點;

2、描點：根據(jù)表格中每個(x,y)的實數(shù)對，在坐標系中描出相應的點;

3、連線：按照從左到右的順序沿著各點用平滑的線連起來。

牛刀小試：

1、畫出下列函數(shù)的圖象.

(1)y=2x2-3x-5;(2)y=-小-3%+4

iq

2、畫函數(shù)y=-32+3+4的圖象，并寫出它與坐標軸的交點及頂點坐標。

(四)利用配方法把函數(shù)解析式配成頂點式

例4.把y=W+3x-4化成頂點式；

―>99,3、225

解析：y=(x+3xH—)—4—y=U+-)-----

44-24

例5.把y=2r2-8x+6配成頂點式；

解析：y=2(d-4x+4)+6-8y=2(x-2)2-2

例6.把y=—/+X+1配成頂點式;

,11

解析：y——(x—x+—)+1+—

-24

例7.把y=-^x2+3x-2配成頂點式。

…1o9

解析：y=——{x~—6x+9)+——2

前思后想:

以上四道配方題可以看出配方的過程：①把二次項和一次項添上括號，提取二次項系數(shù)；②在括號內(nèi)

把二次項和一次項添加一個常數(shù)項配成完全平方式，里面添了項，外面就要減去添的項，注意括號外的系

數(shù)；③把括號內(nèi)寫成平方形式即可。

牛刀小試：

1、把Q=-(507尸+(50-X)+308配成頂點式；

2、把y=-3x2-6x+8配成頂點式；

3、把y=2f-8x+l配成頂點式。

答案：

99

1、Q=+99x-2142配方得。=一(無一專產(chǎn)+1233

2、y=-3(x+l)2+ll

3、-2)2-7

(五)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

例8.已知二次函數(shù)的圖象過(1,0),(-1,-4)和(0,-3)三點，求這個二次函數(shù)解析式。

解析：設二次函數(shù)解析式為y=ar2+/zr+c(awO),

a+b+c=O

因為圖象過三點，則＜a-b+c=-4解得：a=l,b=2,c=-3。

c=-3

2

所以二次函數(shù)的解析式為：y=x+2x-3o

例9.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且當x=l時，y有最小值-1,求這個二次函數(shù)的解析式。

解析：因為二次函數(shù)當x=l時，)，有最小值-1,所以，設y=a(x—1)2—1,由于圖象過原點，

所以a—1=0,a=1o故二次函數(shù)為y=(x—1)—-10

例10.已知二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標分別是勺=-3,數(shù)=1,且與y軸交點為(0,-3),求這個

二次函數(shù)解析式。

解析：因為函數(shù)圖象與x軸相交于(-3,0),(1,0)兩點，故設二次函數(shù)為y=a(x+3)(x—1)

由于圖象與y軸交于點(0,-3),所以，-3a=—3，即a=1。

二次函數(shù)為y=(x+3)(x—1)

前思后想：

三道例題分別反映了待定系數(shù)法求函數(shù)關系式的三種方法：知道三點，設一般式；知道頂點，設頂點

式；知道與x軸交點，設交點式。

牛刀小試：

1、根據(jù)下列條件求二次函數(shù)解析式

(1)已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過了點A(0,-1),B(1,0),C(-1,2)；

(2)已知拋物線頂點P(-1,-8),且過點4(0,-6)；

(3)二次函數(shù)圖象經(jīng)過點A(-1,0),B(3,0),C(4,10);

(4)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(4,-3),并且當43時有最大值4;

(5)已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過一次函數(shù)y=—x+3圖象與x軸、y軸的交點，且過(1,1);

只

(6)已知拋物線頂點(1,16),且拋物線與x軸的兩交點間的距離為8；

2、二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0,-3),B(2,-3),C(-1,0).

(1)求此二次函數(shù)的關系式；

(2)求此二次函數(shù)圖象的頂點P坐標。

答案：

1、(1)y-2x2—x—1；(2)y-2x2+4x—6；(3)y—2x2—4x—6；

(4)y=-7x2+42x-59；(5)y=-^-x2-1-x+3；(6)y=-x2+2x+15；

2、(1)y=x2-2x-3；(2)y=(x—1)2—4,所以頂點P(l,-4)；

【課后作業(yè)】

1、下列函數(shù)中，二次函數(shù)是()

66

A.y=6x2+1B.y=6x+1C.)=1+1D.y=至+1

2、函數(shù)y=(/〃-〃)f+g+"是二次函數(shù)的條件是()

A.%、〃為常數(shù)，且，原0B.,〃、n為常數(shù)，且〃血

C.%、〃為常數(shù)，且存0D.m、“可以為任何常數(shù)

3、在生活中，我們知道，當導線有電流通過時，就會發(fā)熱，它們滿足這樣一個表達式：若導線電阻為R,

通過的電流強度為/,則導線在單位長度時間所產(chǎn)生的熱量。=/?/.若某段導線電阻為0.5歐姆，通過的

電流為5安培，則我們可以算出這段導線單位長度時間產(chǎn)生的熱量Q=.

4、已知二次函數(shù)的圖象頂點是(1,-3)且經(jīng)過點P(2,0),則該函數(shù)的解析式為;

5、已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過A(2,-4),仇0,2),CG1,2)三點，求這個二次函數(shù)的解析式；

6、已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(4,-3),并且當x=3時有最大值4,試確定這個二次函數(shù)的解析式；

Q

7、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,0),(1,2),(-1,-4)三點，那么這個二次函數(shù)的解析式是

8、已知二次函數(shù)的圖象頂點是(-1,2),且經(jīng)過(1,-3),那么這個二次函數(shù)的解析式是—

9、已知二次函數(shù)y=x?+px+q的圖象的頂點是(5,-2),那么這個二次函數(shù)解析式是

10、如圖，在矩形A8CD中,AB=6cm,BC=12cm.點P從點A開始沿AB方向向點B

以Icm/s的速度移動，同時，點Q從點B開始沿BC邊向C以2cm/s的速度移動.如果

P、。兩點分別到達B、C兩點停止移動，設運動開始后第f秒鐘時，五邊形APQCD的

面積為Sen?,寫出S與f的函數(shù)表達式，并指出自變量r的取值范圍.

11、已知：如圖，在RtAABC中，/C=90。，BC=4,AC=8.點D在斜邊AB上,分別作4

DE1AC,DF±BC,垂足分別為E、F,得四邊形DECF.設DE=x,DF=y./

(1)AE用含.v的代數(shù)式表示為：AE=________；煉一K

(2)求y與x之間的函數(shù)表達式，并求出x的取值范圍；/

(3)設四邊形。EC尸的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達式.

13、二次函數(shù))，=a/+bx+c與x軸的兩交點的橫坐標是,與)?軸交點的縱坐標是-5,求這個二次

函數(shù)的關系式。

14、行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，還要繼續(xù)向前滑動一段距離才停止，這段距離稱為“剎車

距離”.為了測定某種型號汽車的剎車性能(車速不超過130km/h),對這種汽車進行測試，測得數(shù)據(jù)如下

表：

剎車時車速(km/h)010203040506070

剎車距離(m)01.12.43.95.67.59.611.9

(1)以車速為x軸，剎車距離為)，軸，在下面的方格圖中建立坐標系，描出這些數(shù)據(jù)所表示的點，并用

平滑曲線連接這些點，得到函數(shù)的大致圖象；

(2)觀察圖象，估計該函數(shù)的類型，并確定一個滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)表達式；

(3)該型號汽車在國道上發(fā)生了一次交通事故，現(xiàn)測得剎車距寓為26.4m,問在事故發(fā)生時，汽車是超

速行駛還是正常行駛，請說明理由.

15、團取哪些值時，函數(shù)y=(相*”？+皿+(機+1)是以x為自變量的二次函數(shù)？

16、已知二次函數(shù)y=ar2+bx+c,當x=0時，y=0；x=l時，y=2；x=-l時，y=l.求b、c,并寫出函

數(shù)解析式.

17、把下列函數(shù)化成頂點式.

(1)y=+x-5

(2)y——2x2+4x+6

(3)y=2x2-lx.-

(4))，=-2X2-4X+8

18、你能畫出下列函數(shù)的圖象嗎？并寫出圖象與坐標軸的交點坐標以及它的頂點坐標.

,,、

(1))，=-呼12+X-5]

1-1

1

(2)y=./~9+2x+4

(3)y=-x1-2x

(4)y=3x2+2x

答案：

1、A;2、B;3、12.5;4、y=3x2-6x；5、y=-x2-x+2；6、

、553

y——7+42x—59;7、y——+3x;8、y=—x2—x4—;

424

9、y=x2-10x4-23;

10、S=—6f+72;-y;(2)y=—2x+8;(3)S——2r+8x;

12013

12、y=--(x+2)(x-8);13、y=y(x+-)(x--);

14、(1)圖象(略)；(2)y=0.001x2+0.1x;

(3)0.001X2+0.1X=26.4,解得百=120,了=一220(舍),因為120<130,所以沒超速。

3131

15、加工0,且mwl;16、a=—,b=—,c=0,y=—x2+—x;

2222

17、(1)y=-；(x-l)2—2;(2)y=—2(x—iy+8;(3)y=2(x-^)2-3

(4)y=-2(x4-1)2+10;18、略

19

第二講二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【問題探親】

還記得一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象是如何畫的么？它們是如何根據(jù)圖象理解其性質(zhì)的？那么二次函

數(shù)的圖象是什么形狀？它有什么性質(zhì)？

【新課引人】

用描點法畫出二次函數(shù)y=/的圖象，并觀察圖象的特征。

(1)列表：根據(jù)函數(shù))，=尤2的自變量》可以是任意實數(shù)，所以選取自變量x的值，并計算出對應值y,

(3)連線：用平滑的曲線順次連接所描的點，即為二次函數(shù)y的圖象。

注意：一般地，選點越多，圖象越精確，但也要具體情況具體分析。

提問：1、二次函數(shù)y=/的圖象和性質(zhì)是什么？

2、在上圖（2）的平面直角坐標系中，畫出二次函數(shù)曠=一％2的圖象；

3、二次函數(shù)y=/與y=--圖象有什么共同特征？

回答：通過畫圖象，并分析觀察，我們知道二次函數(shù)y=/與y=一爐的圖象都是關于y

軸對稱的曲線，它們的開口方向向上或者向下，但形狀都是拋物線。

回顧與反思拋物線是軸對稱圖形，每條拋物線都有一條對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂

點。

探索二次函數(shù)）,=。%2（”。0）的圖象和性質(zhì)。

通過畫圖我們可以知道二次函數(shù)y=ax2（a。0）具體如下性質(zhì)：

y=ax2(aw0)a>0Q<0

L

圖象11r

開口方向向上向下

頂點坐標(0,0)(0,0)

14

對稱軸y軸所在的直線）,軸所在的直線

當x〉0時，）隨x的增大而

當x>0時，y隨x的增大而增大；

增減性減?。划擷<0時，）,隨x的

當x<0時，y隨x的增大而增小。

增大而增大。

最大（?。┲祒=°時，y最小—0x=。時，y最大=。

說明：（1）拋物線的性質(zhì)是從它的開口方向、頂點坐標、對稱軸、增減性和最大（小）值幾個方面來探索

的。

（2）拋物線開口向上時，頂點坐標是最低點；拋物線開口向下時，頂點坐標是最高點。

（3）拋物線y=ar2（a。0）的形狀是由a來確定的，一般來說，時越大，拋物線的開口就越??；

（4）拋物線的對稱軸是一條直線，拋物線y=ax2（a。0）的對稱軸是）'軸，也可以說是直線x=0。

探索拋物線y=“（%一/?）2（。9!：0）與^=。/（“。0）的關系。

拋物線y=a（x—/i）2（a*0）與y=分2（。#0）的形狀相同，但位置不同。當&>0時，

y=a（x—力）2（。。0）可由拋物線y沿了軸向右平移力個單位長度；當〃<0時，

y=a（x—〃產(chǎn)（a豐0）可由拋物線y=af（a。0）沿x軸向左平移向個單位長度。

探索拋物線y=a（x-7?）2+4（〃。0）與｝?=分2（<7。0）的關系。

拋物線y=a（x—/?）2（。。0）與y=。/3。0）的形狀相同，但位置不同。拋物線y=af（aw0）

的圖象經(jīng)過平移（向左或向右平移網(wǎng)個單位長度，再向上或向下平移網(wǎng)個單位長度），可以得到拋物線

y-a（x—h）2+k（aW0）。

圖象

【總綏歸納】

一、二次函數(shù)y=ajC+Z?x+c的最值問題和增減性:

2

系數(shù)。的b,日工4ac-b增減性

x—時，取值

2a4a

符號

X>_b2時，y隨淵增大而增大；x<—h2

2a2a

a>0最小值

時y隨x的增大而減小.

b_b

x>--^時，y隨用J增大而減??；x<----

2。2a

a<0最大值

時y隨x的增大而增大.

二、二次函數(shù)的平移

平移不改變拋物線的形狀和大小，改變的只是位置，下面以拋物線為例簡單說明

向上平移

(1)上下平移：y=ax2-------------y=ax24-k

-k<0向下平移》

h>0向右平移

(2)左右平移：y=ax2-------------y=a(x-h)2

-h<0向左平移~~>

上下平移左右平移

(3)符合平移：y—ax1-----------y=ax1+k----------y=a(x-h)2+k

~|k|個單位,~|h|個單位>

拋物線y=q(x-/z)2+上的頂點是點①，k)，對稱軸時x=〃，形狀、開口方向與拋物線'=相同，

由上可知拋物線平移的過程中。不變，只有頂點的位置改變，也可以用這一點解決相關問題。

三、二次函數(shù)五種情況的圖象的特征：

圖象特征函數(shù)的最大值

函數(shù)

開口方向頂點坐標對稱軸或最小值

a>0向上當x=0時，

2

y=ax(0,0)y軸所在的直線

a<0向下丁最值=。

a>0向上過點(0,%)且平當x=()時，

y-+k(0,k)

a<0向下行于y軸的直線y最值二卜

y=a(x-〃)2a>0向上(力,0)過點(/2,0)且平當X="時，

a<0向下行于y軸的直線丁最值=°

a>0向上

y=a(x-/i)2+k過點(〃，外且平當X=力時，

(h,k)

a<0向下行于)?軸的直線y最值=及

a>0向上過點

當x=-2時，

22a

b4ac—h2h4ac-b

(_，)(9)

y—ax1+bx+c2a4a2a4a4ac-b2

V最值-

a<0向下4a

且平行于y軸的

直線

【特選例題】

(-)根據(jù)二次函數(shù)關系式得出圖象的性質(zhì)：

例1、拋物線了=一5/開口,當》=時，y有最_值，是。

當x時，y隨x的增大而減小。

解析：；a=-5<0,：.y=-5x2開口向下；

當x=0時，y有最大值，最大值為0;

當x>0時，y隨x的增大而減小。

所以，拋物線y=-5x2開口向下，當x=時，y有最大值,是0。

當x>0時,y隨x的增大而減小。

例2、拋物線y=2/+%一3開口當》=時，)，有最值，是_

當x時，y隨x的增大而增大。

解析：?ra=2>0,y-lx1+尤一3開口向上；

方法一：直接套用頂點公式

、izb1-i占白?立白?Mb~25

當尤=----=—時，j有最小值，取小值為---------=-----;

2a44a8

當x>—工時，y隨X的增大而增大。

4

方法二：用配方法，將二次函數(shù)關系式轉(zhuǎn)化為頂點式

125

y=2x2+x—3=2(x+—)2—--

由上可知：當x=—_L=—工時，y有最小值，最小值為如二生=一生；

2a44a8

當x>—工時，y隨X的增大而增大。

4

I251

所以，拋物線曠=232+=一3開口向上，當x=一1時,y有最小值，是_一至_。當》>一［

時，y隨x的增大而增大。

前思后想：

1、根據(jù)二次函數(shù)關系式得出圖象的性質(zhì)，可以直接套用二次函數(shù)頂點坐標公式；

2、用配方法，將二次函數(shù)關系式轉(zhuǎn)化為頂點式。

牛刀小試：

1、分別說出下列函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標與對稱軸

(1)尸3/；(2)>=-；/+2.(3)y=-2(x-1)?-2

2、填空：

(1)對于函數(shù)丁=-1?,當x>0時函數(shù)值隨自變量x的增大而;當》時，函數(shù)有最

值，最_____值是；

(2)對于函數(shù)y=：(x+l)2—2,當x>0時函數(shù)值隨自變量x的增大而;當x時，函數(shù)

有最值，最值是;

3、填空：

(1)x2+5x+_______=(x+______j;(2)x2~—x+=(x-)2;

4

(3)2/+4X+9=2(X+1)2__________;(4)X2-5X-13=(X-______J______。

答案：

K(1)y=3x2:開口方向向上、頂點坐標(0,0X對稱軸為y軸；

(2)y^--x2+2:開口方向向下、頂點坐標(0,2)、對稱軸為y軸；

(3)y=—2(x—1>—2:開口方向向下、頂點坐標(1,—2)、對稱軸過點(1,一2)且平行于y軸的直

線。

2、填空：

(1)對于函數(shù)y=W，當x>0時函數(shù)值隨自變量x的增大而減小:當％=0時，函數(shù)有最上

值，最大值是0;

(2)對于函數(shù)y=g(x+l)2—2,當x>0時函數(shù)值隨自變量x的增大而增大；當

x=-1時，函數(shù)有最小值,最小值是-2;

3、填空：

(1)x2+5x+—=(x+—_J2;(2)x2--x+—

~4~_24~64

577

(3)2x~+4x+9=2(x+1)-_+7__;(4)x~-5x-13=-

(二)知道二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求拋物線解析式

例3、若拋物線y=(加一1)7"%"開口向下，求利的值和拋物線的關系式

解析：???丁=(m-1)/"2-"'是拋物線

2

m—m-2,解得，mx=—Lm2=2

\.拋物線的開口向下，，機<0,m=-\

將帆=—1代入y=得，拋物線的關系式為y=-2x2。

前思后想：根據(jù)圖象的性質(zhì)求拋物線解析式或是求待定系數(shù)。

牛刀小試

1、已知原點是拋物線y=（m+l）/的最高點，則機的取值范圍是（）

A.m<-1B.m<1C.m>-1D.m>-2

2、若拋物線y=Ax&"To中，當x>0時），隨工的增大而減小，則％=。

3、一條拋物線的開口方向、對稱軸與〉=二/相同，頂點縱坐標是-2,且拋物線經(jīng)過點（1,1）,求這條

拋物線的函數(shù)關系式。

答案：

1、A

2、丁=收心1°是拋物線，.?./+左一10=2,解得，匕=3,k2=-4o

?.?當x〉0時）?隨x的增大而減小，.?.拋物線的開口向下.?.％<（）,即4=-4。

3、設新拋物線為y=a（x—萬尸+女。

因為拋物線y=開口方向為向上，對稱軸為y軸所在的直線，所以4=0,a>0

又因為新拋物線頂點縱坐標是-2,所以k=-2

所以y=-2,且拋物線經(jīng)過點（1,1）,得?！?=1,即a=3

所以y=3/-2o

（三）二次函數(shù)的平移技巧

例4.拋物線y=2/—4x+5經(jīng)過平移得到y(tǒng)=2/,平移方法是（）

A、向左平移1個單位長度長度，再向上平移3個單位長度長度

B、向右平移1個單位長度長度，再向上平移3個單位長度長度

C、向左平移1個單位長度長度，再向下平移3個單位長度長度

D、向右平移1個單位長度長度，再向下平移3個單位長度長度

解析：二次函數(shù)y=2——4x+5通過配方可變形為y=2（x—l）2+3,其頂點坐標為（1,3）,拋物線

y=2/的頂點坐標為(0,0),拋物線y=2/與y=2/—4x+5的形狀相同，只是位置不同，把(I,

3)先向左平移1個單位長度長度，再向下平移3個單位長度長度，可得到點(0,0)的位置。故選Co

例5.已知y=2/的圖象是拋物線，若拋物線不動，把刀軸，y軸分別向上、.向右平移2個單位長度長

度，那么在新坐標系下拋物線的解析式是().

A.y=2(x-2)2+2B.y=2(x+2)2-2

C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2+2

解析：因為拋物線y=2/不動，把左軸，y軸分別向上、,向右平移2個單位長度長度，

根據(jù)相對平移的方法，x軸向上平移2個單位長度長度，相當于是把拋物線向下平移了2個單位長度

長度；),軸向右平移2個單位長度長度，相當于是把拋物線向左平移了2個單位長度長度。

所以，新坐標系下拋物線的解析式是y=2(%+2產(chǎn)-2,

即選B

前思后想：二次函數(shù)圖