特色題型專練04 新定義（解析版）（江蘇專用）

中考特色題型專練之新定義幾何篇題型一、與三角形結(jié)合1．問(wèn)題背景定義：若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，且兩個(gè)頂角的和是，則稱這兩個(gè)三角形是關(guān)于這條底邊的互補(bǔ)三角形．如圖1，四邊形中，是一條對(duì)角線，，且，則與是關(guān)于的互補(bǔ)三角形．(1)初步思考：如圖2，在中，，D、E為外兩點(diǎn)，，為等邊三角形．則關(guān)于的互補(bǔ)三角形是______，并說(shuō)明理由．(2)實(shí)踐應(yīng)用：如圖3，在長(zhǎng)方形中，．點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，若與是關(guān)于互補(bǔ)三角形，試求的長(zhǎng)．(3)思維探究：如圖4，在長(zhǎng)方形中，．點(diǎn)E是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，與是關(guān)于的互補(bǔ)三角形，直線與直線交于點(diǎn)F．在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段與線段的長(zhǎng)度是否會(huì)相等？若相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)3(3)或2或或18【分析】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．（1）根據(jù)互補(bǔ)三角形的定義即可判斷；（2）根據(jù)互補(bǔ)三角形可得，設(shè)，則，利用勾股定理求解即可；（3）分四種情形：如圖4-1中，當(dāng)時(shí)，如圖4-2中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與D重合，如圖4-3中，當(dāng)時(shí)，如圖4-4中，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)與點(diǎn)D重合，分別求解即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖2，是等邊三角形，關(guān)于的互補(bǔ)三角形是；故答案為：；（2）與是關(guān)于互補(bǔ)三角形，在長(zhǎng)方形中，，∴，，，設(shè)，則，，解得：，；（3）如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)，連接，，在中，，，，，解得：；如圖：當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)F與點(diǎn)D重合，可得：；如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)，同法可得，在中，則有，解得：；如圖：當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)F與點(diǎn)D重合，此時(shí)，綜上所述，滿足條件的的值為或2或或18．2．定義：用一條直線截三角形的兩邊，若所截得的四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則稱該直線為三角形第三條邊的“幸福線”．如圖1，為的截線，截得四邊形，若，則稱為邊的“幸福線”．(1)已知為邊的“幸福線”，，，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若內(nèi)接于，為弧的中點(diǎn)，、分別為、邊的“幸福線"，求證：；(3)在（2）的條件下，若，，如圖3過(guò)點(diǎn)作的“幸福線”交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求的正切值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先根據(jù)“幸福線”的定義，得，根據(jù)角的等量代換，得，證明，即可作答．（2）先根據(jù)“幸福線”的定義，得，結(jié)合，，以及角的等量代換，即可得；（3）先由圓周角定理，得，且，再由勾股定理，得，設(shè)，則，因?yàn)?，列式，得，，代入得，記，?dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)有最大值，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：∵為邊的“幸福線”∴又∵∴又∵∴∴，即：∴（2）解：連接，記與交于點(diǎn)，∵為的“幸福線”∴又∵∴又∵，∴∴∴即：（3）解：連接交于點(diǎn)，∵為中點(diǎn)∴，且∴，∴∴設(shè)，則由（2）知：又∵∴，其相似比為同理：，其相似比為，其相似比為∴，∴，記易知當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)有最大值∴當(dāng)時(shí)，四邊形面積最大又∵∴，即：∴，同理：，此時(shí)、重合記邊的高為，作于點(diǎn)則，即：又由知：，即：，∴，在中，則∴連接，在中，則【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理、求直角三角函數(shù)的正切值、勾股定理、二次函數(shù)與幾何綜合，難度大，綜合性強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．3．【概念認(rèn)識(shí)】定義：如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．當(dāng)這個(gè)點(diǎn)是直角的頂點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)又稱為強(qiáng)勾股點(diǎn)．如圖①，在中，，是，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，是，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，是，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，也是強(qiáng)勾股點(diǎn)．【概念運(yùn)用】（1）如圖②，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，，兩點(diǎn)均在格點(diǎn)上，線段上的8個(gè)格點(diǎn)中，是，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的有個(gè)．（2）如圖③，在中，，垂足為，若，，．求證：是，兩點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)．【拓展提升】（3）如圖④，在中，，，，是的中點(diǎn)，是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是任意兩個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）4；（2）證明見(jiàn)解析；（3）2，，，8．【分析】（1）根據(jù)新定義“勾股點(diǎn)”可得出答案；（2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，則可得出結(jié)論；（3）由新定義“強(qiáng)勾股點(diǎn)”畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，，，，四點(diǎn)與，能構(gòu)成四個(gè)直角三角形，圖中，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的有4個(gè)，故答案為：4；（2）證明：．，在中，由勾股定理得：，．在中，由勾股定理得：，．在中，，又，，由勾股定理逆定理得：是直角三角形，點(diǎn)是，兩點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)；（3）解：若點(diǎn)是，兩個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)時(shí)，且點(diǎn)在內(nèi)，如圖，為的中點(diǎn)，，，，，；若點(diǎn)是，兩個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)時(shí)，如圖，，，；若點(diǎn)是，兩個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)時(shí)，如圖，，，，設(shè)，，，，；若點(diǎn)是，兩個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)時(shí)，且點(diǎn)在外，如圖，為的中點(diǎn)，，．綜上所述，的長(zhǎng)為2，，，8．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了勾股定理的應(yīng)用，新定義“強(qiáng)勾股點(diǎn)”，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)；解題關(guān)鍵是對(duì)新定義概念的性質(zhì)運(yùn)用，并注意運(yùn)用分類討論的思想．題型二、與四邊形結(jié)合1．在平面直角坐標(biāo)系中，將中心為的正方形記作正方形，對(duì)于正方形和點(diǎn)（不與重合）給出如下定義：若正方形的邊上存在點(diǎn)，使得直線與以為半徑的相切于點(diǎn)，則稱點(diǎn)為正方形的“伴隨切點(diǎn)”．(1)如圖，正方形T的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)O，．①在點(diǎn)中，正方形的“伴隨切點(diǎn)”是_______；②若直線上存在正方形的“伴隨切點(diǎn)”，求b的取值范圍；(2)已知點(diǎn)，正方形的邊長(zhǎng)為．若存在正方形的兩個(gè)“伴隨切點(diǎn)”，，使得為等邊三角形，直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)①；②或(2)或【分析】（1）①根據(jù)新定義，即可求解；②分，時(shí)，分別討論，設(shè)直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，作交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，根據(jù)，即可得出的范圍；（2）依題意，，進(jìn)而得出，即，解一元二次方程，結(jié)合圖形，即可求解．【詳解】（1）解：①正方形的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，∴，則正方形的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線長(zhǎng)為∴，∵，即到的距離為，而到的距離小于，∴在點(diǎn)，，中，正方形的“伴隨切點(diǎn)”是，故答案為：．②解：由①可得，如圖所示，當(dāng)時(shí)設(shè)直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，作交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)∴，，∵，∴∴當(dāng)時(shí)，∴解得：或（舍去）當(dāng)時(shí)，則，解得：，∵∴當(dāng)時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴∴當(dāng)時(shí)，∴解得：當(dāng)時(shí)，則，解得：，∴；綜上所述，或；（2）解：∵點(diǎn)，正方形的邊長(zhǎng)為．∴`∴，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)取得等于號(hào)，∵為等邊三角形，為正方形的中心，則∴∴，則∴∵，即∴當(dāng)，解得：或當(dāng)，解得：或∴的解集為：或．∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，理解新定義是解題的關(guān)鍵．2．定義，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

【概念理解】如圖②，在四邊形中，如果，，那么四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【性質(zhì)探究】如圖①，垂美四邊形兩組對(duì)邊與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并給出證明．【問(wèn)題解決】如圖③，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接．若，，則直接寫(xiě)出的值．【答案】[概念理解]：四邊形是垂美四邊形．理由見(jiàn)解析；[性質(zhì)探究]：，理由見(jiàn)解析；[問(wèn)題解決]：【分析】[概念理解]：根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；[性質(zhì)探究]：根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；[問(wèn)題解決]：根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算即可．【詳解】解：[概念理解]：四邊形是垂美四邊形．理由如下：，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，直線是線段的垂直平分線，，即四邊形是垂美四邊形；[性質(zhì)探究]：．理由如下：如圖2，已知四邊形中，，垂足為，

，，由勾股定理得，，，；[問(wèn)題解決]：連接、，如圖3所示：

，，即，在和中，，，，又，，即，四邊形是垂美四邊形，由（2）得，，，，，，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P和矩形M．給出如下定義：若矩形M各邊分別與坐標(biāo)軸平行，且在矩形M上存在一點(diǎn)Q，使得P、Q兩點(diǎn)間距離小于1，則稱P為矩形M的“近距點(diǎn)”．

(1)如圖，若矩形對(duì)角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，且頂點(diǎn)．①在點(diǎn)中，矩形的“近距點(diǎn)”是______；②點(diǎn)P在直線上，若P為矩形的“近距點(diǎn)”，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)m的取值范圍；(2)將（1）中的矩形沿著x軸平移得到矩形，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F．若線段上的所有點(diǎn)都是矩形的“近距點(diǎn)”，真接寫(xiě)出n的取值范圍．【答案】(1)①；②或(2)【分析】（1）①分別計(jì)算各點(diǎn)與矩形各邊的最小距離，從而根據(jù)定義得出結(jié)果；②在上取點(diǎn)P，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部時(shí)，作于Q，計(jì)算當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)，從而求得臨界時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)P在矩形的外部時(shí)，時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從而得出m的范圍，根據(jù)對(duì)稱性求得點(diǎn)P在第三象限時(shí)m的范圍；（2）先求得，當(dāng)時(shí)，軸，設(shè)交x軸于點(diǎn)R，此時(shí)，，可求得；當(dāng)C'在y軸上時(shí)，當(dāng)在y軸上時(shí)，設(shè)交x軸于點(diǎn)V，同理，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵矩形對(duì)角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，且頂點(diǎn)，∴，①∵在矩形M上存在一點(diǎn)Q，使得P、Q兩點(diǎn)間距離小于1，∴即在M上至少找到一點(diǎn)到P的距離小于1．當(dāng)時(shí)，P到M上最小距離為，成立，∴為近距點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，最小距離為，不成立，∴不是近距點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，最小距離為，不成立，∴不是近距點(diǎn)．故答案為：P1．②如圖1，在上取點(diǎn)P，作于點(diǎn)Q，

當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)P在直線上，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴或；（2）解：如圖2，

∵直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F．∴點(diǎn)，∴，由（1）得：，∴，∴，當(dāng)時(shí)，軸，設(shè)交x軸于點(diǎn)R，此時(shí)，，∴，∴，∴點(diǎn)，當(dāng)在y軸上時(shí)，設(shè)交x軸于點(diǎn)V，同理，∴，綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，直觀觀察和數(shù)形結(jié)合．題型三、與圓結(jié)合1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)，給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的等和點(diǎn)．已知點(diǎn)．

備用圖(1)在，，中，點(diǎn)P的等和點(diǎn)有________；(2)點(diǎn)A在直線上，若點(diǎn)P的等和點(diǎn)也是點(diǎn)A的等和點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)和線段MN，對(duì)于所有滿足的點(diǎn)C，線段MN上總存在線段PC上每個(gè)點(diǎn)的等和點(diǎn)．若MN的最小值為5，直接寫(xiě)出b的值．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)定義判斷即可；（2）設(shè)點(diǎn)的等和點(diǎn)為，則，設(shè)，則點(diǎn)的等和點(diǎn)為，則，即可求；（3）由題意可得點(diǎn)的等和點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的等和點(diǎn)在直線上，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，再由，可得點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，則點(diǎn)的等和點(diǎn)是兩條直線之間的區(qū)域，以為圓心，1為半徑作圓，過(guò)點(diǎn)作的垂線交圓與點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，由的最小值為5，可得最小值為4，在中，，可求，同理當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，【詳解】（1），則，是點(diǎn)的等和點(diǎn)；，則，不是點(diǎn)的等和點(diǎn)；，則，是點(diǎn)的等和點(diǎn)；故答案為：，；（2）設(shè)點(diǎn)的等和點(diǎn)為，，設(shè)，則點(diǎn)的等和點(diǎn)為，，，；（3），點(diǎn)的等和點(diǎn)在直線上，，點(diǎn)的等和點(diǎn)在直線上，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，，點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，點(diǎn)的等和點(diǎn)是兩條直線之間的區(qū)域，如圖，以為圓心，1為半徑作圓，過(guò)點(diǎn)作的垂線交圓與點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，的最小值為5，最小值為4，在中，，，，同理當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解新定義，將所求問(wèn)題與圓相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．2．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形M，N和點(diǎn)P．給出如下定義：如果圖形M，N上分別存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使得點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于點(diǎn)P中心對(duì)稱，那么稱點(diǎn)P為圖形M，N的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．特別地，當(dāng)E，P，F(xiàn)三點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)P也為其關(guān)聯(lián)點(diǎn)．已知點(diǎn)，．(1)在點(diǎn)，，中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____時(shí)，點(diǎn)O為線段，點(diǎn)C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；(2)的圓心為，半徑為1．若點(diǎn)O為，線段的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求d的取值范圍；(3)的半徑為3，若點(diǎn)為，線段的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫(xiě)出t的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）求出線段關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱線段的表達(dá)式，滿足條件的點(diǎn)C在線段上，即可求解；（2）線段與線段關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，當(dāng)與線段有交點(diǎn)時(shí)，滿足條件，設(shè)與線段相切于點(diǎn)F，連接，，根據(jù)切線的性質(zhì)可逐步求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，再分析當(dāng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)，分別求出d的值，即可求出d的取值范圍；（3）點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，當(dāng)與直線相切時(shí)，可證明點(diǎn)M不可能在線段上，即與直線不相切，當(dāng)過(guò)點(diǎn)和過(guò)點(diǎn)兩種情況時(shí)，分別求出t的值，即可求出出t的取值范圍．【詳解】（1）點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，線段的解析式為，當(dāng)時(shí)，，在點(diǎn)，，中，在線段上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，時(shí)，點(diǎn)O為線段，點(diǎn)C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；故答案為：．（2）線段與線段關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，當(dāng)與線段有交點(diǎn)時(shí)，滿足條件，如圖2，設(shè)與線段相切于點(diǎn)F，連接，，此時(shí)點(diǎn)在線段的右邊，則，，∵，，，，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，，，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，或，的取值范圍是；（3）點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，當(dāng)與直線相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，連結(jié)，，，，，此時(shí)或，不可能在線段上，即與直線不相切，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，，解得，；當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，，解得，；綜上所述，滿足條件的t的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決問(wèn)題．3．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于內(nèi)的一點(diǎn)，若在外存在點(diǎn)，使得，則稱點(diǎn)為的“內(nèi)二分點(diǎn)”．(1)當(dāng)?shù)陌霃綖闀r(shí)，①在，，，四個(gè)點(diǎn)中，是的“內(nèi)二分點(diǎn)”的是；②已知一次函數(shù)在第一象限的圖像上的所有的點(diǎn)都是的“內(nèi)二分點(diǎn)”，求的取值范圍；(2)已知點(diǎn)，，，的半徑為，若線段上存在的“內(nèi)二分點(diǎn)”，直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)①，；②(2)或．【分析】（1）①根據(jù)圓的“內(nèi)二分點(diǎn)”即可判斷；②由當(dāng)時(shí)，，可得一次函數(shù)的圖像過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)題意可得，當(dāng)一次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)也是與軸的交點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)一次函數(shù)的圖像與半徑為1的相切時(shí)，可得，由此即可求解；（2）畫(huà)出圖形，找到“臨界點(diǎn)”，列出不等式組即可求解．【詳解】（1）解：①，的半徑為，但此時(shí)在圓上，不合題意，故不是的“內(nèi)二分點(diǎn)”，，，，，，在圓上，，是的“內(nèi)二分點(diǎn)”；②當(dāng)時(shí)，，一次函數(shù)的圖像過(guò)定點(diǎn)，若，則在第一象限是一條射線（不含端點(diǎn)），上不可能所有的點(diǎn)都是的“內(nèi)二分點(diǎn)”，故，如圖當(dāng)一次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)也是與軸的交點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)一次函數(shù)的圖像與半徑為1的相切于點(diǎn)時(shí)，則，而，，∴，∴，∴，∴直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，可得，的取值范圍是；（2）①當(dāng)從點(diǎn)左側(cè)沿軸正方向移動(dòng)時(shí)，線段上存在點(diǎn)為的“內(nèi)二分點(diǎn)”，如圖，則滿足，，且，解得：，且，，結(jié)合圖形可得，線段上存在點(diǎn)為的“內(nèi)二分點(diǎn)”，；②當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，線段上存在點(diǎn)為的“內(nèi)二分點(diǎn)”，如圖，則滿足，，且，解得：或，且，結(jié)合圖形可得，線段上存在點(diǎn)為的“內(nèi)二分點(diǎn)”，；綜上所述，若線段上存在點(diǎn)為的“內(nèi)二分點(diǎn)”，則或．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)新定義問(wèn)題，涉及直線與圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)的圖像，解直角三角形的計(jì)算，解不等式組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．理解“內(nèi)二分點(diǎn)”的定義，找到“臨界點(diǎn)”，題目難度較大．題型四、與相似結(jié)合1．定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的乘積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所對(duì)頂點(diǎn)連線段的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)三角形該邊的“好點(diǎn)”．如圖1，在中，點(diǎn)D是邊上的一點(diǎn)，連接，若，則稱點(diǎn)D是中邊的“好點(diǎn)”．(1)如圖1，在中，，若點(diǎn)D是邊的“好點(diǎn)”，且，則線段的長(zhǎng)是______；(2)如圖2，是的外接圓，點(diǎn)E在邊上，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，連接、、，若點(diǎn)E是中邊的“好點(diǎn)”，，求證：是的直徑；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，連接、，若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理（1）根據(jù)“好點(diǎn)”定義可得出，然后代入數(shù)據(jù)即可求解；（2）根據(jù)“好點(diǎn)”定義可得出，證明可得出，則，由垂徑定理可得進(jìn)而得出，最后根據(jù)的圓周角所對(duì)的弦是直徑即可得證；（3）由（2）知：，利用三角形中位線定理求出，在中利用勾股定理得出，則可求出，延長(zhǎng)交于H，由垂徑定理得出，由線段垂直平分線的判定得出，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，證明，得出，過(guò)點(diǎn)O作于M，過(guò)點(diǎn)Q作于N，求出，證明，得出，設(shè)，則，，，代入可得出關(guān)于x的方程，然后求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)D是邊的“好點(diǎn)”，∴，又，，∴，∴（負(fù)數(shù)舍去）（2）證明：∵點(diǎn)E是中邊的“好點(diǎn)”，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的直徑；（3）解：由（2）知：，∵，∴，∵，，，∴，∵，∴，即，解得（負(fù)值舍去），∴，，∴，延長(zhǎng)交于H，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，即，過(guò)點(diǎn)O作于M，過(guò)點(diǎn)Q作于N，∴，∴，∵，，∴∴，即，設(shè)，則，，在中，，∵，∴，化簡(jiǎn)得，∴，∴，（舍去），∴，∴．2．定義：若三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為90°，則這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”．(1)若是“準(zhǔn)直角三角形”，，，則___________°；(2)如圖1，中，，，．若D是AC上的一點(diǎn)，，請(qǐng)判斷是否為準(zhǔn)直角三角形，并說(shuō)明理由；(3)如圖2，在四邊形中，，，，，且是“準(zhǔn)直角三角形“，求的面積．【答案】(1)(2)是準(zhǔn)直角三角形，理由見(jiàn)解析(3)48或24【分析】（1）分和，兩種情況，進(jìn)行討論求解；（2）勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用三角函數(shù)，求出的長(zhǎng)，推出，得到，利用外角的性質(zhì)，推出，即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)C作于F，，交的延長(zhǎng)線于E，易證，得到，，分和，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵是“準(zhǔn)直角三角形”，，，①當(dāng)時(shí)，則：，∴（不合題意，舍去）；②當(dāng)時(shí)，則：，∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：是準(zhǔn)直角三角形，理由如下：∵中，，，，∴，，，∵，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則：，，，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴是準(zhǔn)直角三角形；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于F，，交的延長(zhǎng)線于E，設(shè)，∵，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，∵，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則：，∴設(shè)，則，∴，∴，∴；當(dāng)，又：，∴，又∵，∴，∴∴，∴．綜上所述：的面積為48或24．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)；本題的綜合性強(qiáng)，理解并掌握準(zhǔn)直角三角形的定義，是解題的關(guān)鍵。3．定義：若一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則稱這個(gè)四邊形為圓美四邊形．（1）請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是圓美四邊形的圖形的名稱__________；（2）如圖1，在等腰中，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的⊙O交邊于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連結(jié)．若四邊形為圓美四邊形，求的值；（3）如圖2，在中，經(jīng)過(guò)A、B的⊙O交邊于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連結(jié)，交于點(diǎn)F．若在四邊形的內(nèi)部存在一點(diǎn)P．使得，連結(jié)交于點(diǎn)G，連結(jié)，若，．①求證：四邊形為圓美四邊形；②若，，，求的最小值．【答案】（1）正方形；（2）；（3）①見(jiàn)解析，②的最小值為【分析】（1）根據(jù)圓美四邊形的定義直接得出結(jié)論；（2）先判斷出∠BED＝∠CED＝90°，再根據(jù)圓美四邊形的定義和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可；（3）①先判斷出△APD∽△EPB，得出，進(jìn)而判斷出△APE∽△DPB，得出∠AEP＝∠DBP，即可得出結(jié)論；②先判斷出AD2+BE2＝AB2+DE2，證，進(jìn)而得出，設(shè)，，，，列出函數(shù)關(guān)系式即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）正方形內(nèi)接與圓，且對(duì)角線互相垂直；故答案為：正方形（2）連結(jié)，，∵等腰中，，∴為⊙O的直徑，，，∴，∴，∵四邊形為圓美四邊形，∴，∴弧=弧，∴，∴，∴（3）①∵，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，即∴，∴，又∵，，∴即，∴，又∵A，B，E，D在同一個(gè)圓上，∴四邊形為圓美四邊形．②∵，∴，∴，∵A，B，E，D在同一個(gè)圓上，∴，∵，∴，∴設(shè)，，，∵，∴，，∴，∴，∵∴當(dāng)時(shí)，y2取到最小值32，的最小值為．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了新定義，圓美四邊形的定義的理解和應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用相似三角形的判定進(jìn)行推理證明是解本題的關(guān)鍵．題型五、與三角函數(shù)結(jié)合1．定義：若一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則稱這個(gè)四邊形為圓美四邊形．(1)請(qǐng)?jiān)谔厥馑倪呅沃姓页鲆粋€(gè)圓美四邊形，該四邊形的名稱是；(2)如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的⊙O交AC邊于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接DE，若四邊形ABED為圓美四邊形，則的值是(3)如圖2，在△ABC中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的⊙O交AC邊于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接AE、BD交于點(diǎn)F，若在四邊形ABED的內(nèi)部存在一點(diǎn)P，使得∠PBC=∠ADP=α，連接PE交BD于點(diǎn)G，連接PA，若PA⊥PD，PB⊥PE．①試說(shuō)明：四邊形ABED為圓美四邊形；②若，，，求DE的最小值．【答案】(1)正方形(2)(3)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）根據(jù)圓美四邊形的定義即可直接得出結(jié)論；（2）先判斷出∠BED=∠CED=90°，得出∠ABD=∠CAE，即有AC=()AD，即可得解；（3）①先判斷出△APD∽△EPB，得出，進(jìn)而判斷出△APE∽△DPB，得出∠AEP=∠DBP，即可得出結(jié)論；②先判斷出，再證△CDE∽△CBA，進(jìn)而得出，設(shè)PA=x，DE=y，即可得出關(guān)于x、y的等式，即可求出最終結(jié)果．【詳解】（1）根據(jù)圓美四邊形的定義可知，正方形是圓美四邊形，故答案為：正方形；（2）連接BD、AE，如圖，∵∠BAC=90°，∴BD是⊙O的直徑，∴∠BED=∠CED=90°，∵四邊形ABED為圓美四邊形，∴BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAE=90°，∵∠CAE+∠BAE=90°，∴∠ABD=∠CAE，∴，∴AD=DE，∴在等腰Rt△CDE中，CD=DE，∴CD=AD，∴AC=(+1)AD，∵AB=AC，AD=DE，∴；（3）①∵，，∴，∵，∴∽，∴，∴，∵，即，∴∽，∴，又∵，，∴，即，∴，又∵A，B，E，D在同一個(gè)圓上，∴四邊形ABED為圓美四邊形；②∵BD⊥AE，∴，，∴，∵A，B，E，D在同一個(gè)圓上，，∴∠CDE=∠CBA，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，又∵PA+PE=8，設(shè)PA=x，DE=y，則PE=8-x，AB==，∵，∠APD=∠BPE=90°，∴在Rt△APD中，，∴PD=，則利用勾股定理可得AD=，同理在Rt△PBE中可求得：BE=，根據(jù)，得：，即有∴當(dāng)x=4時(shí)，y取最小值，最小值為，即DE的最小值為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是圓的綜合題，主要考查了新定義圓美四邊形的定義的理解和運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，判斷出△CDE∽△CBA是解答本題的關(guān)鍵．2．定義：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角α，β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個(gè)三角形為“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，則∠A＝度；（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分線，①求證：△BDC是“近直角三角形”；②在邊AC上是否存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，請(qǐng)求出CE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的圓交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE交BD于點(diǎn)F，若△BCD為“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．【答案】（1）20；（2）①見(jiàn)解析；②存在，CE＝；（3）tan∠C的值為或．【分析】（1）∠B不可能是α或β，當(dāng)∠A＝α?xí)r，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，則β＝20°；（2）①如圖1，設(shè)∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，則α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②∠ABE＝∠C，則△ABC∽△AEB，即,即，解得：AE=，即可求解.（3）①如圖2所示，當(dāng)∠ABD＝∠DBC＝β時(shí)，設(shè)BH＝x，則HE＝5﹣x，則AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝，即可求解；②如圖3所示，當(dāng)∠ABD＝∠C＝β時(shí)，AF∶EF＝AG∶GE＝2∶3，則DE＝2k，則AG＝3k＝R（圓的半徑）＝BG，點(diǎn)H是BE的中點(diǎn)，則GH＝DE＝k，在△BGH中，BH＝＝2k，在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝4k，由勾股定理得：25＝8k2+16k2，解得：k＝，即可求解.【詳解】解：（1）∠B不可能是α或β，當(dāng)∠A＝α?xí)r，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，則β＝20°，故答案為20；（2）①如圖1，設(shè)∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，則α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②存在，理由：在邊AC上是否存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得△BCE是“近直角三角形”，AB＝3，AC＝4，則BC＝5，則∠ABE＝∠C，則△ABC∽△AEB，即，即，解得：AE＝，則CE＝4﹣＝；（3）①如圖2所示，當(dāng)∠ABD＝∠DBC＝β時(shí)，則AE⊥BF，則AF＝FE＝3，則AE＝6，AB＝BE＝5，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)BH＝x，則HE＝5﹣x，則AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝；cos∠ABE＝＝＝cos2β，則tan2β＝，則tanα＝；②如圖3所示，當(dāng)∠ABD＝∠C＝β時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE交BE于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)G，則點(diǎn)G是圓的圓心（BE的中垂線與直徑的交點(diǎn)），∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，故AE＝AB＝5，則EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，∵DE⊥BC，AH⊥BC，∴ED∥AH，則AF∶EF＝AG∶GE＝2∶3，則DE＝2k，則AG＝3k＝R（圓的半徑）＝BG，點(diǎn)H是BE的中點(diǎn)，則GH＝DE＝k，在△BGH中，BH＝＝2k，在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝4k，由勾股定理得：25＝8k2+16k2，解得：k＝；在△ABD中，AB＝5，BD＝6k＝，則cos∠ABD＝cosβ＝＝＝cosC，則tanC＝；綜上，tan∠C的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)值等知識(shí).屬于圓的綜合題，解決本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái).3．定義：在一個(gè)三角形中，若存在兩條邊x和y，使得y＝x2，則稱此三角形為“平方三角形”，x稱為平方邊．（1）“若等邊三角形為平方三角形，則面積為是命題；“有一個(gè)角為30°且有一條直角邊為2的直角三角形是平方三角形”是命題；（填“真”或“假”）（2）若a，b，c是平方三角形的三條邊，平方邊a＝2，若三角形中存在一個(gè)角為60°，求c的值；（3）如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)．①若∠CAD＝∠B，CD＝1，求證，△ABC是平方三角形；②若∠C＝90°，BD＝1，AC＝m，CD＝n，求tan∠DAB．（用含m，n的代數(shù)式表示）【答案】（1）真，假；（2）c的長(zhǎng)為4或1+；(3)①見(jiàn)解析；②tan∠DAB＝【分析】（1）①根據(jù)平方三角形的定義，求出等邊三角形的邊長(zhǎng)即可判斷．②分兩種情形分別判斷即可．（2）為a，b，c是平方三角形的三條邊，平方邊a＝2，三角形中存在一個(gè)角為60°，只有∠B或∠C＝60°，∠A不可能為60°，不妨設(shè)∠B＝60°，BC＝2，分兩種情形：如圖1中，①當(dāng)c＝a2時(shí)．②如圖2中，當(dāng)b＝a2＝4時(shí)，作CH⊥AB于H．求出AB即可．（3）①證明△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．②如圖4中，作DH⊥AB于H．利用相似三角形的性質(zhì)求出DH，AH即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）∵等邊三角形為平方三角形，∴根據(jù)平方三角形的定義可知：等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，∴等邊三角形的面積＝，∴①是真命題．當(dāng)直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊為2時(shí)，斜邊為4，滿足平方三角形的定義，當(dāng)直角三角形中，和30°相鄰的直角邊是2時(shí)，不是平方三角形，故②是假命題，故答案為真，假．（2）因?yàn)閍，b，c是平方三角形的三條邊，平方邊a＝2，三角形中存在一個(gè)角為60°，只有∠B或∠C＝60°，∠A不可能為60°，不妨設(shè)∠B＝60°，BC＝2，如圖1中，①當(dāng)c＝a2時(shí)，∵a＝2，∴c＝22＝4．如圖2中，當(dāng)b＝a2＝4時(shí)，作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵∠B＝60°，∠CHB＝90°，BC＝2，∴BH＝BC＝1，CH＝BH＝，在Rt△ACH中，AH＝＝，∴c＝AB＝BH+AH＝1+，綜上所述，c的長(zhǎng)為4或1+．（3）①如圖3中，∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠B，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴AC2＝CD?CB，∵CD＝1，∴AC2＝BC，∴△ABC是平方三角形．②如圖4中，作DH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝m，BC＝CD+BD＝1+n，∴AB＝，∵DH⊥AB，∴∠DHB＝90°，∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠C＝90°，∴△BHD∽△BCA，∴，∴，∴DH＝，BH＝，∴AH＝﹣，∴tan∠DAB＝＝＝．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．代數(shù)篇題型一、與代數(shù)式結(jié)合1．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．[解決問(wèn)題](1)已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成（a、b是整數(shù)）的形式______；(2)若可配方成（m、n為常數(shù)），則______；[探究問(wèn)題](3)已知，則______；(4)已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由．[拓展結(jié)論](5)已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求的最值．【答案】(1)；(2)(3)(4)(5)最大值為：；【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”可得答案；（2）利用完全平方公式可得，從而可得答案；（3）利用完全平方公式把左邊分組分解因式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得答案；（4）利用完全平方公式可得，再利用新定義可得答案；（5）由條件可得，代入計(jì)算可得：，再結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得最大值．【詳解】（1）解：；（2）；∴，，∴；（3）∵，∴∴，∴，，解得：，，∴；（4），當(dāng)為完美數(shù)時(shí)，∴，解得：．（5）∵，∴，∴，∵，∴；∴的最大值為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義運(yùn)算的理解，完全平方公式的應(yīng)用，利用完全平方公式分解因式，熟練的掌握完全平方公式的特點(diǎn)與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．閱讀下列兩份材料，理解其含義并解決下列問(wèn)題：【閱讀材料1】如果兩個(gè)正數(shù)a，b，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（小）值問(wèn)題的有力工具．【實(shí)例剖析1】已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，式子有最小值，最小值為4．【閱讀材料2】我們知道，分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做“真分?jǐn)?shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”．類似的，我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．【實(shí)例剖析2】如：，這樣的分式就是假分式；如：，這樣的分式就是真分式，假分?jǐn)?shù)可以化成（即）帶分?jǐn)?shù)的形式，類似的，假分式也可以化為帶分式．如：；．【學(xué)以致用】根據(jù)上面兩份材料回答下列問(wèn)題：(1)已知，則當(dāng)__________時(shí)，式子取到最小值，最小值為_(kāi)_________；(2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化為帶分式形式__________；如果分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x的值有__________個(gè)；(3)用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？(4)已知，當(dāng)x取何值時(shí)，分式取到最大值，最大值為多少？【答案】(1)3，6(2)真分式，，4(3)當(dāng)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為10米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40米(4)當(dāng)時(shí)，分式取到最大值，最大值為【分析】本題是材料題，考查學(xué)生對(duì)所給材料的理解分析能力，涉及分式的加減、二次根式的乘法、不等式的性質(zhì)、完全平方公式、利用平方根解方程等知識(shí)，熟練運(yùn)用已知材料和所學(xué)知識(shí)，認(rèn)真審題，仔細(xì)計(jì)算，并注意解題過(guò)程中需注意的事項(xiàng)是本題的解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中的公式確定出原式的最小值即可；（2）根據(jù)新定義判斷分式是真分式，將假分式化為真分式再判斷滿足條件的整數(shù)x的值；（3）設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬=面積÷長(zhǎng)，即寬米，則所用的籬笆總長(zhǎng)為2倍的長(zhǎng)倍的寬，本題就可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)負(fù)數(shù)的和的問(wèn)題，從而根據(jù)：求解；（4）根據(jù)實(shí)例剖析1和實(shí)例剖析2，將原式改寫(xiě)，然后使用不等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；．【詳解】（1）解：令，則有，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即正數(shù)時(shí)，式子有最小值，最小值為6；故答案為：3，6；（2）解：根據(jù)新定義分式是真分式，，x為整數(shù)，且為整數(shù)，或或或，解得：或或或，則滿足條件的整數(shù)x的值有4個(gè)，故答案為：真分式，，4；（3）解：設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為米，所用的籬笆總長(zhǎng)為y米，根據(jù)題意得：由上述性質(zhì)知：∵，∴，此時(shí)，，∴，答：當(dāng)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為10米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40米；（4）解：，，，當(dāng)且當(dāng)時(shí)，即時(shí)，式子有最小值為4，當(dāng)時(shí)，分式取到最大值，最大值為．3．定義：對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)，如果滿足個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大，那么稱這個(gè)兩位數(shù)為“慧泉數(shù)”將一個(gè)“慧泉數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，把這個(gè)新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與的商記為．例如：，對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字后得到新的兩位數(shù)為，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，其和與的商為：，所以．根據(jù)以上定義，回答下列問(wèn)題：(1)______；(2)若，求；(3)如果一個(gè)“慧泉數(shù)”的十位數(shù)字是，另一個(gè)“慧泉數(shù)”的個(gè)位數(shù)字是，且滿足，求、的值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】本題考查列代數(shù)式，一元一次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)定義列得方程及不等式求解是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)定義列式計(jì)算即可；（2）設(shè)的個(gè)位數(shù)字為，則其十位數(shù)字為，根據(jù)定義列得方程，解方程求得值后代入中計(jì)算，從而得出答案；（3）結(jié)合已知條件，根據(jù)定義求得，后列得不等式，再結(jié)合且為整數(shù)確定的值，分別代入，中計(jì)算后即可求得答案．【詳解】（1）解：由題意可得，故答案為：；（2）解：設(shè)的個(gè)位數(shù)字為，則其十位數(shù)字為，，，解得：，則，；（3）解：一個(gè)“慧泉數(shù)”的十位數(shù)字是，另一個(gè)“慧泉數(shù)”的個(gè)位數(shù)字是，數(shù)的個(gè)位數(shù)字是，數(shù)的十位數(shù)字是，，，，，解得：，且為整數(shù)，且為整數(shù)，，則，，即，．題型二、與方程結(jié)合1．定義：關(guān)于x的方程與方程（a，b均為不等于0的常數(shù)）稱互為“反對(duì)方程”，例如：方程與方程互為“反對(duì)方程”．(1)若關(guān)于x的方程與方程互為“反對(duì)方程”，則_________．(2)若關(guān)于x的方程與其“反對(duì)方程”的解都是整數(shù)，求整數(shù)d的值．(3)已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，那么關(guān)于y的一元一次方程的解為_(kāi)_________．（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）【答案】(1)2(2)(3)【分析】此題考查的是一元一次方程的應(yīng)用；（1）根據(jù)“反對(duì)方程”的定義直接可得答案；（2）根據(jù)方程與其“反對(duì)方程”的解都是整數(shù)求解；（3）由題意得，互為“反對(duì)方程”的兩個(gè)方程的解互為倒數(shù)，然后利用整體思想求解；能夠正確理解“反對(duì)方程”的概念是解決此題關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題可知，與方程，均為不等于0的常數(shù)）稱互為“反對(duì)方程”，與方程互為“反對(duì)方程”，，故答案為：2；（2）變形為由題意可知：方程的“反對(duì)方程”為：解，得，解，得，與的解都是整數(shù)，與都是整數(shù)，且為整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，與都是整數(shù)；故整數(shù)d的值為；（3）∵關(guān)于x的一元一次方程的解為，的解為，由題意得，互為“反對(duì)方程”的兩個(gè)方程的解互為倒數(shù)，的解為，將變形為，∴關(guān)于y的一元一次方程的解為．故答案為：．2．定義：若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則把分別以為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到的點(diǎn)，稱為該一元二次方程的“友好點(diǎn)”．(1)若方程為，則該方程的“友好點(diǎn)”P(pán)的坐標(biāo)為．(2)若關(guān)于x的一元二次方程的“友好點(diǎn)”為P，過(guò)點(diǎn)P向x軸和y軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸恰好圍成一個(gè)正方形，求m的值．(3)是否存在b，c，使得不論為何值，關(guān)于x的方程的“友好點(diǎn)”P(pán)始終在函數(shù)的圖象上，若有，請(qǐng)求出b，c的值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，點(diǎn)P為該一元二次方程的“友好點(diǎn)”的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問(wèn)題．（1）解方程后，根據(jù)定義即可求P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出方程的解為或，再分情況討論：當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；再由題意分別求出m的值即可；（3）由直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則方程的友好點(diǎn)P為，即可求．【詳解】（1）解：解方程得，，∴該方程的“友好點(diǎn)”P(pán)的坐標(biāo)為，故答案為：；（2）的解為或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由題意可得，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得；綜上所述：m的值為或；（3）存在b，c滿足條件，理由如下：∵，∴直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，∴方程的友好點(diǎn)為，∴方程為∴．3．我們定義：形如（m，n不為零），且兩個(gè)解分別為，的方程稱為“十字分式方程”．例如為十字分式方程，可化為，∴，．再如為十字分式方程，可化為．∴，．應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問(wèn)題：(1)若為十字分式方程，則______，______．(2)若十字分式方程的兩個(gè)解分別為，，求的值．(3)若關(guān)于x的十字分式方程的兩個(gè)解分別為，（，），求的值．【答案】(1)，(2)(3)2022【分析】（1）將方程改寫(xiě)成，再根據(jù)十字分式方程的定義作答即可；（2）先根據(jù)十字分式方程的定義求出，再化簡(jiǎn)得，最后代入計(jì)算求解即可；（3）先根據(jù)十字分式方程的定義以及、、的取值范圍求出，，即，，然后代入求解即可．【詳解】（1）解：方程是十字分式方程，可化為，，故答案為：，．（2）解：十字分式方程的兩個(gè)解分別為，，，∵，∴原式．（3）解：方程是十字分式方程，可化為，∴，，∵，，∴，，即，，代入得，，∴的值為2022．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，利用完全平方公式求值、因式分解的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，理解十字分式方程的定義是解題關(guān)鍵．題型三、與不等式結(jié)合1．現(xiàn)對(duì)x，y定義一種新的運(yùn)算：，(其中均不為0)，舉例：．(1)若；①求的值．②若關(guān)于的不等式組恰好有2個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍．(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則應(yīng)滿足什么樣的關(guān)系式？【答案】(1)①；②；(2)【分析】（1）①由新定義運(yùn)算的含義可得，再解方程組即可得到答案；②由結(jié)合不等式組可得，可得：，結(jié)合此時(shí)恰好有2個(gè)正整數(shù)解，可得，再解不等式組即可；（2）由，可得，結(jié)合題意可得，從而可得答案.【詳解】（1）解：①∵，，∴，即，解得：，②∵由①得：，∴，，∴即，解得：，∵此時(shí)恰好有2個(gè)正整數(shù)解，∴，解得：；（2）∵，∴，∴，∴，∵對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義運(yùn)算，二元一次方程組的解法，一元一次不等式組的解法，因式分解的應(yīng)用，本題難度大，對(duì)學(xué)生要求高.2．深化理解：新定義：對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)“四舍五入”到個(gè)位的值記為，即：當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果，則；反之，當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果，則．例如：，，，，…試解決下列問(wèn)題：(1)填空：①________，________（為圓周率），________；②如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解恰有4個(gè)，求的取值范圍；(3)求滿足的所有非負(fù)實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)①7，3，4；②(2)；(3)，，，．【分析】（1）①利用對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為，進(jìn)而得出相關(guān)的值；②利用對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為，進(jìn)而得出x的取值范圍；（2）首先將看作一個(gè)字母，解不等式組進(jìn)而根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)得出a的取值范圍；（3）利用，為整數(shù)，設(shè)，k為整數(shù)，則，得出關(guān)于k的不等關(guān)系求出即可．【詳解】（1）解：①由題意可得：，（為圓周率），∵，∴；故答案為：7，3，4；②∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：解不等式組得：，由不等式組整數(shù)解恰有4個(gè)得，，故；（3）解：∵，為整數(shù)，設(shè)，k為整數(shù)，則，∴，∴，，∴，∴，1，2，3，則，，，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義以及一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意正確理解的意義是解題關(guān)鍵．3．我們定義：使方程（組）與不等式（組）同時(shí)成立的未知數(shù)的值稱為此方程（組）和不等式（組）的“夢(mèng)想解”．例：已知方程與不等式，方程的解為，使得不等式也成立，則稱“”為方程和不等式的“夢(mèng)想解”(1)已知①，②，③，試判斷方程解是否為它與它們中某個(gè)不等式的“夢(mèng)想解”；(2)若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是不等式組的夢(mèng)想解，且m為整數(shù)，求m的值．(3)若關(guān)于x的方程的解是關(guān)于x的不等式組的“夢(mèng)想解”，且此時(shí)不等式組有7個(gè)整數(shù)解，試求m的取值范圍．【答案】(1)③(2)14或15(3)【分析】（1）先求出方程的解和不等式組的解集，即可判斷；（2）先求出方程組的解和不等式組的解集，根據(jù)題意得出，解不等式組即可；（3）先求出不等式組的解集，不等式組有7個(gè)整數(shù)解，即可得出，然后解方程得：，，根據(jù)“夢(mèng)想解”的定義得出，即可得出．【詳解】（1）解方程得，解①得：，故方程不是①的“夢(mèng)想解”；解②得：，故方程不是②“夢(mèng)想解”；解③得：，故方程是③的“夢(mèng)想解”；故答案為：③（2）解方程得：∴∵解是不等式組的夢(mèng)想解∴∴m為整數(shù)，∴m為14或15；（3）解不等式組得：，不等式組的整數(shù)解有7個(gè)，令整數(shù)的值為，，，，，，則有：，．故，且，，，，，解方程得：，方程是關(guān)于的不等式組的“夢(mèng)想解”，，解得，綜上的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式（組，一元一次方程的解，理解材料中的不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”是解題的關(guān)鍵．函數(shù)篇題型一、與一次函數(shù)結(jié)合1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．

(1)已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，①如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；②若的長(zhǎng)度不超過(guò)4，求的取值范圍；(2)已知點(diǎn)在直線上，如圖2，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，對(duì)于線段上（包括端點(diǎn)）任意一點(diǎn)，若以1為半徑的上總存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”在軸的負(fù)半軸上，直接寫(xiě)出符合條件的的值．【答案】(1)①；②或(2)【分析】（1）①根據(jù)題意得出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，為關(guān)于軸（）的對(duì)稱點(diǎn)即；②先得出，勾股定理得出，進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）依題意得出，又直線的解析式可得，直線與軸的夾角為，同理可得與軸的夾角為，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與相切，符合題意，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，的長(zhǎng)度最大，此時(shí)能與軸的負(fù)半軸相切，則當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與軸的負(fù)半軸相交，即可得出．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，則∵，則關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，∴為關(guān)于軸（）的對(duì)稱點(diǎn)即，故答案為：．

②若的長(zhǎng)度不超過(guò)4，求的取值范圍解：∵，則∴∴∵即∴∴或

（2）解：∵點(diǎn)在直線上，∴，∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”在軸的負(fù)半軸上，∴∵直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴，∴∴∴，則，∴直線與軸的夾角為，同理可得與軸的夾角為，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，

∵，∴∴直線的解析式為，∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與相切，

則是等邊三角形，關(guān)于對(duì)稱，與和軸的正半軸相切，與軸的負(fù)半軸以及相切，又∵是線段上的點(diǎn)，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，的長(zhǎng)度最大，此時(shí)能與軸的負(fù)半軸相切，則當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與軸的負(fù)半軸相交，即當(dāng)時(shí)，以1為半徑的上總存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”在軸的負(fù)半軸上．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵2．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于線段，直線l和圖形W給出如下定義：線段關(guān)于直線l的對(duì)稱線段為分別是M，N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），若與均在圖形W內(nèi)部（包括邊界），則稱圖形W為線段關(guān)于直線l的“對(duì)稱封閉圖形”．如圖，點(diǎn)．概念理解：(1)線段關(guān)于y軸的對(duì)稱線段點(diǎn)坐標(biāo)是______；(2)已知圖形：以線段為邊的等邊三角形，：以O(shè)為對(duì)角線交點(diǎn)且邊長(zhǎng)為2的正方形，在中，線段關(guān)于y軸的“對(duì)稱封閉圖形”是______；應(yīng)用拓展：(3)以O(shè)為對(duì)角線交點(diǎn)的正方形的邊長(zhǎng)為4，各邊與坐標(biāo)軸平行，若正方形是線段關(guān)于直線的“對(duì)稱封閉圖形”，求b的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了等腰直角三角形性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，新定義等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是幾何直觀能力．（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求解；（2）作出圖形，觀察得出結(jié)果；（3）作出點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，須使其對(duì)稱點(diǎn)在正方形的邊上時(shí)，是臨界值，進(jìn)而求得結(jié)果．【詳解】（1）∵點(diǎn)，線段關(guān)于y軸的對(duì)稱線段，∴，故答案為：；（2）如圖1，關(guān)于y軸對(duì)稱的線段是，由圖可得：和在正方形內(nèi)，不在等邊三角形內(nèi)，∴線段關(guān)于y軸的“對(duì)稱封閉圖形”為，故答案為：；（3）如圖2，由圖可得：點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)在正方形的邊上，點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在正方形的邊上，∴3．結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的“距離”我們知道：點(diǎn)到直線的“距離”是直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)連接的所有線段中最短的線段（即垂線段）的長(zhǎng)度．類似的我們給出兩個(gè)圖形M、N的“距離”定義：如果點(diǎn)P為圖形M上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圖形N上的任意一點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)的“距離”有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形M，N的“距離”，記為特別地，當(dāng)圖形M，N有公共點(diǎn)時(shí)，圖形M，N的“距離”．

(1)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，若，，，則_________，_________；(2)如圖2，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，將一次函數(shù)的圖象記為L(zhǎng)．①若，且，求k的值；②若，求k的取值范圍．【答案】(1)，(2)①；②或【分析】（1）由距離定義得，作于點(diǎn)，即可求解；（2）①設(shè)圖象與軸交于，與軸交于，作于點(diǎn)，由點(diǎn)的坐標(biāo)可求，由距離的定義得，由勾股定理得，從而可求，即可求解；②圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)，分別求出的值，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，如圖，作于點(diǎn)，

，，，，故答案：，；（2）解：①如圖，設(shè)圖象與軸交于，與軸交于，作于點(diǎn)．

當(dāng)，則，，，，，；，，，，，，，，，解得：；②圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)，圖象與只有一個(gè)交點(diǎn)，符合，當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，將代入得：，解得，當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，將代入得：，解得：，當(dāng)或時(shí)，圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，待定系數(shù)法，直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等；理解新定義，能根據(jù)新定義將“距離”求的值是解題的關(guān)鍵．題型二、與反比例函數(shù)結(jié)合1．在平面直角坐標(biāo)系中，定義：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)．如圖，已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，在第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)，滿足．(1)求的值；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)分別作平行于軸，軸的直線于點(diǎn)、，記線段、、雙曲線所圍成的區(qū)域?yàn)椋ê吔纾?dāng)時(shí)，區(qū)域的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為；直線過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)為此定點(diǎn)，直線上方（不包含直線）的區(qū)域記為，直線下方（不包含直線）的區(qū)域記為，當(dāng)與的整點(diǎn)個(gè)數(shù)之差不超過(guò)時(shí)，請(qǐng)求出的取值范圍．【答案】(1)；(2)①，②．【分析】（）根據(jù)點(diǎn)在的圖象上，可求出的值；（）標(biāo)出區(qū)域，再統(tǒng)計(jì)區(qū)域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)即可；過(guò)定點(diǎn)即表示與的取值無(wú)關(guān)，則有的系數(shù)等于，便可解決問(wèn)題，利用圖象，求出區(qū)域內(nèi)的所有整數(shù)點(diǎn)，再分類討論即可；本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題目中所給出的新定義，結(jié)合圖形合理的分析是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，即的值為；（2）當(dāng)時(shí)，由圖可知，上的整點(diǎn)有個(gè)，上的整點(diǎn)有個(gè)，雙曲線上段的整點(diǎn)有個(gè)，區(qū)域內(nèi)部的整點(diǎn)有個(gè)，又點(diǎn)，，都被算了次，所以區(qū)域的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為：，故答案為：；由題知，，則不論為何值，時(shí)，即直線過(guò)定點(diǎn)，∴，如圖所示，當(dāng)時(shí)，區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有個(gè)，又被分成的區(qū)域和的整點(diǎn)個(gè)數(shù)之差不超過(guò)，則當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是，的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是，滿足要求，此時(shí)，得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是，的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是，不滿足要求，故當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，即可，此時(shí)，得，故的取值范圍是：．2．中國(guó)象棋棋盤(pán)上雙方的分界處也稱為“楚河漢界”，以“楚河漢界”比喻軍對(duì)壘的分界線，數(shù)學(xué)中為了對(duì)兩個(gè)圖形進(jìn)行分界，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)“楚河漢界線”給出如下定義：點(diǎn)P是圖形上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是圖形上的任意一點(diǎn)，若存在直線L：滿足且，則稱直線L：是圖形與的“楚河漢界線”．例如：如圖1，直線l：是函數(shù)的圖象與正方形的一條“楚河漢界線”．

(1)在直線①，②，③，④中，是圖1函數(shù)的圖象與正方形的“楚河漢界線”的有___________（填序號(hào)）：(2)如圖2，第一象限的等腰直角的兩腰分別與坐標(biāo)軸平行，直角頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是，與的“楚河漢界線”有且只有一條，求出此“楚河漢界線”的表達(dá)式；(3)正方形的一邊在y軸上，其他三邊都在y軸的右側(cè)，點(diǎn)M是此正方形的中心，若存在直線是函數(shù)的圖象與正方形的“楚河漢界線”，求t的取值范圍．【答案】(1)①、④(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)定義，結(jié)合圖象，可判斷出與雙曲線及正方形有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，沒(méi)有公共點(diǎn)的直線為，根據(jù)“楚河漢界線”定義，即可解答；（2）先作出以原點(diǎn)O為圓心且經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)D的圓，再過(guò)點(diǎn)D作的切線，求出該直線的解析式即可；（3）先由拋物線與直線組成方程組，則該方程組有唯一一組解，再考慮直線與正方形有唯一公共點(diǎn)的情形，數(shù)形結(jié)合，分類討論，求出t的取值范圍．【詳解】（1）如圖所示，

從圖中可知與雙曲線及正方形沒(méi)有公共點(diǎn)，與雙曲線及正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)，、不在雙曲線及正方形之間，根據(jù)“楚河漢界線”定義可知，直線、是雙曲線及正方形的“楚河漢界線”，故答案為①、④；（2）如圖1，連接，以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，作軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作的切線，則，∵D的坐標(biāo)是，∴，∴直線是與的“楚河漢界線”，∵，∴，，∴，∴，∴，∴設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴與的“楚河漢界線”的表達(dá)式是；（3）由得，∵直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)，∴，∴，解得；，∴此時(shí)的“楚河漢界線”為，當(dāng)正方形在“楚河漢界線”上方時(shí)，如圖：

∵是此正方形的中心，∴頂點(diǎn)，∵頂點(diǎn)不能在直線下方，∴，即，當(dāng)正方形在“楚河漢界線”下方時(shí)，如圖：

對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴直線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，由不能在直線上方，，即，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)、正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、二元二次方程組．一元二次方程的根的判別式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．3．定義：平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，恰好落在函數(shù)圖象W上，則稱點(diǎn)M是點(diǎn)N關(guān)于函數(shù)圖象W的“直旋點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是原點(diǎn)O關(guān)于函數(shù)圖象的一個(gè)“直旋點(diǎn)”．

(1)在①，②，③三點(diǎn)中，是原點(diǎn)O關(guān)于一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”的有___________（填序號(hào)）；(2)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于反比例函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，求k的值；(3)如圖1，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)B是在反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)A右側(cè)的一點(diǎn)，若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)的“直旋點(diǎn)”，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．【答案】(1)③(2)(3)點(diǎn)B的坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)“直旋點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）設(shè)點(diǎn)M繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)B，證明，得出，，即可得出的坐標(biāo)為，求出k的值即可；（3）設(shè)點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，連接，，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，求出反比例函數(shù)解析式為，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，得出，，證明，得出，，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，根據(jù)點(diǎn)C在函數(shù)圖象上，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：①點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，把代入得：，∴不在函數(shù)的圖象上，∴不是原點(diǎn)O關(guān)于一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”；②繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，把代入得：，∴不在函數(shù)的圖象上，∴不是原點(diǎn)O關(guān)于一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”；③繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，把代入得：，∴在函數(shù)的圖象上，∴是原點(diǎn)O關(guān)于一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”；綜上分析可知，是原點(diǎn)O關(guān)于一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”的有③．故答案為：③．（2）解：設(shè)點(diǎn)M繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)B，如圖所示：

∵，，∴，，，∴，∵，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴，，∴，∴的坐標(biāo)為，把代入得：．（3）解：設(shè)點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，連接，，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，如圖所示：

∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，∵點(diǎn)B在函數(shù)圖象上，∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，，∵，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，∵點(diǎn)C在函數(shù)圖象上，∴，解得：，（舍去），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，作出相應(yīng)的輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．題型三、與二次函數(shù)結(jié)合1．在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：已知兩個(gè)函數(shù)，如果對(duì)于任意的自變量x，這兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值記為y1，y2，恒有點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱（此三個(gè)點(diǎn)可以重合），則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“友好函數(shù)”．例如：和互為“友好函數(shù)”．(1)判斷：①和；②和；③和，其中互為“友好函數(shù)”的是______（填序號(hào)）．(2)若函數(shù)y=2x-4的“友好函數(shù)”與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)C和D．①求的取值范圍；②若的面積為，求的值．(3)若三個(gè)不同的點(diǎn)均在二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，且）的“友好函數(shù)”的圖象上，且滿足，若存在常數(shù)w，使得恒成立，求w的取值范圍．【答案】(1)①②(2)①；②(3)【分析】（1）根據(jù)“友好函數(shù)”的定義逐個(gè)判斷即