黃岡中學(xué)高考數(shù)學(xué)立體幾何題庫(kù)301-600題

黃岡中學(xué)高考數(shù)學(xué)真題模擬題立體幾何題庫(kù)

301.正三棱柱ABC—ABC的側(cè)面三條對(duì)角線ABi、BG、CAi中,AB」BC.求證:ABLICAI.

解析：方法1如圖,延長(zhǎng)BC到D,使GD=BC.連CD、AD因AB法BG,故AB」CD；又BC=AQ=3如故

ZB1A,D=90",于是DA」平面AABB.故AB」平面ACD,因此AB」AC

方法2如圖，取AB、AB的中點(diǎn)Di、P.連CP、CD、ARD.B,易證CD_L平面AABB.由三垂線定理可得ABi

±Bl)i,從而ABilA,1).再由三垂線定理的逆定理即得AB,±A,C.

說(shuō)明證明本題的關(guān)鍵是作輔助面和輔助線，證明線面垂直常采用下列方法：

(1)利用線面垂直的定義；

(2)證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線；

(3)證明直線平行于平面的垂線；

(4)證明直線垂直于與這平面平行的另一平面.

302.已知：正三棱柱ABC—A，B，C中，AB，±BC,,BC=2,求：線段AB'在側(cè)面BB'C'C上的射影長(zhǎng).

解析:如圖,取BC的中點(diǎn)D.???AD_LBC,側(cè)面3」底面ABC,...AD，側(cè)面BCC'B'B'D是斜線AB'在

側(cè)面的射影.又二皿'_LBC',.

設(shè)BB'=x,在RtA8'8。中，BE：BD=BB',B'D^y!\+x2.

是ABB'C的重心....BE=」BC'

3

1

/.x=—71+x2?Vx2+4,解得：x=V2.

3

???線段AB'在側(cè)面的射影長(zhǎng)為行.

303.平面a外一點(diǎn)A在平面a內(nèi)的射影是A，，BC在平面內(nèi)，ZABAZ=0,乙NBC=0、NABC=y,求

證:cosY=cos0,cosB.

解析：過(guò)A'作A'CUBC于C'，連AC'.

?:AA'，平面a,BC垂直AC在平面a內(nèi)的射線A'C.

BC'

???BC'_LAC',cos/

~AB

46BC

又Vcos0=----,cosB

AB

Acos/=cos9,cos3.

304.AABC在平面a內(nèi)的射影是AA'B'C',它們的面積分別是S、S',若△ABC所在平面與平面a所成二

面角的大小為。（0<9<90°=,則S'=S,cos0.

?:AA'，平面a,AD在平面a內(nèi)的射影A'D垂直BC.

2

.\AD±BC..\ZADA,=0.

IiA'n

又S'=—A'D,BC,S=—AD?BC,cos9------,；S=S,cos0.

22AD

證法二如圖（2）,當(dāng)B、C兩點(diǎn)均不在平面a內(nèi)或只有一點(diǎn)（如C）在平面a內(nèi)，可運(yùn)用（1）的結(jié)論證明S'=S-cos

6.

305.求證：端點(diǎn)分別在兩條異面直線a和b上的動(dòng)線段AB的中點(diǎn)共面.

證明如圖，設(shè)異面直線a、b的公垂線段是PQ,PQ的中點(diǎn)是M,過(guò)M作平面a,使PQ,平面a,且和AB交

于R,連結(jié)AQ,交平面a于N.連結(jié)MN、NR.：PQ_L平面a,MNua,，PQ_LMN.在平面APQ內(nèi)，PQ±a,PQ±MN,

，MN〃a,a〃a,又；PM=MQ,；.AN=NQ,同理可證NR〃b,RA=RB.

即動(dòng)線段的中點(diǎn)在經(jīng)過(guò)中垂線段中點(diǎn)且和中垂線垂直的平面內(nèi).

306.如圖，已知直三棱柱ABC—ABG中，NACB=90°,NBAC=30°,BC=1,AA尸屈，M是CG的中點(diǎn),

求證：ABi±AiM.

解析：不難看出平面AAGC,AG是ABi在平面AACC上的射影.欲證AiMLABi,只要能證AiMLAG就可以

了.

證：連AG,在直角AABC中，BC=1,ZBAC=30°,

AC—AiCi—y/3.

設(shè)NACA=a,NMAN=B

3

tana=9=平

=V2,

AGV3

屈

MC]V2

tgB

2

..,0、l—tanatanP

：cot(a+B)=-----------f—

tana+tan0

...a+8=90°BPAC)±AiM.

VBiCilCiAuCG_LBC,...BC」平面AAG3,

AC,是AB,在平面AA.C.C上的射影.

VACi±A,M,...由三垂線定理得AM_LABi.

評(píng)注：本題在證AG,AM時(shí)，主要是利用三角函數(shù)，證a+B=90°,與常見的其他題目不太相同.

307.矩形ABCD,AB=2,AD=3,沿BD把ABCD折起，使C點(diǎn)在平面ABD上的射影恰好落在AD上.

(1)求證：CD±AB；

(2)求CD與平面ABD所成角的余弦值.

(1)證明如圖所示，；CM_L面ABD,AD±AB,

ACDIAB

⑵解：;CM，面ABD

,ZCDM為CD與平面ABD所成的角，

cosZCDM=-

CD

4

作CNLBD于N,連接MN,則MNJ_BD.在折疊前的矩形ABCD圖上可得

DM：CD=CD:CA=AB：AD=2：3.

2

ACD與平面ABD所成角的余弦值為一

3

308.空間四邊形PABC中，PA、PB、PC兩兩相互垂直，NPBA=45°,NPBC=60°,M為AB的中點(diǎn).（1）求BC

與平面PAB所成的角；（2）求證：ABJ_平面PMC.

解析：此題數(shù)據(jù)特殊，先考慮數(shù)據(jù)關(guān)系及計(jì)算、發(fā)現(xiàn)解題思路.

解PA1AB,AZAPB=90°

在RtAAPB中,VZABP=45°,設(shè)PA=a,

則PB=a,AB=V2a,VPB±PC,在Rt△PBC中，

VZPBC=60°,PB=a.，BC=2a,PC=ga.

VAP±PC.?.在RtAAPC中，AC=」PA?+PC?=《a?+《a)，=2a

(1)VPC1PA,PC_LPB,，PC_L平面PAB,

ABC在平面PBC上的射影是BP.

ZCBP是CB與平面PAB所成的角

VZPBC=60°,...BC與平面PBA的角為60°.

⑵由上知，PA=PB=a,AC=BC=2a.

為AB的中點(diǎn)，則AB_LPM,ABICM.

平面PCM.

5

說(shuō)明要清楚線面的垂直關(guān)系，線面角的定義，通過(guò)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)解題捷徑.

309.在空間四邊形ABCP中，PA±PC,PB±BC,AC±BC.PA.PB與平面ABC所成角分別為30°和45°。(1)

直線PC與AB能否垂直?證明你的結(jié)論；(2)若點(diǎn)P到平面ABC的距離為h,求點(diǎn)P到直線AB的距離.

解析：主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用及線面角，點(diǎn)面間距離等概念應(yīng)用，空間想象

力及推理能力.

解⑴AB與PC不能垂直，證明如下：假設(shè)PC_LAB,作PH_L平面ABC于H,則HC是PC在平面ABC的射影，

AHCIAB,VPA,PB在平面ABC的射影分別為HB、HA,PB±BC,PA±PC.

ABHIBC,AH±AC

?.?AC_LBC,.?.平行四邊形ACBH為矩形.

VHC±AB,...ACBH為正方形.

.?.HB=HA

；PH_L平面ACBH.APHBgAPHA.

/.ZPBH=ZPAH,且PB,PA與平面ABC所成角分別為NPBH,NPAH.由已知NPBH=45°,ZPAH=30°,與N

PBH=/PAH矛盾.

.'.PC不垂直于AB.

（2）由已知有PH=h,/.NPBH=45°

；.BH=PH=h.；/PAH=30°,/.HA=73h.

矩形ACBH中，AB=^BH2+HA2=護(hù)而后=2h.

HBHAh-73/1V3

作HE_LAB于E,AHE=----------=----------=——h.

AB2h2

6

：PH_L平面ACBH,HE±AB,

由三垂線定理有PELAB,.'PE是點(diǎn)P到AB的距離.

在Rt△PHE中，PE=y]PH2+HE2=卜+吟h?=g鼠

即點(diǎn)P至1JAB距離為一h.

2

評(píng)析：此題屬開放型命題，處理此類問(wèn)題的方法是先假設(shè)結(jié)論成立，然后“執(zhí)果索因”，作推理分析，導(dǎo)出矛

盾的就否定結(jié)論(反證法)，導(dǎo)不出矛盾的，就說(shuō)明與條件相容，可采用演繹法進(jìn)行推理，此題(1)屬于反證法.

310.平面a內(nèi)有一個(gè)半圓，直徑為AB,過(guò)A作SAJ_平面a,在半圓上任取一點(diǎn)M,連SM、SB,且N、H分別

是A在SM、SB上的射影.(1)求證：NHLSB.(2)這個(gè)圖形中有多少個(gè)線面垂直關(guān)系？(3)這個(gè)圖形中有多少個(gè)直角

三角形？(4)這個(gè)圖形中有多少對(duì)相互垂直的直線？

解析：此題主要考查直線與直線，直線與平面的垂直關(guān)系及論證，空間想象力.

解⑴連AM,BM.?rAB為已知圓的直徑，如圖所示.

AAMIBM,

?；SAJ_平面a,MBua,

ASA±MB.

VAMASA=A,，BMJ_平面SAM.

?：ANu平面SAM,

.*.BM±AN.

；AN_LSM于N,BMDSM=M,

7

，AN_L平面SMB.

：AH_LSB于H,且NH是AH在平面SMB的射影

ANHISB.

⑵由⑴知,SA_L平面AMB,BMJ_平面SAM.AN_L平面SMB.

YSBlAH且SB_LHN.

；.SB_L平面ANH.

.?.圖中共有4個(gè)線面垂直關(guān)系

⑶：SA_L平面AMB,

ASAB、ASAM均為直角三角形.

：BM_L平面SAM,ABMA,ABMS均為直角三角形.

；AN_L平面SMB.AANS、AANM、AANH均為直角三角形.

：SBJ_平面AHN..'.△SHA、ABHA>ASHN均為直角三角形

綜上所述，圖中共有10個(gè)直角三角形.

(4)由SA_L平面AMB知:SA±AM,SA1AB,SA1BM；

由BM_L平面SAM知：BM1AM,BM±SM,BM1AN；

由AN_L平面SMB知：AN±SM,AN±SB,AN±NII；

SBJ_平面AHN知：SB±AH,SB1HN；

綜上所述，圖中有11對(duì)互相垂直的直線.

311.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體AG中，M是CG的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，且AE=』AD,F在AB上，且AF=」AB,

33

求點(diǎn)B到平面MEF的距離.

8

解法一：設(shè)AC與BD交于0點(diǎn)，EF與AC交于R點(diǎn)，由于EF〃BD所以將B點(diǎn)到面MEF的距離轉(zhuǎn)化為0點(diǎn)到面

MEF的距離，面MRC_L面MEF,而MR是交線，所以作OH_LMR,即OHJ_面MEF,0H即為所求.

VOH?MR=OR?MC,

.?.04.

59

解法二：考察三棱錐B—MEF,由VBTEF=V?可得h.

點(diǎn)評(píng)求點(diǎn)面的距離一般有三種方法:

①利用垂直面;

②轉(zhuǎn)化為線面距離再用垂直面;

③當(dāng)垂足位置不易確定時(shí)，可考慮利用體積法求距離.

312.正方體ABCD—A底CD的棱長(zhǎng)為a,求AC和平面AB￡間的距離.

解法1如圖所示，AC〃平面ABC又平面BBiDD」平面ABC

故若過(guò)Q作OIELOBI于E,則0E」平面ABC0正為所求的距離

由OiE?OBi=O)Bi,OOi,

a

可得：0正=咨

3

解法2：轉(zhuǎn)化為求G到平面ABiC的距離，也就是求三棱錐C,—AB,C的高h(yuǎn).

由VG-gc=VA-8QG，可得h=等a.

解法3因平面ABC〃平面CDA”它們間的距離即為所求，連BD”分別交BQ、DOi與F、G（圖中未畫出）。易

9

證B%垂直于上述兩個(gè)平面，故FG長(zhǎng)即為所求，易求得

點(diǎn)評(píng)（D求線面距離的先決條件是線面平行，而求線面距離的常用方法是把它們轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面之間的距離,

有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為求面面距離，從本題的解法也可悟出求異面直線之間的距離的思路.

313..已知：anB=CD,EA1a,EB±B,求證：CD1AB.

EA_La

CDUa

證明：EB_LpcCDJ_平面

OURABU平面

314.求證：兩條平行線和同一條平面所成的角相等.

已知：a/7b,aOa=Ai,bD0=Bi,Z0i>N。2分別是a、b與a所成的角.如圖，求證：Z0i=Z02.

證：在a、b上分別取點(diǎn)A、B.如圖,且AA尸BBi,連結(jié)AB和AB.

VAAi^BBi

???四邊形AABB是平行四邊形.???AB〃AB

又ABua.?.AB〃a.

設(shè)AA2±a于A2,BB2±a于B2,則AA2=BB2

在RtAAA也與放ABB出2中AA2=BB2,AAI=BBI

.,.RtAAAiA2^RtABBIB2

???ZAAIA2=ZBBIB2

10

即Zo,=zo

315.經(jīng)過(guò)?個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線，如果斜線和這個(gè)角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射

影是這個(gè)角的平分線所在的直線.

已知：ZABC<Za,P^a,ZPBA=ZPBC,PQ±a,QGa,如圖.

求證：ZQBA=ZQBC

證：PR_LAB于R,PS_LBC于S.

則：NPRB=/PSB=90°.

VPB=PB.ZPBR=ZPBS

；.RtAPRB絲RtAPSB

APR=PS

???點(diǎn)Q是點(diǎn)P在平面a上的射影.

.*.QR=QS

又；QR_LAB,QS±BC

ZABQ=ZCBQ

316.如圖，E、F分別是正方體的面ADDA,面BCCB的中心，則四邊形BFDE在該正方體的面上的射影可能

是（要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）

解???四邊形BFME在正方體的一對(duì)平行面上的投影圖形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中點(diǎn)，四

邊形的投影圖形為②，在左右側(cè)面上，E、F的連線垂直側(cè)面，從而四邊形的投影圖形為③，在前后側(cè)面上四邊

11

形投影圖形也為②.故應(yīng)填②③.

①②③④

317.如圖,ABC—ABC是直三棱柱,NBCA=90°,點(diǎn)D“R分別是AB,A￡的中點(diǎn)，若BC=CA=CG,則

BDi與AM所成角的余弦值是()

V30

解連DE,則DF」AiCi,又BC_LCA,所以BD在平面ACCA內(nèi)的射影為CR,設(shè)AC=2a,則BC=CG=2a.取

BC的中點(diǎn)E,連EFi,貝!]EF〃BDi.

CF}_45a_45

/.cos0I=COSZEFIC=

EF1娓aV6

（限產(chǎn)+（右）2-（2a）2_3

cos02=COSZAFIC=

5

…….…總二=叵應(yīng)選A.

V6510

318.(1)如果三棱錐S—ABC的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的角都相等，且頂點(diǎn)S在底面的射影0

在AABC內(nèi)，那么0是AAB(^T()

A.垂心B.重心C.外心D.內(nèi)心

12

(2)設(shè)P是AABC所在平面a外一點(diǎn)，若PA,PB,PC與平面a所成的角都相等，那么P在平面a內(nèi)的射影是A

ABC的()

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

解(1)利用三垂線定理和三角形全等可證明。到AABC的三邊的距離相等，因而0是AABC的內(nèi)心，因此選D.

(2)如圖所示，作PO_L平面a于0,連0A、OB、0C,那么/PAO、NPBO、NPC0分別是PA、PB、PC與平面a所

成的角，且已知它們都相等.

RtAPAO^RtAPBO絲RtAPCO.

；.OA=OB=OC

應(yīng)選B.

說(shuō)明三角形的內(nèi)心、外心、垂心、旁心、重心，它們的定義和性質(zhì)必須掌握.

319.已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GCL平面ABCD,且GC=2,求點(diǎn)B到平面

EFG的距離.

解析：注意到直線BD〃平面EFG,根據(jù)直線和平面的距離在B0中點(diǎn)0的距離等于B到平面EFG的距離.

解連結(jié)AC、BD,設(shè)交于0,F分別是AB、AD的中點(diǎn).

/.EF/7BD

.?.BD〃平面EFG,設(shè)EFflAC=M.

13

則M為0A的中點(diǎn).

13

又AB=4；.AC=4后，M0=-AC=41,MC=-AC=372

44

：GC_L平面ABCD

AGCXCA,GC1EF

又EF_LAC,GCnAC=C.

...EFJ_平面GCM.

.?.過(guò)0作OH_LGM于H,則OH_LEF.

又OH±GM

故OHJ_平面EFG.

在RtAGCM中，GM=yjGC2+CM2=匯+^^=后.

rrCHCH

X*.*OH±GM./.sinZGMC=----=sinZHM0=-----=——

GMOMV2

2_2vn

；.0H=V2,,—

V2211

AB點(diǎn)到平面GEF的距離為名叵

11

說(shuō)明本題解法甚多，學(xué)習(xí)兩面垂直及簡(jiǎn)單幾何體后，可用兩面垂直的性質(zhì)求解或者用“等體積法”求解.

320.已知兩條異面直線a,b所成的角為。，它們的公垂線段AAi的長(zhǎng)度為d,在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F,

設(shè)AiE=m,AF=n.求證：EF=+42+d>±2加〃cos。

14

A,E

解過(guò)A作a'Ha.

VAAt±a,??.AiA_La'

AAAi±b,a/Pb=A

???AiA垂直a'、b所確定的平面a.

?:a"a'.??a、a'能確定平面B,在B內(nèi)作EH〃AA交a’于H.

■:a〃a'，???A】AME為平行四邊形.

，AiA=EH=d,AH=AiE=m

VAiAlaAEH±a.

???FHua,???EH_LFH.

在Rt△FHE中，EF=4EH2+FH2=y]d2+FH2

Va,//a：.a'與b的夾角為0.

即NHAF=9,此時(shí)AH=m,AF=n.

山余弦定理得Fir'=m>nJ-2mncos0

I.EF=y/m2+n2+d2-2mncos0

當(dāng)F（或E）在A（或AJ的另一側(cè)時(shí)，同理可得

EF=J"?？+n2+d2-2m〃cos（萬(wàn)-6）=yjm2+J2+2加〃cos。

綜匕所述，EF=J+〃2+/2±2加〃cos。

15

321.如圖，ABCD和ABEF均為平行四邊形，M為對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，N為對(duì)角線FB上的一點(diǎn)，且有AM：FN=

AC：BF,求證:MN〃平面CBE.

解析：欲證MN〃平面CBE,當(dāng)然還是需要證明MN平行于平面CBE內(nèi)的一條直線才行.題目上所給的是線段成比

例的關(guān)系，因此本題必須通過(guò)三角形相似，由比例關(guān)系的變通，才能達(dá)到“線線平行”到“線面平行”的轉(zhuǎn)化.

證：連AN并延長(zhǎng)交BE的延長(zhǎng)線于P.

,/BE〃AF,ABNPSAFNA.

FNAN,,,FNAN

??,則

NBNPFN+NBAN+NP

FN_AN

即~FB~~AP'

AM_ACAM_FN

又

FNBFACBF'

AM_AN

ACAP'

MN〃CP,CPU平面CBE.

MN〃平面CBE.

322.一直線分別平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與它們的交線平行.

已知：aCB=a,1〃(1,1〃6.求證：l〃a.

16

解析：由線面平行推出線線平行，再山線線平行推出線面平行，反復(fù)應(yīng)用線面平行的判定和性質(zhì).

證明：過(guò)1作平面交a于b...T〃a,由性質(zhì)定理知l〃b.

過(guò)1作平面交B于c.?.T〃B,由性質(zhì)定理知l〃c.

二b〃c,顯然cuB.b〃B.

又bua,aCB=a,/.b//a.

又l〃b.

1/7a.

評(píng)注：本題在證明過(guò)程中注意文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換和使用.

323.如圖，在正四棱錐S—ABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SP：PC=1：2,SQ：SB=2：3,

SR：RD=2：1.求證：SA〃平面PQR.

解析：根據(jù)直線和平面平行的判定定理，必須在平面PQR內(nèi)找?條直線與AS平行即可.

證：連AC、BD,設(shè)交于0,連S0,連RQ交SO于M,取SC中點(diǎn)N,連ON,那么ON〃SA.

,.SQ_SR_2

?7BSD~3

.?.RQ/7BD

.SM2Hsp2

??--=-而----=-

SO3SN3

,:SA〃0N.工SA〃PM,PMU平面PQR

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，SA〃平面PQR.

評(píng)析：利用平幾中的平行線截比例線段定理.

三角形的中位線性質(zhì)等知識(shí)促成“線線平行”向“線面平行”的轉(zhuǎn)化.

324.證明：過(guò)平面上一點(diǎn)而與這平面的一條平行線平行的直線，在這平面上.

證明如圖，設(shè)直線a〃平面a,點(diǎn)Ada,Ae直線b,b〃a,欲證bua.事實(shí)上，?.?b〃a,可確定平面B,B

與a有公共點(diǎn)A,a,B交于過(guò)A的直線c,；a〃a,；.a〃c,從而在B上有三條直線，其中b、c均過(guò)點(diǎn)A

且都與a平行.于是b、c重合，即bua.

325.S是空間四邊形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，E、F分別在AD、CD上，且AE：AD=CF：CD,BE與AS

相交于R,BF與SC相交于Q.求證：EF〃RQ.

證在AADC中，因AE：AD=CF：CD,故EF〃AC,而ACu平面ACS,故EF〃平面ACS.而RQ=平面ACSC平面

RQEF,故EF〃RQ（線面平行性質(zhì)定理）.

326.已知正方體ABCD—A'B'CD'中，面對(duì)角線AB'、BC'上分別有兩點(diǎn)E、F且B'E=C'F求證：EF

〃平面AC.

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解析：如圖，欲證EF〃平面AC,可證與平面AC內(nèi)的一條直線平行，也可以證明EF所在平面與平面AC平行.

證法1過(guò)E、F分別做AB、BC的垂線EM、FN交AB、BC于M、N,連接MN

VBB,_L平面ACBB'_LAB,BB'±BC

AEM±AB,FN±BC

，EM〃FN,VAB/=BC',B'E=C'F

.?.AE=BF又/B'AB=ZCzBC=45°

.?.RtAAME絲RtABNF

；.EM=FN

???四邊形MNFE是平行四邊形

，EF〃MN乂MNu平面AC

；.EF〃平面AC

證法2過(guò)E作EG〃AB交BB'于G,連GF

B'EB'G

B'AB'B

VB,E=C'F,B'A=C'B

C'FB'G

.?.FG〃B'C'〃BC

XVEGAFG=G,ABABC=B

二平面EFG〃平面AC

又EFu平面EFG

19

，EF〃平面AC

327.如圖，四邊形EFGH為四面體A—BCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形，求證：(1)AB〃平面EFGH；(2)CD

〃平面EFGH

證明：(DYEFGH為平行四邊形，...EFaHG,

HGU平面ABD,；.EF//平面ABD.

：EFu平面ABC,平面ABDC平面ABC=AB.

；.EF〃AB,；.AB〃平面EFGH.

(2)同理可證：CD〃EH,；.CD〃平面EFGH.

評(píng)析：由線線平行n線面平行n線線平行.

328.求證：如果兩條平行線中的一條和一個(gè)平面相交，那么另一條也和這個(gè)平面相交.

已知：a〃b,aPia=A,求證：b和a相交.

證明：假設(shè)bua或b〃a.

若bua,：b〃a,；.a〃a.

這與aCa=A矛盾，.'.bua不成立.

若13〃<1,設(shè)過(guò)a、b的平面與a交于c.

20

?.?b〃a,???b〃c，又a〃b:?a〃c

，a〃a這與ada=A矛盾.；.b〃a不成立.

???b與a相交.

329.求證：如果兩個(gè)相交平面分別經(jīng)過(guò)兩條平行直線中的一條，那么它們的交線和這條直線平行.

已知：a〃b,aua,buP,aA0=c.

求證：c〃a〃b

證：卜=>auaync〃a"b

bU可anB=cJa〃tj

330.在下列命題中，真命題是（）

A.若直線m、n都平行平面a,則m〃n;

B.設(shè)a—1一B是直二面角，若直線m_Ll,則m_Ln,m±g；

C.若直線m、n在平面a內(nèi)的射影是一個(gè)點(diǎn)和一條直線，且m_Ln,則n在a內(nèi)或n與a平行；

D.設(shè)m、n是異面直線，若m和平面a平行，則n與a相交.

解析：對(duì)于直線的平行有傳遞性，而兩直線與平面的平行沒(méi)有傳遞性故A不正確；平面與平面垂直可得出線面

垂直，要一直線在一平面內(nèi)且垂直于交線，而B中m不一定在a內(nèi)，故不正確；對(duì)D來(lái)說(shuō)存在平面同時(shí)和兩異

面直線平行，故不正確；應(yīng)選C.

331.設(shè)a、b是兩條異面直線，在下列命題中正確的是（）

A.有且僅有一條直線與a、b都垂直

B.有一平面與a、b都垂直

21

C.過(guò)直線a有且僅有一平面與b平行

D.過(guò)空間中任一點(diǎn)必可作一條直線與a、b都相交

解析：因?yàn)榕c異面直線a、b的公垂線平行的直線有無(wú)數(shù)條，所以A不對(duì)；若有平面與a、b都垂直，則a〃b

不可能，所以B不對(duì).若空間的一點(diǎn)與直線a（或b）確定的平面與另一條直線b（或a）平行，則過(guò)點(diǎn)與a相交的直

線必在這個(gè)平面內(nèi)，它不可能再與另一條直線相交，所以D不對(duì)，故選C.

332.三個(gè)平面兩兩相交得三條交線，若有兩條相交，則第三條必過(guò)交點(diǎn)；若有兩條平行，則第三條必與之平

行.

已知：aD0=a,any=b,/Da=c.

求證：要么a、b、c三線共點(diǎn)，要么a〃b〃c.

證明：①如圖一，設(shè)aCb=A,

aDp=a.

，aua而AWa.

a.

又BDy=b

.?.buy,而AWb.

AAe/.

則ACa,AS/,那么A在a、7的交線c上.

從而a、b、c三線共點(diǎn).

②如圖二，若@〃1）,顯然cuy,buy

22

，a〃y

而aUa,an/—c.

a〃c

從而a〃b〃c

333.一根長(zhǎng)為a的木梁，它的兩端懸掛在兩條互相平行的，長(zhǎng)度都為b的繩索下，木梁處于水平位置，如果

把木梁繞通過(guò)它的中點(diǎn)的鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度*,那么木梁升高多少？

解析：設(shè)M、N為懸掛點(diǎn)，AB為木梁的初始位置，那么AB=a,MA〃NB,MA=NB=b,NA=/B=90°.

設(shè)S為中點(diǎn)，L為過(guò)S的鉛垂軸，那么Lu平面MANB,木梁繞L轉(zhuǎn)動(dòng)角度?后位于CD位置，T為CD中點(diǎn)，那

么木梁上升的高度為異面直線AB與CD之間的距離ST.

在平面MANB中，作TK〃AB,交MA于K,則AK=ST.

設(shè)ST=x,WlJx=b-KM.XKT=CT=-,ZKTC=<1),有KC=asin幺.

22

從而KM=^b2-a2sin2-.

.\x=b-^b2-a2sin2.

334.(1)棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要但不充分的條件是：()

A.棱柱有一條側(cè)棱與底面垂直

B.棱柱有?條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直

C.棱柱有兩個(gè)相鄰的側(cè)面互相垂直

D.棱柱有一個(gè)側(cè)面與底面的一條邊垂直

23

解析：根據(jù)直棱柱定義，A是充分條件，C、D不是必要條件，所以選B.

說(shuō)明解答此題要熟知直棱柱的定義及其充分必要條件的含義.

335.長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱所成的角分別為。、6、Y.

求證：cos2a+cos2P+cos2Y=1

解析：證明三角恒等式，可用從左邊推出右邊的方法.

證明:設(shè)對(duì)角線BJ)與長(zhǎng)方體的棱AD、DC、DE所成的角分別為a、6、丫,連結(jié)AB1、CB,,DB,則ABDA、

ABiDC>ABJ)Di都是直角三角形.

DA°DCDD.

"."cosa=----,cosP=----,cosY=-----

DB]DB、DB、

22

?222DA+DC+DD；

..COSa+cos3+cosY=------------=1

DB；'

評(píng)析：這里運(yùn)用了長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)定理.

336.在三棱柱ABC—ABG中，已知AB=AC=10cm,BC=12cm,頂點(diǎn)兒與A、B、C的距離等于13cm,求這棱柱

的全面積.

解析：如圖,作AQJ_平面ABC于0,?.?AiA=AiB=AC.?.OAnOBnOC,二0是AABC的外心，?.’△ABC等腰，二

24

AOLBC于D,AAA.1BC,AB^IBC,四邊形B】BCG為矩形，JS矩形時(shí)=地?13=156((^),AAIAB底邊上高

222

AiE=V13-5=12,SAABB—SAACC=120(cm),SAABC==—?12?8=48(加)，S全=156+2?120+2

x-Azi|j

X48=492(cm2)

337.在平行六面體中，一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別是a,b,c,這三條棱長(zhǎng)分別是a,b,c,這三條棱中每?jī)蓷l成

60°角，求平行六面體積.

解析：如圖，設(shè)過(guò)A點(diǎn)的三條棱AB,AD,AAi的長(zhǎng)分別是a,b,c,且兩面所成角是60°,過(guò)N作AF，平面ABCD,

H為垂足,連HA,則NHAB=30°,由課本題得:

cosZAiAB=cosZAiAII,cosZIIAB,

cosZA,A5_cos60°屈

/.cosZAiAH=烏sin〃AH=

cosNHABcos30°3

.-H=absin6。。?…in4AH=2bc.

2

338.在棱長(zhǎng)為a的正三棱柱ABC—ABC中，0、0i分別為兩底中心，P為00i的中點(diǎn)，過(guò)P、BnG作一平面與

此三棱柱相截，求此截面面積.

25

解析：如圖，；AA」面ABC,AA^OO,,設(shè)過(guò)P、Bi、G的截面與AAi的延長(zhǎng)線交于Q,連結(jié)AQi延長(zhǎng)交BC

于D,連QD,則P必在QD上，I'Oi為△ABG的中心，P為00i的中點(diǎn)，故----=-----=—,Q在AiA延長(zhǎng)

QA,DA,3

線上且QA=POi,又QBi交AB于E,QG交AC于F,貝UEF〃BC,所以截面為EFBC是等腰梯形，又QAi：QA=3：

1,?'-EF=y設(shè)QD與EF交于H,得QDLBC.因此HD為梯形EFCB的高.DQ=也舊157：/a,；.HD=

2-\/3c1.ax.2>/3.4>/32>1v-Tr

----a.SEFCB~—（a+—）*（----a）=----a為所求截面積.

3112339

339.如圖，已知正三棱柱ABC—ABC的各棱長(zhǎng)都為a,D為CC的中點(diǎn).

（1）求證：AB_L平面ABD

（2）求平面ABDq平面ABC所成二面角的度數(shù).

解析：這雖是一個(gè)棱柱，但所要論證的線面關(guān)系以及二面角的度數(shù)，都還是要利用直線和平面中的有關(guān)知識(shí).

解（I）：?正三棱柱的各棱長(zhǎng)都相等，

側(cè)面ABBA是正方形.

.*.AB_LABi.連DE,

VABCD^AAiGD,

/.BD=AiD,而E為AB的中點(diǎn),

AB_LDE..?.AB_L平面AB,D.

⑵延長(zhǎng)Ad）與AC的延長(zhǎng)線交于S,連BS,則BS為平面ABD和平面ABC所成二面角的公共棱.

VDC/7A.A,且D為CCi的中點(diǎn)，；.AC=CS.

又AB=BC=CA=CS,.../ABSugO。.又AB是AB在底面上的射影，由三垂線定理得

26

，ZAiBA就是二面角Ai—BS—A的平面角.

VZAiBA=45°,

二平面ABD和平面ABC所成的二面角為45。.

評(píng)注：本題(2)的關(guān)鍵是根據(jù)公理二求平面ABD和平面ABC的交線，在論證ABLBS時(shí)，用到了直角三角形斜邊

上的中線性質(zhì)定理的逆定理.當(dāng)然⑵還可以用S時(shí)=5?cos。來(lái)解。.

340.如圖，已知正三棱柱ABC—ABC的底面積等于上cm?,D、E分別是側(cè)棱BB,3c上的點(diǎn)，且有EC=BC

=2DB,試求

(1)四棱錐A—BCDE的底面BCED的面積

⑵四棱錐A—BCED的體積

⑶截面ADE與底面ABC所成二面角的大小

⑷截面ADE的面積

解析：利用三棱柱的性質(zhì)及已知條件，（1）、（2）、（4）不難推算，至于（3）,可設(shè)平面ADE與平面ABC所成二

面角為a,觀察到AADE在底面ABC的射影是AABC（；DB_L平面ABC,EC平面ABC）應(yīng)用SAABCUSA,?：?cosa,

可求出a.

Ii

2

解：設(shè)AABC邊長(zhǎng)為x,VSAABC=---x=V3..,.x=2,于是EC=BC=2,DB=—BC=1,/.SBCED=—（2+1）?2

422

=3,作AF_LBC于F

I]

AF_L平面BCED,VA-BCEI）——,AF?SBCEI>>VA-BCEI?——,-------,2?3--^3

332

在RtAABD中，AD2=AB2+DB2=22+1=5；在Rt梯形BCED中，DE?=（CE-DB）2+BC?=5

.?.AD=DE=J?，???”口￡是等腰三角形，作DQ'AE于Q,則Q為AE的中點(diǎn)

27

在RtAACE中，AE2=EC2+AC2=8,DQ2=AD2-AQ2=(75)-(-V8)2=3

2

/.AE=V8,DQ=-J3,SaAw：=—,AE?DQ=A/6

2

設(shè)截面ADE與底面ABC所成二面角大小為a,D、E分別在底面的射影為B、C,二△ABC的面積=AADE面積X

cosa

即=Ccosa,cosa=,/.a=45°

2

答(l)SBCED=3cm2,(2)%詆皿=J^cnA(3)截面ADE與底面ABC成45°的二面角，(4)SA*E="cm?

341.在三棱柱ABC—ABC中，AB=72a,BA=CA=AA1=a,A.在底面AABC上的射影0在AC上。

⑴求AB與側(cè)面AG所成的角

(2)若0恰是AC的中點(diǎn)，求此三棱柱的側(cè)面積

解析：(l)A,O±ffiABC,BCu面ABC,；.BC_LAQ,又；BC=CA=a,AB=JIa,二AABC是等腰直角三角形，二

BCJLAC,..飛(：_1_面人弓，故NBAC為BA與面AG所成的角，則有/BAC=45°,即AB與側(cè)面成45°角。

后

⑵若。恰為AC中點(diǎn)，VAA1=a,AC=a,AA0=-2,A.0=—2a,SORWC|C￡>K]=a,作ODLAB于D,連結(jié)AD由三垂

/y/y____________

線定理得AQJ_AB,在RtAAOD中，0D=0AsinZBAC=-?一=—a2,在RtAAQD中，A,D=JA,O2+OD2

224y1

Sabb,a=2

=，''2^2a?亞?a=￥a?,S三棱柱0M=|(2+V3+V7)a

342.已知異面直線a、b成60。角，過(guò)空間一點(diǎn)p,與a、b也都成60。角的直線，可以作()

A.1條B.2條C.3條D.4條

解析：C

28

343.已知a-//是直二面角，直線a1a,直線匕6