近十年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷2試題及解析

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試T

數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)

第I卷(選擇題共60分)

注意事項(xiàng)：

1.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科?目用鉛筆涂寫在答題卡上.

2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈

后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.

3.考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡--并收回.

參考公式：

三角函數(shù)的積化和差公式正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式

sinacos/?=g[sin(a+〃)+sin(a-⑶]S臺(tái)側(cè)=L(c'+c)/

2

cosasin(3=—[sin(6Z+夕)-sin(a一夕)]其中c'、c分別表示上、下底面周

2長(zhǎng)，/表示斜高或母線長(zhǎng)

cosacos/?=g[cos(a+/?)+cos(a-〃)]臺(tái)體的體積公式

/臺(tái)休=2(5'+折§+5)/?

sin?sin/?=[cos(cif+/?)-cos(6Z-/?)]3

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

⑴若sini6tos6?>0,則6在()

(A)第一、二象限(B)第一、二象限(C)第一、四象限(D)第二、四象限

(2)過(guò)點(diǎn)力(1,-1)、2?(-1,1)且圓心在直線x+y—2=0上的圓的方程是()

(A)(x-3)2+(y+l)2=4(B)(x+3)2+(y-l)2=4

(C)(x-1)2+(y-1)2=4(D)(x+1)2+(y+1)2=4

(3)設(shè)｛aj是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為48,則它的首項(xiàng)是()

(A)1(B)2(C)4(D)6

(4)若定義在區(qū)間(-1,0)的函數(shù)/(X)=10g2a(x+1)滿足/(x)>0,則a的取值范圍是

(C)(L+8)

(A)(0,-)(D)(0,+8)

22

(6)函數(shù)y-cosx+1(-后x40)的反函數(shù)是)

(A)y=-arccos(x-1A0KH2)(B)y=it-arccos(x-1)(0?/2)

(C)y=arccos(x-l)(0^x^2)(D)y=乃+arccos(x-l)(0?H2)

(7)若橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，El焦點(diǎn)為Fi(l,0)F2(3,0),則其離心率為)

3211

(A)-(B)-(C)-(D)-

4324

(8)若0VQV￡V—,sina+cosa=a,sin尸+cos住A,則)

4

(A)a<b(B)a>b(C)ab<1(D)ab>2

(9)在正三棱柱ABC-AxByCx中，若AB=6BB、,則ABX與GB所成的角的大小為

()

(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°

(10)設(shè)/(x)、g(x)都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題：

①若“X)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增,則/(x)—g(x)單調(diào)遞增；

②若f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減,則f(x)—g(x)單調(diào)遞增；

③若f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞增,則/(x)-g(x)單調(diào)遞減；

④若f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞減,則f(x)—g(x)單調(diào)遞減.

其中，正確的命題是)

(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④

(11)一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜.記

三種蓋法屋頂面積分別為丹、P?、P-3.

若屋頂斜面與水平面所成的角都是a,則)

烏)乃=Q公烏=

(A)P3>P2>Pi(B)(C)a=4>(D)E=Q

(12)如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它

們有網(wǎng)線相聯(lián).連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通

過(guò)的最大信息品:.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)力向結(jié)點(diǎn)6傳遞信息，信息可以分開

沿不同的路線同時(shí)傳遞.則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為

(A)26(B)24(C)20(D)19

第n卷(非選擇題共90分)

二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

(13)若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊二角形，其面積為則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是.

22

(14)雙曲線L-±=l的兩個(gè)焦點(diǎn)為長(zhǎng)、3點(diǎn)尸在雙曲線上.若PF~PF2,則點(diǎn)。

916

到x軸的距離為

(15)設(shè)｛為｝是公比為q的等比數(shù)列，S”是它的前〃項(xiàng)和.若｛$｝是等差數(shù)列，則

Q=

(16)圓周上有2〃個(gè)等分點(diǎn)5>1),以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為.

三.解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

(17)(本小題滿分12分)

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，LABC=90°,S4J.面

SA=AB=BC=1,A￡>=-

2

(I)求四棱錐A433的體積；

(U)求面SCO與面SBA所成的二面角的正切值.

(18)(本小題滿分12分)

已知復(fù)數(shù)21=1(1-1)印

(I)求arg?及|zj；

(U)當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足|zj=l,求|z-zj的最大值.

(19)(本小題滿分12分)

設(shè)拋物線爐=2px(0>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)b的直線交拋物線于A.8兩點(diǎn)，點(diǎn)C

在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCllx軸.證明直線力。經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0.

(20)(本小題滿分12分)

已知/；277,〃是正整數(shù)，且

(I)證明"'月<加.；

(11)證明(1+加)”>(1+/7)m.

(21)(木小題滿分12分)

從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)

業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少工.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入

估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增

1

加一.

4

(I)設(shè)〃年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為斯萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為九萬(wàn)元.寫出叁，

力的表達(dá)式；

(n)至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？

(22)(本小題滿分14分)

設(shè)ZU)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱.對(duì)任意xi,[0,

L]都有/(xi+X2)=f(xi),/'(X2).且/'(l)=a>0.

2

(I)求f(L)及f(')；

24

(H)證明fix)是周期函數(shù)；

(HI)記3=f(2X+—),求

n2n‘is

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（數(shù)學(xué)）理及答案-2

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

回

1.圓（x—+:/=1的圓心到直線/=號(hào)》的距離是

A.-B.—C.1D.V3

22

2.復(fù)數(shù)'『I的值是

A.-zB.iC.-1D.1

3.不等式（l+x）（l—|x|）＞0的解集是

A.{x|O<x<l}B.{%|不<0且”一1}

C.{x|-1<x<1}D.{x|%vl且xw-l}

4.在（0,2〃）內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍是

,TC7TI?5"、7C、

A.）xU（z^r,--）B.（z—,^r）

4244

c,弓,苧）D.（1,萬(wàn)）1）￥者）

44442

k|t1

5.設(shè)集合M={X|X=5+1,ZWZ},N={x\x=-+-,k&Z],則

A.M=NB.MuNC.MnND.MC\N^0

lx—產(chǎn)

6.點(diǎn)尸（1,0）到曲線《（其中參數(shù)[￡/?）上的點(diǎn)的最短距離為

y=2t

A.0B.1C.V2D.2

7.一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，那么這個(gè)圓錐

軸截面頂角的余弦值是

3433

A.-B.-C.-D.-----

4555

8.正六棱柱48。?！戢E-4瑪。]。|￡1片的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為后，則這個(gè)棱柱側(cè)面對(duì)

角線4。與BG所成的角是

A.90°B.60°C.45°D.30°

9.函數(shù)>=，+治；+。（G[0,+OO））是單調(diào)函數(shù)的充要條件是

A.b>0B.b<0C.b>0D.b<0

10.函數(shù)y=l——彳的圖象是

11.從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有

A.8種B.12種C.16種D.20種

12.據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會(huì)議《政府工作報(bào)告》：“2001年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到

95933億元，比上年增長(zhǎng)7.3%",如果“十?五”期間（2001年-2005年）每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)

總值都按此年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么到“十?五”末我國(guó)國(guó)內(nèi)年生產(chǎn)總值約為

A.115000億元B.120000億元C.127000億元D.135000億元

第II卷(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線.

13.函數(shù)y="在［0,1］上的最大值與最小值這和為3,則。=

14.橢圓5爐+竹2=5的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2),那么z=

15.(x2+l)(x-2)7展開式中/的系數(shù)是

16.已知/(幻=事，f(l)+f(2)+/(I)+f(3)+/(I)+/(4)+/(I)

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

冗

17,已知sin之"+sin2ccose-cos2zz=1.aG(0,—),求sine、吆。的值.

18.如圖，正方形ABC。、A8E了的邊長(zhǎng)都是1,而且平面ABC。、ABEF

互相垂直.點(diǎn)”在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BE上移動(dòng)，若CM=BN=a

(0<<7<V2)

(1)求MN的長(zhǎng)；

(2)。為何值時(shí)，的長(zhǎng)最小；

(3)當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求面"ML與面MNB所成二面角。的大小.

19.設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)（一1,0）、（1,0）距離之差為2根，到％、y軸的距離之比為2,求”的取值范

圍.

20.某城市2001年末汽車保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上“年末汽車保有量的6%,

并且每年新增汽車數(shù)昂:相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每

年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛？

21.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)/（幻=，+|》一4|+1,xeR

（1）討論/（無(wú)）的奇偶性；

⑵求/（無(wú)）的最小值.

2

22.設(shè)數(shù)列｛6｝滿足：a?+i=a,,-na?+l.〃=1,2,3,???

(I)當(dāng)q=2時(shí)，求。2，〃3，〃4并由此猜測(cè)4〃的一個(gè)通項(xiàng)公式；

(II)當(dāng)q23時(shí)，證明對(duì)所的〃之1,有

(i)an>n+2

…、1111/1

1+q1+?1+%1+2

2003年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷）

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）

參考公式：

三角函數(shù)的積化和差公式：正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式

sina-cos/?=—[sin(a+/7)+sin(a-/?)]S價(jià)倘=g（c'+c）/其中c'、C分別表示

cosasinp=^[sin(cr+/7)-sin(?-/7)]上、下底面周長(zhǎng)，/表示斜高或母線長(zhǎng).

COS6Tcos^=—[cos^+^)+cos^z-/7)]球體的體積公式：/,其中R

sinasin[5=-—[cos0r+^)-cos^->0)]表示球的半徑.

本試卷分第I卷（選擇題）和第口卷（非選擇題）兩部分.

第I卷（選擇題共60分）

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合要求的

1.已知X￡(---,0),cosx=—,則fg2x=()

25

(A)L(B)_2_(C)*(D)

242477

2.圓錐曲線。=登吧的準(zhǔn)線方程是

()

cos20

(A)pcos^=-2(B)pcosO=2(C)psin^=2(D)psin^=-2

2r-1r<0

3.設(shè)函數(shù)/（x）=l1若則/的取值范圍是（）

/X>0

(A)(-1,1)(B)(-1,+oo)

(C)(-00,-2)U(0,4-00)(D)(-00,-1)u(1,4-00)

4.函數(shù)y=2sinx(sinx+cosx)的最大值為()

(A)1+V2(B)V2-I(C)y[2(D)2

5.已知圓C：(x-a)2+(y-2『=4(a>0)及直線/：x—y+3=0,當(dāng)直線/被C截得

的弦長(zhǎng)為2百時(shí)，則a()

(A)V2(B)2-V2(C)V2-1(D)V2+1

6.已知圓錐的底面半徑為R,高為3R,在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是()

(A)2兀R?(B)2成2(C)§成2(D)』成2

432

7.已知方程(/一2彳+〃?)(——2x+〃)=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為1的的等差數(shù)列，則

4

\m-n\=()

(A)1(B)2(C)1(D)3

428

8.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F(V7,0),直線y=x-l與其相交于M、N兩

點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2,則此雙曲線的方程是()

3

(A)E上=1(B)二一片=1(C)—-21=i(D)片―q=1

34435225

9.函數(shù)/(x)=sinx,xe四，包]的反函數(shù)/T(X)=()

22

(A)-arcsinxxe[-1,1](B)一4一arcsinxxe[-l,1]

(C)乃+arcsinxxe[—1,1](D)^--arcsinxxe[-l,1]

10.已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一質(zhì)點(diǎn)從

AB的中點(diǎn)心沿與AB的夾角8的方向射到BC上的點(diǎn)片后，依次反射到CD、DA和AB

上的點(diǎn)舄、△和生(入射角等于反射角)，設(shè)名的坐標(biāo)為(乙，0),若

則tg。的取值范圍是()

21

(A)(1,1)(B)(L2)(C)(-,-)(D)(2,-)

3335253

1C；+C；+C：+…+C；

11.1m()

—〃(c；+c；+C+…+c：)

(A)3(B)1(C)-(D)6

36

12.一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為JI,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則些球的表面積為()

(A)3〃(B)4〃(C)3島(D)6兀

2003年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷）

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）

第n卷（非選擇題共90分）

二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

13.o2__L）9的展開式中x9系數(shù)是

2x

14.ftlog2（-x）<x+1成立的X的取值范圍是

15.如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖

著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有

4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有<（1

種.（以數(shù)字作答）-------

16.下列5個(gè)正方體圖形中，/是正方體的一條對(duì)'一------

角線，點(diǎn)M、N.P分別為其所在棱的中點(diǎn)，

能得出/1面MNP的圖形的序號(hào)是_________（寫出所有符合要求的圖形序號(hào)）

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或或演算步驟

17.（本小題滿分12分）

已知復(fù)數(shù)z的輻角為60。，且|z-l|是|z|和|z-2|的等比中項(xiàng)，求|z|

18.（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱ABC-中，底面是等腰直角三角形，

/4。5=9",側(cè)棱441=2,D、E分別是CQ與人8的中點(diǎn),

點(diǎn)E在平面ABD上的射影是4ABD的重心G

（I）求AB與平面ABD所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)

值表示）

（II）求點(diǎn)A到平面AED的距離

19.（本小題滿分12分）已知c>0,設(shè)

P：函數(shù)y=c*在R上單調(diào)遞減Q：不等式x+|x-2c|>l的解集為R

如果P和Q有旦僅有一個(gè)正確，求。的取值范圍

20.（本小題滿分12分）

在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城

市0（如圖）的東偏南0（e=arccos』2）方向300km的海面P

處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍

為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km,并以10km/h的速度不斷增大，

問(wèn)幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？

21.（本小題滿分14分）

已知常數(shù)a>0,在矩形ABCD中，A6=4,BC=4a,。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G

分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且些="=兇,P為GE與OF的交

BCCDDA

點(diǎn)（如圖），問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若

存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(本小題滿分12分，附加題4分)

(I)設(shè)｛%｝是集合｛2'+2'|OWs<，且eZ｝中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即

=3,%=5,%=6,%=9,a5=10,4=12,…

將數(shù)列｛〃“｝各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：

3

56

91012

⑴寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)；

⑵求a］。。

(II)(本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過(guò)150分)

設(shè)｛bfl｝是集合｛2,+2,+2,10V<s<f,且?guī)譻,/￡Z｝中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)

列，已知a=1160,求k.

2004年高考試題全國(guó)卷2

理科數(shù)學(xué)(必修+選修n)

(四川、吉林、黑龍江、云南等地區(qū))

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

(1)已知集合"={xl景＜4},N={x|A2-2x-3v。},則集合ATlN=

(A){x\xv-2}(B){x\x>3]

(C){x\-l<x<2}(D){x|2<x<3}

尢2+x—2

⑵lim

〃一>ix2+4x-5

(A)|(B)1

(C)|(D)g

4

(3)設(shè)復(fù)數(shù)。=一：+坐/；則1+。=

(A)-a)(B)於

(C)(D)--

a>①-

(4)已知圓。與圓(x—l)2+V=l關(guān)于直線"=一、對(duì)稱，則圓。的方程為

(A)(x+l)2+盧=1(B)/+戶=1

(C)素+(y+1>=1(D)/+(y-1/=1

7C

⑸已知函數(shù)"=1211(2*+。)的圖象過(guò)點(diǎn)(一,0),則0可以是

12

(A).(B)氣⑻H

(6)函數(shù)尸—eY的圖象

(A)與曠=1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(B)與曠="的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

(C)與尸er的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(D)與尸er的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

71

(7)已知球。的半徑為L(zhǎng)力、B、。三點(diǎn)都在球面上，且每?jī)牲c(diǎn)間的球面距離為一，則球心

2

O到平面的距離為

(A)|(B)哥(C)|(D)乎

(8)在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)力(1,2)距離為1,且與點(diǎn)7X3,1)距離為2的直線共有

(A)1條(B)2條(C)3條(D)4條

43

(9)已知平面上直線/的方向向量o=(-1,7,點(diǎn)ao,o)和4i,-2)在/上的射影分別是a

和4,則。［4=4e,其中％=

(A)y(B)-y(C)2(D)-2

(10)函數(shù)y=xcosx-sinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)

yr37r37r、冗

(A)(-,—)(B)(不，2%)(C)(―,—)(D)(2乃，3萬(wàn))

2222

(11)函數(shù)y=sin'x+cos'x的最小正周期為

(A)?(B)|(C)71(D)In

(12)在由數(shù)字1,2,3,4,5組成的所有沒肩重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于

43521的數(shù)共有

(A)56個(gè)(B)57個(gè)(C)58個(gè)(D)60個(gè)

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

(13)從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有J個(gè)紅球，則隨機(jī)變曷，

的概率分布為

012

P

(14)設(shè)X,y滿足約束條件

x>0,

,y,

2x-y<1,

則z=3x+2y的最大值是.

(15)設(shè)中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線2*-2/=1有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù),

則該橢圓的方程是.

(16)下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：

①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱

②若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱

③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱

④若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱

其中，真命題的編號(hào)是(寫出所有真命題的編號(hào)).

三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

(17)(本小題滿分12分)

31

已知銳角三角形力比1中，sinC4+3)=W，sinC4-0=g.

(I)求證:tan/=2tan5；

(11)設(shè)力3=3,求43邊上的高.

(18)(本小題滿分12分)

已知8個(gè)球隊(duì)中有3個(gè)弱隊(duì)，以抽簽方式將這8個(gè)球隊(duì)分為/、B兩組，每組4個(gè).求

(DA8兩組中有一組恰有兩個(gè)弱隊(duì)的概率；

(D)A組中至少有兩個(gè)弱隊(duì)的概率.

(19)(本小題滿分12分)

〃+2

數(shù)列｛劣｝的前/?項(xiàng)利記為已知仇=1,a+\=----S(/?=1,2,3,…).證明：

nnn

S

(1)數(shù)列｛」^｝是等比數(shù)列；

n

(n)S?+i=4a〃.

(20)(本小題滿分12分).

如圖，直三棱柱45C-4BC1中，LACB=90°,AC=1,CZ?=應(yīng)，側(cè)棱4%=

1,側(cè)面AA1B1B的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為〃，5a的中點(diǎn)為何

(I)求證：平面BDM\

(口)求面為8。與面所成二面角的大小.

(21)(本小題滿分12分)

給定拋物線。：7=4x,廠是。的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線/與。相交于力、8兩點(diǎn).

(I)設(shè)/的斜率為1,求0A與0B夾角的大小；

(n)設(shè)麗=4薄，若見三[4,9],求/在y軸上截距的變化范圍.

(22)(本小題滿分14分)

已知函數(shù)Kx)=ln(l+x)-x,/x)=Nnx.

(1)求函數(shù)Ax)的最大值；

(2)設(shè)0〈av6,證明：?！唇璦)+鼠5)-2以”2)〈(力—a)ln2.

2

2005年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷(二)

(必修+選修H)

第I卷

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表面積公式

P(A+B)=P(A)+P(B)S=4成2

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么其中R表示球的半徑

P(A-B)=P(A)-P(B)

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是球的體積公式

P,那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生AV=-7TRi

3

次的概率￡(Q=C：P*(1-P)i其中R表示球的半徑

一、選擇題：

1.函數(shù)Kx)=lsinx+cosxl的最小正周期是()

A.-B.-C.itD.

42

2K

2.正方體ABCD—AiBCiDi中，P、Q、R分別是AB、AD、BiCi的中點(diǎn).

那么，正方體的過(guò)P、Q、R的截面圖形是()

A.三角形B,四邊形C,五邊形

D.六邊形

3.函數(shù)y=正二1(x40)的反函數(shù)是()

A.y--J(x+1)3(x>-1)B.y=-yj(x+1)3(%>-1)

C.y-J(x+1-(x>0)D.y=-1(x+l/(x>0)

4.已知函數(shù)y=tan?%在(-乙二)內(nèi)是減函數(shù)，貝|()

22

A.0<?<lB.-l<?<0

C.6>>1D.a)<-l

5.設(shè)a、b、c、deR,若絲以為實(shí)數(shù)，則（）

c+di

A.bc+ad主0B.be-

C.be-ad=OD.bc+ad=O

22

6.已知雙曲線二-二=1的焦點(diǎn)為Fi、F2,點(diǎn)M在雙曲線上且

63

軸，則F］到直線F2M的距離為（）

A3幾口5屈6

A.-----b.-----rC.—

565

5

6

7.銳角三角形的內(nèi)角A、B滿足tanA-」一=tanB,則有（）

sin2A

A.sin2A-cosB=0B.sin2A+cosB=0

C.sin2A-sinB=OD.sin2A+sinB=0

8.已知點(diǎn)A（V3,1）,B（0,0）C（百，0）.設(shè)zBAC的平分線AE與

BC相交于E,那么有就'=/!近，其中2等于（）

A.2B,-C.-3

2

D.--

3

9,已知集合M=lxl第一3^-286便=｛舊A2—乂一6>0|,則MAN為

（）

A.1x1-4?x<-2或3〈三71

B.1x1-4<三—2或3Mxe71

C.Ixl2或x>31

D.Ixl*—2或x之31

10.點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度向量片(4,-3)(即點(diǎn)P的運(yùn)

動(dòng)方向與V相同，且每秒移動(dòng)的距離為IH個(gè)單位).設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(-10,10),則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(-2,4)B.(-30,25)

C.(10,-5)D.(5,-10)

11.如果ai,a2,…，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d手0,則

()

A.a】a8>a4a5B.aia8<a4a5

C.ai+as>a4+agD.aia8=a4a5

12.將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四

面體的高的最小值為()

A.6+2疾B.2+巫

33

C.4+—D,4.+2—

33

第II卷

注意事項(xiàng)：

1.用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中.

2.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚.

3.本卷共10小題，共90分.

二、填空題：(本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線

上.)

13.圓心為(1,2)且與直線5x-12y-7=0相切的圓的方程為

14.設(shè)a為第四象限的角，若吧絲=土則tan2a____.

sina5

15.在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能

被5整除的數(shù)共有個(gè).

16.下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：

①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱

錐.

②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐.

③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐.

④側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱

錐是正三棱錐.其中，真命題的編號(hào)是（寫出所有真命題的編號(hào)）.

三、解答題：（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程

或演算步驟）

17.（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)=217Hl，求便/⑶之2、泛的x取值范圍。

18.（本小題滿分12分）

已知｛4｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,1g一、1g4、尼4成等差數(shù)列,又

可=—=1,2,3,….

礴

（I）證明仍“｝為等比數(shù)列；

（D）如果無(wú)窮等比數(shù)列｛〃,｝各項(xiàng)的和S=；,求數(shù)列｛七｝的首項(xiàng)即和公

差d.

（注：無(wú)窮數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)〃->8時(shí)數(shù)列前n項(xiàng)和的極限）

19.（本小題滿分12分）

甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)排球比賽.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，單局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率

為0.6.本場(chǎng)比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽

相互間沒有影響.令J為本場(chǎng)比賽的局?jǐn)?shù)，求J的概率分布和數(shù)學(xué)期望.（精確到

0.0001）

20.（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PDJ_底面ABCD,

AD=PD,E、F分別為CD、PB的中點(diǎn).

p

(I)求證：EF，平面PAB；

(n)設(shè)AB=0BC,求AC與平面AEF所成的角的大小.

21.(本小題滿分14分)

2

P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓爐+”=1上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦

2

點(diǎn).已知加與趙共線，房'與次線，且加?薪'=0.求四邊形PMQN的面積的最

小值和最大值。

22.(本小題滿分12分)

已知a>0,函數(shù)/'(X)=(x2-2ax)ex.

(I)當(dāng)X為何值時(shí)，f(x)取得最小值？證明你的結(jié)論；

(D)設(shè)/(x)在［-1,1］上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)n卷)

數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)

第I卷

參考公式

如果事件A、B互斥，那么球的表面積公式

P(A+8)=P(A)+P(B)

5=4萬(wàn)店

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么

P(A.B)=P(A).P(B)其中R表示球的半

徑

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P,那么球的體積公式

〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率是

V=-7VR3

蟲Q=C：尸(1一尸尸3

選擇題

(1)已知集合M={x|x<3},N={x|log2K>1},則MC|N=()

(A)0(B){x|0<x<3}(C){x|l<x<3}(D){x|2<x<3}

(2)函數(shù)y=sin2xcos2M￥j最小正周期是()

7171

(A)2〃(B)4〃(C)-(D)-

42

3

⑶=()

(l-O2

33

(A)-i(B)——i(C)i(D)-i

22

(4)過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比

為()

(5)已知AA6c的頂點(diǎn)B、C在橢圓±+)，2=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的

3

另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則AAgC的周長(zhǎng)是()

(A)273(B)6(C)4百(D)12

(6)函數(shù)y=lnx+l(x>0)的反函數(shù)為()

(A)y=ex+\x&R)(B)y=ev-,(xe/?)

(C)y="+i(x>l)(D)y=e'T(x>l)

(7)如圖，平面aL平面夕，力,A8與兩平面。、夕所成

7171

的角分別為一和一。過(guò)A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A'、

46

8’,則AB：A'8'=()

(A)2:1(B)3:1(C)3:2(D)4:3

(8)函數(shù)y=/(x)的圖像與函數(shù)8(為=10824》>0)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/*)的表

達(dá)式為()

(A)/(.?)=——(x>0)(B)fM=-_；-U<0)

log2xlog2(-x)

(C)/(x)=-log2x(x>0)(D)f(x)=-log2(-x)(x<0)

v-224

(9)已知雙曲線-—=v=1的一條漸近線方程為y=-x,則雙曲線的離心率為()

a-b~3

5453

(A)-(B)-(C)-(D)-

3342

(10)若/(sinx)=3-cos2x,則/(cosx)=()

(A)3—cos2xB)3-sin2x(C)3+cos2x(D)3+sin2x

「、S31s6

(11