第二十六講定積分的應(yīng)用

一、變力沿直線所作的功二、液體對(duì)平面薄板的壓力三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定積分的應(yīng)用(2)

1一、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力F(x)作用下沿x軸從x＝a移動(dòng)到力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區(qū)間

上所作的功為2例1.一個(gè)單求電場(chǎng)力所作的功.

解:當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn)r時(shí),由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為則功的元素為所求功為說(shuō)明:位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷a處移動(dòng)到b處(a<b),在一個(gè)帶+q

電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下,3例2.體,求移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個(gè)面積為S的活塞從點(diǎn)a處移動(dòng)到點(diǎn)b

處(如圖),作的功.建立坐標(biāo)系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強(qiáng)

p與體積V成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為力為在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣4例3.試問(wèn)要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐標(biāo)系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(KJ

)設(shè)水的密度為(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,5面積為A

的平板二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為深為h處的壓強(qiáng):

當(dāng)平板與水面平行時(shí),當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用積分解決.平板一側(cè)所受的壓力為??6小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)例4.的液體,

求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力.解:建立坐標(biāo)系如圖.所論半圓的利用對(duì)稱(chēng)性,側(cè)壓力微元素端面所受側(cè)壓力為方程為一水平橫放的半徑為R的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為

7說(shuō)明:當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時(shí),小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)8三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于軸l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為則需用積分解決.關(guān)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問(wèn)題,9xX+dxxyl例5一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m,試計(jì)算細(xì)桿繞過(guò)它的中點(diǎn)且垂直與桿的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解選擇坐標(biāo)系(如圖)先求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量微元dl,為此考慮細(xì)桿上[x,x+dx]一段,它的質(zhì)量為把這一小段桿設(shè)想為位于x處的一個(gè)質(zhì)點(diǎn),于是微元為則沿細(xì)桿積分的整個(gè)細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為10內(nèi)容小結(jié)(1)先用微元分析法求出它的微分表達(dá)式dQ一般微元的幾何形狀有:扇、片等.(2)然后用定積分來(lái)表示整體量Q,并計(jì)算之.1.用定積分求一個(gè)分布在某區(qū)間上的整體量Q的步驟: