福建省莆田市竹莊初級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

福建省莆田市竹莊初級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)不等式組，表示平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D題目中表示的區(qū)域如圖正方形所示，而動(dòng)點(diǎn)D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此，故選D。2.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為

A．

B．

C．

D．

參考答案：C做出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域如圖，，由得。做直線，平移直線得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)最大，所以最大值，選C.3.已知點(diǎn)分別為雙曲線的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為

(

)(A)

（B）

（C）

（D）參考答案：D4.設(shè)，則A.

B.

C.

D.參考答案：D5.直線的傾斜角α=（）A．30° B．60° C．120° D．150°參考答案：A【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【分析】由直線方程可得直線的斜率，再由斜率和傾斜角的關(guān)系可得所求．【解答】解：可得直線的斜率為k==，由斜率和傾斜角的關(guān)系可得tanα=，又∵0°≤α≤180°∴α=30°故選A6.已知,若在上恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B7.已知函數(shù)f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的奇函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x≥0，都有f（x+2）=f（x），且當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log2（x+1），則f（﹣2011）+fA．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值．【分析】由題設(shè)知函數(shù)在[0，+∞）內(nèi)一個(gè)周期T=2，函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（﹣2011）+f+f+f（0），再由當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log2（x+1），能求出f（﹣2011）+f=f（x），∴函數(shù)在[0，+∞）內(nèi)的一個(gè)周期T=2，∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（﹣2011）+f+f+f+f（0）又當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log2（x+1），∴f（1）=log2（1+1）=1f（0）log2（0+1）=0因此f（﹣2011）+f+f（0）=﹣1+0=﹣1．故選A．8.已知全集為,集合,,則(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.設(shè)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列,定義向量，，.下列命\o"歡迎登陸全品高考網(wǎng)!"題中真命\o"歡迎登陸全品高考網(wǎng)!"題是（

）A.若總有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列B.若總有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列C.若總有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列D.若總有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列

參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.與直線x+y-1=0垂直的直線的傾斜角為________參考答案：12.已知數(shù)列{an}滿足an+1=qan+2q﹣2（q為常數(shù)），若a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，則a1=．參考答案：﹣2或﹣或79【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】綜合題；分類討論；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】觀察已知式子，移項(xiàng)變形為an+1+2=q（an+2），從而得到an+2與an+1+2的關(guān)系，分an=﹣2和an≠﹣2討論，當(dāng)an≠﹣2時(shí)構(gòu)造公比為q的等比數(shù)列{an+2}，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．【解答】解：∵an+1=qan+2q﹣2（q為常數(shù)，），∴an+1+2=q（an+2），n=1，2，…，下面對(duì)an是否為2進(jìn)行討論：①當(dāng)an=﹣2時(shí)，顯然有a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，此時(shí)a1=﹣2；②當(dāng)an≠﹣2時(shí)，{an+2}為等比數(shù)列，又因?yàn)閍3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，所以a3+2，a4+2，a5+2∈{﹣3，0，1，9}，因?yàn)閍n≠﹣2，所以an+2≠0，從而a3+2=1，a4+2=﹣3，a5+2=9，q=﹣3或a3+2=9，a4+2=﹣3，a5+2=1，q=﹣代入an+1=qan+2q﹣2，可得到a1=﹣，或a1=79；綜上所述，a1=﹣2或﹣或79，故答案為：﹣2或﹣或79．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式，對(duì)數(shù)列遞推式能否成功變形是解答本題的關(guān)鍵所在，要分類討論思想在本體重的應(yīng)用，否則容易漏解，注意解題方法的積累，屬于難題．13.是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)， .參考答案：略14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則 .參考答案：15.數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)的和分別為An、Bn，數(shù)列{cn}滿足：cn=anBn+bnAn﹣anbn．若A2009=41，B2009=49，則數(shù)列{cn}的前2009項(xiàng)的和C2009=

．參考答案：2009【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】cn=anBn+bnAn﹣anbn=（An﹣An﹣1）（Bn﹣bn）+（Bn﹣Bn﹣1）An=AnBn﹣An﹣1Bn﹣1．利用“累加求和”方法即可得出．【解答】解：cn=anBn+bnAn﹣anbn=（An﹣An﹣1）（Bn﹣bn）+（Bn﹣Bn﹣1）An=AnBn﹣An﹣1Bn﹣1．∴數(shù)列{cn}的前2009項(xiàng)的和C2009=（A2009B2009﹣A2008B2008）+（A2008B2008﹣A2007B2007）+…+（A2B2﹣A1B1）+A1B1=A2009B2009=41×49=2009．故答案為：2009．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“累加求和”、“裂項(xiàng)求和”方法、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16.函數(shù)的定義域?yàn)開_________________。參考答案：17.若x>0，y>0且，則x+y最小值是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，﹣1）且∥．（1）求銳角B的大?。唬?）如果b=2，求△ABC的面積S△ABC的最大值．參考答案：考點(diǎn)：二倍角的余弦；平行向量與共線向量；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：解三角形．分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，及兩向量平行時(shí)滿足的關(guān)系列出關(guān)系式，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后求出tan2B的值，由B為銳角，得到2B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出關(guān)于a與c的關(guān)系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．解答： 解：（1）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1），且∥，∴2sinB?（2cos2﹣1）=﹣cos2B，即2sinBcosB=sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，∵B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，即B=；（2）∵B=，b=2，∴由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立），∴S△ABC=acsinB=ac≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立），則S△ABC的最大值為．點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，基本不等式，余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．19.如圖，在中，，為中點(diǎn)，．記銳角．且滿足．（1）求的值；

（2）求邊上高的值．參考答案：（1）因?yàn)?，角為銳角，所以………

2分==

……

4分

（2）解1：過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為O。設(shè)高AO=h，則CO=h，所以，

……

3分又

……

6分所以，得h=4.

……

8分解2：因?yàn)?，角為銳角，所以

因此…………

2分

又在中，

…

4分

……

6分所以BC邊上的高

答：BC邊上的高的值為4.…

8分略20.（18分）已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中。如圖，設(shè)點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，是“果圓”與，軸的交點(diǎn)，（1）若三角形是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；（2）若，求的取值范圍；（3）一條直線與果圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的連線段稱為果圓的弦。是否存在實(shí)數(shù)，使得斜率為的直線交果圓于兩點(diǎn)，得到的弦的中點(diǎn)的軌跡方程落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由。參考答案：解析：（1）

，，

于是，所求“果圓”方程為

，

（2）由題意，得

，即．

，，得．

又．

．

（3）設(shè)“果圓”的方程為，．

記平行弦的斜率為．當(dāng)時(shí)，直線與半橢圓的交點(diǎn)是，與半橢圓的交點(diǎn)是．

的中點(diǎn)滿足

得．

，

．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上．

當(dāng)時(shí)，以為斜率過的直線與半橢圓的交點(diǎn)是．

由此，在直線右側(cè)，以為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．

當(dāng)時(shí)，可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上．21.已知橢圓C：的焦距為，以橢圓C的右頂點(diǎn)A為圓心的圓與直線相交于P，Q兩點(diǎn)，且，.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的方程；（2）不過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，已知直線OM，l，ON的斜率，，成等比數(shù)列，記以線段OM，線段為ON直徑的圓的面積分別為，，的值是否為定值？若是，求出此值；若不是，說明理由.參考答案：（Ⅰ）橢圓的方程為，圓的方程為；（Ⅱ）為定值，定值為.解：（Ⅰ）如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，即，所以，又，所以，所以，所以?/p>

………………2分由已知得,所以橢圓的方程為，

……4分所以，所以，所以，所以圓的方程為．

………………6分（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，由，得，所以，由題設(shè)知，

………………8分

………………10分則故為定值，該定值為．…………1222.(本小題滿分12分)某大學(xué)外語(yǔ)系有5名大學(xué)生參加南京青奧會(huì)翻譯志愿者服務(wù)，每名大學(xué)生都隨機(jī)分配到奧體中心體操和游泳兩個(gè)比賽項(xiàng)目(每名大學(xué)生只參加一個(gè)項(xiàng)目的服務(wù))。(1)求5名大學(xué)生中恰有2名被分配到體操項(xiàng)目的概率；(2)設(shè)X，Y分別表示5名大學(xué)生分配到體操、游泳項(xiàng)目的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】古典概型的概率；離