高中數(shù)學(xué)選修12講義第2章2.1合情推理與演繹推理

第2章推理與證第1課時(shí)歸納推理問(wèn)題1：我們知道銅、鐵、鋁、金、銀都是金屬，它們有何物理性質(zhì)？提示：都能導(dǎo)電．問(wèn)題2：由問(wèn)題1你能得出什么結(jié)論？提示：一切金屬都能導(dǎo)電．問(wèn)題3：最近中國(guó)健康報(bào)報(bào)道了人的血壓和年齡一組數(shù)據(jù)，先觀(guān)察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中.年齡(歲)3035404550556065收縮壓(水銀柱/毫米)110115120125130135145舒張壓(水銀柱/毫米)70737578808388提示：14085問(wèn)題4：由問(wèn)題3中的數(shù)據(jù)你還能得出什么結(jié)論？提示：隨著人的年齡增長(zhǎng)，人的血壓在增高．問(wèn)題5：數(shù)列{an}的前五項(xiàng)為1，3，5，7，9試寫(xiě)出an.提示：an＝2n－1(n∈N*)．1．推理(1)推理的定義從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過(guò)程稱(chēng)為推理．(2)推理的組成任何推理都包含前提和結(jié)論兩個(gè)部分，前提是推理所依據(jù)的命題，它告訴我們已知的知識(shí)是什么；結(jié)論是根據(jù)前提推得命題，它告訴我們推出的知識(shí)是什么．2．歸納推理(1)歸納推理的定義從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱(chēng)為歸納推理．(2)歸納推理的思維過(guò)程如圖eq\x(實(shí)驗(yàn)、觀(guān)察)→eq\x(概括、推廣)→eq\x(猜測(cè)一般性結(jié)論)(3)歸納推理的特點(diǎn)①歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍．②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)，因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具．③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過(guò)歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題．1．歸納推理是從特殊到一般，具體到抽象的推理形式．因此，由歸納得到的結(jié)論超越了前提所包容的范圍．2．歸納是根據(jù)若干已知的條件(現(xiàn)象)推斷未知結(jié)論(現(xiàn)象)，因而，結(jié)論(現(xiàn)象)具有猜測(cè)的性質(zhì)．3．歸納的前提是特殊現(xiàn)象，歸納是立足于觀(guān)察、經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)的基礎(chǔ)上的．4．觀(guān)察和實(shí)驗(yàn)是進(jìn)行歸納推理的最基本條件，是歸納推理的基礎(chǔ)，通過(guò)觀(guān)察和實(shí)驗(yàn)，為知識(shí)的總結(jié)和歸納提供依據(jù)．5．由歸納推理所得到的結(jié)論未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，對(duì)于科學(xué)的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的，是進(jìn)行科學(xué)研究的最基本的方法之一．[例1]已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1＝1，且an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n＝1，2，…)，求出a2，a3，a4，并推測(cè)an.[思路點(diǎn)撥]數(shù)列的通項(xiàng)公式表示的是數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)已知的遞推公式，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀(guān)察出n與an的關(guān)系即可解決．[精解詳析]當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1；當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝eq\f(1,2)；當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝eq\f(\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)；當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝eq\f(\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq\f(1,4).觀(guān)察可得，數(shù)列的前4項(xiàng)等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù)．由此猜想，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,n).[一點(diǎn)通]在求數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和時(shí)，經(jīng)常用歸納推理得出結(jié)論．這就需要在進(jìn)行歸納推理時(shí)要先轉(zhuǎn)化為一個(gè)統(tǒng)一的形式，分出變化部分和不變部分，重點(diǎn)分析變化規(guī)律與n的關(guān)系，往往會(huì)較簡(jiǎn)捷地獲得結(jié)論．1．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an))).求出a1，a2，a3，a4，并推測(cè)an.解：∵Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an)))，∴a1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(1,a1)))，∴aeq\o\al(2,1)＝1.又∵an>0，∴a1＝1；a1＋a2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))，即1＋eq\f(1,2)a2＝eq\f(1,2a2)，∴a2＝eq\r(2)－1；a1＋a2＋a3＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3＋\f(1,a3)))，即eq\r(2)＋eq\f(1,2)a3＝eq\f(1,2a3)，∴a3＝eq\r(3)－eq\r(2)；a1＋a2＋a3＋a4＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋\f(1,a4)))，∴eq\r(3)＋eq\f(1,2)a4＝eq\f(1,2a4)，∴a4＝2－eq\r(3)；觀(guān)察可得，an＝eq\r(n)－eq\r(n－1).2．已知數(shù)列{an}中，a2＝6，eq\f(an＋1＋an－1,an＋1－an＋1)＝n.(1)求a1，a3，a4；(2)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：(1)由a2＝6，eq\f(a2＋a1－1,a2－a1＋1)＝1，得a1＝1.由eq\f(a3＋a2－1,a3－a2＋1)＝2，得a3＝15.由eq\f(a4＋a3－1,a4－a3＋1)＝3，得a4＝28.故a1＝1，a3＝15，a4＝28.(2)由a1＝1＝1×(2×1－1)；a2＝6＝2×(2×2－1)；a3＝15＝3×(2×3－1)；a4＝28＝4×(2×4－1)，…猜想an＝n(2n－1).[例2]對(duì)任意正整數(shù)n，試歸納猜想2n與n2的大小關(guān)系．[思路點(diǎn)撥]eq\x(給n從小到大賦值)→eq\x(計(jì)算各式的值)→eq\x(比較大小)→eq\x(歸納猜想)[精解詳析]當(dāng)n＝1時(shí)，21>12；當(dāng)n＝2時(shí)，22＝22；當(dāng)n＝3時(shí)，23<32；當(dāng)n＝4時(shí)，24＝42；當(dāng)n＝5時(shí)，25>52；當(dāng)n＝6時(shí)，26>62.歸納猜想，當(dāng)n＝3時(shí)，2n<n2；當(dāng)n∈N*，且n≠3時(shí)，2n≥n2.[一點(diǎn)通]對(duì)于與正整數(shù)n有關(guān)的指數(shù)式與整式的大小比較，不能用作差、作商法比較，常用歸納、猜想、證明的方法，解題時(shí)對(duì)n的取值的個(gè)數(shù)要適當(dāng)，太少易產(chǎn)生錯(cuò)誤猜想，太多增大計(jì)算量，凡事恰到好處．對(duì)有些復(fù)雜的式子的大小比較，往往通過(guò)作差后變形(通分、因式分解等)，變成比較兩個(gè)簡(jiǎn)單式子的大小，即化繁為簡(jiǎn)．3．觀(guān)察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，猜想第n個(gè)不等式為_(kāi)_________________________．解析：第1個(gè)不等式：1＋eq\f(1,（1＋1）2)<eq\f(2×1＋1,1＋1)；第2個(gè)不等式：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,（2＋1）2)<eq\f(2×2＋1,2＋1)；第3個(gè)不等式：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,（3＋1）2)<eq\f(2×3＋1,3＋1)；…故猜想第n個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,（n＋1）2)<eq\f(2n＋1,n＋1).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,（n＋1）2)<eq\f(2n＋1,n＋1)4．對(duì)任意正整數(shù)n，猜想nn＋1與(n＋1)n的大小關(guān)系．解：n＝1時(shí)，12<21；n＝2時(shí)，23<32，n＝3時(shí)；34>43；n＝4時(shí)，45>54，n＝5時(shí)；56>65.據(jù)此猜想，當(dāng)n<3時(shí)，nn＋1<(n＋1)n，n≥3時(shí)，nn＋1>(n＋1)n.[例3]古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)，如圖：由于圖中1，3，6，10這些數(shù)能夠表示成三角形，故被稱(chēng)為三角形數(shù)，試結(jié)合組成三角形的數(shù)的特點(diǎn)，歸納第n個(gè)三角形數(shù)．[思路點(diǎn)撥]將1，3，6，10分別寫(xiě)成eq\f(1×2,2)，eq\f(2×3,2)，eq\f(3×4,2)，eq\f(4×5,2)，據(jù)此可完成本題的求解．[精解詳析]觀(guān)察項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系特點(diǎn)如下：項(xiàng)1234項(xiàng)數(shù)eq\f(1×2,2)eq\f(2×3,2)eq\f(3×4,2)eq\f(4×5,2)分析：項(xiàng)的各分母均為2，分子分別為相應(yīng)項(xiàng)數(shù)與相應(yīng)項(xiàng)數(shù)與1和的積．歸納：第n個(gè)三角形數(shù)應(yīng)為eq\f(n（n＋1）,2)(n∈N*)．[一點(diǎn)通]此類(lèi)圖形推理問(wèn)題涉及的圖形構(gòu)成的元素一般為點(diǎn)．題目類(lèi)型為已知幾個(gè)圖形，圖形中元素的數(shù)量呈現(xiàn)一定的變化，這種數(shù)量變化存在著簡(jiǎn)單的規(guī)律性，如點(diǎn)的數(shù)目的遞增關(guān)系或遞減關(guān)系，依據(jù)此規(guī)律求解問(wèn)題，一般需轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和等．5．下面是按照一定規(guī)律畫(huà)出的一列“樹(shù)型”圖：設(shè)第n個(gè)圖有an個(gè)樹(shù)枝，則an＋1與an(n≥1)之間的關(guān)系是_________________________________________________．解析：由圖可得，第一個(gè)圖形有1根樹(shù)枝，a1＝1，第2個(gè)圖形有3根樹(shù)枝，即a2＝3，同理可知：a3＝7,a4＝15，a5＝31.歸納可知：a2＝3＝2×1＋1＝2a1＋1，a3＝7＝2×3＋1＝2a2＋1，a4＝15＝2×7＋1＝2a3＋1，a5＝31＝2×15＋1＝2a4＋1，由歸納推理可猜測(cè)：an＋1＝2an＋1.答案：an＋1＝2an＋16．根據(jù)下圖中5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜想第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______．解析：圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為：1，3，7，13，21.又1＝1＋0×1；3＝1＋1×2；7＝1＋2×3，13＝1＋3×4，21＝1＋4×5.結(jié)合項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)的關(guān)系猜想第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1＋(n－1)n，即為n2－n＋1(n∈N*)．答案：n2－n＋1(n∈N*)[例4]如圖是楊輝三角的前5行，請(qǐng)?jiān)噷?xiě)出第8行，并歸納、猜想一般規(guī)律．[思路點(diǎn)撥]由楊輝三角的前5行總結(jié)各行數(shù)字的規(guī)律，由此尋找第8行的數(shù)字，整體觀(guān)察楊輝三角可得到多個(gè)有趣的規(guī)律．[精解詳析]第8行：172135352171.一般規(guī)律：(1)每行左、右的數(shù)字具有對(duì)稱(chēng)性；(2)兩斜邊的數(shù)字都是1，其余數(shù)字等于它肩上兩數(shù)字之和；(3)奇數(shù)行中間一項(xiàng)最大，偶數(shù)行中間兩項(xiàng)相等且最大．[一點(diǎn)通]解決此類(lèi)數(shù)陣問(wèn)題時(shí)，通常利用歸納推理，其步驟如下：(1)明確各行、各列數(shù)的大??；(2)分別歸納各行、各列中相鄰兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系；(3)按歸納出的規(guī)律寫(xiě)出一個(gè)一般性的結(jié)論．7．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣，如圖所示，則數(shù)陣中第n(n≥3)行的從左至右的第3個(gè)數(shù)是______．解析：第1行，第2行，第3行，…分別有1，2，3，…個(gè)數(shù)字，且每個(gè)數(shù)字前后差1，則第n－1行的最后一個(gè)數(shù)字加3即為第n(n≥3)行的從左至右的第3個(gè)數(shù)，前n－1行共有數(shù)字1＋2＋3＋…＋(n－1)＝eq\f(n（n－1）,2)，則第n(n≥3)行的從左至右的第3個(gè)數(shù)為eq\f(n（n－1）,2)＋3＝eq\f(n2－n＋6,2).答案：eq\f(n2－n＋6,2)124357681012911131517141618202224…8.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了右邊所示的三角形數(shù)表，設(shè)aij(i，j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j行．如a42＝8，若aij＝2009.則i和j的和為_(kāi)_______．解析：由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，2009＝2×1005－1，所以2009為第1005個(gè)奇數(shù)，又前31個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)的和為961，前32個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)的和為1024，故2009在第32個(gè)奇數(shù)行內(nèi)，所以i＝63，因?yàn)榈?3行的第一個(gè)數(shù)為2×962－1＝1923，2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.答案：1071．歸納推理的一般步驟(1)通過(guò)觀(guān)察某類(lèi)事物個(gè)別情況，發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)．(2)對(duì)這些性質(zhì)進(jìn)行歸納整理，得到一個(gè)合理的結(jié)論．(3)猜想這個(gè)結(jié)論對(duì)該類(lèi)事物都成立．2．歸納推理應(yīng)注意的問(wèn)題歸納推理可從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但應(yīng)注意，僅根據(jù)一系列有限的特殊事例，所得出的一般結(jié)論不一定可靠，其結(jié)論的正確與否，還要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的理論證明．一、填空題1．(陜西高考)觀(guān)察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)_______________．解析：觀(guān)察規(guī)律可知，左邊為n項(xiàng)的積，最小項(xiàng)和最大項(xiàng)依次為(n＋1)，(n＋n)，右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n，則第n個(gè)等式為：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)2．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，則f2016(x)＝________．解析：f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝sinx，f5(x)＝f4′(x)＝cosx，…再繼續(xù)下去會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，周期為4，∴f2016(x)＝f4(x)＝sinx.答案：sinx3．根據(jù)三角恒等變換，可得到如下等式：cosθ＝cosθ；cos2θ＝2cos2θ－1；cos3θ＝4cos3θ－3cosθ；cos4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋1；cos5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cosθ依照規(guī)律猜想cos6θ＝32cos6θ＋mcos4θ＋ncos2θ－1.則m＋n＝________．解析：根據(jù)三角恒等變換等式可知，各項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和是1，即32＋m＋n－1＝1.∴m＋n＝－30.答案：－304．已知an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n)，把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如下的三角形：a1a2a3a4a5a6a7a8a9……記A(s，t)表示第s行的第t個(gè)數(shù)，則A(11，12)＝________．解析：每行對(duì)應(yīng)的元素個(gè)數(shù)分別為1，3，5…，那么第10行最后一個(gè)數(shù)為a100，則第11行的第12個(gè)數(shù)為a112，即A(11，12)＝a112＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(112).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(112)5．經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列不等式：eq\r(2)＋eq\r(18)<2eq\r(10)，eq\r(4.5)＋eq\r(15.5)<2eq\r(10)，eq\r(3＋\r(2))＋eq\r(17－\r(2))<2eq\r(10)，…，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫(xiě)出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)a，b都成立的條件不等式：________________________________________________________________________.解析：2＋18＝20，4.5＋15.5＝20，3＋eq\r(2)＋17－eq\r(2)＝20，…，即各不等式左邊兩根號(hào)內(nèi)的數(shù)之和等于20，右側(cè)均為2eq\r(10).答案：當(dāng)a＋b＝20，a，b∈(0，＋∞)時(shí)，有eq\r(a)＋eq\r(b)≤2eq\r(10)二、解答題6．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))(a，b均為實(shí)數(shù))，請(qǐng)推測(cè)a，b的值．解：由前面三個(gè)等式，推測(cè)歸納被開(kāi)方數(shù)的整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．由三個(gè)等式，知整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分的分子相同，而分母是這個(gè)分子的平方減1，由此推測(cè)eq\r(6＋\f(a,b))中，a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.7．在平面內(nèi)觀(guān)察：凸四邊形有2條對(duì)角線(xiàn)，凸五邊形有5條對(duì)角線(xiàn)，凸六邊形有9條對(duì)角線(xiàn)……由此猜出凸n邊形有幾條對(duì)角線(xiàn)？解：凸四邊形有2條對(duì)角線(xiàn)，凸五邊形有5條對(duì)角線(xiàn)，比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對(duì)角線(xiàn)，比凸五邊形多4條；…于是猜想凸n邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)比凸n－1邊形多n－2條對(duì)角線(xiàn)，由此凸n邊形對(duì)角線(xiàn)條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N*)．8．觀(guān)察：①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；②tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上兩式成立且有一個(gè)從特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推廣．解：觀(guān)察到10°＋20°＋60°＝90°，5°＋10°＋75°＝90°，因此猜測(cè)此推廣為α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，且α、β、γ都不為kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，則tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanαtanγ＝1.證明如下：由α＋β＋γ＝eq\f(π,2)得α＋β＝eq\f(π,2)－γ，∴tan(α＋β)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－γ))＝cotγ.又∵tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，∴tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝cotγ(1－tanαtanβ)．∴tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝tanγ(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝tanγ(1－tanαtanβ)·cotγ＋tanαtanβ＝1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝1.第2課時(shí)類(lèi)比推理為了回答“火星上是否有生命”這個(gè)問(wèn)題，科學(xué)家們把火星與地球作為類(lèi)比，發(fā)現(xiàn)火星具有一些與地球類(lèi)似的特征，如火星也是圍繞太陽(yáng)運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)的行星，也有大氣層，在一年中也有季節(jié)的變更，而且火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在．問(wèn)題：科學(xué)家做出上述猜想的推理過(guò)程是怎樣的？提示：在提出上述猜想的過(guò)程中，科學(xué)家對(duì)比了火星與地球之間的某些相似特征，然后從地球的一個(gè)已知特征(有生命存在)出發(fā)，猜測(cè)火星也可能具有這個(gè)特征．1．類(lèi)比推理根據(jù)兩個(gè)(或兩類(lèi))對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?，像這樣的推理通常稱(chēng)為類(lèi)比推理，簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比法．其思維過(guò)程為：eq\x(觀(guān)察、比較)→eq\x(聯(lián)想、類(lèi)推)→eq\x(猜測(cè)新的結(jié)論)2．合情推理合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)、正確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程．歸納推理和類(lèi)比推理都是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理．類(lèi)比推理的特點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)類(lèi)比推理是從特殊到特殊的推理．(2)類(lèi)比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)正在被研究中的事物的特征．所以，類(lèi)比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠．(3)由于類(lèi)比推理的前提是兩類(lèi)對(duì)象之間具有某些可以清楚定義的類(lèi)似特征．所以，進(jìn)行類(lèi)比推理的關(guān)鍵是明確地指出兩類(lèi)對(duì)象在某些方面的類(lèi)似特征．[例1]在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有什么樣的等式成立？[思路點(diǎn)撥]在等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比中，等差數(shù)列中的和類(lèi)比等比數(shù)列中的積，差類(lèi)比商，積類(lèi)比冪．[精解詳析]在等差數(shù)列{an}中，a10＝0，∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1.又由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，∴a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n，若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n，相應(yīng)的，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．[一點(diǎn)通]類(lèi)比推理的一般模式為：A類(lèi)事物具有性質(zhì)a，b，c，d，B類(lèi)事物具有性質(zhì)a′，b′，c′，d′(a，b，c分別與a′，b′，c′相似或相同)，所以B類(lèi)事物可能具有性質(zhì)d′(d與d′相似或相同)．1．若數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn＝eq\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n)(n∈N*)也是等差數(shù)列．類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列{cn}(n∈N*)是等比數(shù)列，且cn>0，則數(shù)列dn＝_____________________(n∈N*)也是等比數(shù)列．答案：eq\r(n,c1·c2·c3·…·cn)2．已知命題：若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且am＝a，an＝b(m≠n，m，n∈N*)，則am＋n＝eq\f(bn－am,n－m).現(xiàn)已知等比數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N*)，且bm＝a，bn＝b(m≠n，m，n∈N*)，類(lèi)比上述結(jié)論，求bm＋n.解：等差數(shù)列通項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n是一次函數(shù)關(guān)系，等比數(shù)列通項(xiàng)bn與項(xiàng)數(shù)n是指數(shù)型函數(shù)關(guān)系．利用類(lèi)比可得bm＋n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bn,am)))eq\s\up6(\f(1,n－m))＝eq\r(n－m,\f(bn,am)).[例2]如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分別為α1、α2、α3，三側(cè)面△SBC，△SAC，△SAB的面積分別為S1，S2，S3，類(lèi)比三角形中的正弦定理，給出空間情形的一個(gè)猜想．[思路點(diǎn)撥]在△DEF中，有三條邊，三個(gè)角，與△DEF相對(duì)應(yīng)的是四面體S－ABC，與三角形三條邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的是四面體三個(gè)側(cè)面的面積，三角形三個(gè)角對(duì)應(yīng)的是SA，SB，SC與底面ABC所成的三個(gè)線(xiàn)面角α1，α2，α3.在平面幾何中三角形的有關(guān)性質(zhì)，我們可以用類(lèi)比的方法，推廣到四面體、三棱柱等幾何體中．[精解詳析]在△DEF中，由正弦定理，得eq\f(d,sinD)＝eq\f(e,sinE)＝eq\f(f,sinF).于是，類(lèi)比三角形中的正弦定理，在四面體S－ABC中，我們猜想eq\f(S1,sinα1)＝eq\f(S2,sinα2)＝eq\f(S3,sinα3)成立．[一點(diǎn)通](1)類(lèi)比推理的基本原則是根據(jù)當(dāng)前問(wèn)題的需要，選擇適當(dāng)?shù)念?lèi)比對(duì)象，可以從幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手．由平面中相關(guān)結(jié)論可以類(lèi)比得到空間中的相關(guān)結(jié)論．(2)平面圖形與空間圖形類(lèi)比平面圖形空間圖形點(diǎn)線(xiàn)線(xiàn)面邊長(zhǎng)面積面積體積線(xiàn)線(xiàn)角二面角三角形四面體3．在平面中△ABC的角C的內(nèi)角平分線(xiàn)CE分△ABC面積所成的比eq\f(S△AEC,S△BEC)＝eq\f(AC,BC)，將這個(gè)結(jié)論類(lèi)比到空間：在三棱錐A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且與AB交于E，則類(lèi)比的結(jié)論為_(kāi)__________．圖(1)(2)解析：平面中的面積類(lèi)比到空間為體積，故eq\f(S△AEC,S△BEC)類(lèi)比成eq\f(VA－CDE,VB－CDE).平面中的線(xiàn)段長(zhǎng)類(lèi)比到空間為面積，故eq\f(AC,BC)類(lèi)比成eq\f(S△ACD,S△BCD).故有eq\f(VA－CDE,VB－CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC).答案：eq\f(VA－CDE,VB－CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC)4.如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，類(lèi)比上述定理，寫(xiě)出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想．解：如圖所示，在四面體P—ABC中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大?。覀儾孪肷溆岸ɡ眍?lèi)比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.[例3]我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了等差數(shù)列，你是否想過(guò)有沒(méi)有等和數(shù)列呢？(1)類(lèi)比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義；(2)探索等和數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各有什么特點(diǎn)，并加以說(shuō)明；(3)在等和數(shù)列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n項(xiàng)和Sn.[思路點(diǎn)撥]可先根據(jù)等差數(shù)列的定義類(lèi)比出“等和數(shù)列”的定義，然后再據(jù)此定義探索等和數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)及其前n項(xiàng)和．[精解詳析](1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列．(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，所以an＋2＝an.所以等和數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)相等，偶數(shù)項(xiàng)也相等．(3)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令n＝2k－1，k∈N*，則Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝eq\f(2k－2,2)(a＋b)＋a＝eq\f(n－1,2)(a＋b)＋a＝eq\f(n＋1,2)a＋eq\f(n－1,2)b；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令n＝2k，k∈N*，則Sn＝S2k＝k(a＋b)＝eq\f(n,2)(a＋b)．所以它的前n項(xiàng)和Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)a＋\f(n－1,2)b，n為奇數(shù)；,\f(n,2)（a＋b），n為偶數(shù).))[一點(diǎn)通](1)本題是一道淺顯的定義類(lèi)比應(yīng)用問(wèn)題，通過(guò)對(duì)等差數(shù)列定義及性質(zhì)的理解，類(lèi)比出等和數(shù)列的定義和性質(zhì)，很好地考查學(xué)生類(lèi)比應(yīng)用的能 力．(2)本題型是類(lèi)比定義，對(duì)本類(lèi)題型解決的關(guān)鍵在于弄清兩個(gè)概念的相似性和相異性．5．類(lèi)比平面向量基本定理：“如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，那么對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.”寫(xiě)出空間向量基本定理的是________．答案：如果e1，e2，e3是空間三個(gè)不共面的向量，那么對(duì)空間內(nèi)任一向量a，有且只有一組實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e36．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)PM，PN的斜率都存在，并記為KPM，KPN時(shí)，那么KPM與KPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1寫(xiě)出類(lèi)似的性質(zhì)，并加以證明．解：類(lèi)似的性質(zhì)：若M，N是雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)PM，PN的斜率都存在，并記為KPM，KPN時(shí)，那么KPM與KPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．證明如下：設(shè)M(m，n)，則N(－m，－n)，其中eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1.設(shè)P(x，y)，由KPM＝eq\f(y－n,x－m)，KPN＝eq\f(y＋n,x＋m)，得KPM·KPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)，將y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2，n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2代入得KPM·KPN＝eq\f(b2,a2).1．進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上思考，不要被表面現(xiàn)象所迷惑，否則，只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類(lèi)比，就會(huì)犯機(jī)械類(lèi)比的錯(cuò)誤．2．多用下列技巧會(huì)提高所得結(jié)論的準(zhǔn)確性：(1)類(lèi)比對(duì)象的共同屬性或相似屬性盡可能的多些．(2)這些共同屬性或相似屬性應(yīng)是類(lèi)比對(duì)象的主要屬性．(3)這些共同(相似)屬性應(yīng)包括類(lèi)比對(duì)象的各個(gè)方面，并盡可能是多方面．一、填空題1．正方形的面積為邊長(zhǎng)的平方，則在立體幾何中，與之類(lèi)比的圖形是________，結(jié)論是______________________________．答案：正方體正方體的體積為棱長(zhǎng)的立方2．給出下列推理：(1)三角形的內(nèi)角和為(3－2)·180°，四邊形的內(nèi)角和為(4－2)·180°，五邊形的內(nèi)角和為(5－2)·180°，……所以凸n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°；(2)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，y＝tanx是三角函數(shù)，所以y＝tanx是周期函數(shù)；(3)狗是有骨骼的；鳥(niǎo)是有骨骼的；魚(yú)是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鳥(niǎo)、魚(yú)、蛇和青蛙都是動(dòng)物，所以，所有的動(dòng)物都是有骨骼的；(4)在平面內(nèi)如果兩條直線(xiàn)同時(shí)垂直于第三條直線(xiàn)，則這兩條直線(xiàn)互相平行，那么在空間中如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行．其中屬于合情推理的是________．(填序號(hào))解析：根據(jù)合情推理的定義來(lái)判斷．因?yàn)?1)(3)都是歸納推理，(4)是類(lèi)比推理，而(2)不符合合情推理的定義，所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案：(1)(3)(4)3．三角形的面積為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a、b、c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類(lèi)比推理可以得出四面體的體積為_(kāi)__________________________________________________．解析：△ABC的內(nèi)心為O，連結(jié)OA，OB，OC，將△ABC分割為三個(gè)小三角形，這三個(gè)小三角形的高都是r，底邊長(zhǎng)分別為a，b，c；類(lèi)比：設(shè)四面體A－BCD的內(nèi)切球球心為O，連結(jié)OA，OB，OC，OD，將四面體分割為四個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)，以原來(lái)面為底面的四面體，高都為r，所以有V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r.答案：eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4為四個(gè)面的面積，r為內(nèi)切球的半徑)4．在平面幾何中，有射影定理：“在△ABC中，AB⊥AC，點(diǎn)A在BC邊上的射影為D，有AB2＝BD·BC.”類(lèi)比平面幾何定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與射影面積、底面面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“在三棱錐A－BCD中，AD⊥平面ABC，點(diǎn)A在底面BCD上的射影為O，則有______________________________．”答案：Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BOC·S△BCD5．已知結(jié)論：“在三邊長(zhǎng)都相等的△ABC中，若D是BC的中點(diǎn)，G是△ABC外接圓的圓心，則eq\f(AG,GD)＝2”．若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在六條棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，若M是△BCD的三邊中線(xiàn)的交點(diǎn)，O為四面體ABCD外接球的球心，則eq\f(AO,OM)＝________．”解析：如圖，易知球心O在線(xiàn)段AM上，不妨設(shè)四面體ABCD的邊長(zhǎng)為1，外接球的半徑為R，則BM＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝eq\f(\r(3),3)，AM＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)，R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)－R))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))，解得R＝eq\f(\r(6),4).于是，eq\f(AO,OM)＝eq\f(\f(\r(6),4),\f(\r(6),3)－\f(\r(6),4))＝3.答案：3二、解答題6．已知：等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，有如下的性質(zhì)：(1)通項(xiàng)an＝am＋(n－m)·d.(2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N*，則am＋an＝ap＋aq.(3)若m＋n＝2p，且m，n，p∈N*，則am＋an＝2ap.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等差數(shù)列．類(lèi)比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，寫(xiě)出相類(lèi)似的性質(zhì)．解：設(shè)等比數(shù)列{bn}中，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.(1)通項(xiàng)an＝am·qn－m.(2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N*，則am·an＝ap·aq.(3)若m＋n＝2p，且m，n，p∈N*，則aeq\o\al(2,p)＝am·an.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等比數(shù)列．7．類(lèi)比圓的下列特征，找出球的相關(guān)特征．(1)平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓；(2)平面內(nèi)不共線(xiàn)的3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；(3)圓的周長(zhǎng)與面積可求．解：(1)在空間中，與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球；(2)空間中不共面的4個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)球；(3)球的表面積與體積可求．8．若記號(hào)“*”表示兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的算術(shù)平均的運(yùn)算，即a*b＝eq\f(a＋b,2)，則兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“*”和“＋”，寫(xiě)出對(duì)于任意3個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c都能成立的一個(gè)等式．解：由于本題是探索性和開(kāi)放性的問(wèn)題，問(wèn)題的解決需要經(jīng)過(guò)一定的探索類(lèi)比過(guò)程，并且答案不惟一．解決這道試題要把握住a*b＝eq\f(a＋b,2)，還要注意到試題的要求不僅類(lèi)比推廣到三個(gè)數(shù)，而且等式兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“*”和“＋”，則可容易得到a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋b)．正確的結(jié)論還有：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c等．第3課時(shí)演繹推理看下面兩個(gè)問(wèn)題：(1)?是任意非空集合的真子集，A是非空集合，所以?是集合A的真子集；(2)循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，0.33eq\o(2,\s\up6(·))是循環(huán)小數(shù)，所以0.33eq\o(2,\s\up6(·))是有理數(shù)．問(wèn)題1：這兩個(gè)問(wèn)題中的第一句都說(shuō)明什么？提示：都說(shuō)的一般原理．問(wèn)題2：第二句又說(shuō)什么？提示：都說(shuō)的特殊示例．問(wèn)題3：第三句呢？提示：由一般原理對(duì)特殊示例作出判斷．1．演繹推理含義由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法．特點(diǎn)(1)演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的個(gè)別、特殊事實(shí)，結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中．(2)在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系．(3)演繹推理是一種收斂性的思維方法，它缺少創(chuàng)造性，但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用，有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化.2．三段論一般模式常用格式大前提提供了一個(gè)一般性的原理M是P小前提指出了一個(gè)特殊對(duì)象S是M結(jié)論揭示了一般原理與特殊對(duì)象的內(nèi)在聯(lián)系S是P1． 演繹推理是由一般到特殊的推理，一種必然性的推理，這決定了演繹推理的結(jié)論不會(huì)超出前提所界定的范圍，所以其前提與結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的．2．三段論中大前提是一個(gè)一般性結(jié)論，是共性，小前提是指其中的一個(gè)，結(jié)論為這一個(gè)也具有大前提中的結(jié)論．要得到一個(gè)正確的結(jié)論，大前提和小前提都必須正確，二者中有一個(gè)錯(cuò)誤，結(jié)論就不正確．[例1]將下面的演繹推理寫(xiě)成三段論的形式：(1)所有橢圓的離心率e的取值范圍為(0，1)，曲線(xiàn)C：eq\f(x2,2)＋y2＝1是橢圓，所以曲線(xiàn)C的離心率e的取值范圍為(0，1)．(2)等比數(shù)列的公比都不為零，數(shù)列{2n}(n∈N*)是等比數(shù)列，所以數(shù)列{2n}的公比不為零．[思路點(diǎn)撥]這種類(lèi)型的題目只要明確各推理案例中的大前提、小前提與結(jié)論即可．[精解詳析](1)大前提：所有橢圓的離心率e的取值范圍為(0，1)．小前提：曲線(xiàn)C：eq\f(x2,2)＋y2＝1是橢圓．結(jié)論：曲線(xiàn)C的離心率e的取值范圍為(0，1)．(2)大前提：等比數(shù)列的公比都不為零．小前提：數(shù)列{2n}(n∈N*)是等比數(shù)列．結(jié)論：數(shù)列{2n}的公比不為零．[一點(diǎn)通]演繹推理的重要形式是三段論，分清大前提、小前提和結(jié)論是解題的關(guān)鍵．大前提是給出一般性的原理，小前提是指出特殊對(duì)象，結(jié)論是體現(xiàn)一般性原理與特殊對(duì)象的內(nèi)在聯(lián)系的必然結(jié)果．1．用三段論的形式寫(xiě)出下列演繹推理．(1)菱形的對(duì)角線(xiàn)相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的對(duì)角線(xiàn)相互垂直．(2)若兩角是對(duì)頂角，則此兩角相等，所以若兩角不是對(duì)頂角，則此兩角不相等．(3)0.332是有理數(shù)．(4)y＝sinx(x∈R)是周期函數(shù)．解：(1)因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線(xiàn)相互垂直，(大前提)正方形是菱形，(小前提)所以正方形的對(duì)角線(xiàn)相互垂直．(結(jié)論)(2)如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等，(大前提)∠1和∠2不是對(duì)頂角，(小前提)所以∠1和∠2不相等．(結(jié)論)(3)因?yàn)樗械挠邢扌?shù)是有理數(shù)，(大前提)0．332是有限小數(shù)，(小前提)所以0.332是有理數(shù)．(結(jié)論)(4)因?yàn)槿呛瘮?shù)是周期函數(shù)，(大前提)y＝sinx(x∈R)是三角函數(shù)，(小前提)所以y＝sinx是周期函數(shù)．(結(jié)論)2．指出下列各演繹推理中的大前提、小前提，并判斷結(jié)論是否正確．(1)a∥b一定有a＝λb(λ∈R)，向量c與向量d平行，所以c＝λd.(2)指數(shù)函數(shù)y＝ax(0<a<1)是減函數(shù)，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是指數(shù)函數(shù)，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是減函數(shù)．解：(1)大前提：a∥b一定有a＝λb(λ∈R)．小前提：向量c與向量d平行．結(jié)論是錯(cuò)誤的，原因是大前提錯(cuò)誤．因?yàn)楫?dāng)a≠0，b＝0時(shí)a∥b，這時(shí)找不到實(shí)數(shù)λ使得a＝λb.(2)大前提：指數(shù)函數(shù)y＝ax(0<a<1)是減函數(shù)．小前提：y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是指數(shù)函數(shù)．結(jié)論是正確的．因?yàn)榇笄疤?、小前提均是正確的．[例2]在平面四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求證：四邊形ABCD為平行四邊形．寫(xiě)出三段論形式的演繹推理．[思路點(diǎn)撥]原題可用符號(hào)表示為：AB＝CD且BC＝AD?四邊形ABCD為平行四邊形．用演繹推理來(lái)證明命題的方法，也就是從包含在命題中的一般原理推出包含在命題中的個(gè)別、特殊事實(shí)．為了證明這個(gè)命題為真，我們只需在前提(AB＝CD且BC＝AD)為真的情況下，以已知公理、已知定義、已知定理為依據(jù)，根據(jù)推理規(guī)則，導(dǎo)出結(jié)論為真．[精解詳析](1)連結(jié)AC.(2)AB＝CD，(已知)BC＝AD，(已知)CA＝AC.(3)平面幾何中的邊邊邊定理是：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．這一定理相當(dāng)于：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果它們的三邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等；(大前提)△ABC和△CDA的三邊對(duì)應(yīng)相等；(小前提)△ABC與△CDA全等．(結(jié)論)符號(hào)表示：AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC?△ABC≌△CDA.(4)由全等三角形的性質(zhì)可知：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．這一性質(zhì)相當(dāng)于：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果它們?nèi)龋瑒t它們的對(duì)應(yīng)角相等；(大前提)△ABC和△CDA全等；(小前提)它們的對(duì)應(yīng)角相等，即∠1＝∠2，∠3＝∠4.(結(jié)論)(5)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行；(大前提)∠1與∠2、∠3與∠4分別是AB與CD、AD與BC被AC所截得到的內(nèi)錯(cuò)角；(小前提)AB∥CD，AD∥BC.(結(jié)論)(6)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形；(大前提)四邊形ABCD的兩組對(duì)邊分別平行；(小前提)四邊形ABCD是平行四邊形．(結(jié)論)[一點(diǎn)通]應(yīng)用三段論證明問(wèn)題時(shí)，要充分挖掘題目的外在和內(nèi)在條件(小前提)，根據(jù)需要引入相關(guān)的適用的定理和性質(zhì)(大前提)，并保證每一步的推理都是正確的、嚴(yán)密的，才能得出正確的結(jié)論．常見(jiàn)的解題錯(cuò)誤：①條件理解錯(cuò)誤(小前提錯(cuò))；②定理引入和應(yīng)用錯(cuò)誤(大前提錯(cuò))；③推理過(guò)程錯(cuò)誤等．3．設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，則eq\f(a＋b＋c,x＋y＋z)＝________．解析：∵由題意可得，eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,4)＋eq\f(z2,4)＝10，∴a2＋b2＋c2＋eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,4)＋eq\f(z2,4)－ax－by－cz＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(x,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(y,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(z,2)))eq\s\up12(2)＝0.∴a＝eq\f(x,2)，b＝eq\f(y,2)，c＝eq\f(z,2).∴eq\f(a＋b＋c,x＋y＋z)＝eq\f(\f(x＋y＋z,2),x＋y＋z)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4.梯形的兩腰和一底如果相等，它的對(duì)角線(xiàn)必平分另一底上的兩個(gè)角．已知：在如圖所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的對(duì)角線(xiàn)．求證：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA.證明：(1)等腰三角形兩底角相等，(大前提)△DAC是等腰三角形，DA，DC為兩腰，(小前提)∴∠1＝∠2.(結(jié)論)(2)兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)截出的內(nèi)錯(cuò)角相等，(大前提)∠1和∠3是平行線(xiàn)AD，BC被AC截出的內(nèi)錯(cuò)角，(小前提)，∴∠1＝∠3.(結(jié)論)(3)等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等，(大前提)∠2和∠3都等于∠1，(小前提)∴∠2＝∠3.(結(jié)論)即AC平分∠BCD.(4)同理DB平分∠CBA.5.如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求證：AB⊥DE.證明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB)＝2eq\r(3)，∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE.合情推理演繹推理區(qū)別定義根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果)，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程思維方法歸納、類(lèi)比三段論推理形式由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理或是由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理結(jié)論結(jié)論不一定正確，有待于進(jìn)一步證明在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確作用具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供思路的作用，利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)按照嚴(yán)格的邏輯法則推理，利于培養(yǎng)和提高演繹推理和邏輯證明的能力聯(lián)系合情推理與演繹推理是相輔相成的，數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)主要靠合情推理；數(shù)學(xué)結(jié)論、猜想的正確性必須通過(guò)邏輯推理來(lái)證明一、填空題1．函數(shù)y＝2x＋5的圖象是一條直線(xiàn)，用三段論表示為：大前提__________________________________________；小前提__________________________________________；結(jié)論_____________________________________________．答案：一次函數(shù)的圖象是一條直線(xiàn)函數(shù)y＝2x＋5是一次函數(shù)函數(shù)y＝2x＋5的圖象是一條直線(xiàn)．2．“指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)是增函數(shù)，y＝xα(α>1)是指函數(shù)，所以y＝xα(α>1)是增函數(shù)”，在以上演繹推理中，下列說(shuō)法正確的命題序號(hào)是________．①推理完全正確②大前提不正確③小前提不正確④推理形式不正確解析：∵y＝xα(α>1)是冪函數(shù)，而不是指數(shù)函數(shù)，∴小前提錯(cuò)誤．答案：③3．“公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為關(guān)于n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋3n.所以{bn}為等差數(shù)列”．上述推理中，下列說(shuō)法正確的序號(hào)是________．①大前提錯(cuò)誤②小前提錯(cuò)誤③結(jié)論錯(cuò)誤④正確解析：該推理過(guò)程中，大前提、小前提、結(jié)論都正確．答案：④4．三段論“①只有船準(zhǔn)時(shí)起航，才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港，②這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的，③這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的．”中的小前提是序號(hào)________．解析：該推理的大前提是①，小前提是③，結(jié)論是②.答案：③5．α<0，冪函數(shù)y＝xα的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，y＝x－2是冪函數(shù)，由“三段論”可得結(jié)論__________________________________________________．解析：“三段論”的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的特殊事實(shí)，結(jié)合大前提，小前提可得答案．答案：y＝x－2的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)二、解答題6．將下面的演繹推理寫(xiě)成三段論的形式：(1)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100℃，所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃時(shí)，水會(huì)沸騰．(2)兩直線(xiàn)平行，同位角相等，如果∠A與∠B是兩平行直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截而成的同位角，則∠A＝∠B.解：(1)大前提：在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100℃，小前提：在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃，結(jié)論：水會(huì)沸騰．(2)大前提：兩條直線(xiàn)平行，同位角相等．小前提：∠A與∠B是兩平行直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截而成的同位角．結(jié)論：∠A＝∠B.7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,a2－1)(ax－a－x)，其中a＞0，且a≠1.(1)判斷函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上的單調(diào)性，并加以證明；(2)判斷f(2)－2與f(1)－1，f(3)－3與f(2)－2的大小關(guān)系，由此歸納出一個(gè)更一般的結(jié)論，并加以證明．解：(1)由已知得f′(x)＝eq\f(alna,a2－1)(ax＋a－x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．(2)f(2)－2＞f(1)－1，f(3)－3＞f(2)－2.一般的結(jié)論：f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(n∈N*)．證明如下：上述不等式等價(jià)于f(n＋1)－f(n)＞1，即eq\f(a2n＋1＋1,an＋1＋an)＞1，化簡(jiǎn)得(an＋1－1)(an－1)＞0，在a＞0且a≠1的條件下，(an＋1－1)(an－1)＞0顯然成立，故f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(n∈N*)成立．8．已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列．lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列，又bn＝eq\f(1,a2n)(n＝1，2，3，…)．證明：{bn}為等比數(shù)列．證明：∵lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列，∴2lga2＝lga1＋lga4，即aeq\o\al(2,2)＝a1a4.若{an}的公差為d，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，從而d(d－a1)＝0.①若d＝0，{an}為常數(shù)列，相應(yīng){bn}也是常數(shù)列，此時(shí){bn}是首項(xiàng)為正數(shù)，公比為1的等比數(shù)列．②若d＝a1≠0，則a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，bn＝eq\f(1,a2n)＝eq\f(1,2nd).這時(shí){bn}是首項(xiàng)b1＝eq\f(1,2d)，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．綜上，{bn}為等比數(shù)列．第4課時(shí)推理案例賞析[例1]觀(guān)察如圖所示的“三角數(shù)陣”：記第n行的第2個(gè)數(shù)為an(n≥2，n∈N*)，請(qǐng)仔細(xì)觀(guān)察上述“三角數(shù)陣”的特征，完成下列各題：(1)第6行的6個(gè)數(shù)依次為_(kāi)_________、__________、______________、______________、______________、______________；(2)依次寫(xiě)出a2、a3、a4、a5；(3)歸納出an＋1與an的關(guān)系式．[思路點(diǎn)撥](1)觀(guān)察數(shù)陣，總結(jié)規(guī)律：除首末兩數(shù)外，每行的數(shù)等于它上一行肩膀上的兩數(shù)之和，得出(1)的結(jié)果．(2)由數(shù)陣可直接寫(xiě)出答案．(3)寫(xiě)出a3－a2，a4－a3，a5－a4，從而歸納出(3)的結(jié)論．[精解詳析]由數(shù)陣可看出，除首末兩數(shù)外，每行中的數(shù)都等于它上一行肩膀上的兩數(shù)之和，且每一行的首末兩數(shù)都等于行數(shù)．[答案](1)6，16，25，25，16，6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此歸納：an＋1＝an＋n.[一點(diǎn)通]對(duì)于數(shù)陣問(wèn)題的解決方法，既要清楚每行、每列數(shù)的特征，又要對(duì)上、下行，左、右列間的關(guān)系進(jìn)行研究，找到規(guī)律，問(wèn)題即可迎刃而解了．1．設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[eq\r(5)]＝2，[π]＝3，[k]＝k(k∈N*)．我的發(fā)現(xiàn)：[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝3；[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝10；[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝21；…通過(guò)歸納推理，寫(xiě)出一般性結(jié)論_________________________________________________(用含n的式子表示)．解析：第n行右邊第一個(gè)數(shù)是[eq\r(n2)]，往后是[eq\r(n2＋1)]，[eq\r(n2＋2)]，…，最后一個(gè)是[eq\r(n2＋2n)]．等號(hào)右邊是n(2n＋1)．答案：[eq\r(n2)]＋[eq\r(n2＋1)]＋[eq\r(n2＋2)]＋…＋[eq\r(n2＋2n)]＝n(2n＋1)2．(1)如圖(a)、(b)、(c)、(d)所示為四個(gè)平面圖形，數(shù)一數(shù)，每個(gè)平面圖形各有多少個(gè)頂點(diǎn)？多少條邊？它們將平面圍成了多少個(gè)區(qū)域？頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)(a)(b)(c)(d)(2)觀(guān)察上表，推斷一個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系？(3)現(xiàn)已知某個(gè)平面圖形有999個(gè)頂點(diǎn)，且圍成了999個(gè)區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)平面圖形有多少條邊？解：(1)各平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)(a)332(b)8126(c)695(d)10157(2)觀(guān)察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2，通過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，它們的頂點(diǎn)數(shù)V，邊數(shù)E，區(qū)域數(shù)F之間的關(guān)系為V＋F－E＝2.(3)由已知V＝999，F(xiàn)＝999，代入上述關(guān)系式得E＝1996，故這個(gè)平面圖形有1996條邊．[例2]通過(guò)計(jì)算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；…(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.將以上各等式兩邊分別相加，得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．類(lèi)比上述求法，請(qǐng)你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．[思路點(diǎn)撥]類(lèi)比上面的求法；可分別求出24－14，34－24，44－34，…(n＋1)4－n4，然后將各式相加求解．[精解詳析]∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…(n＋1)4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1.將以上各式兩邊分別相加，得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n∴13＋23＋…＋n3＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(（n＋1）4－14－6×\f(1,6)n（n＋1）))·eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(（2n＋1）－4×\f(n（n＋1）,2)－n))＝eq\f(1,4)n2(n＋1)2.[一點(diǎn)通](1)解題方法的類(lèi)比通過(guò)對(duì)不同題目條件、結(jié)論的類(lèi)比，從而產(chǎn)生解題方法的遷移，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很高的境界，需要學(xué)習(xí)者熟練地掌握各種題型及相應(yīng)的解題方法．(2)類(lèi)比推理的步驟與方法第一步：弄清兩類(lèi)對(duì)象之間的類(lèi)比關(guān)系及類(lèi)比關(guān)系之間的(細(xì)微)差別．第二步：把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某一種一致性(相似性)確切地表述出來(lái)，也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說(shuō)清楚．3．二維空間中圓的一維側(cè)度(周長(zhǎng))l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2，觀(guān)察發(fā)現(xiàn)S′＝l；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3，觀(guān)察發(fā)現(xiàn)V′＝S.則四維空間中“超球”的三維測(cè)度V＝8πr3，猜想其四維測(cè)度W＝________．解析：(2πr4)′＝8πr3.答案：2πr44．在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線(xiàn)去截正方形的一個(gè)角，那么截下一個(gè)直角三角形，按圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線(xiàn)換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1，S2，S3表示三個(gè)側(cè)面的面積，S4表示截面的面積，那么你類(lèi)比得到的結(jié)論是______________________．解析：由于平面圖形中的邊長(zhǎng)應(yīng)與空間幾何體中的面積類(lèi)比，因此所得到的結(jié)論為：Seq\o\al(2,4)＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3).答案：Seq\o\al(2,4)＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)[例3]已知{an}為等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>1，公差d>0，n>1且n∈N*.求證：lgan＋1lgan－1<(lgan)2.[思路點(diǎn)撥]對(duì)數(shù)之積不能直接運(yùn)算，可由基本不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)之和進(jìn)行運(yùn)算．[精解詳析]∵{an}為等差數(shù)列，∴an＋1＋an－1＝2an.∵d>0，∴an－1an＋1＝(an－d)(an＋d)＝aeq\o\al(2,n)－d2<aeq\o\al(2,n).∵a1>1，d>0，∴an＝a1＋(n－1)d>1.∴l(xiāng)gan>0.∴l(xiāng)gan＋1·lgan－1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lgan＋1＋lgan－1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lg（an－1an＋1）))eq\s\up12(2)<eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lgaeq\o\al(2,n)))eq\s\up12(2)＝(lgan)2，即lgan＋1·lgan－1<(lgan)2.[一點(diǎn)通]三段論推理的根據(jù)，從集合的觀(guān)點(diǎn)來(lái)講，就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.5.如圖，棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．要求：寫(xiě)出每一個(gè)三段論的大前提、小前提、結(jié)論．解：(1)因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線(xiàn)互相垂直(大前提)，側(cè)面BCC1B1是菱形(小前提)，所以B1C⊥BC1(結(jié)論)．又線(xiàn)面垂直的判定定理(大前提)，B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B(小前提)，所以B1C⊥平面A1BC1(結(jié)論)．又面面垂直的判定定理(大前提)，B1C?平面AB1C，B1C⊥平面A1BC1(小前提)，所以平面AB1C⊥平面A1BC1(結(jié)論)．(2)設(shè)BC1交B1C于點(diǎn)E，連接DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線(xiàn)．根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理(大前提)，因?yàn)锳1B∥平面B1CD(小前提)，所以A1B∥DE(結(jié)論)．又E是BC1的中點(diǎn)，所以D為A1C1的中點(diǎn)，即A1D∶DC1＝1∶1.6．求證：函數(shù)y＝eq\f(2x－1,2x＋1)是奇函數(shù)，且在定義域上是增函數(shù)．證明：y＝f(x)＝eq\f(（2x＋1）－2,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)，所以f(x)的定義域?yàn)閤∈R.f(－x)＋f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2－x＋1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2x＋1)))＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2x＋1)＋\f(2,2－x＋1)))＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2x＋1)＋\f(2·2x,2x＋1)))＝2－eq\f(2（2x＋1）,2x＋1)＝2－2＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．任取x1，x2∈R，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2x1＋1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2x2＋1)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x2＋1)－\f(1,2x1＋1)))＝2·eq\f(2x1－2x2,（2x2＋1）（2x1＋1）).因?yàn)閤1<x2，所以2x1<2x2，2x1－2x2<0，所以f(x1)<f(x2)．故f(x)為增函數(shù)．1．通俗地說(shuō)，合情推理是指“合乎情理”的推理，數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常為我們提供證明的思路和方向．2．在數(shù)學(xué)推理活動(dòng)中常常利用歸納和類(lèi)比去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再想辦法去證明或否定發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．一、填空題1．設(shè)k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則k＋1棱柱對(duì)角面的個(gè)數(shù)為f(k＋1)＝f(k)＋___________.解析：k棱柱增加一條側(cè)棱時(shí)，則這條側(cè)棱和與之不相鄰的k－2條側(cè)棱可構(gòu)成k－2個(gè)對(duì)角面，而增加一條側(cè)棱時(shí)也使一個(gè)側(cè)面變成了對(duì)角面．所以f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1.答案：k－12．如果一個(gè)凸多面體是n棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線(xiàn)共有__________條．這些直線(xiàn)中共有f(n)對(duì)異面直線(xiàn)，則f(4)＝______；f(n)＝________．(答案用數(shù)字或含n的式子表示)解析：所有頂點(diǎn)確定的直線(xiàn)共有：棱數(shù)＋底邊數(shù)＋對(duì)角線(xiàn)數(shù)，即n＋n＋eq\f(n（n－3）,2)＝eq\f(n2＋n,2).f(4)＝4×2＋eq\f(4×1,2)×2＝12，f(n)＝n(n－2)＋eq\f(n（n－3）,2)×(n－2)＝eq\f(n（n－1）（n－2）,2).答案：eq\f(n2＋n,2)12eq\f