人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)培優(yōu)資料1

第1講認(rèn)識(shí)三角形

考點(diǎn)?方法?破譯

1.了解與三角形有關(guān)的線(xiàn)段（邊、高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)），會(huì)畫(huà)出任意三角形的高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn).

2.知道三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

3.了解與三角形有關(guān)的角（內(nèi)角、外角）.

4.掌握三角形三內(nèi)角和等于180。，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

5.會(huì)用方程的思想解與三角形基本要素相關(guān)的問(wèn)題.

6.會(huì)從復(fù)雜的圖形中找到基本圖形，從而尋求解決問(wèn)題的方法.

經(jīng)典?考題?賞析

【例1】若的三邊分別為4,X,9,則x的取值范圍是,周長(zhǎng)/的取值范圍是;

當(dāng)周長(zhǎng)為奇數(shù)時(shí)，x=.

【解法指導(dǎo)】運(yùn)用三角形三邊關(guān)系，即第三邊小于兩邊之和而大于兩邊之差故5Vx<13,18</<26；周長(zhǎng)為

19時(shí)，x=6,周長(zhǎng)為21時(shí)，x=8,周長(zhǎng)為23時(shí)，x=10,周長(zhǎng)為25時(shí)，x=12,

【變式題組】

01.若△ABC的三邊分別為4,X,9,且9為最長(zhǎng)邊，則x的取值范圍是,周長(zhǎng)/的取值范圍是.

02.設(shè)△ABC三邊為a，b,c的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，且a<b<c,a+b+c=13,則以a,b,c為邊的三角形,共有

個(gè).

03.用9根同樣長(zhǎng)的火柴棒在桌面上擺一個(gè)三角形（不許折斷）并全部用完，能擺出不同形狀的三角形個(gè)數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.4

【例2】已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為18cm,周長(zhǎng)為58cm,試求三角形三邊的長(zhǎng).

【解法指導(dǎo)】對(duì)等腰三角形，題目沒(méi)有交代底邊和腰，要給予討論.當(dāng)

18cm為腰時(shí)，底邊為58-18x2=22,則三邊為18,18,22.當(dāng)18cm為底

邊時(shí)，腰為------=20,則三邊為20,20,18.此兩種情況都符合兩邊之

2

和大于第三邊.

解：18cm,18cm,22cm或18cm,20,20cm.

【變式題組】

01.已知等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為6cm,12cm,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（

A.24cmB.30cmC.24cm或30cmD.18cm

02.己知三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm和9cm,則下列長(zhǎng)度的四條線(xiàn)段中能作為第三條邊的是（）

A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm

03.等腰三角形一腰上的中線(xiàn)把這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)分成12和10兩部分，則此等腰三角形的腰長(zhǎng)為.

【例3】如圖AD是△ABC的中線(xiàn)，DE是△ADC的中線(xiàn)，EF是△￡>￡（：的中線(xiàn)，F(xiàn)G是△￡W的中線(xiàn)，若S&GFC=

2

1cm,則SAABC=-

【解法指導(dǎo)】中線(xiàn)將原三角形面積一分為二，由FG為的中線(xiàn)，知SAEFC=2SAGFC=2.又由EF為△DEC中線(xiàn),

OEC=25AEFC=4.同理SA40c=8,SA^=16.

【變式題組】

01.如圖，已知點(diǎn)。、E、F分別是BC、AD、BE的中點(diǎn)，S^ABC=4,則5&EFC=.

02.如圖，點(diǎn)D是等腰△ABC底邊BC上任意一點(diǎn)，

DEJ_AB于E,于F,若一腰上的高為4cm,則DE+DF=.

03.如圖，己知四邊形A8CD是矩形，點(diǎn)E在BC上，且AE=AD,DF_LAE于F,則DF與AB的數(shù)量關(guān)系

是

【例4】已知，如圖，則NA+NB+NC+ND+/E=.

【解法指導(dǎo)】這是本章的一個(gè)基本圖形，其基本方法為構(gòu)造三角形

或四邊形內(nèi)角和，結(jié)合八字形角的關(guān)系即，NA+N8=/C+ND.

故連結(jié)BC^ZA+ZD=ZDBC+ZACB,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180"

【變式題組】

01.如圖，則/A+N8+/C+NO+/E=_____________.

02.如圖，貝!|NA+NB+/C+N。+NE+NF=______________.

03.如圖，貝U/4+N8+NC+N0+NE+/F=.

（第3題圖）

（第2題圖）

BO、C0分別平分NABC、ZACB.則NBOC=.

【解法指導(dǎo)】這是本章另一個(gè)基本圖形，其結(jié)論為N8OC=，NA+90。.證法如下：NBOC=180。-NOBC—/OCB

2

=180°-—Z/ABC--Z4CB=180°--(180°-Z4)=90°+-Z4.所以N8OC=125".

2222

【變式題組】

01.如圖，ZA=70°,ZS=40",NC=20°,則/8OC=.

（第1題圖）

02.點(diǎn)P、。分別是NA8C、NAC8的三等分線(xiàn)的交點(diǎn)，則NOPC=.

03.如圖，ZO=140",ZP=100",BP、CP分別平分NAB。、AACO,則NA=

【例6】如圖，已知/8=35°,NC=47。，ADLBC,AE平分NBAC,則NEAD=

【解法指導(dǎo)】VZEAD=90°~ZAED=9O°-(ZB+ZBAE)=900-Zfi-y(180°-ZB-

ZC)=90°-ZB-90°+-ZB+-ZC=-(ZC-ZB),故NEAD=6°.

222

【變式題組】

01.（改）如圖，已知N8=39。，ZC=61°,BD±AC,AE平分N8AC,貝Ij/8FE=

（說(shuō)明:原題題、圖不符.由己知得/八=98。,8。，47,則點(diǎn)。在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上.）

02.如圖，在△ABC中，N4C8=40。，A。平分NBAC,/ACB的外角平分線(xiàn)交A。的延長(zhǎng)線(xiàn)

于點(diǎn)P,點(diǎn)尸是BC上一動(dòng)點(diǎn)（F、D不重合），過(guò)點(diǎn)F作EFLBC交于點(diǎn)E,下列結(jié)

論:①NP+NDEF為定值，②ZP-/DEF為定值中，有且只有一個(gè)答案正確，請(qǐng)你作出

判斷，并說(shuō)明理由.

【例7】如圖，在平面內(nèi)將△A8C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A8C,使CU〃A8,

若/8AC=70°,則旋轉(zhuǎn)角a=.

【解法指導(dǎo)】利用平移、旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀這條性質(zhì)來(lái)解題.???CU〃A8,

：.ZCCA=ZCAB=70°,又AC=AC,AZC,AC=180°-2x70°=40°

AB

【變式題組】

01如圖，用等腰直角三角形板畫(huà)/AOB=45。，并將三角板沿。8方向平移到如圖所示的虛線(xiàn)后繞點(diǎn)M逆時(shí)針?lè)较蛐?/p>

轉(zhuǎn)22。，則三角板的斜邊與射線(xiàn)OA的直角a=_________.

（第2題圖）

02.如圖，在平面內(nèi)將△AOB繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角度得到△OAB，，若點(diǎn)A在AB上時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角a=

.(ZAOB=90°,NB=30°)

03.如圖，ZSABE和△ACO是△ABC沿著AB邊，AC邊翻折180。形成的，若N8AC=130。，則Na=,

演練鞏固?反饋提高

01.如圖，圖中三角形的個(gè)數(shù)為（）

A.5個(gè)8.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

02.如果三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不確定

03.有4條線(xiàn)段，長(zhǎng)度分別是4cm,8cm,10cm,12cm,選其中三條組成三角形，可

以組成三角形的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè)8.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

04.下列語(yǔ)句中，正確的是（）

4.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角B.三角形的一個(gè)外角等于這個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角的和

C.三角形的外角中，至少有兩個(gè)鈍角D.三角形的外角中，至少有一個(gè)鈍角

05.若一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則這個(gè)三角形是（）

除直角三角形8.銳角三角形C.鈍角三角形D.無(wú)法確定

06.若一個(gè)三角形的一個(gè)外角大于與它相鄰的內(nèi)角，則這個(gè)三角形是（）

A.直角三角形S.銳角三角形C.鈍角三角形D.無(wú)法確定

07.如果等腰三角形的一邊長(zhǎng)是5cm,另一邊長(zhǎng)是9cm,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是.

08.三角形三條邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且三角形的周長(zhǎng)不大于18,則這個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是.

09.如圖，在△ABC中，乙4=42。，與/C的三等分線(xiàn)，分別交于點(diǎn)。、E,則NBDC的度數(shù)是,

10.如圖，光線(xiàn)/照射到平面鏡上，然后在平面鏡I、II之間來(lái)回反射，已知Na=55,Ny=75。，Z6=

11.如圖，點(diǎn)。、E、F分別是BC、AD.BE的中點(diǎn)，且見(jiàn)雙=1，則九謝=.

12.如圖，已知：Nl=/2,/3=N4,/BAC=63。，則NDAC=.

13.如圖，已知點(diǎn)D、E是BC上的點(diǎn)，HBE=AB,CD=CA,ZDAE=L^BAC,求NBAC

3

的度數(shù)

培優(yōu)升級(jí)?奧賽檢測(cè)

01.在△ABC中，2/A=3N8,且/（7-30。=NA+/8,則△48（7是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.有一個(gè)角是30。的直角三角形D.等腰直角三角形

02.已知三角形的三邊a、b、c的長(zhǎng)都是整數(shù)，且。幼文，如果b=7,則這樣的三角形共有（）

A.21個(gè)8.28個(gè)C.49個(gè)D.54個(gè)

03.在△ABC中，ZA=50°,高BE、CF交于。點(diǎn)，則N8OC=.

04.在等腰△ABC中，一腰上的高與另一腰的夾角為26。，則底角的度數(shù)為.

05.如圖，8P平分NA8C交CD于點(diǎn)F,OP平分/ADC交AB于點(diǎn)E,若NA=40。，ZC=

38。，則/P=.

06.周長(zhǎng)為30,且各邊長(zhǎng)互不相等且都是整數(shù)的三角形有多少個(gè)？

07.設(shè)△ABC三邊a、b、c的長(zhǎng)度均為自然數(shù)，且周長(zhǎng)不大于30,并滿(mǎn)足(。一b)之+仁一c)之+伯-c)?=26,問(wèn)滿(mǎn)足條件

的三角形有多少個(gè)?(注:全等三角形只算一個(gè))

08.在一次數(shù)學(xué)小組活動(dòng)后，小明清理課桌上的三角形模型，經(jīng)清點(diǎn)，共有11個(gè)鈍角，15個(gè)直角，100個(gè)銳角,

于是他把這些數(shù)據(jù)寫(xiě)在"數(shù)學(xué)園地"上征答:"共有多少個(gè)銳角三角形?"你能回答這個(gè)問(wèn)題嗎？

09.現(xiàn)有長(zhǎng)為150cm的鐵絲，要截成n(">2)小段，每段的長(zhǎng)為不小于1cm的整數(shù)，如果其中任意3小段都不能拼

成三角形，試求”的最大值，此時(shí)有幾種方法將該鐵絲截成滿(mǎn)足條件的“段？

10.如圖，在A88中，BE平分/D8c交CD于F,延長(zhǎng)BC至G,CE平分NDCG,且EC、D8的延長(zhǎng)線(xiàn)交于A點(diǎn),

若NA=30°,ZDFE=75°.

⑴求證：ZDFE^ZA+ZD+ZE；

(2)求NE的度數(shù)；

⑶若在上圖中NCBE與NGCE的平分線(xiàn)交于Ei，NCB&與NGC&的平分線(xiàn)交于心，作NCBE?

與/GCE2的平分線(xiàn)J，依次類(lèi)推，NCBE.與/GCE”的平分線(xiàn)交于Em，請(qǐng)用含有"的式子表

示/Em的度數(shù).

11.如圖，已知OA8C是一個(gè)長(zhǎng)方形，其中頂點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為(0,a)和(9,a).點(diǎn)E在AB上，

且點(diǎn)F在。C上，且。F=1OC,點(diǎn)G在。A上，且使△GEC的面積為16,試求

33

a的值.

12.如圖，已知四邊形ABCD中，Z4+ZDCfi=180°,兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后分別交于P、Q兩

點(diǎn)，NP、NQ的平分線(xiàn)交于M,求證PM_LQM.

第2講認(rèn)識(shí)多邊形

考點(diǎn)?方法?破譯

i.了解多邊形的有關(guān)概念，探索并了解多邊形內(nèi)角和和外角和公式.

2.通過(guò)探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個(gè)三角形、四邊形、或正六邊形可以鑲嵌平面，并能進(jìn)

行鑲嵌設(shè)計(jì).

經(jīng)典?考題?賞析

【例1】如圖所示是一個(gè)六邊形.

⑴從頂點(diǎn)A出發(fā)畫(huà)這個(gè)多邊形的所有對(duì)角線(xiàn)，這樣的對(duì)角線(xiàn)有幾條？它們將六邊形分成幾個(gè)三角形？

⑵畫(huà)出此六邊形的所有對(duì)角線(xiàn)，數(shù)一數(shù)共有幾條？

【解法指導(dǎo)】本題主要考查多邊形對(duì)角線(xiàn)的定義，對(duì)于"邊形，從”邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可

引m—3)條對(duì)角線(xiàn)，它們將這n邊形分成m—2)個(gè)三角形，口邊形一共有“(〃一3)條對(duì)角線(xiàn),

2

解乂1)從頂點(diǎn)A出發(fā)，共可畫(huà)三條對(duì)角線(xiàn)，如圖所示，它們分別是AC、AD.AE.將六邊形分成四

個(gè)三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；

⑵六邊形共有9條對(duì)角線(xiàn).

【變式題組】

01.下列圖形中，凸多邊形有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

02.過(guò)m邊形一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線(xiàn)，"邊形沒(méi)有對(duì)角線(xiàn)，k邊形對(duì)角線(xiàn)條數(shù)等于邊數(shù)，則m=_,n=_,k=_.

03.已知多邊形的邊數(shù)恰好是從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)的2倍，則此多邊形的邊數(shù)是.

【例八V—!2]⑴八邊形

的內(nèi)角和是彳亍/\I—7/\多少度？

(2)幾邊I__|乙一\</\\____/形的內(nèi)角和是

八邊形內(nèi)角①②③④⑤和的2倍？

【解法指導(dǎo)】(1)多邊形的內(nèi)角和公式的推導(dǎo)：從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線(xiàn)，可以作(n—3)條對(duì)角線(xiàn)，并且將n

邊形分成("一2)個(gè)三角形，這(n—2)個(gè)三角形內(nèi)角和恰好是多邊形內(nèi)角和，等于(n—2)180°；

⑵內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②己知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù).

解：⑴八邊形的內(nèi)角和為(8—2)'180°=1080°；

(2)設(shè)n邊形的內(nèi)角和是八邊形內(nèi)角和的2倍，

則有("一2)xl80°=1080°x2,解得n=14.故十四邊形的內(nèi)角和是八邊形內(nèi)角和的2倍.

【變式題組】

01.已知n邊形的內(nèi)角和為2160°,求n邊形的邊數(shù).

02.如果一個(gè)正多邊的一個(gè)內(nèi)角是108°,則這個(gè)多邊形是()

A.正方形B.正五邊形C.正六邊形D.正七邊形

03.已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是()

A.8B.7C.6D.5

04.如圖，Nl、N2、N3、/4是五邊形A8CDE的外角，且Nl=N2=N3=/4=70°,則/AED的度數(shù)為（）

A.1100B.1080C.1050D.100°

5.當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加1時(shí)，它的內(nèi)角和與外角和()人都不變

B.內(nèi)角和增加180°,外角和不變C.內(nèi)角和增加180°,外角和減少180°D.都增加180°

【例3】一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，每爬行5cm便左轉(zhuǎn)60°,則這只螞蟻需要爬行多少路程才能回到點(diǎn)A?

解：螞蟻爬行的路程構(gòu)成一個(gè)正多邊形，其路程就是這個(gè)正多邊形的周長(zhǎng)，根據(jù)已知可得這個(gè)正多邊形的每個(gè)

外角均為60°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為理21=6.所以這只螞蟻需要爬行5、6=30匕〃)才能回到點(diǎn)4

60°

【解法指導(dǎo)】多邊形的外角和為360°.

(1)多邊形的外角和恒等于360°,它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).

(2)多邊形的外角和的推導(dǎo)方法：由于多邊形的每個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，所以"邊形內(nèi)角和加外角和

等于180°-n,外角和等于/?-180°-(n-2)-180°=360°.

(3)多邊的外角和為什么等于360°,還可以這樣理解：從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過(guò)各頂點(diǎn),

再回到點(diǎn)4然后轉(zhuǎn)向出發(fā)點(diǎn)時(shí)的方向，在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和就是多邊形的外角和，由于走了一周，所轉(zhuǎn)的

各個(gè)角的和等于一個(gè)周角，所以多邊形的外角和等于360°

（4）多邊形的外角和為360°的作用：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②1

己知多邊形邊數(shù)，求各相等外角的度數(shù).心胃5J

［變式題組］X

01.（無(wú)錫）八邊形的內(nèi)角和為_(kāi)____.度./------------\J/

02.如圖所示，已知△ABC中，ZZ\=40°,剪去/A后成四邊形，則Nl+/2=_（第2題圖）（第4題圖）

03.（資陽(yáng)）"（n為整數(shù)，且"23）邊形的內(nèi)角和比（n+1）邊形的內(nèi)角和少—度.

04.（株洲）如圖所示，小明在操場(chǎng)上從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線(xiàn)前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)40°,再沿直線(xiàn)前進(jìn)10米后，又向左

轉(zhuǎn)40°..照這樣下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了米.

【例4】已知兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1800°,且兩多邊形的邊數(shù)之比為2:5,求這兩個(gè)多邊形的邊數(shù).

【解法指導(dǎo)】?jī)蓚€(gè)多邊形的邊數(shù)之比為2:5,可設(shè)兩個(gè)多邊形的邊數(shù)為2x和5x,利用多邊形的內(nèi)角可列方程.

解：設(shè)這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別是2x和5x,則由多邊形內(nèi)角和定理可得:

(2x-2)-18O°+(5x-2)-18O°=18OO0,解得x=2,；.2x=4,5x=10,

故這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別為4和10.

【變式題組】

01.一個(gè)多邊形除去一個(gè)角后，其余各內(nèi)角的和為2210°,這個(gè)多邊形是

02.若一個(gè)多邊形的外角和是其內(nèi)角和的2,則此多邊形的邊數(shù)為

5

03.每一個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形，它的一個(gè)外角等于一個(gè)內(nèi)角的2,則這個(gè)多邊形是（）

3

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

04.內(nèi)角和與其外角和相等的多邊形是

【例5】某人到瓷磚商店去購(gòu)買(mǎi)一種多邊形瓷磚，用來(lái)鋪設(shè)無(wú)縫地面，他購(gòu)買(mǎi)的瓷磚不可以是（）

A.正三角形B.長(zhǎng)方形C.正八邊形D.正六邊形

【解法指導(dǎo)】根據(jù)平面鑲嵌的定義可知：在一個(gè)頂點(diǎn)處各多邊形的內(nèi)角和為360°,由于正三角形、長(zhǎng)方形、正

六邊形的內(nèi)角都是360°的約數(shù)，因此它們可以用來(lái)完成平面鑲嵌，而正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為135°,不是360°的約

數(shù)，所以正八邊形不能把平面鑲嵌.解：選C.

【變式題組】

01.用一種如下形狀的地磚，不能把地面鋪成既無(wú)縫隙，又不重疊的是（）

A.正三角形B.正方形C.長(zhǎng)方形D.正五邊形

02.小明家裝修房屋，用同樣的正多邊形瓷磚鋪地，頂點(diǎn)連著頂點(diǎn)，要鋪滿(mǎn)地面而不重疊，瓷磚的形狀可能有（）

A.正三角形、正方形、正六邊形8.正三角形、正方形、正五邊形

C.正方形、正五邊形D.正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形

03.只用下列正多邊形?能作平面鑲嵌的是（）

A.正五邊形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

04.（晉江市）如圖，將一張正方形紙片剪成四個(gè)小正方形，得到4個(gè)小正方形，稱(chēng)為第一次操

作；然后將其中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得7個(gè)小正方形，稱(chēng)為第二次操作；再將

其中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到10個(gè)小正方形，稱(chēng)為第三次操作；根據(jù)以

上操作，若要得到2011個(gè)小正方形，則需要操作的次數(shù)是（）

A.669B.670C.671D.672

【例6】有一個(gè)十一邊形，它由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形無(wú)重疊、無(wú)

間隙地拼成，求此十一邊形各內(nèi)角的大小，并畫(huà)出圖形.

【解法指導(dǎo)】正三角形的每個(gè)內(nèi)角為60°,正方形的每個(gè)內(nèi)角為90°,它們無(wú)重疊、無(wú)間隙可拼

成60°、90°、120°、150°四種角度，根據(jù)十一邊形內(nèi)角和即可判斷每種角的個(gè)數(shù).

解：因?yàn)檎切魏驼叫蔚膬?nèi)角分別為60°、90°,由此可拼成60°、90°、120°、150°四種角

度，H■?一邊形內(nèi)角和為（n-2）xl80°=（ll-2）xl80°=1620°.

因?yàn)?20°xll<1620°<150°xll,所以這個(gè)H^一邊形的內(nèi)角只有120°和150°兩種.設(shè)120°的角有m個(gè)，150°的

角有n個(gè)，則有120°m+150%=1620°,即4m+5n=54此方程有唯一正整數(shù)解［加=1,所以這個(gè)H"一邊形內(nèi)角中有

1/!=1O

1個(gè)角為120°,10個(gè)角為150°,此H■-一邊形如圖所示.

【變式題組】

01.如圖是某廣場(chǎng)地面的一部分，地面的中央是一塊正六邊形的地磚，周?chē)谜切魏驼叫蔚拇罄硎u鑲嵌，

從里向外共鋪了12層（不包括中央的正六邊形地磚），每一層的外邊界都圍成一個(gè)正多邊形，若中央正六邊形

的地磚邊長(zhǎng)為0.5m,則第12層的外邊界所圍成的多邊形的周長(zhǎng)是.

02.小明的書(shū)房地面為210cmx300cm的長(zhǎng)方形，若僅從方便平面鑲嵌的角度出發(fā)，最適宜選用的地磚規(guī)格為（）

A.30cmx30cm的正方形，B.50cmx50cm的正方形，

C.60cmx60cm的正方形，D.120cmxl20cm的正方形，

03.正m邊形、正n邊形及正p邊形各取一個(gè)內(nèi)角，其和為360°,求,+'+!的值.

mnp

演練鞏固?反饋提高

01.在一個(gè)頂點(diǎn)處，若正0邊形的幾個(gè)內(nèi)角的和為,則此正"邊形可鋪滿(mǎn)地面，沒(méi)有空隙.

02.（宜昌市）如圖，用同樣規(guī)格的黑白兩種正方形瓷磚鋪設(shè)正方形地面，觀(guān)察圖形并猜想填空：當(dāng)黑色瓷磚為20

塊時(shí)，白色瓷磚為塊，當(dāng)白色瓷磚為/（"為正整數(shù)）塊時(shí)，黑色瓷磚為塊.

03.（嘉峪關(guān)）用黑白兩種顏色的正六邊形地板磚按圖所示的規(guī)律拼成如下若干地板圖案：則第

n個(gè)圖案中白色的地板磚有塊.

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)

04.如圖所示的圖案是由正六邊形密鋪而成，黑色正六邊形周?chē)牡谝粚佑辛鶄€(gè)白色正六邊形，則第n層有

個(gè)白色正六邊形.

05.如果只用一種正多邊形作平面鑲嵌,而且在每一個(gè)正多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)加?個(gè)正多邊形，則該正多邊

形的邊數(shù)為（）43B.4C.5D.6

06.下列不能鑲嵌的正多邊組合是（）

人正三角形與正六邊形B.正方形與正六邊形C.正三角形與正方形

五邊形與正十邊形

07.用兩種以上的正多邊形鑲嵌必須具備的條件是（）

人邊長(zhǎng)相同B.在每一點(diǎn)的交接處各多邊形的內(nèi)角和為180°

C.邊長(zhǎng)之間互為整數(shù)倍D.在每一點(diǎn)的交接處各多邊形的內(nèi)角和為360°,且邊長(zhǎng)相等

08.（荊門(mén)市）用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起且相交于一點(diǎn)的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)都是8,

則第三塊木板的邊數(shù)是（）44B.5C.6D.8

09.［自貢（課改）］張珊的父母打算購(gòu)買(mǎi)形狀和大小都相同的正多邊形瓷磚來(lái)鋪衛(wèi)生間的地面，張珊特意提醒父母，為

了保證鋪地面時(shí)既沒(méi)縫隙、又不重疊，所購(gòu)瓷磚形狀不能是（）

人正三角形B.正方形C.正六邊形D.正八邊形

10.我們常常見(jiàn)到如圖所示那樣圖案的地板，它們分別是由正方形、等邊三角形的材料鋪成的,

⑴為什么用這樣形狀的材料能鋪成平整、無(wú)空隙的地板？

（2）你想一想能否用一些全等的任意四邊形或不等邊三角形鑲嵌成地板，請(qǐng)畫(huà)出圖形.

某單位的地板由三種各角相等、各邊也相等的多邊形鋪成，假設(shè)它們的邊數(shù)為x、y、z,你能找出之間

有何種數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.黑色正三角形與白色正六邊形的邊長(zhǎng)相等，用它們鑲嵌圖案，方法如下：

白色正六邊形分上下兩行，上面一行的正六邊形個(gè)數(shù)比下面一行少一個(gè)，

正六邊形之間的空隙用黑色的正三角形嵌滿(mǎn)，按第1,2,3個(gè)圖案［如圖（1）、

（2）、⑶）規(guī)律依次下去，則第n個(gè)圖案中黑色正三角形和白色正六邊形的個(gè)數(shù)分別是（

A.n2+n+2,2n+lB.2n+2,2n+lC.4n,n2—n+3D.4n,2n+l

培優(yōu)升級(jí)?奧賽檢測(cè)

01.在一個(gè)多邊形中，除了兩個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為2002°,

則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（)

A.12B.12或13C.14D.14或15

02.有一個(gè)邊長(zhǎng)為4m的正六邊形客廳，用邊長(zhǎng)為50cm的正三角形瓷磚鋪滿(mǎn)，則需要這種瓷磚（）

A.216塊B.288塊C.384塊D.512塊

03.如圖，/A+/8+/C+ND+/E+NF+/G的度數(shù)等于（）4360°B.450°C.540°D.720°

04.從凸n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的所有對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)凸“邊形分成了m個(gè)小三角形，若m等于這個(gè)凸n邊形對(duì)角

4

線(xiàn)條數(shù)的一，那么此n邊形的內(nèi)角和為.

05.如圖，已知DC〃AB,ZBAE=ZBCD,AEA.DE,ZD=130°,求/8的度數(shù).

06.如圖，小亮從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線(xiàn)前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)30°,再沿直線(xiàn)前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)30°....，照這樣下

去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了米.

07.如圖，兩直線(xiàn)48、CD平行，則Nl+N2+N3+N4+/5+/6=（）

A.6300B.7200C.8000D.900°

08.將一個(gè)寬度相等且足夠長(zhǎng)的紙條打開(kāi)個(gè)結(jié)，如（1）,然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖（2）所示的正五邊形，

ABCDE,其中N8AC=.

09.矩形ABCD的邊長(zhǎng)為16,寬為12,沿著對(duì)角線(xiàn)BD剪開(kāi)，得到兩個(gè)三角形，將這兩個(gè)三角形拼出各種凸四邊形,

設(shè)這些四邊形中周長(zhǎng)最大為m,周長(zhǎng)最小為"，則的值為（）

A.120B.128C.136D.144

10.對(duì)正方形A8CD分劃如圖①，其中E、F分別是8C、C。的中點(diǎn)，M、N、G

分別是OB、OD、EF的中點(diǎn)，沿分劃線(xiàn)可以剪出一副由七塊部件組成的"七巧/f

板"彳小'

（1）如果設(shè)正方形。GFN的邊長(zhǎng)為1,這七塊部件的各塊長(zhǎng)中，從小到大的四（n（2）

個(gè)不同值分別為1、X1、X2、X3，那么Xi=—;各內(nèi)角中最小內(nèi)角是一

度，最大內(nèi)角是_度；用它們拼成一個(gè)五邊形如圖②，其面積是_.

（2）請(qǐng)用這塊七巧板，既不留下一絲空白，又不相互重疊，拼出兩種邊數(shù)不同的凸多邊形，畫(huà)在下面格點(diǎn)圖中，

并使凸多邊形的頂點(diǎn)落在格點(diǎn)圖的小黑點(diǎn)上（格點(diǎn)圖中上下左右相鄰兩點(diǎn)距離都為1）.

⑶某合作學(xué)習(xí)小組在玩七巧板時(shí)發(fā)現(xiàn)："七巧板拼成的多邊形，其邊數(shù)不能超過(guò)8".你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確嗎？請(qǐng)

說(shuō)明理由.

1L（方案設(shè)計(jì)題）我們常見(jiàn)到如圖的圖案地面，它們分別是全

用正方形或全用正六邊形形狀的材料鋪成的，這樣的材料

能鋪成平整、無(wú)空隙的地面.

D

（1）你能不能另外想一個(gè)用一種多邊形（不一定是正多邊形）（第加國(guó)）（第5區(qū)圖）（第6原圖）（第一曼圖）

的材料鋪地的方案，把你想到的方案畫(huà)成草圖；

⑵請(qǐng)你再畫(huà)一個(gè)用兩種不同正多邊形材料鋪地的草圖.

12.（俄羅斯薩溫布競(jìng)賽題）如圖，在凸六邊形ABCDEF中，已知

Z4+ZB+ZC=ZD+ZF+ZF成立，試證明：該六邊形必有兩條對(duì)

邊是平行的.

第3講全等三角形的性質(zhì)與判定

考點(diǎn)?方法?破譯

1.能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同；

2.全等三角形性質(zhì)：①全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；②全等三角形對(duì)應(yīng)高、角平分線(xiàn)、中線(xiàn)相等；③全等三角形對(duì)應(yīng)周

長(zhǎng)相等，面積相等：

3.全等三角形判定方法有：S45,AS4AA5,SSS,對(duì)于兩個(gè)直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，還有法；

4.證明兩個(gè)三角形全等的關(guān)鍵，就是證明兩個(gè)三角形滿(mǎn)足判定方法中的三個(gè)條件，具體分析步驟是先找出兩個(gè)三角形中相等的邊

或角，再根據(jù)選定的判定方法，確定還需要證明哪些相等的邊或角，再設(shè)法對(duì)它們進(jìn)行證明：

5..證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)條件，有時(shí)能直接進(jìn)行證明，有時(shí)要證的兩個(gè)三角形并不全等，這時(shí)需要添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三

角形，構(gòu)造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、等倍延長(zhǎng)線(xiàn)中線(xiàn)、截取等等.

經(jīng)典?考題?賞析

【例1】如圖，AB//EF//DC,ZABC=90°,AB=CD,那么圖中有全等三角形（）

A.5對(duì)B.4對(duì)C.3對(duì)D.2對(duì)4D

【解法指導(dǎo)】從題設(shè)題設(shè)條件出發(fā)，首先找到比較明顯的一對(duì)全等三角形，并由此卜、E/

推出結(jié)論作為下面有用的條件，從而推出第二對(duì)，第三對(duì)全等三角形.這種逐步推進(jìn)的

方法常用到.

解：⑴；AB〃EF〃DC,/A8C=90.：.ZDCB=90.BFC

在△ABC和△￡?中

AB=DC

</ABC=/DCB/.A4BC^ADCB（SAS）

BC=CB

⑵在aABE和△DCE中

"NA=NO

<ZAED=ADEC：./\ABE^：.ADCE：.BE=CE

AB=DC

（3）在Rt/^EFB和RtAEFC中

'BE-CE

<：.Rt/\EFB^Rt/\EFC（HL）故選C.

EF=EF

【變式題組】

01.（天津）下列判斷中錯(cuò)誤的是（）

A.有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B.有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

C.有兩邊和其中一邊上的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D.有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等

02.（麗水）已知命題：如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線(xiàn)上，且AD=8E,ZA

=NFDE,則△ABC絲ZiDEF.判斷這個(gè)命題是真命題還是假命題，如果是真命

題，請(qǐng)給出證明；如果是假命題，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)條件使它成為真命題，并

加以證明.z

03.已知線(xiàn)段AC與BD相交于點(diǎn)。，連接A8、DC,E為。B的中點(diǎn)，F(xiàn)為。C的中

點(diǎn)，連接EF（如圖所示）.

⑴添加條件NA=N。，ZOEF=ZOFE,求證：AB=DC；

⑵分別將"NA=N。"記為①，"NOEF=NOFE”記為②，"A8=DC”記為③，

添加①、③，以②為結(jié)論構(gòu)成命題1;添加條件②、③，以①為結(jié)論構(gòu)成命題

2.命題1是_一命題，命題2是命題（選擇“真”或“假”填入空格）.

【例2】已知AB=DC,AE=DF,CF=FB.求證：AF=DE.

【解法指導(dǎo)】想證AF=DE,首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和中，而DE在△CDE和4

DEF中，因而只需證明△AB3Z\OCE或△AEFg/WFE即可.然后再根據(jù)已知條件找出證明它們?nèi)鹊臈l件.

證明："：FB=CE：.FB+EF=CE+EF,即BE=CF.c

CEB

AB=DC

在^ABE和△比「中，\AE^DF

BE=CF

：.Z\ABE^/\DCF(SSS):.NB=/C

AB=DC

在AABF和4006中，:NB=/C/\ABF^/\DCE：.AF=DE

BF=CE

【變式題組】

01.如圖，AD.BE是銳角△ABC的高，相交于點(diǎn)。，若8O=AC,BC=7,CD=2,則4。的長(zhǎng)為()

A.2B.3C.4D.5

第1題圖第2題圖

02.如圖，在△ABC中，AB=AC,N8AC=90。，AE是過(guò)A點(diǎn)的一條直線(xiàn)，AE_LCE于E,8O_LAE于D,DE=4cm,CE

=2cm,貝!IBD=.

03.（北京）已知：如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CD_LA8于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AC上，CE=BC,過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線(xiàn)，

交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.求證：AB=FC.

【例3】如圖①，△ABg△DEF,將△A8C和△DEF的頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)E重合，把△如下繞點(diǎn)8順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，

這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)。.

⑴當(dāng)ADEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點(diǎn)B（E）、C、。在同一直線(xiàn)上時(shí)，NAFD與NDCA的數(shù)量關(guān)系是;

⑵當(dāng)△￡）￡「繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時(shí)，⑴中的結(jié)論成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

8(F)

圖①圖②

圖③

【解法指導(dǎo)】⑴/AFD=/DCA

(2)ZAFD=ZDCA理由如下：由△ABCg/^OEF,：.AB=DE,BC=EF,ZABC=ZDEF,ZBAC=ZEDF：.ZABC

-ZFBC=ZDEF-ZCBF,：.ZABF=ADEC

AB=DE

在aABF和△DEC中,

NABF=NDEC

BF=EC

：./\ABF注ADECNBAF=/DEC：.ZBAC-ZBAF^ZEDF-ZEDC,：.ZFAC=/CDFVZAOD^ZFAC+Z

AFD^ZCDF+ZDCA,：.ZAFD^ZDCA

【變式題組】

01.（紹興）如圖，D、E分別為aABC的AC、BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處.

若/CDE=48。，則/APD等于（）

A.42°B.48°C.52°D.58°

02.如圖，RtZXABC沿直角邊8c所在的直線(xiàn)向右平移得到△口",下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A./\ABC出ADEFB.NDEF=90°C.AC=DFD.EC=CF

03.一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線(xiàn)剪開(kāi)，得到兩種三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下圖形式，使點(diǎn)8、F、C、

。在同一條直線(xiàn)上.

⑴求證：ABLEDt

⑵若P8=8C,找出圖中與此條件有關(guān)的一對(duì)全等三角形，并證明.

【例4】（第21屆江蘇競(jìng)賽試題）已知，如圖，BD、CE分別是△A8C的邊AC和43邊上的高，點(diǎn)P在B。的

延長(zhǎng)線(xiàn)，BP=AC,點(diǎn)Q在CE上，CQ=A8.求證：⑴AP=AQ；（2）AP_LAQ

【解法指導(dǎo)】證明線(xiàn)段或角相等，也就是證線(xiàn)段或角所在的兩三角形全等.經(jīng)觀(guān)察，證AP=AQ,也就是證AAPD

和△AQE,或△APB和△QAC全等，由已知條件8P=AC,CQ=AB,應(yīng)該證△AP8之ZXQAC,已具備兩組邊對(duì)應(yīng)相等，

于是再證夾角即可.證AP_LAQ,即證NR4Q=90。，NQAC=9O。就可以.

證明:⑴：BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高，

/8DA=/CEA=90°,

：.Z1+ZBAD^9O°,Z2+ZB4D=90",二/l=/2.

AB=QC

在△APB和△QAC中，■Z1=Z2：./\APB^/\QAC,

BP=CA

J.AP^AQ

(2)VA4PS^AQ4C,：.ZP^ZCAQ,，/P+/PAD=9O°

VZC4Q+ZR4D=90°,J.AP1.AQ

【變式題組】

01.如圖，已知AB=AE,NB=NE,BA=ED,點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：AFLCD.E

02.（湖州市競(jìng)賽試題）如圖，在一個(gè)房間內(nèi)有一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直￡￡得ft件為此時(shí)

梯子的傾斜角為75。，如果梯子底端不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面的墻上，此時(shí)梯子頂端距地面的垂直距離N8為bm,

梯子傾斜角為45。，這間房子的寬度是（）

a+ba-h

A.--------mB.--------mC.bmD.am

22

03.