考點41用樣本估計總體-高考全攻略之2019年高考數(shù)學(xué)（文）考點一遍過含解析

考點41用樣本估計總體

考擁雇次

用樣本估計總體

（1）了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各

自的特點.

（2）理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差.

（3）能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并給出合理的解釋.

（4）會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本

估計總體的思想.

（5）會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.

蛤知識整鄉(xiāng)

一、數(shù)字特征

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖

眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小長方形底邊中點的橫坐標

將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積相

中位數(shù)

一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）等的分界線與X軸交點的橫坐標

每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點

平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)

的橫坐標之和

2.極差、方差和標準差

極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.

方差：.1=L(王一如2+(/一制2++(七一元)2].

n

222

標準差：S-J—[(^-%)+(%2-X)++(%n-X)].

Vn

注：平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，方差和標準差反映了數(shù)據(jù)波動程度的大小.標準差、方差越大,

數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.

3.性質(zhì)

(1)若X],%2，,x"的平均數(shù)為無，那么/wq+4,儂2+。，，初的平均數(shù)為〃沅

(2)數(shù)據(jù)看,尤2，，尤“與數(shù)據(jù)引'=王+。,％2'=%2+。，，七'=七+。的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后

方差不變.

(3)若大,工2，,x”的方差為￡那么叼+仇仁+仇，依“+〃的方差為a2s2.

二、莖葉圖

1.定義

莖葉圖是統(tǒng)計中用來表示數(shù)據(jù)的一種圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù).

2.表示方法

(1)對于樣本數(shù)據(jù)較少，且分布較為集中的一組數(shù)據(jù)：若數(shù)據(jù)是兩位整數(shù)，則將十位數(shù)字作莖，個位數(shù)

字作葉；若數(shù)據(jù)是三位整數(shù)，則將百位、十位數(shù)字作莖，個位數(shù)字作葉.樣本數(shù)據(jù)為小數(shù)時做類似處理.

(2)對于樣本數(shù)據(jù)較少，且分布較為集中的兩組數(shù)據(jù)，關(guān)鍵是找到兩組數(shù)據(jù)共有的莖.

三、統(tǒng)計表

1.頻率分布直方圖

(1)畫頻率分布直方圖的步驟

①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；

②決定組距與組數(shù)；

③將數(shù)據(jù)分組；

④列頻率分布表；

⑤畫頻率分布直方圖(以橫軸表示樣本分組，縱軸表示頻率與組距的比值).

(2)頻率分布直方圖的性質(zhì)

①落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，且各小長方形的面積的和等于1.

②頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系

a.最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；

b.中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

c.平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底

邊中點的橫坐標之和.

2.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.

(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越

接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

3.各種統(tǒng)計表的優(yōu)點與不足

優(yōu)點不足

頻率分布

表示數(shù)據(jù)較確切分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不方便

表

頻率分布

表示數(shù)據(jù)分布情況非常直觀原有的具體數(shù)據(jù)信息被抹掉了

直方圖

頻率分布

能反映數(shù)據(jù)的變化趨勢不能顯示原有數(shù)據(jù)

折線圖

一是所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到；

樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，

莖葉圖二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數(shù)據(jù)的

不方便表示數(shù)據(jù)

分布情況

點考向.

考向一數(shù)字特征的應(yīng)用

明確數(shù)字特征的意義：

平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義,

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大小.

典例引領(lǐng)

典例1某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85

分的有4人，得80分和75分的各1人，則該小組數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別為

A.85,85,85B.87,85,86

C.87,85,85D.87,85,90

【答案】C

100+95+90x2+85x4+80+75

【解析】平均數(shù)==87分，眾數(shù)為85,中位數(shù)為85.故選C.

10

變式拓展

1.若一組數(shù)據(jù)與片2,…，4的方差為］,則2H+4,2々+4,-,2xn+4的方差為

A.1B.2

C.4D.8

2.已知一組數(shù)據(jù)3,5,7,x,10的平均數(shù)為6,則這組數(shù)據(jù)的方差為

A.—33B.6

5

C.—D.5

5

考向二莖葉圖的應(yīng)用

莖葉圖的優(yōu)、缺點：

由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類似.它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一

點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失；第二點是莖葉圖便于記錄和表示，其缺點是當樣本

容量較大時，作圖較繁瑣.

典例引領(lǐng)

典例2為了J'解某校教師使用多媒體進行教學(xué)的情況，采用簡單隨機抽樣的方法，從該校400名授課教師

中抽取20名，調(diào)查了他們上學(xué)期使用多媒體進行教學(xué)的次數(shù)，結(jié)果用莖葉圖表示，如圖所示.

079

133567

2124588

30147

4112

據(jù)此可估計上學(xué)期該校400名教師中，使用多媒體進行教學(xué)次數(shù)在［16,30)內(nèi)的人數(shù)為

A.100B.160

C.200D.280

【答案】B

【解析】由莖葉圖，可知在20名教師中，上學(xué)期使用多媒體進行教學(xué)的次數(shù)在口6,3Q)內(nèi)的人數(shù)為8,據(jù)此

可以估計400名教師中，使用多媒體進行教學(xué)的次數(shù)在［16,30)內(nèi)的人數(shù)為400x^=160.

變式拓展

3.一次數(shù)學(xué)考試后，某老師從自己所帶的兩個班級中各抽取6人，記錄他們的考試成績，得到如圖所示的

莖葉圖.已知甲班6名同學(xué)成績的平均數(shù)為82,乙班6名同學(xué)成績的中位數(shù)為77,則x-y=

C.4I).-4

考向三頻率分布直方圖的應(yīng)用

頻率分布直方圖是用樣本估計總體的一種重要方法，是高考命題的一個熱點，多以選擇題或填空題的形式

呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題，且主要有以下幾個命題角度：

(1)已知頻率分布直方圖中的部分數(shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù).可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關(guān)

系，利用頻率和等于1就可求出其他數(shù)據(jù).

(2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù).可利用圖形及某范圍結(jié)合求解.

(3)與概率有關(guān)的綜合問題，可先求出頻率，再利用古典概型等知識求解.

典例引領(lǐng)

典例3某商店為調(diào)查進店顧客的消費水平，調(diào)整營銷思路，統(tǒng)計了一個月來進店的2000名顧客的消費金

額(單位:元)，并從中隨機抽取了100名顧客的消費金額按[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],

(200,250]進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知a,6,。成等差數(shù)列，則該商店這一個月來消費

金額超過150元的顧客數(shù)量約為

A.600

C.60D.300

【答案】A

【解析】因為成等差數(shù)列，所以

由頻率分布直方圖可得o-A-—(G002Y_006)=0912所以W).OO4.

故消費金額超過150元的頻率為(八立0026卻=03

故該商店這一個月來消費金額超過150元的顧客數(shù)蚩約為2000x0.3=600.故選A.

變式拓展

4.200輛載著某炮兵團士兵的汽車急赴某地抗洪搶險,如圖是汽車途經(jīng)某大橋時的速度的頻率分布直方圖,

則這200輛汽車的速度的中位數(shù)的估計值為

C.63.5D.65

典例引領(lǐng)

典例4為了增強學(xué)生的環(huán)保意識，某中學(xué)隨機抽取了50名學(xué)生舉行了一次環(huán)保知識競賽，并將本次競賽

的成績（得分均為整數(shù)，滿分100分）進行整理，制成下表：

成績[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)231415124

（1）作出被抽查學(xué)生成績的頻率分布直方圖；

（2）若從成績在［40,50）中選1名學(xué)生，從成績在［90,100］中選2名學(xué)生，共3名學(xué)生召開座談會，求

［40,50）組中學(xué)生4和［90,100］組中學(xué)生4同時被選中的概率.

【解析】（1）由題意可知，各組頻率分別為0.04，0.06,0.28,0.30,0.24,0.08,所以圖中各組的縱坐標分

別為：0.004,0.006,0.028,0.030,0.024,0.008,則被抽查學(xué)生成績的頻率分布直方圖如圖所示：

頻率

m.

0.030

0.028

0.026

0.024

().022

0.020

0.018

0.016

0.014

().012

().01()

0.008

O.(X)6

0.004

().(X)2

4060708090100成績/分

（2）記［40,50）組中的學(xué)生為4,4,［90,100］組中的學(xué)生為兒&,B\,4和5同時被選中記為事

件M.

由題意可得，全部的基本事件為：

4氏氏，A\BzBx,A、BB,42為與，AzBiBs,AiB\B\,A2B2員,A,zBzB、,AiBsB\,共12個,

事件財包含的基本事件為：45區(qū)，小BB,A】BB,共3個，

31

所以學(xué)生4和8同時被選中的概率為PG1）=—=-

變式拓展

5.己知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內(nèi)，每售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元，未售出的商品，

每1噸虧損0.3萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗，得到一個銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖如圖所

示.已知電商為下一個銷售季度籌備了130噸該商品.現(xiàn)以x（單位：噸，1004x4150）表示下一個

銷售季度的市場需求量，T（單位：萬元）表示該電商下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計一個銷售季度內(nèi)市場需求量x的平均數(shù)與中位數(shù)的大小；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計利潤T不少于57萬元的概率.

、聲點沖關(guān)

1.有下列說法：①一組數(shù)據(jù)不可能有兩個眾數(shù)；②一組數(shù)據(jù)的方差必須是正數(shù)；③將一組數(shù)據(jù)中的每一個

數(shù)據(jù)都加上或減去同一常數(shù)后，方差不變；④在頻率分布直方圖中，每個小長方形的面積等于相應(yīng)小組

的頻率.其中錯誤的有

A.0個B.1個

C.2個D.3個

2.某商場對一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行統(tǒng)計，得到如圖所示的樣本莖葉圖，則該樣本的中位數(shù)和眾數(shù)分

別是

7123368

3124489

455577889

50011234579

A.46,45B.45,46

C.45,451）,47,45

3.某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機抽取40個檢測.如圖是根據(jù)抽樣檢測后零件的質(zhì)量（單位：克）繪

制的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)分8組,分別為［80,82）、［82,84）,［84,86）、［86,88）、［88,90）、

［90,92）、［92,94）、［94,

A.第3組

C.第5組D.第6組

4.在如圖所示的莖葉圖中，有一個數(shù)字模糊不清，但某同學(xué)曾經(jīng)計算得到該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為61,

則模糊不清的數(shù)字為

2015

311?4

423578

A.1B.2

C.3D.4

5.在某次高中數(shù)學(xué)競賽中，隨機抽取90名考生，其分數(shù)如圖所示，若所得分數(shù)的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)

分別為a,b,cf則a,b9c的大小關(guān)系為

A.b<a<c

C.c<a<bD.b<c<a

6.從某小學(xué)隨機抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位:厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若要從身

高在［120,130）,［130,140）,［140,150］三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從

身高在［140,150］內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為

A.2B.3

C.4D.5

m

7.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若它們的中位數(shù)相同,平均數(shù)也相同，則圖中的勿，〃的比值至

甲乙

72n

97713248

j_

A.1B.

3

32

C.一D.

89

8.為普及校園安全知識，某校舉行了由全部學(xué)生參加的校園安全知識考試，從中抽出60名學(xué)生，將其成績分

成六段[40,50),[50,60),…，[90,100]后畫出如圖所示的頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，估計這次考

試的及格率(60分及以上為及格)、平均分分別為

A.75%,71B.80%,85

C.85%,90D.70%,65

9.一個樣本。，3,5,7的平均數(shù)是匕，且a,〃分別是數(shù)列{2"2}(〃eN*)的第2項和第4項，則這個

樣本的方差是

A.3B.4

C.5D.6

10.已知甲、乙兩名籃球運動員進行罰球訓(xùn)練，每人練習(xí)10組，每組罰球40個，甲、乙兩人每組命中個數(shù)的

莖葉圖如圖所示,則下列結(jié)論中錯誤的是

甲乙

809

32113489

76542020113

73

A.甲命中個數(shù)的極差是29B.乙命中個數(shù)的眾數(shù)是21

C.甲的命中率比乙高I).甲命中個數(shù)的中位數(shù)是25

11.某網(wǎng)店在2018年1月的促銷活動中，隨機抽查了100名消費者的消費情況,并記錄了他們的消費金額(單

位:千元)，將數(shù)據(jù)分成6組：(0,1],(1,2],(2,3],(3,4],(4,5],(5,6],整理得到頻率分布直方圖如圖所

3

示.若消費金額不超過3千元的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三,則消費金額超過4千元的人數(shù)為

5

A.12

C.16D.18

12.某市安踏專賣店為了了解某日旅游鞋的銷售情況，抽取了部分顧客所購旅游鞋的尺寸，將所得數(shù)據(jù)整理

后，畫出頻率分布直方圖.已知從左到右前3個小組的頻率之比為1：2：3,第4小組與第5小組的頻率

分布直方圖如圖所示，第2小組的頻數(shù)為10,則第5小組的頻數(shù)是

C.8D.10

13.某次知識競賽中，五個參賽小隊的初始積分都是50,在答題過程中，各小隊每答對一題可使本隊積分增加

5,每答錯--題本隊積分不變,若答題過程中五個小隊答對的題數(shù)分別是4,7,6,2,5,則這五個小隊積分

的方差為.

14.隨著智能手機的普及，網(wǎng)絡(luò)購物越來越受到人們的青睞，某研究性學(xué)習(xí)小組對使用智能手機的利與弊

隨機調(diào)查了10位同學(xué)，得到的滿意度打分如莖葉圖所示.

~567

81379

9345

若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)分別為。/，則。力的大小關(guān)系是.

15.某市為了增加2018屆高三畢業(yè)生對各著名高校的了解,從而調(diào)動他們的學(xué)習(xí)動力,利用2017年暑假組

織部分有意愿的學(xué)生赴部分大學(xué)參加夏令營,各大學(xué)夏令營的天數(shù)都在⑵12］內(nèi)，現(xiàn)從中抽出100名學(xué)

生,統(tǒng)計他們參加夏令營的天數(shù),繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,則這100名學(xué)生中參加夏令營的天

數(shù)在［6,10）的人數(shù)為.

16.為組織好“市九運會”，組委會征集了800名志愿者，現(xiàn)對他們的年齡抽樣統(tǒng)計后,得到如圖所示的頻率

分布直方圖，但是年齡在［25,30）內(nèi)的數(shù)據(jù)不慎丟失,依據(jù)此圖可得：

，頻率/組距

08

07

06

05

04

03

02

—

—

0O1味

20253(354045年齡/歲

（1）年齡在［25,30）內(nèi)對應(yīng)小長方形的高度為；

（2）這800名志愿者中年齡在［25,35）內(nèi)的人數(shù)為.

17.某屆馬拉松招聘志愿者，報名者首先進入筆試,按筆試成績選出參加面試的人員，最后確定入選名單.現(xiàn)

從報名的所有人中按男女比例采用分層抽樣的方式抽取了100名，統(tǒng)計了他們的筆試成績（滿分100分）,

統(tǒng)計結(jié)果見如下所示的頻率分布表,其中分數(shù)在區(qū)間［90,100］內(nèi)的人員直接進入面試階段,若分數(shù)在區(qū)

間［80,90）內(nèi)，則需要進行短期的培訓(xùn)后,再參加第二次筆試,從而確定能否參加面試.

分數(shù)區(qū)間頻數(shù)頻率

[50,60)80.08

[60,70)b

[70,80)420.42

[80,90)a0.26

[90,100]8

合計1001.00

（1）求a與6的值，并作出頻率分布直方圖；

（2）（i）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計這100名人員筆試成績的中位數(shù)（精確到小數(shù)點后1位）；

（ii）分析知，這100名人員在各分數(shù)段內(nèi)的男女比例如下表所示,那么若以頻率分布表中的頻率近似作

為概率,在總共2000名參考人員中，求經(jīng)過第一次考試就可直接進入面試的男女人數(shù)的估計值.

分數(shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男女比例1:13:13：47:63:5

18.隨著科技發(fā)展,手機成了人們?nèi)粘Ｉ钪斜夭豢缮俚耐ㄐ殴ぞ?現(xiàn)在的中學(xué)生幾乎都擁有了屬于自己的

手機了.為了調(diào)查某地區(qū)高中生一周使用手機的頻率,某機構(gòu)隨機調(diào)查了該地區(qū)100名高中生某一周使

用手機的時間（單位:小時），所取樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為。2）、［2,4）、［4,6）、［6,8）、［8,10）、［10,12）,由此

得到如圖所示的頻率分布直方圖.

a

(D求。的值并估計該地區(qū)高中生一周使用手機時間的平均值;

(2)從使用手機時間在［6,8)、［8,10)、［10,12)、［12,14］的四組學(xué)生中，用分層抽樣方法抽取13人,則每層

各應(yīng)抽取多少人?

19.某市為了制定合理的節(jié)電方案,對居民用電情況進行了調(diào)查,通過抽樣,獲得了某年200戶居民每戶的月

均用電量(單位:百千瓦?時)，將數(shù)據(jù)按［0,1),口，2),［2,3),［3,4),［4,5),［5,6),［6,7),［7,8),［8,9)分成9組,制成了

如圖所示的頻率分布直方圖.

a

(1)求直方圖中加的值;

(2)設(shè)該市有100萬戶居民，估計全市每戶居民中月均用電量不低于6百千瓦?時的人數(shù)及每戶居民月均

用電量的中位數(shù)；

(3)政府計劃對月均用電量在4百千瓦?時以下的用戶進行獎勵,月均用電量在［。1)內(nèi)的用戶獎勵20元/

月，月均用電量在口，2)內(nèi)的用戶獎勵10元/月，月均用電量在［2,4)內(nèi)的用戶獎勵2元/月.若該市共有400

萬戶居民，試估計政府執(zhí)行此計劃的年度預(yù)算.

20.某研究小組為了研究某品牌智能手機在正常使用情況下的電池供電時間，分別從該品牌手機的甲、乙

兩種型號中各選取6部進行測試，其結(jié)果如下：

甲種手機供電時間（小時）191821222320

乙種手機供電時間（小時）1817.520232222.5

（1）求甲、乙兩種手機供電時間的平均值與方差，并判斷哪種手機電池質(zhì)量好；

（2）為了進一步研究乙種手機的電池性能，從上述6部乙種手機中隨機抽取2部，求這兩部手機中恰

有一部手機的供電時間大于該種手機供電時間平均值的概率.

21.某城市為了滿足市民出行的需要和節(jié)能環(huán)保的要求，在公共場所提供單車共享服務(wù)，某部門為了對該

城市共享單車進行監(jiān)管，隨機選取了20位市民對共享單車的情況進行問卷調(diào)查，并根據(jù)其滿意度評分

值（滿分100分）制作的莖葉圖如圖所示：

女性男性

553

9862S

89065了1034

72861

69

（1）分別計算男性打分的平均數(shù)和女性打分的中位數(shù)；

（2）從打分在70分以下（不含70分）的市民中抽取3人，求有女性被抽中的概率.

昌通高考%;

1.（2017新課標全國I文科）為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗田.這〃塊地的畝產(chǎn)量（單

位：kg）分別為為，至，…，Xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

A.擊，也，…，x〃的平均數(shù)B.Xi,心…，x〃的標準差

C.%i,必，…，乂的最大值D.小，必，…，x〃的中位數(shù)

2.（2017山東文科）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這兩

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為

A.3,5B.5,5

C.3,7D.5,7

3.（2017新課標全國m文科）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014

年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)

4.（2016新課標全國HI文科）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫

和平均最低氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15°C,B點表示四月的平均最低氣溫

約為5。。下面敘述不正確的是

七月

——平均?低，■——平均?高

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個

5.（2016山東文科）某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布

直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是口7.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,

[25,27.5）,[27.5,30].根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是

A.56B.60

C.120D.140

6.（2018江蘇）已知5位裁判給某運動員打出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分數(shù)的平

均數(shù)為▲.

899

9011

7.（2016上海文科）某次體檢，6位同學(xué)的身高（單位：米）分別為1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（米）.

8.（2018新課標全國I文科）某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m:,）和使用了節(jié)

水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)

頻數(shù)13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)

頻數(shù)151310165

（1）在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

Ji率/組距八

3.4

3.2

3.0

2.8

2.6

2.4

22

2.0

1.8

1.6

L4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

>

00.10.2030.40.50.6日用水量/m?

（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35n?的概率；

（3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組

數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表.）

9.（2018新課標全國HI文科節(jié)選）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)

的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人,

第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單

位：min）繪制了如下莖葉圖：

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由;

（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)相，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過相和不超過機的

工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過〃2不超過機

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

10.（2017新課標全國H文科）海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機

抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻率分布直方圖如下：

（1）記/表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計/的概率；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量250kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.

附：

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

11.（2017北京文科）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的

方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30],[30,40],,[80,

90],并整理得到如下頻率分布直方圖:

頻率

緲巨

（1）從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；

（2）已知樣本中分數(shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)；

（3）已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總

體中男生和女生人數(shù)的比例.

12.（2016新課標全國H文科）某險種的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,

續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)0123425

保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表:

出險次數(shù)0123425

頻數(shù)605030302010

（1）記力為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求一（4）的估計值；

（2）記8為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P（0的估

計值；

（3）求續(xù)保人本年度的平均保費估計值.

13.（2016北京文科）某市居民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過獷立方米的部分按4元/立方

米收費，超出獷立方米的部分按10元/立方米收費.從該市隨機調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某

月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖:

(1)如果獷為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，獷至少

定為多少？

(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，當呼3時，估計該市居民該月的人均水費.

14.(2016四川文科)我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行

了調(diào)查.通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,

1),…，［4,4.5］分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

(1)求直方圖中a的值;

(2)設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由;

(3)估計居民月均用水量的中位數(shù).

參考答案,

變式拓展

1.【答案】C

【解析】若無殳…人的方差為s2,則a%+b,ax2+bt...；ax”+b的方差為。2s2,故可得當孫無〃…，。的

方差為]時，2%+4,2々+4,”?,24+4的方差為22乂1=4,故選為

2.【答案】C

【解析】先根據(jù)平均數(shù)公式求出％再利用方差公式求解.

由題意，得3巧+7打+10=6*5,得產(chǎn)5,

I28

所以這組數(shù)據(jù)的方差(9+1+1+1+16)=彳.

3.【答案】C

72+77+81+80+X+86+90

【解析】由=82,可得尤=6.

~6~

170+y+82__—r/日、

由---------=77>可得>=2,

x-y=6—2=4,故選C.

4.【答案】D

【解析】由頻率分布直方圖知,前兩個小矩形的面積之和為(0.01+0.02)X10=0.3,

02

由于0.5-0.3=0.2,則「一X10=5,

0.4

所以中位數(shù)為60+5=65.故選D.

5.【解析】(1)估計一個銷售季度內(nèi)市場需求量X的平均數(shù)為

x=105x0.1+115x0.2+125x0.3+135x0.25+145x0.15=126.5(噸).

由頻率分布直方圖易知，由于xe[100,120)時，對應(yīng)的頻率為(0.01+0.02)x10=0.3<0.5,而

xe[l00,139時，對應(yīng)的頻率為(O.Ol+0.02+0.03)x10=0.6>0.5，

因此一個銷售季度內(nèi)市場需求量x的中位數(shù)應(yīng)屬于區(qū)間[120,130),

于是估計中位數(shù)應(yīng)為120+(0.5—0.1—02)+0.03*126.7(噸).

(2)當xe[100,130)時，T=0.5x—0.3(130—x)=0.8x—39；

當xw[130,150]時，7=0.5x130=65,

「f0.8x-39,100<x<130

所以，T=\

65,1304尤4150

當xe[100,130）時，由T=0.8x-39257,得120Wx<130；

當xe[130,150]時，T=65257,

所以，利潤7不少于57萬元當且僅當1204x4150,

于是由頻率分布直方圖可知，市場需求量x6[120,150]的頻率為（0.030+0.025+O.Ol3x10=0.7,

所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57萬元的概率的估計值為0.7.

考點沖關(guān)

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1.【答案】C

【解析】對于①，由于一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不唯一，故①錯誤；

對于②，一組數(shù)據(jù)的方差必須是非負數(shù)，故②錯誤；

對于③，根據(jù)方差的定義知③正確；

對于④，根據(jù)頻率分布直方圖中頻率的意義知④正確.

綜上可得①②錯誤.

故選C.

2.【答案】A

【解析】由莖葉圖可知所給數(shù)據(jù)，其中出現(xiàn)最多的是45,共三次，所以為眾數(shù)，將所有數(shù)據(jù)從小到大排

列后，中間兩數(shù)為45,47,故中位數(shù)為46.故本題答案為A.

3.【答案】B

【解析】由圖計算可得前四組的頻數(shù)是22,其中第4組的頻數(shù)為8,故本題正確答案是B.

4.【答案】B

【解析】設(shè)模糊不清的數(shù)字為x,由題意知該組數(shù)據(jù)的極差為48-20=28,所以中位數(shù)為61-28=33,

30+x+34_x

所以25+32=33,解得產(chǎn)2,

即模糊不清的數(shù)字為2.

5.【答案】D

50+60

Q--59c——_________55

【解析】經(jīng)計算得平均值一、&眾數(shù)為b=50,中位數(shù)為2一，故6<c<a,選D.

6.【答案】B

【解析】依題意可得10X(0.0054).01X).02%心035)=1,則a=0.03,

從而身高在高在,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生比例為3：2:1,所以從身高在[140,150]內(nèi)

的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為3+2+1X18=3,故選B.

7.【答案】C

32+34

【解析】由莖葉圖可知乙的中位數(shù)是二一=33,又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，所以m3.

49+44+27

從而甲的平均數(shù)為------------33,

又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，所以北+34+：8+20+2=33,解得戶&