【講與練】高中物理人教版(2019)選擇性必修1：第2章機械振動章末小結(jié)學案

章末小結(jié)一、簡諧運動的兩個模型——彈簧振子和單擺1．彈簧振子彈簧振子是一種忽略摩擦、忽略彈簧質(zhì)量的理想化模型。對于彈簧振子來講，彈簧的勁度系數(shù)確定了，振子的質(zhì)量確定了，其振動的周期和頻率也就確定了。無論是水平放置還是豎直懸掛，T和f均不變，即其周期T和頻率f由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。振動的回復力可能是彈力或重力與彈力的合力，視具體情況而定。2．單擺①構(gòu)成：一條不可伸長、忽略質(zhì)量的細線下端拴一可視為質(zhì)點的小球。②回復力：重力沿圓弧切線方向的分力。③周期：在擺角很小的條件下，單擺的擺動可看成簡諧運動，其周期為T＝2πeq\r(\f(l,g))。T與擺球質(zhì)量、振幅都無關(guān)，稱為單擺的等時性。④應用：測重力加速度g，g＝eq\f(4π2l,T2)。例1(多選)下列說法正確的是(ABD)A．在同一地點，單擺做簡諧振動的周期的平方與其擺長成正比B．彈簧振子做簡諧振動時，振動系統(tǒng)的勢能與動能之和保持不變C．在同一地點，當擺長不變時，擺球質(zhì)量越大，單擺做簡諧振動的周期越小D．系統(tǒng)做穩(wěn)定的受迫振動時，系統(tǒng)振動的頻率等于周期性驅(qū)動力的頻率解析：根據(jù)單擺周期公式：T＝2πeq\r(\f(L,g))可以知道，在同一地點，重力加速度g為定值，故周期的平方與其擺長成正比，故選項A正確；彈簧振子做簡諧振動時，只有動能和勢能參與轉(zhuǎn)化，根據(jù)機械能守恒條件可以知道，振動系統(tǒng)的勢能與動能之和保持不變，故選項B正確；根據(jù)單擺周期公式：T＝2πeq\r(\f(L,g))可以知道，單擺的周期與質(zhì)量無關(guān)，故選項C錯誤；當系統(tǒng)做穩(wěn)定的受迫振動時，系統(tǒng)振動的頻率等于周期性驅(qū)動力的頻率，故選項D正確。二、簡諧運動的往復性、對稱性和周期性1．變化特點：抓住兩條線第一，從中間到兩邊(平衡位置到最大位移)：x↑，F(xiàn)↑，a↑，v↓，動能Ek↓，勢能Ep↑，機械能E不變。第二，從兩邊到中間(最大位移到平衡位置)：x↓，F(xiàn)↓，a↓，v↑，動能Ek↑，勢能Ep↓，機械能E不變。2．運動規(guī)律(1)周期性——簡諧運動的物體經(jīng)過一個周期或幾個周期后，能回到原來的狀態(tài)。(2)對稱性——簡諧運動的物體具有相對平衡位置的對稱性。①速率的對稱性：系統(tǒng)在關(guān)于平衡位置對稱的兩位置具有相等的速率。②加速度(或回復力)的對稱性：系統(tǒng)在關(guān)于平衡位置對稱的兩位置具有等大反向的加速度和回復力。③時間的對稱性：系統(tǒng)通過關(guān)于平衡位置對稱的兩段位移的時間相等。振動過程中通過任意兩點A、B的時間與逆向通過的時間相等。例2(2023·重慶市高三上學期一診)彈簧振子以O(shè)為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動，在t＝0時，振子從O、B間的P點以速度v向B運動，在t1＝0.4s時振子的速度第一次為－v，在t2＝0.6s時振子速度第二次為－v，已知B、C之間的距離為20cm，則彈簧振子的振幅為_10___cm，周期為_1.2__s，振子在0～2.6s內(nèi)通過的路程為_85__cm。解析：因為B、C之間的距離為20cm，則彈簧振子的振幅為10cm；根據(jù)運動的對稱性可得eq\f(T,4)＝eq\f(0.4,2)s＋eq\f(0.2,2)s＝0.3s，則T＝1.2s，2．6s＝2eq\f(1,6)T，振子在0～2.4s內(nèi)通過的路程為8A＝80cm；在以后的eq\f(1,6)T內(nèi)的位移為A－Asin30°＝5cm，則總路程為(80＋5)cm＝85cm。三、振動圖像的應用1．確定振動的振幅如圖所示的振幅是10cm。2．確定振動物體在任意時刻的位移如圖中，對應t1、t2時刻的位移分別為x1＝7cm，x2＝－5cm。3．確定振動的周期和頻率振動圖像上一個完整的正弦(余弦)圖形在時間軸上拉開的“長度”表示周期。由圖可知，OD、AE、BF的間隔都等于振動周期，T＝0.2s，頻率f＝eq\f(1,T)＝5Hz。4．確定各時刻質(zhì)點的振動方向如圖中的t1時刻，質(zhì)點正遠離平衡位置向位移的正方向運動；在t3時刻，質(zhì)點正沿正方向向著平衡位置運動。5．比較各時刻質(zhì)點加速度的大小和方向如圖中t1時刻質(zhì)點位移x1為正，則加速度a1為負；t2時刻質(zhì)點位移x2為負，則加速度a2為正，又因為|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|。例3(2023·山東省日照市高二下學期三校聯(lián)考)如圖所示是甲、乙兩彈簧振子的振動圖像，則可知(B)A．兩彈簧振子振幅相同B．振子的振動頻率之比f甲f乙＝12C．振子乙速度最大時，振子甲速度為零D．兩彈簧振子所受回復力最大值之比F甲F乙＝21解析：由圖可知甲的振幅為10cm，乙的振幅為5cm，故A錯誤；由圖知甲的頻率與乙的頻率之比為12，故B正確；當振子乙到達平衡位置時甲可能到達最大位移處也可能處于平衡位置，故選項C錯誤；因F甲＝k甲A甲，F(xiàn)乙＝k乙A乙，由于k甲和k乙關(guān)系未知，因此無法判斷F甲F乙＝21，所以選項D錯誤。四、用單擺測定重力加速度方法一：公式法根據(jù)公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，g＝eq\f(4π2l,T2)。將測得的幾次周期T和擺長l代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即為當?shù)氐闹亓铀俣鹊闹?。方法二：圖像法由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可得l＝eq\f(g,4π2)T2，因此以擺長l為縱軸，以T2為橫軸作出的l－T2圖像是一條過原點的直線，如圖所示，求出斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝eq\f(l,T2)＝eq\f(Δl,ΔT2)。例4(2022·湖北名校聯(lián)盟高二下學期期中)某實驗小組在利用單擺測定當?shù)刂亓铀俣鹊膶嶒炛校?1)用游標卡尺測定擺球的直徑，測量結(jié)果如圖甲所示，則該擺球的直徑為_0.97__cm。擺動時偏角滿足的條件是偏角小于5°，為了減小測量周期的誤差，計時開始時，擺球應是經(jīng)過最_低__(填“高”或“低”)點的位置，且用停表測量單擺完成多次全振動所用的時間，求出周期。圖乙中停表示數(shù)為一單擺全振動50次所需的時間，則單擺振動周期為_2.05_s__。(2)用最小刻度為1mm的刻度尺測擺長，測量情況如圖丙所示，O為懸掛點，從圖丙中可知單擺的擺長為_0.998_0__m。(3)若用L表示擺長，T表示周期，那么重力加速度的表達式為g＝eq\f(4π2L,T2)。(4)考慮到單擺振動時空氣浮力的影響后，學生甲說：“因為空氣浮力與擺球重力方向相反，它對球的作用相當于重力加速度變小，因此振動周期變大?！睂W生乙說：“浮力對擺球的影響好像用一個輕一些的擺球做實驗，因此振動周期不變”，這兩個學生中_A__。A．學生甲的說法正確B．學生乙的說法正確C．兩學生的說法都是錯誤的(5)某同學用單擺測量當?shù)氐闹亓铀俣?。他測出了擺線長度L和擺動周期T，如圖丁(a)所示。通過改變懸線長度L，測出對應的擺動周期T，獲得多組T與L，再以T2為縱軸、L為橫軸畫出函數(shù)關(guān)系圖像如圖丁(b)所示。由圖像可知，擺球的半徑r＝_1.0×10－2__m，當?shù)刂亓铀俣萭＝_π2__m/s2；由此種方法得到的重力加速度值與實際的重力加速度值相比會_一樣__(選填“偏大”“偏小”或“一樣”)。解析：(1)擺球的直徑為：0.9cm＋0.1mm×7＝0.97cm；擺球經(jīng)過最低點時小球速度最大，容易觀察和計時；圖甲中停表的示數(shù)為1.5min＋12.5s＝102.5s，則周期T＝eq\f(102.5,50)s＝2.05s；(2)從懸點到球心的距離即為擺長，可得L＝0.9980m；(3)由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))，可得g＝eq\f(4π2L,T2)；(4)由于受到空氣浮力的影響，小球的質(zhì)量沒變而相當于小球所受重力減小，即等效重力加速度減小，因而振動周期變大，A正確；(5)T2與L的圖像，應為過原點的直線，由橫軸截距得，球的半徑應為1.0×10－2m；圖像斜率k＝eq\f(T2,L)＝eq\f(0.04,1.0×10－2)＝4，而g＝eq\f(4π2L,T2)，故g＝eq\f(4π2,4)＝π2，根據(jù)以上推導，斜率不變，重力加速度不變，故對g沒有影響，得到的重力加速度值與實際的重力加速度值一樣。一、高考真題探析典題(2020·全國新課標Ⅱ卷，34)用一個擺長為80.0cm的單擺做實驗，要求擺動的最大角度小于5°，則開始時將擺球拉離平衡位置的距離應不超過_6.9__cm(保留1位小數(shù))。(提示：單擺被拉開小角度的情況下，所求的距離約等于擺球沿圓弧移動的路程。)某同學想設(shè)計一個新單擺，要求新單擺擺動10個周期的時間與原單擺擺動11個周期的時間相等。新單擺的擺長應該取為_96.8__cm。思路引導：本題考查了單擺實驗，意在考查考生的綜合分析能力。理解并掌握實驗原理是解題關(guān)鍵。解析：拉離平衡位置的距離x＝2π×80cm×eq\f(5°,360°)≈6.98cm，題中要求擺動的最大角度小于5°，且保留1位小數(shù)，所以拉離平衡位置的距離不超過6.9cm；根據(jù)單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))結(jié)合題意可知10T′＝11T，代入數(shù)據(jù)為10eq\r(L′)＝11eq\r(80cm)，解得新單擺的擺長為L′＝96.8cm。二、臨場真題練兵1．(2022·湖南卷，16(1))下端附著重物的粗細均勻木棒，豎直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿豎直方向做頻率為1Hz的簡諧運動；與此同時，木棒在水平方向上隨河水做勻速直線運動，如圖(a)所示。以木棒所受浮力F為縱軸，木棒水平位移x為橫軸建立直角坐標系，浮力F隨水平位移x的變化如圖(b)所示。已知河水密度為ρ，木棒橫截面積為S，重力加速度大小為g。下列說法正確的是(ABD)A．x從0.05m到0.15m的過程中，木棒的動能先增大后減小B．x從0.21m到0.25m的過程中，木棒加速度方向豎直向下，大小逐漸變小C．x＝0.35m和x＝0.45m時，木棒的速度大小相等，方向相反D．木棒在豎直方向做簡諧運動的振幅為eq\f(F1－F2,2ρSg)解析：木棒在豎直方向做簡諧運動，浮力恰好等于重力時木棒速度最大，動能最大。根據(jù)浮力等于排開液體的重力、浮力隨水平位移x變化的圖像可知，x從0.05m到0.15m的過程中，木棒的速度先增大后減小，木棒的動能先增大后減小，選項A正確。x從0.21m到0.25m的過程中，木棒從平衡位置上方靠近最大位移處向下運動(未到平衡位置)，加速度豎直向下，大小減小，選項B正確。x＝0.35m時，木棒向下運動，x＝0.45m時木棒在同一位置向上運動，x＝0.35m和x＝0.45m時，木棒在豎直方向的速度大小相等，方向相反，而兩時刻木棒水平方向速度相同，所以合速度大小相等，方向不是相反，選項C錯誤。木棒底端處于水面下最大位移時，F(xiàn)1＝ρgSh1，木棒底端處于水面下最小位移時，F(xiàn)2＝ρgSh2，木棒在豎直方向做簡諧運動的振幅A＝eq\f(h1－h(huán)2,2)＝eq\f(F1－F2,2ρSg)，選項D正確。2．(2022·浙江6月卷，11)如圖所示，一根固定在墻上的水平光滑桿，兩端分別固定著相同的輕彈簧，兩彈簧自由端相距x。套上的小球從中點以初速度v向右運動，小球?qū)⒆鲋芷跒門的往復運動，則(B)A．小球做簡諧運動B．小球動能的變化周期為eq\f(T,2)C．兩根彈簧的總彈性勢能的變化周期為TD．小球的初速度為eq\f(v,2)時，其運動周期為2T解析：由于剛開始的一段時間內(nèi)小球做勻速運動，受力大小與位移大小不成正比，小球做的不是簡諧運動，A錯誤；小球從桿中點到第一次回到桿中點的過程，初、末動能相等，則小球動能的變化周期為eq\f(T,2)，分析可知兩根彈簧的總彈性勢能的變化周期也為eq\f(T,2)，B正確，C錯誤；小球的初速度為eq\f(v,2)時，在細桿上勻速運動的時間等于初速度為v時的2倍，小球從接觸彈簧到速度減到零的時間等于初速度為v時的從接觸彈簧到速度減為零的時間，故初速度為eq\f(v,2)時的運動周期小于2T，D錯誤。3．(多選)(2019·江蘇卷，13B)一個單擺做簡諧運動，在偏角增大的過程中，擺球的(AC)A．位移增大 B．速度增大C．回復力增大 D．機械能增大解析：擺球做簡諧運動，在平衡位置處位移為零，在擺角增大的過程中，擺球的位移增大，速度減小，選項A正確，B錯誤；在擺角增大的過程中，擺球受到的回復力增大，選項C正確；單擺做簡諧運動，機械能守恒，所以在擺角增大的過程中，擺球機械能保持不變，選項D錯誤。4．(2019·全國卷Ⅱ，34)如圖，長為l的細繩下方懸掛一小球a，繩的另一端固定在天花板上O點處，在O點正下方eq\f(3,4)l的O′處有一固定細鐵釘。將小球向右拉開，使細繩與豎直方向成一小角度(約為2°)后由靜止釋放，并從釋放時開始計時。當小球a擺至最低位置時，細繩會受到鐵釘?shù)淖钃酢ＴO(shè)小球相對于其平衡位置的水平位移為x，向右為正。下列圖像中，能描述小球在開始一個周期內(nèi)的x－t關(guān)系的是(A)解析：擺長為l時單擺的周期T1＝2πeq\r(\f(l,g))，振幅A1＝lsinα(α為擺角)；擺長為eq\f(1,4)l時，單擺的周期T2＝2πeq\r(\f(\f(1,4)l,g))＝πeq\r(\f(l,g))＝eq\f(T1,2)，振幅A2＝eq\f(1,4)lsinβ(β為擺角)。根據(jù)機械能守恒定律得mgl(1－cosα)＝mgeq\f(l,4)(1－cosβ)，利用cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)，cosβ＝1－2sin2eq\f(β,2)以及sinα＝tanα＝α(α很小)，解得β＝2α，故A2＝eq\f(1,2)A1，故選項A正確。5．(2021·河北卷，16(1))如圖，一彈簧振子沿x軸做簡諧運動，振子零時刻向右經(jīng)過A點，2s后第一次到達B點，已知振子經(jīng)過A、B兩點時的速度大小相等，2s內(nèi)經(jīng)過的路程為0.4m。該彈簧振子的周期為_4__s，振幅為_0.