新教材2022版數(shù)學(xué)蘇教版選擇性必修第一冊提升訓(xùn)練：42

4.2.3等差數(shù)列的前A項和

第1課時等差數(shù)列的前A項和及其應(yīng)用

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一等差數(shù)列中基本量的計算

1.（2020湖南婁底高二期末）記等差數(shù)列｛a｝的前n項和為S.若

a=4,519=114,則515=（）

A.45B.75C.90D.95

2.在等差數(shù)列｛%｝中，已知a=10,d=2,S=580,則刀=（）

A.10B.15C.20D.30

3.（多選）（2021江蘇鹽城響水中學(xué)高二月考）設(shè)等差數(shù)列仿』的前〃項

和為Sn.若5=0,<24=8,則（）

A.5L-2T?2-6Z?B.一3〃

C.4=4〃-8D.a?=2z?

4.（2021江蘇南通平潮高級中學(xué)高二期中）設(shè)S為等差數(shù)列｛a｝的前n

項和，已知5=2,2=16,貝IJ小二.

5.（2021江蘇宿遷桃州中學(xué)高二月考）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前n項和為

Sn.若5g=72,則%=.

題組二數(shù)列的前〃項和S與4的關(guān)系

6.（2021吉林第二中學(xué)高二月考）已知S為數(shù)列｛a｝的前〃項和，且滿

=2

足5；7?+4/?+2,則桀+&+25=（）

A.10B.11C.33D.34

7.在各項均大于零的數(shù)列｛4｝中，首項外=1,前n項和S滿足

S^^i-S『店=21sp%、(〃￡N*且〃22),貝lja81=

A.638B.639C.640D.641

8.（2021山西朔州懷仁一中月考）已知數(shù)列｛aj的前n項和為S,且

S=〃2+4,貝"a?=.

9.（2021江蘇南京高三一模）已知數(shù)列仿』的各項均為正數(shù),其前n項

和為S,且2s=<3禽+1,〃eN,則a=;若4=2,則

?So=.

10.（1）已知數(shù)列｛4｝的前7?項和T^n+TT+3,求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前n項和S滿足S=；（4+1）；求a。.

4

題組三求等差數(shù)列的前〃項和

11.在數(shù)歹!)E｝中，&=々+2+…+T5WN*),又b——,則數(shù)列｛4｝

n+1n+1n+1anan+i

的前〃項和S為（

A.—D篇

71+1n+1

12.（2021江蘇南通平潮高級中學(xué)高二期中）談祥柏先生是我國著名的

數(shù)學(xué)科普作家,在他的《好玩的數(shù)學(xué)》一書中，有一篇文章《五分鐘挑

出埃及分數(shù)》，文章告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分數(shù)(稱

為埃及分數(shù)).則下列埃及分數(shù)二,三,2,…，的和是

1X33X55X72019X2021

()

A2020D1010

A?-------D.--------

20212021

「1009n2018

?2019?2019

13.已知數(shù)列EJ的通項公式為上，則其前n項和

n

sn=.

14.(2021河北邯鄲高三摸底考試)已知各項均不為0的數(shù)列｛2｝滿足

<31=-,<3〃-N).

(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)S為數(shù)列｛aaJ的前n項和,證明：

9

能力提升練

題組一數(shù)列的前〃項和S與4的關(guān)系

1.（2021廣東汕頭金山中學(xué)四校高三聯(lián)考，如）已知數(shù)列｛4｝的前〃項

和為S,且S=3/+2加1,則數(shù)列仿〃｝的通項公式

是,<31+為+&+,??+a9=.

2.（2021江蘇無錫太湖高級中學(xué)高二期中，?。海┮阎獢?shù)列E｝中，ai=|,

其前n項和S滿足釐一4S+%=0522且AGN*）,貝lj團=，

3.（2021江蘇無錫錫山高級中學(xué)高二期中，4）數(shù)列｛%｝滿足

&=|,（〃￡N*）,其中S為數(shù)列｛4｝的前n項和，則

am,若不等式（L2）a〃22--5hl2對任意恒成立,則實

數(shù)匕的最小值為.

4.（2020浙江衢州二中高三期末，*）設(shè)數(shù)列｛區(qū)｝的前n項和為L,a?=

人幾為常數(shù)），且圖是等差數(shù)列.

⑴求幾的值及數(shù)列｛北｝的通項公式；

⑵設(shè)S是數(shù)列｛4｝的前刀項和，且b?=（2A+3）北,求SZTST2n的最小值.

題組二求等差數(shù)列的前〃項和

5.（2021江蘇鹽城伍佑中學(xué)高二月考，*,）在等差數(shù)列｛2｝

中，/=-6,所6,若數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,則（）

A.2B,

C.&〈&D.&=&

6.（2020黑龍江哈爾濱德強高中高一期末，聚：）設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和

為S,且&=1,所4261）,則數(shù)歹｛翥片｝的前10項和是（）

A.-B.-

520

C.—D.—

1111

7.（2021湖南長沙長郡中學(xué)高三一模，??）已知數(shù)列｛4｝滿足

（-1）⑸=2叱1,則｛&｝的前48項和為（）

A.588B.1176

C.-1175D.-580

8.（2021江蘇鎮(zhèn)江高二期中，*,）已知等差數(shù)列｛a｝的首項和公差都為

2,則數(shù)列｛2｝的通項公式為斷,數(shù)列［」一）的前2020項和

為.

9.（2021浙江精誠聯(lián)盟高二開學(xué)考試，*二）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列

E｝的前n項和為S,a=2.若存在常數(shù)九使得a2=Xa〃（〃￡N*）恒成立,

則（卷）為取得最大值時，爐.

10.（2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末聯(lián)考，*7）已知等差數(shù)列

｛&｝的前n項和為￡,且W=8,a+所2H5+2.

⑴求a?;

⑵設(shè)數(shù)歹!）｛2｝的前n項和為Tn,求證：吟

11.（2021湖南長沙長郡中學(xué)高三月考，不）已知正項數(shù)列｛4｝的前n

項和為Sn,且滿足ai=l,a，i=%i+S.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式；

⑵設(shè)Q，求數(shù)列｛況的前n項和Tn.

（2an-l）（2an+l）3n

第2課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及綜合應(yīng)用

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)

1.一個等差數(shù)列共有10項,其奇數(shù)項之和是12.5,偶數(shù)項之和是15,

則它的首項與公差分別是（）

A.0.5,0.5B.0.5,1C.1,0.5D.0.5,2

2.（2021山西大學(xué)附屬中學(xué)高二開學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛2｝的前10

項和為30,前30項和為210,則其前20項和為（）

A.100B.120C.390D.540

3.（2020江蘇徐州高二期末）已知等差數(shù)列｛a｝的前n項和為S,若

8>0,公差后0,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.若Ss=Sg,貝514=0

B.若則S最大

C.若&>S,則S>W

D.若&>S,則&

4.（多選）（2021江蘇南通高三一模）設(shè)伯力是等差數(shù)列,公差為&S是

其前〃項和，且S〈%則下列結(jié)論正確的是（）

A.d<Q

B.<27=0

c.

D.&與S均為S的最大值

題組二等差數(shù)列的綜合問題

5.數(shù)列仿〃｝的首項為3,依｝為等差數(shù)歹（J,且Ma向-若

&=-2,瓦=12,則3s=（）

A.0B.3C.8D.11

6.在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)的和為（）

A.765B.665

C.763D.663

7.（2021湖南長沙長郡、雅禮、一中、附中高三聯(lián)考）設(shè)等差數(shù)列｛4｝

的前n項和為S,&=23,S=360,當〃>5時，5rf=183,則上.

8.（2021陜西咸陽百靈中學(xué)高二月考）已知等差數(shù)列｛a｝和｛4｝的前〃

項和分別為S和九且卜W，則詈二

9.（2021四川成都名校聯(lián)盟高三聯(lián)考）已知數(shù)列｛aj對任意見〃金N*都

滿足且ai=l,若對于任意的正整數(shù)n,都有成+12,則

實數(shù)A的最大值為.

10.（2020湖南長沙一中高二期末）已知等差數(shù)列仿〃｝的各項均為正數(shù),

其前n項和為S,且滿足4+a=酒,S=63.

（1）求數(shù)列｛aj的通項公式；

⑵若數(shù)列仇｝滿足*2,且狂a*,求數(shù)歹（）｛2｝的前n項和Tn.

題組三等差數(shù)列前〃項和的實際應(yīng)用

11.“嫦娥”奔月，舉國歡慶.據(jù)科學(xué)計算，運載“嫦娥”飛船的“長征

三號甲”火箭點火1min內(nèi)通過的路程為2km,以后每分鐘通過的路

程都增加2km,在到達離地面240km的高度時，火箭與飛船分離，則

這一過程需要的時間是（）

A.10minB.13min

C.15minD.20min

12.現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛,要使剩余的鋼管

數(shù)最少,那么剩余鋼管的根數(shù)為.

13.某人用分期付款的方式購買一件家電,價格為1150元，購買當天

先付150元，以后每月的這一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率

為1%若交付150元后的一個月為分期付款的第一個月，則分期付款

的第10個月應(yīng)付款多少元?付清全部貸款后，買這件家電實際花費多

少元？

能力提升練

題組一等差數(shù)列的綜合問題

1.（2020河南濮陽高二上期末，如）已知數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，且

呵+W…1V4）,則數(shù)歹U僵｝的前n項和為（）

A.Z?2+2M1B,2/+2〃

C.3n+nD.2n+n

2.（2020安徽阜陽高二上期末，士7）將正偶數(shù)排成如圖所示的三角形

數(shù)陣,其中第，行（從上向下）第7個（從左向右）數(shù)表示為^,（7,JEN*）,

例如a32=10.若加=2020,貝IJi-j=（）

2

46

81012

14161820

A.21B.22C.23D.25

3.（多選）（2021江蘇宿遷桃州中學(xué)高二月考，*「）設(shè)等差數(shù)列｛a｝的前

n項和為S,公差為d.已知53=12,S12>0,昌〈0,貝I（）

A.3@〉0

B.-24-<d<-3

7

C.S〈o時,n的最小值為13

D.數(shù)歹U伊忡的最小項為第6項

4.(2021河南九校高二聯(lián)考，")已知數(shù)列｛2｝中,4=近1,且當心

2,時，7?a^i-(T?+1)an.

(1)求數(shù)列｛a｝的通項公式；

⑵設(shè)b=2n(—-A),若對任意的AGN：數(shù)列｛4｝都是遞減數(shù)列，求實

數(shù)幾的取值范圍.

5.(2021江蘇鹽城一中、射陽中學(xué)等五校高二期中聯(lián)考，4)已知數(shù)列

｛4｝滿足五尸二―且ai=2,數(shù)列｛4｝滿足bn.~b^anbn,且*2.

an+2

(1)求證:數(shù)歹！)尸4是等差數(shù)歹！J,并求其通項公式；

2

⑵解關(guān)于〃的不等式：2藐〈已

題組二等差數(shù)列前A項和的性質(zhì)及綜合應(yīng)用

6.（2021江蘇蘇州星海中學(xué)高二期中，*「）已知數(shù)列江/中,及=2,若對

任意的m,neN*都有“二為+為，則

_a+a+a+---+aoi3

13s2.

a2+cL4+a6+---+a2014

7.（2021江蘇蘇州昆山高級中學(xué)高二期末，如）已知數(shù)列｛4｝的前〃項

和為Sn,滿足2s=兩A（〃3*）,則數(shù)列｛4｝的通項公式斷,設(shè)

4=（-1）。+】,則數(shù)列仇｝的前n項和Tn=.

an*an+l

8.（2020山東濟寧高二上期末，水）已知一組雙曲線與:/-/=4加4（〃

eNO,設(shè)直線產(chǎn)力（加＞2）與只在第一象限的交點為4,點4在2的兩條

漸近線上的投影分別為點Bn,Cn.記的面積為a”,則數(shù)列｛aj的

前20項和為.

題組三等差數(shù)列前〃項和公式的實際應(yīng)用

9.（2021江蘇無錫錫山高級中學(xué)高二期中，*7）為了參加學(xué)校的長跑

比賽,高二年級的小李同學(xué)制定了一個為期15天的訓(xùn)練計劃.已知后

一天的跑步距離都是在前一天的基礎(chǔ)上增加相同距離.若小李同學(xué)前

三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,則這15天小李同學(xué)

總共跑了（）

A.34000米B.36000米

C.38000米D.40000米

10.（2020山東濰坊高二上期末，我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》

中有這樣一個問題：“九百九十六斤棉,贈分八子作盤纏.次第每人多

十七,要將第八數(shù)來言.務(wù)要分明依次第,孝和休惹外人傳.”大意為：

“有996斤棉花,分別贈送給8個子女作為盤纏,從第1個孩子開始，

以后每人依次多17斤,直到第8個孩子為止.分配時一定要按照次序

分,要順從父母，兄弟之間要和氣,不要引得外人說閑話.”在這個問題

中，第8個孩子分到的棉花為（）

A.184斤B.176斤C.65斤D.60斤

11.（2020山西太原高二期末，川）黃金螺旋線又名鸚鵡螺曲線，是自

然界最美的曲線.在一個黃金矩形（寬除以長約等于0.6）中先以寬為

邊長作一個正方形,然后在剩下的矩形里面再以其中的寬為邊長作一

個正方形，以此循環(huán)作下去,最后在所形成的每個正方形里面畫出;圓,

把圓弧線順次連接,得到的這條弧線就是黃金螺旋線.現(xiàn)把每一段黃

金螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積設(shè)為傘對應(yīng)扇形的半

徑設(shè)為2,｛2｝滿足.31=1,32=1,a=afi+Hk2（〃￡N*,啟3）,若將為〃｝的每

一項按照如圖所示的方法放進格子里,每一小格子的邊長為1,記前n

項所在的正方形的面積之和為S,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.3刀+1—a九+1+a加1?a?

B.劣+為+…+a〃=a"2—1

C.4（以2-C"i）="4?a〃3

D.<21+<33+%+，，，+<92_?-1=82〃-1

12.（?1）某企業(yè)用180萬元購買一套新設(shè)備，該套設(shè)備預(yù)計平均每年

能給企業(yè)帶來100萬元的收入，為了維護設(shè)備的正常運行，第一年需

要各種維護費用10萬元，且從第二年開始，每年所需的維護費用比上

一年要增加10萬元.

⑴求該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤y(萬元)與使用年數(shù)x(xeM)的函

數(shù)關(guān)系；

⑵這套設(shè)備使用多少年,可使年平均利潤最大?最大年平均利潤為多

少萬元？

答案全解全析

第1課時等差數(shù)列的前〃項和

及其應(yīng)用

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B由題意得卜瑟+19x9d=114,

即｛僚律解得色|,

所以Si5-15<ai+15x^15X|+15X7X|=75,故選B,

2.C因為57=7751+|T?（77-1）后10加聶,（72-1）X2=n+9/7,所以n+9/7=580,解得77=20或爐-29（舍

去）.

3.AC設(shè)等差數(shù)列｛2｝的公差為4則產(chǎn)=3的jy=°，解得出=一出

g=%,+3d=8,（d=4,

.,.^=51+（7?-1）t#-4+4（7?-1）=4/?-8,5=〃習(xí)1+九（）21）人=_4/7+2〃（n~1）=2T/_6〃.

故選AC.

4.答案y

解+析6,喘Md==2g

.*1=-.?.a=&+5於」+15=*.

Id=3,2*42

5.答案8

9(1；9)

解+析｛aj是等差數(shù)列，二&=。。=*|生=9a$=72,a6=8.

方法總結(jié)

求等差數(shù)列中基本量的方法是利用公式建立方程(組)，或者運用等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)進

行處理，以達到簡化求解過程的目的.

6.C因為S為數(shù)列｛aj的前〃項和，且滿足S=4+4加2,所以a3+a4+^S5~&=33,故選C.

7.C由5=2<S“S自(〃GN*且/7、2)可得居-脛:=256。且〃22),又

ai=l,".y[s[=y[ci^=\,

｛忌｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)

歹！I，，扃=2上1,???S=(2kl)2,?,.381=&「&。=161:：-1592=640?

8.答案8nr；?

2

解+析當77=1時，ai=S=5,當〃22時，a^Sn-S^n+4-(77-1)-4=2n~lf此時劭=5不成立,所以

」5,n=1,

l2n-l,n>2.

9.答案4;220

解+析根據(jù)2s皿1①,得29二郎為(〃三2,②,①-②,化簡得2a二為(9--)，又an

W0,所以加一如二2(〃22,

當斤1時，有2al二2?&,可得<32=2,故&=/+2=4.

n,九為偶數(shù)，nWN*,

右51—2,貝?5/7—

n+1,九為奇數(shù)，neN*,

貝(JSo=(a+&+全+…+&9)+(32+&+a+?一+320)

xlO

(2+20)X10+(2+20)-220

22.

10.解+析(1)???Tn=2n+n+3,：.當n=l時，6i=7]=2X「+1+3=6;當時，兒二北一

Tn-i=2n+ZT+3-[2(ZT-1)2+(ZT-1)+3]=4/7-1.當n=l時，1=6W4X1-1,

.4」6,九=1,

9nUn-l,n>2.

⑵當77=1時，ai=5i=7(ai+1)2,所以51=1;

4

當時,為二$-以弓(a+1)冶?(a^i+1)2,即4品二嫌+2a+1-(嫌一1+2%+1),

忌-碌產(chǎn)(為+如)=0,

??-3n-i-2)-0.

=

;數(shù)列｛a｝的各項均為正數(shù)，；?a+打1>0,；?a-司門-2=0,即an-an-i2,

數(shù)列｛aj是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,

a=1+2(hl)=2/7-1.

方法總結(jié)

給出S與&的遞推關(guān)系，求當?shù)囊话闼悸?①利用3尸臚：：22求解;②轉(zhuǎn)化為S

的遞推關(guān)系,先求出S與〃之間的關(guān)系,再求a”.

itA1.2.nn(n+l)1_n

11.A因為a方——+——+???+——=----

n+1n+1n+12n+12,

所以辦肅二二唐二4(；笠J，

所以S=4(

nn+1n+l,

故選A.

11

12.B設(shè)埃及分數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列｛a｝,則其通項公式為為二

(2n-l)(2n+l)2

1

」+1一+-1，+???+-

1X33X55X7：2019X2021

1--+---+--1+???+^_一^_(「心)4S故選艮

三X3355720192021

13.答案1g(加1)

解+析由已知得a=lg(加l)Tgn,

所以…+a=(lg2-lgl)+(lg3-lg2)+…+[lg(/7+l)-lg77]=lg(/7+l).

14.解+析(1)由兩邊同時除以劣石用，得二一」■二=又三二

2an+1an22

?,.長｝是首項為I,公差為I的等差數(shù)列,

?1_33/1、_3._2

?.-----+-(Z?-1)—Z7,?.3,n----.

an2223n

⑵證明：由⑴得

S[X(卜|+找+…+(冷)3X(1—總]一^^.

?

:nGN：：44

99(n+1)9’

即s4.

易錯警示

在應(yīng)用裂項相消法求和時應(yīng)注意:①通項裂項后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項之差;②在正、

負項抵消后,是否只剩下了第一項和最后一項,是否還有其他項.

能力提升練

L答案M±llnl2)；146

解+析當?shù)?1時，ai=S=3X12+2X1+1=6,

當?shù)?2時，a^S^Sn-^in+2/?+1-3(TT-1)2-2(/?-1)-1=6/T-1,當上1時，a=6W6XlT,

所以口后心,

所以/加1=12/7+5,〃金N：

所以ai+a3+as+…+麴=&+絲竽也-6+2X(12X1+5+12X4+5)=146.

2.答案-二;

122022

解+析當n=2時,有(。2+0-32?(。2+0+a2=O,整理得%+[=(),解得a2=-*

當62時，amS『Sn,由扉-a〃S+a0=O可得喋-(￡-如)S+S-Si=0,即易知S%i

W0,所以1=^-^=--—,

^n^n-1SnSn-1

所以數(shù)列住|是首項為*3,公差為1的等差數(shù)列，.?.￡、=3+lX2019=2022,

lSn)S1s2020

因止匕￡°2。二大，

3.答案即+|).2*

解+析因為S=ax2"*,

所以當G2時,S*aE-

n+1n

所以a^=S-Sr\=(jin+1-2-^-^an-2-^=a^i-a?-2,",

所以a*2al+2",即親尸黃+點

又&=|,又團=~2*,

所以包=7,所以登3號滿足上式,

所以數(shù)歹W募｝是以：為首項,m為公差的等差數(shù)歹山

所以朱汽（I）號吟

所以a二q71+|)，2".

因為（L2）a〃2235kl2對任意〃eN*恒成立,所以（L2）?（|n+^）-2〃》2*5hl2對任意

2n2-5n-124(n-4)

恒成立，即方-22?對任意恒成立,

(ln+|).2n-2?

4(n-4)4(n3)_4(n4)4(5-n)

,令fe=4("4).貝Ibm「b二

所以廣22nn

.2nmax22九+122+1?

所以當水5時，尾1一6〃>0,即b￡>bn；

當上5時，曲二優(yōu)；

當力＞5時，服即bmKth

所以［”薩］=仁吟所以L223即t^,所以實數(shù)t的最小值為?

L2」max8??°

4.解+析⑴當時，普?=4-北，

即將ATxTM,G2,

即入Tr-WLTfG2,

所以5=1,〃22,

lnln-i

因為｛1｝是等差數(shù)列,所以4二1，公差大1，

令77=1,則71=1,所以5=2,

所以工二2+（27-1）?1二加1,

Tn

所以數(shù)列｛北｝的通項公式為T方三

n+1

（2）由（1）及已知得"=（2加3）T?=2+—,

所以&?-S?-2n=(2++)+(2+京)+(2+充>…+卜+熹)-2/7=^+上充+…+高

令CrF-^―+^—+^—+??,+^—

n+2n+3n+42n+l

3n+4

所以ClCri二1?11.>0,

2?l+327l+2?l+2(2n+3)(2n+2)(n+2)

所以“1＞以,所以數(shù)列｛?｝是遞增數(shù)列,所以&）min=a=|，

即(S2n-Sn-2n)min=i,

即2A的最小值為去

5.B在等差數(shù)列｛a｝中，公差戶"發(fā)=2

6

則為=〃2+(/T-2)廬-6+2/7-4=27?-10,

所以ai=-8,

n(a+a)n(-8+2n-10)

所以s*1n力39),

22

則S=4X(-5)=-20,￡=5X(-4)=-20,&=6X(-3)=-18,

所以&=&,&>￡,故選B.

C

6.C由a=—+2(77-1)得3二刀8廠2〃(77-1),

nn

當時，aFS「Sr=na「（nr。a^i-4（zrl）,整理得a?-a^i=4,

所以｛aj是公差為4的等差數(shù)列,又國=1,

所以乃尸4/7-3,從而S+3/7=九（a；a九）+3爐2刀2+2〃=2〃（加］）,

1_1

所以

Sn+3n2n(n+l)2\nn+lJ

所以數(shù)歹wum的前1°項和為打(「3*

7.B由a加i+(-1)"&F2/7-1,得

=-=———

/=1+W1,533522Si,&=5+&=7一W1,3,5~7~3^3，if陵=9+己5=9+51,3^—\1S6—2Si,a=13+37=15-^1,

……,所以相鄰奇數(shù)項的和為2,偶數(shù)項中,每隔一項構(gòu)成公差為8的等差數(shù)列，

所以(功+83)+(含+與)+…+(&5+&7)=2X12=24,

/+2+注+為+???+&6+&8=(/+a+&()+???+&6)+(a+含+???+&8),

而我+遂+〃io+.??+&6=(1+己1)+(9+ai)+,,,+(89+ai)=540+12ai,

2+含+…+加=(7-功)+(15-4)+…+(95-4)=612-12期

所以數(shù)列｛&｝的前48項和為24+(540+1251)+(612-12^)=1176.故選B.

505

8.答案2〃;

2021

解+析為=2+2(/T-1)=2/7.

設(shè)臉亡「心意（1擊），設(shè)⑸的前〃項和為北，

則吟

ryi|[T_2020_505

人」hO2O-4X（2020+1）-2021,

9.答案18或19

解+析設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d

當/7=1時，a2=Aai,

當.時，…儂所嘮曹；W+必,

解得｛憶彈d（舍去），

(n1)d

所以SrFna^2=n+n,

記穿G）￡=諱）5+力

%+1_島)[(”+1)，6+1)]9

所以nn21+-

'(^)(n+n)10n.

當1手啟18,〃3*時,攀福（1+§蕓1,此時TQTn；

當〃>18,〃62時,如=2（1+，〈1,止匕時T^<T?.

Tn10\nJ

所以舄）&取得最大值時,n的值為18或19.

io.解+析⑴設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d,由題意得5的:%解得巴1=：'所

+9d=2al+8d+2,1d=2,

以4=2/T+1.

⑵證明：由（1）知為=2/?+1,所以（3+2TT+1）=n+2n,

_1

所以Fn(n+2).斗一⑶

2\nn+2/

所以*[(il)+GU)+(M)+?“+(=-^)+(1專)]

2\2n+ln+274

11.解+析⑴由成+i=備1+S,①

得硬=S+Srl(〃22),②

①一②得忌+廣磷冰1+%(〃22),

因為a>0,所以〃加1-a=1(〃22),

由51=1,農(nóng)=&+/+4，解得3.2=2(52=_1舍去)，滿足8加「a=1,

因此數(shù)列｛%｝是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以

⑵二一—_____

'76"（2n-l）（2n+l）A3n

=1[__ii

4L（2n-1）-3n-1（2n+l）?3n

所以北="6升…+"，三(總一總

+,?,+—L---------1----

43X315X324（2n-l）x3n-1（2n+l）x3n

1--~

(271+1)X3n

解題模板

數(shù)列中常見的裂項相消的形式:

⑴11_1

n（n+l）nn+l

⑵4n2-12\2n-l2n+17

⑶VST1+赤+I%；

2n_1_1

(4)（2n-l）（2n+1-l）-2n-l2n+1-l

第2課時等差數(shù)列前〃項

和的性質(zhì)及綜合應(yīng)用

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.A設(shè)此等差數(shù)列為｛aj,公差為d,奇數(shù)項之和為S葩偶數(shù)項之和為Sffi,前〃項和為S,由

S假-S奇=5戶15T2.5=2.5,得戶0.5.

故So=lO&+乎X0.5=15+12.5=27.5,解得a=0.5.

2.A設(shè)｛aj的前n項和為S.由等差數(shù)列的性質(zhì)得S。,&「S。,成等差數(shù)列，所以

2(S。-30)=30+(210-&0),解得￡<>=100.故選A.

3.D若W=S,貝ua+&+為+89=0,所以&+軟石1+石14=0,所以Si4=14x（a；+ai4）=0,故A中結(jié)論正確.

若W=%則5&+10癰9@+36d所以第-5.因為為＞0,所以K0.

由S的表達式及二次函數(shù)的性質(zhì)知,S最大，故B中結(jié)論正確.

若&＞S,則與＜0.又水0,所以桀＜0,所以S＞&.但為的符號不確定,所以反與國的大小無法比

較，故C中結(jié)論正確,D中結(jié)論不正確.故選D.

4.ABD由｛a｝是等差數(shù)列，S是其前n項和,且￡＜&,&=$＞&,

得為二&-8＞0,a7=5?-5e=0,③=&-岳〈0,&+軟&-關(guān)＜0,

則數(shù)列｛a｝為遞減數(shù)列，即選項A,B正確；

由&-W=為+備+&+色=2（續(xù)+&）＜0,得國〈W,即選項C錯誤；

易知功＞〃2＞?,?＞為＞與=0＞備＞為＞…，故&與S均為S的最大值，即選項D正確.

故選ABD.

5.B設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為a

..z_z.pl+2d=-2,

.b3=29,加=192,??（瓦+9d=12,

解得巳［J'???-6+31）義2=2止8,

??@仆］~aF2n~8,3^.si=3,

a2-ai=2X1-8,

氏~昕2X2-8,

a-a=2X3-8,

-38-57=2X7-8,

以上各式相力口得,a8-ai=2X（1+2+3+???+7）-8X7=0,,??備=4=3.

6.B被7除余2的自然數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,設(shè)該等差數(shù)列為｛4｝,aGN,其首項4=2,公差加7,

則為二功+（77-1）居7/7-5,:又為＜100,為￡N,???7/2-5。00,???水15,的最大值為

14,.?.滿足條件的最大的自然數(shù)為a“=93,.?.這些數(shù)的和為"乎*14=等義14=665.

7.答案18

解+析由題意知W=&+/+&+&+?23,當n＞5吐5-以5=a+以1+加2+爪3+爪4=177,兩式相加并

整理，得（功+為）+（己2+41）+（當+3獷2）+（a+2止3）+（己5+3獷4）=23+177=200,所以謝+a=40,貝！J

S=〃X也羅=20爐360,解得上18.

8.答案6

解+析由笠筆,可設(shè)$=07加5）?〃,北=孑（加3）〃,k＞Q,

Tnn+3

則&=S-W=（7X7+5）X7h（7X6+5）X6A=96A,

〃=方-入=（7+3）X7A-（6+3）X6A=16",

則也緡=6.

b716k

9.答案7

解+析令/n=l,則即為4-4=1,則｛a｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列,故an=n,

由4alWW+12對任意〃GN*恒成立,可得An^n+12對任意〃eN*恒成立，即4W獷三對任

意恒成立，

令尸加=該函數(shù)在(0,2V3)上單調(diào)遞減,在(2V3,+8)上單調(diào)遞增，

n

又2V3e(3,4),當77=3時，y=7,當爐4時,j=7,所以所以4W7,即^max=7.

10.解+析⑴解法一：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d由題意，得&〉0,且

(ci-^+為+4d=—(a1+2d),

17al+21d=63,

?=3,

**W=2,

故a二2小1.

解法二:設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d.

???｛4｝是等差數(shù)列，且國+年|靖,

2當二,。馬.又為＞0,.'.^3=7,

?；￡=7(。1；。7)=7&=63,近9,

盧&一己3=2,(/7-3)/2加1.

⑵?6加16戶〃加1,且a=2〃+1,

；?6加1-6尸27?+3,6i=ai=3.

???當〃22時，

bn=(bn-bn-t)+(bn~\-bn~>+…+必-加+61=(2/T+1)+(2/7-1)+…+5+3=刀(加2),

當n=l時，6尸3,滿足此式，

以二刀(〃+2),

111

bnn(n+2)2

』(1二)+&)+(&)+...+巨」)+

232435n-1n+1nn+2

三(W-京)

_32n+3

42(n+1)(n+2)*

11.C由題設(shè)條件知,火箭每分鐘通過的路程數(shù)構(gòu)成以2為首項,2為公差的等差數(shù)列,設(shè)其

前〃項和為S“,則S=2加嗎9X2=/+7FA(m"l),令&=240,解得TF15或h-16(舍去).

12.答案10

解+析由題意可知,從上到下各層鋼管數(shù)構(gòu)成了一個等差數(shù)列，最上面一層的鋼管數(shù)為1,

逐層增加1.設(shè)該等差數(shù)列為｛aj,其前n項和為S,

貝ijS=l+2+3+…+/尸號之〃GN*.

當"9時，$9=190;

當n=2Q時，S°=210〉200.

所以當/F19時,剩余鋼管的根數(shù)最少,最少為10.

13.解+析購買家電時支付150元,則欠款為1000元,每月付50元,則需20次付清,設(shè)交付

150元后的每個月的交款數(shù)額依次構(gòu)成數(shù)列｛aj,

則國=50+1000X1於60,

32=50+(1000-50)XI^59.5,

國。=50+(1000-9X50)X1r55.5,

即分期付款的第10個月應(yīng)付款55.5元.

故｛aj是以60為首項,-0.5為公差的等差數(shù)列,且1W〃W2O,“GN*,

)

所以ai+az+…+azo=60+(60-19X0.5X20=l105,

2

所以付清全部貸款后，買這件家電實際花費1105+150=1255(元).

所以分期付款的第10個月應(yīng)付款55.5元,付清全部貸款后,買這件家電實際花費1255元.

能力提升練

1.Byfa^+y/a^+'"+y/^l=n+n,?

當ZFI時,V^i=2,

當時，y/a^+y/a^+--+y/an-1=(n-lY+(TT-1),②

①-②并整理,得四=2〃(〃22),

經(jīng)檢驗，當n=l時也滿足，

:.#i^=2n,aGN：即a?=4：if,〃GN*.

.?.包=4〃，?.?”當=4(加1)-4h4,手4,.?.伊［是首項為,公差為4的等差數(shù)列，它的前n項

nn+1n1knJ4

和為吟山2*乙故選B.

易錯警示

本題考查了由數(shù)列的前〃項和求通項公式以及等差數(shù)列的前〃項和公式.在由數(shù)列的前

n項和S求｛aj的通項公式時,要注意ai=Si,a產(chǎn)“eN*,求出｛aj的通項公式后必

須檢驗為是否適合此式.

2.D由題意知,這個數(shù)陣的第一行有1個偶數(shù),第二行有2個偶數(shù),……,第〃行有〃個偶數(shù),

所以前〃行的偶數(shù)的總個數(shù)為吟。，

又由題圖可知,數(shù)陣中的數(shù)依次構(gòu)成以2為首項,2為公差的等差數(shù)列,所以第n行的最后一

個偶數(shù)為2+［吟2-1］乂2=〃(加1).

當廳44時，44X45=1980,當它45時，45X46=2070,所以a片2020在第45行，

又&產(chǎn)2020=1980+2X20,

所以2020是第45行的第20個偶數(shù)，

即2020這個數(shù)位于第45行第20歹山

所以戶45-20=25,故選D.

3.ABC根據(jù)題意，等差數(shù)列-｝中，&>0,即&=(°i+^2)xl2=(a6+a7)xl2=6忌+加〉0,由a?<0；

得a>0,A正確;

因為a3=12,且備>0,a7<0,a+a?》。，

a=12+3d>0,

所以,67=12+4d<0,解得〈水-3,B正確；

。6+。7=24+7d>0,

（ai+a）xl3

根據(jù)題意,513=^=13a7<0,而曲〉0,故S,<0時,n的最小值為13,C正確；

由a7<0,S6>0可知點0,所以數(shù)列回｝是遞減的等差數(shù)列，當1W〃W6,且“GN*時,a〉0,當心

7,且〃GN*時，aXO,當1W〃W12,且〃eN*時,&>0,當〃213,且〃eN*時，S〈0,

所以當且〃GN*時，1>0,當7W〃W12,且〃GN*時，1<0,當〃213,且〃GN*時，皂>0,

ahah

故數(shù)列｛段｝中的最小項不是第6項，D錯誤.

故選ABC.

4.解+析（1）當?shù)禬N*時，刀蛇尸（加1）為，

???當/?22,〃￡N*時，皿=%,

n+ln

又所1,.?費三,.??當啟2,〃￡N*時,數(shù)列｛半｝為常數(shù)列,且各項均為也

當〃￡N*時,裝二|,即為音，

..（l,n=1,

又??,—劉飛,n>2,neN*.

（2）由（1）知,4=2"（六力=2"島-2）,

若對任意的〃GN*,數(shù)列｛4｝都是遞減數(shù)列，

則如“2〃（右-合力〈0對任意的〃，恒成立，即以京-舟M

4_2______2n______2

就何一2+1）5+2）n+/3'

易知函數(shù)尸田沁〉0）在區(qū)間（0,偽上單調(diào)遞減，在（四,+8）上單調(diào)遞增,四e（1,2）,所以

當無1或爐2時,M-+3取得最小值6,即*-二7取得最大值;，

nn+2n+l3

故實數(shù)A的取值范圍為（I，+8）.

5.解+析⑴由得」警故—3

J為公差的等差數(shù)列.所以二=三,即a言.

an2n

⑵易知同的各項均不為0.由bn^l-bn-Q-nbn得

皿二萬+1=叱-”二3生二士蛆二三……小二旦旦二小

nJ

bn?i''Z）22'匕33'bn-2九一2'九一1'

以上各式累乘得,4=〃（加1）,

則不等式2爵〈4可化為2y〃（加1）,即嘿2>i,

令所嗤￡,〃GN*,

當n=l時，歸1,不符合;

當上2時，。2=|>1,符合;

當上3時，6=|>1,符合;

當無4時，話〉1,符合;

當年5時，所*1，不符合;

、［/xrLiu*—(n+1)(n+2)n(n+l)(n+1)(2-n)

當n>5,時，c"「cm2叱1二2"+工

故當〃>5,時均不符合.

綜上所述,A?⑵3,4｝.

1007

6.答案4;

1008

解+析若對任意的m,都有“二為+為,則令爐爐2,得54=52+52=4.

令7ZF/7=1,得52=51+51=2,所以51=1,

令ZZF1,貝！J41=31+為二為+1,

??己加1-Hn-1,

???數(shù)列｛a｝是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列，，劣工〃，

(1+2013)X1007

ea1+。3+。5+■■?+。2013_2_2014_1007

**a+a+a+---+ai4他+2oi4)xi0070161008，

2462O22

-空,幾為奇數(shù),neN*

7.答案27；n+1

-二7，"為偶數(shù)，"SN*

n+1

解+析因為2S=〃2+〃(〃GN*),

n2+n-(n-1)2-(n-1)

所以當〃22,時，a=S-Sn-i=-:n,

nn2

當上1時，5i=ai=iii=l,符合此式,所以為二〃.

(一1)"a2n+i(一1)n(2九+1)

因為4==（T）—?

an?an+1n(n+l)

當?shù)稙榕紨?shù)